圆的认识(二)
圆的认识(二)知识点总结
圆的认识(二)知识点总结一、圆的对称性。
1. 轴对称性。
- 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆有无数条对称轴。
- 例如，我们可以将一个圆形纸片沿着任意一条通过圆心的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这就体现了圆的轴对称性。
2. 中心对称性。
- 圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。
- 把一个圆绕着圆心旋转任意一个角度后，都能与原来的图形重合。
在圆形的转盘游戏中，转盘绕着圆心旋转后，其位置虽然改变了，但形状和大小不变，这就是圆的中心对称性的体现。
二、弧、弦、圆心角的关系。
1. 定义。
- 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
例如在圆O中，∠ AOB的顶点O 是圆心，所以∠ AOB是圆心角。
- 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作overset{frown}{AB}。
- 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
例如在圆O中，线段AB是弦，若AB经过圆心O，则AB是直径。
2. 关系定理。
- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
- 例如，在圆O中，如果∠ AOB=∠ COD，那么overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD}，AB = CD。
3. 推论。
- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
三、圆周角。
1. 定义。
- 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
例如在圆O中，∠ACB的顶点C在圆上，且AC、BC都与圆相交，所以∠ ACB是圆周角。
2. 圆周角定理。
- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 例如，在圆O中，弧overset{frown}{AB}所对的圆周角∠ ACB和圆心角∠ AOB，则∠ ACB=(1)/(2)∠ AOB。
《圆的认识(二)》圆
感谢您的观看。
圆与三角形
圆与多边形的关系也十分密切。多边形的内角平分线将多边形分成两个部分，一部分是凸多边形，另一部分是凹多边形。这些线段将多边形分成多个三角形，每个三角形都与圆有关。
圆与多边形
圆的面积和周长是数学竞赛中常见的题目类型。通过求解圆的面积和周长，可以考察学生的数学运算能力和对几何图形的掌握程度。
圆与多边形的关系在数学竞赛中也有广泛的应用。例如，求解多边形的内角平分线长度、判断多边形是否为凸多边形等题目都需要利用圆的知识。
微观结构
生物学和材料科学中，细胞和原子等微观结构往往呈现出圆形或近圆形的形状。对这些形状的研究有助于理解生命的本质和材料的性能。
06
CHAPTER
展，圆的应用也将更加广泛和创新，如建筑设计、艺术创作等。
圆的数学理论的发展
随着数学研究的深入，圆的性质和理论也将得到更加深入的研究和发展。
电路板设计
在摄像机和望远镜中，镜头的形状通常是圆的，以确保图像的清晰度和视野的广阔度。
镜头设计
计算机使用的硬盘和光盘等存储介质采用圆形设计，以最大化存储空间并确保数据的稳定性和可靠性。
磁盘存储
天体运动
天体物理学中的行星和卫星的运动轨迹通常被描述为圆形或椭圆形的路径。对圆形的研究有助于理解天体的运动规律和宇宙的演化。
古代数学家的研究
在微积分学中，圆是一个重要的概念。圆的面积和周长的计算方法被广泛应用，例如在物理学、工程学和社会科学等领域。
