倍长中线巧解题汇总
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法例 1：△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一， 添加辅助线．在利用中线解决几何问题时， 常常采用 “倍长中线法 ”所谓倍长中线法， 就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形， 从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某， 使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成 【方法精讲 】常用辅助线添加方法——倍长中线SAS 全等三角形模型的构造。
AA△ ABC 中 AD 是 BC 边中线BDC方式 1： 延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BEB DCE方式 2：间接倍长AAF 作 CF ⊥ AD 于 F ， MDB D C作 BE ⊥ AD 的延长线于 连接 BEE BC 延长 MD 到 N ， 使 DN=M ，D 连接 CNEN经典例题讲解：例2：已知在△ABC中，AB=AC，D 在AB上，E 在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEADBFCE例3：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线， E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFAFEBD C例4：已知：如图，在ABC 中，AB 交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC AC ，D、E 在BC上，且DE=EC，过D作DF // BAAFB D E C例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEABCE D自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E 为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ADBE CF3、如图，AD为ABC 的中线，DE平分BDA 交AB于E，DF平分ADC 交AC于F. 求证：BE CF EFAEFB CD第14 题图4、已知：如图，ABC中，C=90 ，CM AB于M，AT 平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB 交BC于E，求证：CT=BE.A MD BETCWelcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
倍长中线巧解题__几何图形中点问题
倍长中线巧解题中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．一、证明线段不等例ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．二、证明线段相等例2 如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．三、证明线段倍分例3 如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．四、证明两直线垂直例4 如图5，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．角平分线的性质和判定专项练习1、如图C 、D 是∠AOB 平分线上的点，CE⊥OA 于E ，CF⊥OB 于F ． 求证：∠CDE=∠CDF．2、如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N 。
求证：PM=PN 。
3、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF 是线段AD 的垂直平分线， 求证：∠CAF ＝∠ABD4、如图所示AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ， 求证：ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ。
5、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于D ，ABCD E FA B C DEPN M DCBA求证：AC ＋CD ＝AB6、如图，在△ABC 中， AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB 于E ，BD ＝DF ， 求证：CF ＝EB角 平 分 线 的 判 定1、如图，凹四边形ABOC 中，OB=OC, ∠B =∠C ,求证：AO 平分∠BAC.2、如图，在△ABC 中，∠C =90º，∠BAC= 2∠B ，DE ⊥AB 于E ，DE=DC ．求证：AD=BD ．3、如图BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE,CF 相交于点D ，且CE=BF ， 求证:点D 在∠BAC 的平分线上4、如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线， 求证：点F 在∠BAC 的平分线上。
巧添辅助线---倍长中线
巧添辅助线---倍长中线姓名：一、知识提要遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中延长AD 到E ，是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD 二、范例讲解 例1 已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：22AB AC AB AC AD -+<<巩固训练 1-1在△ABC 中，5AB =，3AC =，求中线AD 的取值范围。
1-2在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( )A 、1<AB<29B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<19例2 如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF.巩固训练2-1 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFB2-2 已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠2-3 已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE2-4 已知：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.求证：AE ＝12AC.第 1 题图 A B F D E C。
数学倍长中线法
倍长中线法1.如图, 在正方形ABCD中, E为AB边的中点, G、F分别为AD, BC边上的点, 若AG=1, BF=2, ∠GEF=90°, 求GF的长2.如图, CB.CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线, 且AC=AB. 求证: ①CE=2CD. ②CB平分∠DCE.3.如图已知△ABC, AD是BC边上的中线, 分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形, 求证EF＝2AD.4.如图, 在△ABC中, D是BC边的中点, E是AD上一点, BE＝AC, BE 的延长线交AC于点F, 求证: ∠AEF=∠EAF5..如图, 在△ABC中, AD交BC于点D, 点E是BC中点, EF∥AD交CA的延长线于点F, 交EF于点G, 若BG=CF, 求证: AD为△ABC的角平分线.6..如图, △ABC中, BD=DC=AC,E是DC的中点, 求证, AD平分∠BAE.7.: 已知在△ABC中, AB=AC, D在AB上, E在AC的延长线上, DE交BC于F, 且DF=EF, 求证: BD=CEA9.在四边形ABCD 中, AB ∥DC, E 为BC 边的中点, ∠BAE=∠EAF, AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系, 并证明你的结论10.已知: 如图, XXXABC 中, XXXC=90XXX, CMXXXAB 于M, AT 平分XXXBAC 交CM 于D, 交BC 于T, 过D 作DE//AB 交BC 于E, 求证: CT=BE.DABCMTEGDE12.13.四边形ABCD是矩形, 将沿着直线AE翻折, 点A落在点F处, 直线AF与直线CD交于点G,如图1, 若E为BC的中点, 请探究线段AB、AG、DG之间的关系FGB.。
【解题模型】倍长中线模型
【解题模型】倍长中线模型
初中数学解题思路
倍长中线模型
倍长中线：将三角形的中线（或类似中线）力日倍延长，构造全等三角形，实现角和线段的转化．【基本模型】
【典型例题1】
【思路分析】倍长线段ED ，构造全等三角形，将BE,CF 和EF 转移到同一个三角形中．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段．
2. 出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形.
