弯曲强度.

max
MB yb MD yd 70MPa, d 35MPa IZ IZ
5) 强度校核：
max d [ ]
b [ ]
强度满足。
讨论：
1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。 2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的 拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。
[P] 38.3(kN)
4)求最大剪应力
max
3 Q 3.83MPa 2 bh
5)求最大正应力
PL max 102MPa WZ
注：若叠梁的板间接触面光滑无约束，则每层板承受的弯 矩相等。
(Mmax ) New
(Wz ) New
M max 3
Wz 9
( max )New 3 max 306MPa
* Za * Z max 3
7) 求
z'
Q maxS* Za a 2.81MPa ba I Z QmaxS* Z max c 0.707MPa bc I Z max a 2.81MPa
max
五、提高弯曲强度的主要措施 M max 控制条件： max [] WZ
M max [ ] Wz
40kN.m
M max Wz 235 103 mm3 [σ ]
①圆截面：
②正方形：
d 3 d 133.8mm, A 14060 2 mm Wz 1 32
a3 Wz 6
a 112.1mm, A2 12570 mm2
③h/b=2的矩形:
y
x ①变形几何关系： y y

y
y ②物理关系： E E
假设：纵向纤维间无正应力
③静力学关系：
y E
(1)
X 0: M
M
Y
N dA
A
0 : M Y AzdA 0 (2)
0 : M Z A ydA M (3)
max
M max
[ ]
q 16.2kN / m
例2 槽形铸铁外伸梁如图所示，已知： P=30kN， a=1m， h=200mm， y=53.2mm， IZ=2.8×107mm4， [σ+]=40MPa， [σ-]=170MPa； 试用正应力强度条件校核梁的强度。 解： 1) 外力分析：
2) 翼缘上的剪应力τ计算：
QS* Z 垂直分量 BI Z
QH 水平分量 2I Z
Z Z I I A* ydA N1 ydA M dM M dM 2 IZ Z t Z S S* * H M dM IZ Z 2 N S* M X 0 N1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ N2 ' tdx 0 A*
bh 2 WZ 6
K
M max y K IZ M max WZ
6MPa(压)
bh 3 IZ 12
max
9MPa(拉)
4) 强度校核：
max 9MPa [] 10MPa
讨论：
A1
1)当已知梁截面上一点的正应力大小, 其余各点的正应力 均可用正比例关系求得。 2) 横截面上局部截面上的分布内力的合力和此部分内力 对中性轴的合力偶矩：
弯曲正应力强度条件： 1)对塑性材料等截面梁： M max max [] WZ
2)对塑性材料变截面梁：
max
M [ ] W Z max
3)对脆性材料等截面梁：


max
My IZ
max
[ ],

max
M y max [ ] IZ

max

max
M M I Z y max WZ
截面关于中性轴不对称(脆性材料)
max max

max
My IZ
max
, max
M y max IZ
2. 在 L/h>5 的细长梁的横力弯曲的正应力计算 公式可以近似使用上述纯弯曲的公式，计算精度能 满足一般工程要求。
1.合理安排梁的受力情况 1).合理安排支座
2).合理安排载荷
2.梁的合理截面
1).对塑性材料
2).对脆性材料
[ ] [ ]
y [ ] max ymax [ ]
3.等强度梁的概念
max
M( x ) [] WZ ( x )
M( x ) WZ ( x ) []
F dA
A1
M ydA
A1
例2. 钢质悬臂梁如图所示， [σ ]＝170MPa，若横截面为： ①圆形，②正方形，③h/b=2的矩形，④工字钢；试分别选 择尺寸，并比较耗费的材料。 解：(1) 内力分析(作M图)
20kN/m A 2m
M
x
Mmax=40kN.m
B
(2) 强度计算
max
q 16.2kN/ m
max
Wz=2 × 25.3cm3
按钢拉杆的强度条件 2.25 q q 50kN/ m 2 [ ] d / 4
[q] 16.2kN/m
四、弯曲剪应力：
一) 矩形截面梁的剪应力： 剪应力τ的两个假设： ①τ// Q , 方向相同； ②τ沿宽度均匀分布。
例4. AD梁由两根8号槽钢构成，B点由圆截面钢拉杆BC支承。 已知d=20mm，梁和杆的[σ]=160MPa，求[q] 。 解： 1) 外力分析： R A 0.75q(), RB 2.25q() 2) 内力分析(M图)： 3) 求许用[q]： 按梁的强度条件
max
M max WZ [ ]
Z
由式(1)得：