微积分学中的圆
圆是几何学中一个基本图形，圆的性质和定理是几何学的重要内容。从圆的定义和性质出发，可以引出许多重要的几何定理和问题。
圆与几何学
圆的内接三角形和外切三角形是圆中常见的三角形。这些三角形与圆有密切的联系，如三角形的内心和外心与圆的半径有关。
北师大版六年级上学期数学圆的认识(二)公开课教学PPT课件
折一折
亮亮用纸剪出了一个圆，这个圆的圆心在哪 里呢？你有办法找出来吗？
折一折
圆是轴对称图形。
画一画
圆是轴对称图形， 每条直径所在的 直线都是它的对 称轴。圆有无数 条对称轴。
我们学过的图形中 哪些是轴对称图形？ 分别有几条对称轴？
画出下列图形的对称轴。
新发现
直径 d
d＝2r
d r＝ 2
在同一个圆里，直径的长 度与半径有什么关系？
智慧城堡
加油啊！
画出下面每组图形的对称轴。各能画几条？
d＝6.4cm r＝ 3.2cm
d＝3.8dm r＝1.9dm
d＝2.5m r＝1.25m
图中圆的位置发生了什么变化？
（1）从位置A向 平移 个方格到位置B， 再向 平移 个方格到位置C。 （2）从位置C向 平移 个方格到位置D， 再向 平移 个方格到位置E。 （3）从位置A怎样平移可以得到位置F。
课外延伸 ： 剪出和下面完全相同的圆、正方形
和等边三角形,标出中心点A，并将各个图形分别与下 面相对应的图形重合，然后沿中心点A转动图形，你 发现了么？
A
A
A
一、把圆对折、再对折就能找到圆心。 二、圆是轴对称图形。 三、圆有无数条对称轴。
六年级数学上册 第二单元 圆(第2课时)圆的认识 ppt课件
动手试一试
请你拿出两个大小不同的学具圆， 你能分别找出它们的对称轴吗？你 能找到几条？你发现了什么？
课堂练习
在下列各图形中，你能分别画出几条 对称轴？
动手试一试
请你在练习本上画一个只有一 条对称轴的四边形；再画一个只有2 条对称轴的四边形。
第 二 单元 圆
第 2 课时 圆 的 认 识（2）
复习
一、判断正误
（1）所有的圆的直径都相等。（× ）
（2）等圆的半径都相等。
（√ ）
（3）圆心到圆上任意一点的距离都相等。（√ ）
（4）半径是2cm的圆比直径是3cm的圆大。
（√ ）
复习
二、用圆规画一个半径是3cm的圆，并 用字母o、r、d标出它的圆心、半径和直 径。
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6、成功就是简单的事情不断地重复做 。
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7、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭 遇里百 折不挠 。
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8、伟人与常人最大的差别就在于珍惜 时间。
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9、生命不是要超越别人，而是要超越 自己。
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1、命运把人抛入最低谷时，往往是人 生转折 的最佳 期。谁 若自怨 自艾， 必会坐 失良机 ！
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2、成功的秘诀是努力，所有的第一名 都是练 出来的 。
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3、目标的实现建立在我要成功的强烈 愿望上 。
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4、不管失败多少次，都要面对生活， 充满希 望。
