有理数指数幂的运算性质 高中数学必修一 总复习课件
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4.1.1有理数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
( )
1 −3
3
(3)
=
=
=
(4)
2
125 −3
64
(4)
(2)
−
−
=
−
=
−
=
=
−
−
=
( )
=
=
巩固练习
例三、用分数指数幂表示下列格式（a>0)
a2
3
(1)a ∙ a
4
a∙ 3 a
∙ a3
n
a<0
−8 = −2 ； 3 = −3 =
3
−3
新课讲授
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中
正的n次方根叫作算数根，记作 。
n
当a>0时，如x = a，则 = ± ; x 2 = 3
x=± 3
再规定 = 负数没有偶次方根。
n ∈ N, n ≥ 2 叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数。
(3)
3
−
−
= =
= −
3
课堂小结
[1]若一个实数x的n次方 n ∈ N, n ≥ 2 等于a，即 = ，则称x是a的n次方根。
(1)当n是奇数的时，数a的n次方根记作 .
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中正的n次方
1 −3
3
(3)
=
=
=
(4)
2
125 −3
64
(4)
(2)
−
−
=
−
=
−
=
=
−
−
=
( )
=
=
巩固练习
例三、用分数指数幂表示下列格式（a>0)
a2
3
(1)a ∙ a
4
a∙ 3 a
∙ a3
n
a<0
−8 = −2 ； 3 = −3 =
3
−3
新课讲授
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中
正的n次方根叫作算数根，记作 。
n
当a>0时，如x = a，则 = ± ; x 2 = 3
x=± 3
再规定 = 负数没有偶次方根。
n ∈ N, n ≥ 2 叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数。
(3)
3
−
−
= =
= −
3
课堂小结
[1]若一个实数x的n次方 n ∈ N, n ≥ 2 等于a，即 = ，则称x是a的n次方根。
(1)当n是奇数的时，数a的n次方根记作 .
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中正的n次方
人教版高中数学必修第一册 4.1指数【课件】
4.1
指数
1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,
(-) =3.
4.根式的性质
根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.
(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,
(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有
① -=3;
③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.
正解: ( + ) +
(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .
指数
1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,
(-) =3.
4.根式的性质
根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.
(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,
(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有
① -=3;
③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.
正解: ( + ) +
(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .
2.1.1.2 指数幂及运算(必修一优秀课件)
(D)a∈R且a≠2
∴a-2≥0,即a≥2.
2.化简 25 的结果是( (A)5 (B)15
3 2 3 2 2
3 2
) (C)25 (D)125
【解析】选D. 25 =(5 ) =53 =125.
【解析】
4.化简 [(- 2)2 ] =______. 【解析】[(- 2) ] =2 = 2 .
的近似值 9.518 269 694
5
2
2 的不足近似值
1.4
9.672 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738
669 171 305 461 508 516 517 517 …
973 039 174 907 928 765 705 736
1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …
a a a
(a 0, m, n Z);
（2）
(am )n amn (a 0, m, n Z);
（3）
（ab)m ambm (a 0, m, n Ζ)
2.根式的运算性质
如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
n
a n a (n为奇数）
n
如果n为偶数，
an 表示an的正的n次方根，所以当 a 0
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数 指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
复习回 顾
1.正数指数幂的运算性质： m n m n （1）
高中数学(人教A版)必修一 指数幂及运算 课件 (1)
(1)利用分数指数幂求值时，要注意数的特征，在化简之前，
应先把小数化成分数，假分数化成带分数. (2)利用分数指数幂求值时，要正确运用分数指数幂的运算法
则，带根式的进行运算时，要化成指数幂，再利用运算性质进
行运算. (3)条件求值一般要结合条件先化简再求值，另外要特别注意 条件的应用，如隐含条件，整体代入等.
m n m n
(3)角度三：运算性质 分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一 样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，
幂相乘.
2.关于指数运算性质的几点说明 (1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广.
(2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础.
(3)运算性质可以逆用.如amn=(am)n=(an)m. (4)要会用文字语言来叙述运算性质.
2
2
______ .
3 3
a0 1 ；
24 16.
答案：(1)1
(2)16
1.“三角度”理解分数指数幂 (1)角度一：与根式的关系
分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互
转化. (2)角度二：底数的取值范围 由分数指数幂的定义知a≤0，a 可能会有意义.当 a 有意义时 可借助定义将底数化为正数，再进行运算.
根式与分数指数幂的互化
【技法点拨】
根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母，
化为 被开方数(式)的指数 分数指数的分子. 化为
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然
后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【典例训练】 1.用根式表示下列各式(式中a均为正数)： (1)
a
4.1.1有理数指数幂(课件)-高一数学(湘教版2019必修第一册)
根式运算是一件比较复杂的事，例如，常常要先把根式化为同次根式再按运
算法则进行运算，而引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.
