极限荷载
极限荷载总结
l/3 l/3 l/3
例1: 求等截面梁的极 限荷载,Mu=常数.
解法1：试算法
A
4P C
3P D
2P E
B
l/4
l/4
l/4
l/4
①取一破坏机构求 其对应的破坏荷载
M
4P
3P
2P
u
M E Pl 0.25M u M u
P1
5M u 4l
②检验内力状态是否
0.05Mu 4P
M 1.375Muu
①再取破坏机构求 其对应的破坏荷载
M D 1.5Pl 0.5M u M u
P2
Mu l
②检验内力状态是否 满足内力局限条件.
A
4P C
3P D
2P E
B
l/4
l/4
l/4
l/4
M
4P
3P
2P
u
0.5Mu 4P
M
u
3P
0.75Mu 2P
MC
1.25
Mu l
l
0.75M u
5P
1.25Pl 1. 5Pl Pl
Δ
2θ
2
l
极限平 静力法根据塑性铰截面的弯矩Mu，由平衡方程求出. 衡法求Pu 机动法利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得。
试算法:任选一机构，求出与其对应的荷载，作出弯矩图，若M图
满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷；若不满足，另选机构重
试例。如上例：
P
（1）取机构(a)
pa
21 l
M
u
0.8P q=P/a
PP
A
B
CE F D
解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载.
极限荷载
s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
例：已知材料的屈服极限 解:
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离， 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
---弯矩与曲率关系
非线性关系
ks M 3 2 或 k Ms
3.塑性流动阶段
M
bh2 Mu s 4
Mu 1.5 Ms
---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)
M
s
h
s
y0 y0
s s
bh2 Ms s 6
b
s
s
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。 设截面上受压和受拉的面积分别为 A1 和 A2 ，当截面上无轴力作用时
20 mm
塑性铰 若截面弯矩达到极限弯矩,这时的曲率记作 ku 。
ks M 3 2 k Ms ks Mu 3 2 0 ku Ms
Mu 1.5 Ms
ku 意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。
称为塑性铰。 塑性铰与铰的差别： 1.塑性铰可承受极限弯矩; 2.塑性铰是单向的;
s A1 s A2 0
A1 A2 A / 2
中性轴亦为等分截面轴。 由此可得极限弯矩的计算方法
M u s A1a1 s A2a2 s (S1 S2 )
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 距离， 式中 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的
极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。 设截面上受压和受拉的面积分别为 A1 和 A2 ，当截面上无轴力作用时
极限荷载
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解法 1 ： 1.1 p
A D B
E
C
试取机构（ 1） 1.1 p1 2a M u 3 M u 2 Mu a 绘出与机构（ 1） 相应的M图， p1 2.27
验算屈服条件：
M EC 1 1 p1 2a M u 4 2 M 1 1 ( 2.27 u ) 2a M u 4 a 2 0.635 M u M u
0
A
ql 2
q
B
N M
q( x )
M+dM N+dN Q
x
dx
l
ql 2
q
dx
Q+dQ
x
q( x ) q
q
ql 2
ql 2
y0
x
dQ q( x ) dx
dM Q( x ) dx
M 0
Q( x )
Q
ql qx 2
x
d 2M q( x ) 2 dx
M
ql 2 8 ql 1 M ( x) x q x 2 2 2
（1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）普通铰双向转动，塑性铰单向转动；
（3）卸载时机械铰不消失；当q＜qu，塑性铰消失。
三、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系）， 失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。
1、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
q
ql 12
2
ql 2 24
ql 12
2
Mu
q u1 l 2 Mu 12
Mu
q u1 l 2 Mu 12
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
临塑荷载,临界荷载,极限荷载
结构荷载分类：临塑荷载、临界荷载和极限荷载解析临塑荷载、临界荷载和极限荷载是在结构工程中使用的不同概念，用于描述结构承受能力的不同阶段。
下面是对这些术语的解释：
1.临塑荷载（Service Load）：也称为工作荷载或使用荷载，是指在正常使用条件下，结构所承受的预期荷载。
临塑荷载是根据设计要求和使用需求来确定的，考虑了结构的安全性和可靠性。
在这个荷载下，结构应能正常运行并满足设计要求。
2.临界荷载（Critical Load）：也称为临界点荷载或临界状态荷载，是指在该荷载下，结构开始经历重要的形变或破坏行为。
临界荷载是一个临界点，超过该点，结构的行为将发生显著变化。
例如，临界荷载可能导致结构的屈曲、振动或破坏等。
3.极限荷载（Ultimate Load）：也称为破坏荷载或极限状态荷载，是指结构完全失效的最大荷载。
极限荷载是结构所能承受的最大荷载，超过该荷载，结构将无法保持稳定，并可能发生完全破坏。
这些术语在结构设计和分析中非常重要，用于评估结构的承载能力和安全性。
设计师和工程师会根据预期的临塑荷载来设计结构，确保其在正常使用条件下满足要求。
然后，通过结构分析和计算，确定结构的临界荷载和极限荷载，以确保结构的稳定性和安全性。
结构的极限荷载和例题讲解
简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
结构力学第16章---结构的极限荷载
（1）基本定理： 可破坏荷载 FP 恒不小于可接受荷载 FP ，即 FP FP
（2）唯一性定理: 极限荷载值是唯一确定的。