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5、人生，最宝贵的莫过于光阴；人生 ，最璀 璨的莫 过于事 业；人 生，最 快乐的 莫过于 奋斗。
第二课时：圆的认识(二)
第二课时：圆的认识（二）1. 圆的特性回顾在上一节的课程中，我们学习了一些关于圆的基本概念和特性。
回顾一下：•圆是由一条闭合曲线组成的，它的每个点到圆心的距离都相等。
•圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离，它的长度是圆的半径的两倍。
•圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它的值等于直径乘以π（pi），即周长 = 直径× π。
•圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，它的值等于半径的平方乘以π，即面积 = 半径² × π。
2. 圆上的弧2.1 弧长我们已经知道，圆的周长就是圆上任意两点之间的弧长。
那么如何计算弧长呢？通常情况下，我们可以使用下面的公式来计算弧长：弧长 = 弧度 × 半径其中，弧度是度数除以180再乘以π所得到的值。
例如，一个90度的弧对应的弧度就是90/180 × π = π/2。
2.2 弧度制与度数制的转换在数学中，我们使用两种不同的角度制度：度数制和弧度制。
度数制是最常见的，我们使用的角度单位是度；而弧度制是数学中常用的一种角度量度方式，我们使用弧度作为单位。
我们可以通过以下公式进行度数制与弧度制之间的转换：弧度 = 度数× π/180度数 = 弧度× 180/π例如，将 60 度转换为弧度，可以使用60 × π/180 = π/3。
3. 圆的面积与周长计算3.1 圆的周长计算在前面的回顾中，我们已经知道圆的周长等于直径乘以π。
我们可以使用如下的公式计算圆的周长：周长 = 直径× π3.2 圆的面积计算同样地，在前面的回顾中，我们已经知道圆的面积等于半径的平方乘以π。
我们可以使用如下的公式计算圆的面积：面积 = 半径² × π4. 圆与其他几何图形的关系4.1 圆与正多边形的关系在数学中，正多边形指的是所有边和角都相等的多边形。
圆可以看作是一个具有无限多边形的正多边形，因为圆上的任意一条弧都可以看作是无限多个边的集合。
六年级数学上册 第一单元 圆的认识二精品教学PPT课件1 北师大版
课前复习
填空：
1.连接圆心和圆上任意一点的线段，叫作（半径 ），用 字母 （ r )表示。
2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作（直径 ），用 字母（ d ）表示。
3.圆有（无数）条半径，（无数）条直径. 4.在同圆或等圆中，所有的半径长度都（ 相等），所有 的直径长度都（相等），直径的长度是半径的（ 2倍 ）。
3.圆的半径是直径的一半。（ × ）
4.将圆对折，再对折，就找到圆心了。（ √ ）
5.平行四边行有4条对称轴。（ × ）
6.半圆只有一条对称轴。（√ ）
选一选
1.对称轴是（ A ）
A.直线
B.线段
C.射线
2.一个圆最少对折（ B ）次，可以找到圆心。
A.1
B.2
C.3
ห้องสมุดไป่ตู้
这节课你学到了什么？
一个穷困潦倒的青年，流浪到巴黎，期望父亲的朋友能帮助自己找到一份谋生的差事。 "数学精通吗"父亲的朋友问他。青年摇摇头。"历史，地理怎样？"青年还是摇摇头。"那法律呢？"青年窘迫地垂下头。父亲的朋友接连发问，青年只能摇头告诉对方------自己连丝毫的优点也找不出来。"那你先把住址写下来吧。"青年写下了自己的住址，转身要走，却被父亲的朋友一把拉住了："你的名字写的很漂亮嘛，这就是你的优点啊，你不该只满足找一份糊口的工作。"数年后，青年果然写出享誉世界的经典作品。他就是家喻户晓的法国18世纪著名作家大仲马。 世间许多平凡之辈，都要一些小优点，但由于自卑常被忽略了。