A
E dA 0
y


A
ydA 0
即：中性轴必为形心轴。
由式(2)得：

A
E z dA 0
y


A
yzdA 0
即：要求惯性积为零。
当横截面有一对称轴时，此式自然满足。
由式(3)得：
y E
y A yE dA M
1 M EI Z
E


A
y 2dA M
取微段dx，两侧面弯矩M、和M+dM，距中性轴为y的下面 部分两侧面的正应力合力为：
N2
M dM ydA A1 IZ
M dM M dM * ydA SZ A1 IZ IZ
M M M * N1 ydA ydA Sz A1 I I z A1 Iz z
例1、由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁，尺寸如图所 示。胶合层的拉剪强度较小，[τ]=3.4MPa,试求其许用载荷P， 并在此载荷作用下梁中的τmax和相应的σmax。 解： 1) 外力分析：
z
2) 内力分析(Q、M图)： 3) 求[P]：
QS* Z 胶 []胶 bI Z
Sz*=100×50×50=25000mm3
第五章 弯曲强度
一、纯弯曲概念 二、平面弯曲变形现象 三、纯弯曲梁横截面上的正应力 四、弯曲剪应力 五、提高弯曲强度的主要措施 六、弯曲应力习题课
一、纯弯曲（平面弯曲）
Q → τ M → σ AC、DB段——横力弯曲 CD段——纯弯曲（Q=0）
二、变形现象
平面假设： 中性层： 中性轴：
三、纯弯曲梁横截面上的正应力σ
bh 2 2b 3 2 b 70.6mm, A 3 9970mm Wz 6 3
④工字钢: 查表，选20a号工字钢， Wz＝237×103mm3，A4=3550mm2 材料耗费比：
A1:A2:A3:A4=1 : 0.894 : 0.709 : 0.252
例3. 槽形截面铸铁外伸梁，已知：q=10kN/m，P=20kN， Iz=4.0×107mm4,y1=140mm，y2=60mm，[σ+]=35MPa， [σ-]=140MPa,试校核梁的正应力强度。
P R A ( ) 4 3P RB ( ) 4
2) 内力分析(M图) 危险截面： B和CD段的所有截面
3) 强度校核
3) 强度校核： B截面： max
max max
CD段：
Pa ( h y) 2 78 . 6 MPa [ ] max Iz 故该梁的正应力强度满足。
例1 矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m， yk=50mm，[σ]=10MPa，求危险截面上K点的正应力σk， 并校核梁的正应力强度。
解： 1) 外力分析： qL RA RB 4.5k N 2 2) 内力分析(M图)： 危险截面在L/2处。 3) 应力分析：
4)求对中性轴的Iz
Iz 34 10 mm
4
4
5) 求P:
M P 1 y max y max Iz Iz P 600 N (y max 28.3mm)
max
* 6) 求 S* S 、 Za Z max
S 7950mm S 8009mm3 S* Za 2015 ( yc 7.5) 5 15 ( yc 22.5)
三) 圆形截面梁的剪应力：P159 4Q max 3A 四) 剪应力强度条件： QmaxS* Z max max [ ] bI Z
注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条件来控制，只有在： ①短梁或在支座附近的截面； ②(铆接或焊接的工字梁)腹板深而高的梁； ③经铆接、焊接或胶合而成的梁，对铆钉、焊缝或胶合面等 一般要进行剪切强度计算。

A
y dA I Z