（3）上限定理（极小定理）：可破坏荷载是极限荷载的上限； 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。 FPu FP
qu
6.4
Mu l2
§16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载: 所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个 参数FP表示； 荷载参数FP只是单调增大，不出现卸载现象。
假设条件: 材料是理想弹塑性的； 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等； 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
结构的极限受力状态应满足的条件: （1）平衡条件: 结构的整体或任一局部都能维持平衡； （2）内力局限条件: 任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩； （3）单向机构条件: 结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。
11.7
Mu l2
§16-5 刚架的极限荷载
基本假设: （1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面（塑性铰处的
截面），其余部分仍为弹性区。 （2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点
处。 （3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同。 （4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。
1. 增量变刚度法的基本思路: 把非线性问题转化为分阶段的几
0 0
k
e 1
2
0 EA
l 0
0 0 0
0 0 0
0 EA
l 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3. 计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载, 荷载用荷载参数FP表示)
地基的极限荷载
地基的极限荷载
地基的极限荷载指的是地基土所能承受而不致破坏的
最大荷载，它相当于地基上的塑性变形区发展到地面，土处于整体破坏时的荷载。
确定地基极限荷载的方法有多种，例如：
1．现场原位试验：通过载荷试验、旁压试验、静力触探试验、标准贯入试验、扁铲侧胀试验等现场原位试验来确定承载力。
其中载荷试验法是一种基础的原位测试方法，通过载荷试验可确定地基的承载力、基底反力分布、土层的侧向挤出影响及地基土的变形模量。
2．理论公式：根据土的抗剪强度指标计算的理论公式确定承载力。
3．规范表格查取：根据室内物理力学指标平均值，查规范表格可得地基承载力基本值。
4．当地经验：建筑在砂土、卵石、圆砾、坚硬粘性土，密实粉土，坚硬中密粗砂，含碎石或卵石的中密粗砂，密实细砂层，埋深小于5m的粘性土或黄土层，可采用经验公式确定承载力。
理论上讲，当基础完全埋于土中时，作用在基础上的荷载是任意分布的，不同分布形式对地基压力有一定的影响，故地基极限荷载不是一个常数值。
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一、非线性屈曲分析（一）设计要求：折字形钢架
图1-1 设计要求图
（1）长细比自拟（50、60、70）
（2）考虑初始缺陷
（3）P分级加载，画出平衡路径
（二）设计：1、长细比为50，具体尺寸如下图所示：
图2-2 设计采用结构图
2、考虑初始缺陷（划分为20个单元，足够精确）：本计算立柱缺陷分别考虑三种设计：a、施加#W+方向缺陷，b、不施加缺陷，C、施加#W-方向缺陷。
（1）首先利用Midas软件计算出刚架的理论临界荷载值及变形曲线a、在结构点上施加1N利用Midas屈曲分析得到理论临界荷载值Pcr=462320.5N，取前面五阶特征值如下
图2-2 Midas 计算一阶屈曲模态图
（2）施加#W+方向缺陷，将略大于Midas计算出来的刚架理论临界荷载值施加到结构点上去，荷载值为500000N，荷载布采用200步施加。
分别采用不同的数据点（2000、5000、10000）拟合荷载位移路径图。
图2-3 采用2000个数据点的ANSYS荷载位移曲线图（极限临界荷载：0.4305E+06N）
图2-4 对应上图最后荷载步屈曲形状图（x方向位移为2.83m）
图2-5 采用5000个数据点得到的荷载位移曲线图
图2-6 对应上图数据点最后荷载步屈曲形状图（x方向最大位移3.202m）
图2-7对应10000数据点ANSYS计算荷载位移曲线图
图2-8 对应上图数据点最后荷载步屈曲形状图（x方向最大位移2.742m）
从上图可知，当荷载超过临界荷载时，荷载位移曲线呈下降趋势，AB 立柱中间向X方向位移不断增大，所需临界荷载不断减小（结构刚度不断减小），当位移增大到一定程度时，荷载位移曲线呈上升趋势，AB柱x方向的位移开始减小，BC柱竖向位移逐渐增大，结构刚度增
大，即下降段的V形折角处存在刚度突变。
（4）不是加任何缺陷，临界荷载分两种情况施加：施加470000N，得到分支点失稳临界值（欧拉临界值）；施加800000N得到直线段。
图2-9 无缺陷理想柱荷载位移曲线图（临界荷载值：0.4619E+06N）
图2-10 无缺陷理想柱荷载位移曲线图
（5）施加#W-缺陷，分别施加470000N、600000N、1000000N的力
进行研究。
为了便于图片观看，将位移方向反向。
图2-11对应470000N的荷载位移曲线图（位移方向反向）
图2-12 屈曲模态图
图2-13 施加600000N的力的荷载位移图（位移方向反向）
图2-14施加1000000N的力的荷载位移曲线图（临界荷载值：0.7955E+06N）
图2-15荷载位移曲线图
图2-16后屈曲变形图
图2-17 后屈曲变形图
从上述图中可以看出，当荷载超过理论欧拉临界荷载时，结构还能够继续承受荷载。
当荷载超过极限荷载时，结构的刚度下降，当结构水平和竖向位移达到一定程度时，存在结构刚度的跳跃。
结构可以继续承受外荷载的作用。
综上，从Midas计算结果和ANSYS的三种缺陷设计的理论计算结果可以看出，Midas计算的一阶理论屈曲荷载值(462320.5N)和ANSYS无缺陷的理论屈曲荷载值(0.4619E+06N)误差非常小，进一步证明模型计算的正确性。
对于ANSYS计算缺陷为#W+、0、#W-的结果可以看出，缺陷为#W+屈曲后荷载位移曲线呈下降趋势，当下降到一定程度，荷载曲线回升；无缺陷（0）为分支点失稳，当失稳后朝着W+方向失稳；缺陷为#W-，屈曲后荷载位移曲线一直呈上升趋势，屈曲后能够继续
承受荷载。
可知Pcr（#W-）>Pcr(0)>Pcr(#W+)。
总结可知对于梁制作
误差尽可能的使朝内偏心受压，使梁产生朝外的弯矩或者变形，误差偏心朝内。