其实，每个平淡的生命中，都蕴涵着一座丰富金矿，只要肯挖掘，就会挖出令自己都惊讶不已的宝藏……爱因思念而美丽 我曾以为,爱一个人 可以是在心里暗暗的 并不需要对方清楚 我发誓,要把这份美好的感情 珍藏在记忆中,只是记忆 若不是,想到可能永远失去你 永远失去,这份自已如此看重的感情 若不是,又一次在梦中呼喊你的名字 并且从梦中惊醒,或许 这份感情会永远是一个秘密 在默默地想念和为你祝福之中 我从来都是幸福的 等待,我不清楚这样的结果是什么 或许,根本就没有去考虑什么结果 我一直希望 能以一种默默等待的姿势告诉你 我对你的感情是认真的 可以经受时间和距离的考验 那些过往的曾经共同拥有的细节 一一变得无比清晰 仿佛触手可摸,却明明相隔万里 是不是藏得越久 感情就会更加浓呢? 你不在的日子里 思念象野草一般疯狂生长 也许是因为终于不甘这样失去可能的机会 终于不甘刻骨铭心的思念和等待 会随岁月的流逝而染上灰尘 我鼓励自已说,释放自已 我不相信 从物理的距离到心灵的距离只是一瞬间的事情 我不相信 经过岁月沉淀以后的爱依旧不堪一击 我不相信 默默的等待是一场默默的徒劳 若付出必有回报,投入必有结果 那是不是,我还没有投入 是不是付出太少,我默默等待 默默考量自已的信心和爱的程度的做法 是否令我错过适当的机会? 愿你今夜能有一个好梦 如果你在梦中也露出甜美的笑容 那是我托明月清风祝福你 爱上你,毕竟也是淡淡的哀愁
北师大版六年级数学上册《圆的认识(二)》教学设计
圆的认识（二）教学内容：新北师大版小学数学六年级上册第5-6页。
教材分析：本课主要是让学生认识到圆的轴对称性，创设一个“找圆心”的活动，引导学生借助折纸活动，找出这个圆的圆心，进一步理解同一个圆的半径都相等的特征。
学情分析：圆给学生建立感性的认识，初步感受圆的特征以及圆与以前学过的平面图形的不同，学生在折纸及小组交流合作中发现圆是轴对称图形，让学生在独立思考的基础上表达自己的观点和思考的策略。
教学目标：知识目标：通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形、有无数条对称轴。
体会圆的对称性；整理已学过的轴对称图形进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性。
能力目标：在验证圆是轴对称图形和折纸找圆心等活动中，发展学生空间观念；培养学生自主探究、观察、比较和概括的能力，以及小组合作意识，引导学生在合作中交流、学习、互动，也让学生感受轴对称的美。
情感目标：在课堂中注重交流学习数学的感受，获得学习成功的体验；也让学生感受轴对称的美，学会欣赏数学美。
教学重难点:教学重点：在折纸的过程中体会圆的特征。
教学难点：在折纸的过程中体会圆的对称性。
教学准备：多媒体课件、多种平面图形。
教学过程：（一）欣赏，引入新课。
上课开始，先课件出示轴对称景物的图片，让学生欣赏美丽的轴对称图形。
问：同学们，这些景物美吗？它们有什么共同点？（估计学生一眼就会看出来，这都是些轴对称图形。
）再问：那你们还记得轴对称图形的特征吗？（让学生说一说，以进一步了解轴对称图形的特征。
）再看这张图片，哪张脸比较漂亮呢？为什么？相信学生肯定觉得第三张脸最漂亮，因为它的眼睛、鼻子、嘴巴长得对称。
（二）折纸，识对称性。
导入新课：同学们，因为有了圆，我们的世界变得如此美妙而神奇。
今天，我们就再次走进圆的世界，去探究其中的奥妙。
（板书课题）同学们，圆是轴对称图形吗？请你用学具圆形纸片折一折，看看你有什么发现？（学生可能会发现：将圆对折，正好完全重合，说明圆是轴对称图形。
《圆——圆的认识(二)》数学教学PPT课件(4篇)
互动新授
沿任意一条直 径对折，都能 完全重合。
互动新授
我发现圆有很多条对称 轴，每条直径都是它的 一条对称轴。
将圆沿直径对折，正 好完全重合。圆是轴 对称图形。
互动新授
二.找轴对称图形的对称轴
我们学过的图形中哪些是轴对称图形？有几条对称轴？ 做一做，填一填。