当 > 0，, ∈ 且 ≥ 2时，规定 = ，
这样就有
24
4
2
= 2 = 4， 6
1
33
=3
3
−6
=3
1
2
−
=
1
3
=
1
=
−
.
3
，方便多了.
1
−2
= 5，求下列各式的值：
(1) + −1 ；(2)2 + −2 ；(2)
1
2
解：将 +
1
−2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
.
= 5两边同时平方，得： + −1 + 2 = 5.
(1) + −1 = 5 − 2 = 3；
(2)将 + −1 两边同时平方，得：2 + −2 + 2 = 9.∴2 + −2 = 7.
∙ = + ，( ) = ，() = .
下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
新知探索——根式
若一个(实)数的次方( ∈ ， ≥ 2)等于，即 = ，则称是的次
方根.
当是奇数时，数的次方根记作 .
当 > 0时， > 0；当 = 0时， = 0；当 < 0时， < 0.
1
−2
1 −3
125 −2
；(3)( ) ；(4)( ) 3 .
算法则进行运算，而引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.
当 > 0，, ∈ 且 ≥ 2时，规定 = ，
这样就有
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= 2 = 4， 6
1
33
=3
3
−6
=3
1
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−
=
1
3
=
1
=
−
.
3
，方便多了.
1
−2
= 5，求下列各式的值：
(1) + −1 ；(2)2 + −2 ；(2)
1
2
解：将 +
1
−2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
.
= 5两边同时平方，得： + −1 + 2 = 5.
(1) + −1 = 5 − 2 = 3；
(2)将 + −1 两边同时平方，得：2 + −2 + 2 = 9.∴2 + −2 = 7.
∙ = + ，( ) = ，() = .
下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
新知探索——根式
若一个(实)数的次方( ∈ ， ≥ 2)等于，即 = ，则称是的次
方根.
当是奇数时，数的次方根记作 .
当 > 0时， > 0；当 = 0时， = 0；当 < 0时， < 0.
1
−2
1 −3
125 −2
；(3)( ) ；(4)( ) 3 .
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
1
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
高中数学 2.1.1第2课时 指数幂及运算课件 新人教A版必
1．用分数指数幂表示下列各式： (1) a4a(a>0)； (2) m＋n5(m＋n>0)；
(3)
3 x
x(x≥0)；
(4) ab3 ab5(a≥0，b≥0)．
解：(1) a4a＝a4·a－12
7
＝a2
.
5
(2) m＋n5＝(m＋n) 2 .
11
11
31
1
(3)原式＝(x·x2 )3 ＝(x1＋2 )3 ＝(x2 )3 ＝x2 .
第二章 基本初等函数 第2课时 指数幂及运算
• 1．理解分数指数幂的含义．(难点) • 2．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点) • 3．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)
1．分数指数幂的意义
m
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a n
＝_n__a_m_ (a＞0，
m、n∈N*，且 n＞1)．
只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数
幂与根式可以相互转化．
(2) 通 常 规 定 分 数 指 数 幂 的 底 数 a ＞ 0 ， 但 要 注 意 在 像
(－a)
1 4
＝4
－a中的 a，则需要 a≤0.
2．有理指数幂的运算性质的理解与巧记
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推
它的实质又是什么呢？
3
提示：22
显然不能认为是32个 2 相乘，它的实质是根式
23的
又一种表示形式．
3
(2)(－2)2 ＝ －23正确吗？
提示：不正确．
4
1
(3)a8 ＝a2 成立吗？
4
1
4
提示：不一定．当 a≥0 时，a8 ＝a2 成立；当 a<0 时，a8 有
有理数指数幂ppt课件
例 2 求值：
（1）16
3 4
；（2）
25
1 2
；（3）
1 3
3
；（4） 125 64
3 2
解： 3
（1）164
3
24 4
43
24
23
8；
1
（2） 25 2
1
52 2
21
52
51 1 5
（3） 1 3 3
3 1 3 33 27
2
（4） 125 3 64
2
53 3
43
32 1
53
32
43
52 1 16
4.1.1 有理数指数幂
湘教版（2019）必修第一册
学习目标
1.了解根式及其性质. 2.了解分数指数幂的意义 3.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算.
学习重点
根式的概念, 分式指数冥的概念及运算法则
学习难点
根式概念和分式指数幂的理解，根式与分式指数幂的互化， 根式、分数指数幂及其运算法则的综合应用.
解析：对于
A，原式
1
(3a)3 3
0.3a1
3a 10 3
a
10a2
(a
0) ，故
A
正确；
1 2 1 2 1 1 1 1
对于
B，原式
a3
1
b3
1
a3
b3
1
a3
1
b3
1
a3
1
b3
(a, b
0)
，故
B
正确；
a3 b3
a3 b3
对于 C，原式
1
1
1
(2 2 3)2 (3 2 2)2 2 [(2 2 3)2 ]2 (3 2 2)2 2 (2 2 3)(3 2 2) 1 ，故 C