图形名称 正方形 长方形 等腰三角形 平行四边形等腰梯形 圆
圆有无数条对称轴。
我们学过的图形中哪些是轴对称图形？ 有几条对称轴？做一做，填一填。
图形 名称
有几条 对称轴
正 长 等腰 平行 等腰 方形 方形 三角形四边形 梯形
圆
4条 2条 1条 0条 1条 无数
你有办法找到一个圆的圆心吗？ 把圆对折，再对折就能找到圆心。
请找出下面各图的对称轴，与同伴进行交流。
（ √） 8.圆有无数条对称轴。（ √ ）
2 剪下附页图1的圆、正方形和等边三角形，标出中 心点A，并将各个图形分别与下面相对应的图形重
合，然后沿中心点A转动图形，你发现了什么？
周长：9.42+9.42=18.84cm
这个图形的周长指的是 大圆周长的一半加上两 个小圆周长的一半的和。
可以先算大圆周 长的一半，再算 小圆周长的一半。
练习巩固
1、妙想要为半径是3cm的圆形小镜子围一圈丝带，她现在有 18cm长的丝带，估一估，够吗？
C=πd ，圆形小镜子的直径 是3×2=6cm。 π 的值是
你有什么发现？
本节目标
1．通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形、有无数条对称轴，体会圆的对称性。 2．在验证圆是轴对称图形和折纸找圆心等活动中，发展空间观念。 3．能用圆的知识解释生活中的简单现象，感受数学与生活密切相关。
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《圆的认识（二）》
教学内容青岛版版小学数学六年级上册
教学目标
1．通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形，理解同一个圆里半径和直径的关系。
2．进一步理解轴对称图形的特征，体会圆的对称性和旋转对称图形的特点。
3．在折纸找圆心、验证圆是轴对称图形等活动中，发展学生的空间观念。
教学重难点
教学重点：理解同一个圆里半径和直径的关系，并体会圆的对称性。
教学难点：体会圆的对称性和旋转对称图形的特点。
教具、学具
教师准备:多媒体课件、圆规、三角板等
学生准备：圆规、三角板；两个完全相同的圆、正方形和正三角形卡片等教学过程
一、创设情境，提出问题。
1.复习：下面哪些是对称图形？是对称图形的分别有几条对称轴？
2.导入：圆是对称图形吗？圆还有哪些特征呢？今天我们来继续学习
圆。
板书课题：圆的认识（二）
二、自主学习，小组探究。
1.找圆心
（1）画一个圆，标出圆心、半径和直径。
（2）提出问题：亮亮借助光盘画了一个圆，剪出一个圆纸片，这个圆的圆心在哪里？你有办法找出来吗？
（3）独自思考后，同位同学互相交流。
（4）班级汇报交流。
方法一：把圆形纸片对折，展开，再对折，展开后两条折痕的交点就是这个圆的圆心；方法二：把圆形纸片对折再对折，展开再展开后两条折痕的交点就是这个圆的圆心；方法三，圆内最长的线段是圆的直径，两条直径的交点就是圆心。
（5）上面哪个方法能找到圆形桌面的中心？
（6）教师小结找圆心的方法。
2.圆的对称性
（1）把圆形纸片对折一次，你有什么发现？
（2）学生汇报，在交流中相互补充。
（3）教师小结并板书：圆是对称图形，直径所在的直线就是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
3.半径与直径的关系
（1）提出问题：同一圆内，半径与直径有什么关系？
（2）猜想与验证。
先猜想，然后利用手中的学具验证你的猜想是否正确。
（3）汇报交流。
学生汇报研究方法和结论。
（4）教师小结并板书：同一个圆中，直径的长度是半径的2倍 d=2r或r=d/2。
4.认识旋转对称图形，完成做一做。
（1）把两个完全相等的圆形纸片叠放，用圆规脚固定圆心，旋转其中一个圆，看一看，什么情况下，两个圆重合？
（2）按照上面的方法，把两个完全相同的正方形或等边三角形纸片叠放，用圆规脚固定中心点，旋转其中一个图形，看一看，什么情况下，两个图形重合？你有什么发现？
（3）汇报展示，学生在展台上边操作边汇报发现。
（4）教师小结后再启发：圆、正方形、等边三角形，绕着某一点旋转一定角度（小于360°）后，与原图形重合，像这样的图形叫旋转对称图形，你还知道哪些旋转对称图形？圆与这些旋转对称图形有什么不同？
（5）教师小结：圆不仅是对称图形，也是旋转图形，还是任意旋转对称图形。
四、抽象概括，总结提示。
大家回忆一下，通过刚才的学习，你有哪些收获？重点谈一下学习方法的收获。
五、巩固练习，拓展提高。
1．填表。
2.判断。
（1）圆有无数条对称轴。
（）
（2）圆的直径就是圆的对称轴。
（）
（3）直径的长度是半径的2倍。
（）
3.画出下面图形的对称轴
4.填空。
5.按要求画圆。
（1）在正方形内画一个最大的圆；（2）在正方形外画一个圆，使正方形的四个顶点在圆上。
板书设计
圆的认识（二）
1.圆是对称图形，有无数条对称轴，直径所在的直线是圆的对称
轴；
2.同一个圆里,直径的长度是半径的2倍，表示为 d=2r 或
r=1/2d；
3.圆是任意旋转对称图形。
使用说明：
1.教学反思：本课在《圆的认识（一）》的基础上教学，学生课前完成画圆、剪圆的预习，本课通过四个活动展开对新知的突破，分别是找圆心、认识圆的对称性、理解同一圆里半径与直径的关系以及了解圆是任意旋转对称图形。
课堂上，让学生“找圆心”的环节，设计了有效的问题引领学生探究。
“假设一个圆形纸片没有圆心，那么该如何找呢？”学生很自然用对折再对折找到圆心，或对折、展开，再对折、再展开，找到圆心；那么还有其他找“圆心”的方法吗？“假如是圆桌面或圆形花坛，无法对折怎么找圆心呢？”在一个个的认知冲突中，把学生的探究活动引向深入。
在理解“同一个圆里,直径的长度是半径的2倍”环节，首先，让学生猜想同一圆里半径与直径的关系，再通过实际操作——折圆或用尺子测量等方法，发现规律并概括总结，很好地体现了数学建模思想。
本课问题设计在教学的基础上进一步完善。
认识圆的对称性，我最初设计的问题是：“在折圆中你还有什么发现？”学生的发现很多，可能是圆是对称图形，也可能是直径与半径的关系；这两块知识点关系是并列的，先发现哪一个都有可能。
为了教学有序，上课时引导学生先感悟圆的对称性，再理解直径与半径的关系。
教师虽然发挥主体作用，有效的解决预设与生成的矛盾；但是，我觉得换成现在的问题更有效，“把圆对折一次，你能发现什么？”学生容易理解，且回答问题思路清晰。
2.使用建议：
（1）认识旋转对称图形，一方面拓展了学生圆是对称图形的认识，另一方面加强了学生操作能力的培养，但是教学难度较大，在此不作重点要求，只是对于悟性高、接受能力强的学生，教师加强操作指导，使其突破难点。
（2）练习的使用，前3题针对本课的概念教学重点展开，农村小学完成到这里即可；后2题是针对城镇小学和学有余力的学生设计的，沟通圆与其他平面
图形的联系，综合应用本课的知识解决实际问题。
（3）课件的使用，配套课件——《圆的认识（二）》辅助教学，突出了教学的重点，但在突破难点上还存在一些问题。
第10张幻灯片中圆和正方形都能实现螺旋旋转也就是以图形的中心旋转，而等边三角形却无法实现这个效果。
在此，请课件高手赐教：在Power Point状态下，如何实现等边三角形的中心对称旋转？
我的联系方式是：QQ 1040539528 邮箱:teacherfeng_1528@
3.需突破的问题。
根据我的教学实践，反思学生的学习接受情况，有以下两点值得注意：折圆的时候，很多同学都发现圆有无数条对称轴，但是，表达谁是圆的对称轴有些困难，错误地认为“直径是圆的对称轴”，原因是对称轴的概念不清，忽略了对称轴的本质——对称轴是一条直线；补救措施是引导学生回忆轴对称图形的意义，使学生在比较对称轴和直径的过程中，明白了“直径所在的直线才是圆的对称轴”这一难点。
另一方面，学生理解“半径与直径的关系”总是忘记叙述“在同圆或等圆中”这个条件，教学中要加以强调和说明。
相关链接：配套课件——《圆的认识（二）》。