【典型例题2】
【思路分析】倍长中线，将已知边和倍长后的边转化到同一三角形中，运用三边关系求范围．
【答案解析】
【归纳总结】
1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．
2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．
【典型例题3】
【思路分析】
【答案解析】
【归纳总结】。
倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出（1）如图，AD是△ABC的中线，则AB+AC__________2AD；（填“>”“<”或“=”）问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，CD=3,BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；②图①图构造全等倍长类中线倍长中线D CBAFFAB CAB CDCA经典例题解题策略问题解决（3）如图，在矩形ABCD中，AC=4,BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由．【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中，（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求CE的值；BC(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA =OB,OC =OD,∠AOB =∠COD =90°，连接AC,BD ．（1）如图1,若A 、O 、D 三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是 ；（2）如图2，若A 、O 、D 三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE 、BE 、OE 之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．一、解答题1．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ． ①请证明△CED ≌△ABD ； ②中线BD 的取值范围是 ．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．培优训练2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中{BD=DC∠ADB=∠EDCAD=DE∴△ABD≅△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索应用】如图②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．4．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．5．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝2√2，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．7．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．（1）求证AC=BN；的值．（2）如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM 8．（2021·全国·八年级单元测试）（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．9．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．10．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F 是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）11．（2022·全国·八年级课时练习）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．12．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM=PE．（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP=7，BM=1，CN=3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G．试探究线段PG、BM和CN的关系．13．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．14．（2020·辽宁·大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（P A≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO ＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．16．（2022·全国·八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．17．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC 转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．19．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．20．（2021·重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC ＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．21．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF⊥AC，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若tan∠ACD=√2．2①求证：AF=BF；②连接BE，求证：CD=√2BE．（2）如图2，若AF2=AB⋅BF，求cos∠FDC的值．22．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．23．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：△ACD≌△EBD．【理解与应用】（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是________．（3）如图3，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF>EF．24．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1，已知正方形ABCD和等腰RtΔBEF，EF=BE，∠BEF=90°，F是线段BC上一点，取DF中点G，连接EG、CG．（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰RtΔBEF绕点B顺时针旋转α°(0<α<90°)，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AD=2，求2GE+BF的最小值．。
倍长中线+截长补短
倍长中线巧解题中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线•所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法・丁面举例说明.一、证明线段不等例1如图1,在△/!腮中，力〃为腮边上的中线.求证：AB^AO2AD变式1：如图，点D、E三等分AABC的BC边，求证：AB^AOAD-AE二、证明线段相等例2如图2,在中，AH>AC9 E为必边的中点，•仏为ABAC的平分线，过E作月〃的平行线，交AB于F、交以的延长线于G.求证：BWCG.图2变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE. DF、EF,求证：ADEF为等腫直角三角形三、求线段的长例3如图3, △/应中，ZJ=90° , 〃为斜边必的中点，E、F分别为化上的点，且DE1DF,若BES CF4,试求胪的长.（超前班选作）四、证明线段倍分例4 如图4, CB、C9分别是钝角△胚C和锐角的中线，且AOAB.求证：CB2CD.图4五、证明两直线垂直例5：如图，ZXABC 中，D 为BC 中点，AB二5, AD二6, AC二13。
求证：AB丄AD。
变式：如图5,分别以的边初，胚为一边在三角形外作正方形丽胪和ACGH, H为刖的中点.求证:MA丄BC.“截长补短法”在几何证明问题中的运用例1・已知，如图1T,在四边形/仿09中，BQAB、AD-DC.劭平分ZABC.求证：Z创仍Z〃O180°・例2・如图2-1, AD//BC.点£在线段/矽上，ZADE二乙CDE、乙DC氐乙ECB.求证：CD-AD^BC.例3. 已知，如图3-1, Z1 = Z2, P为鈕'上一点，且PDLBC于点2检BO2BD. 求证：ZBA丹ZBCPX80。
初中倍长中线法经典例题
初中倍长中线法经典例题
积极锻炼自己的能力，追求自己的梦想。
初中倍长中线法是一种几何相关的解题方法，主要用于解决与平行线、角平分线等有关的问题。
以下是一个经典的例题：
例题：在平面直角坐标系中，已知点A(-3, 2)，B(4, 8)，C(6, k)，以及点P(x, y)在线段BC 上。
如果AP与直线y = -2x + 6平行，求点C的纵坐标k的值。
解析：
1.首先根据题意，点C在直线BC上，所以C的横坐标为6。
2.由于AP与直线y = -2x + 6平行，所以AP的斜率与直线y = -2x + 6的斜率相等。
3.直线y = -2x + 6的斜率为-2，因此我们可以通过点A和点P计算AP的斜率。
AP的
斜率= (y - 2) / (x - (-3)) 由于AP与直线y = -2x + 6平行，所以AP的斜率应该等于-2。
即, (y - 2) / (x + 3) = -2
4.接下来，我们利用点B和点C计算线段BC的斜率。
BC的斜率= (k - 8) / (6 - 4)
5.根据倍长中线法，线段BC的斜率应该是-2与AP的斜率的平均值。
即, (k - 8) / 2 = (-2
+ (-2)) / 2
6.将上述方程整理得到k = -4
7.因此，点C的纵坐标为-4。
答案：点C的纵坐标k的值为-4。
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倍长中线巧解题
山东 邹殿敏
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．
一、证明线段不等
例1 如图1，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．
分析：延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．
易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．
在△ACE
AB
二、证明线段相等
例2 如图2，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．
分析：可以把FE 看作△FBC 的一条中线．
延长FE 至点H ，使EH =FE ，连接CH ．
则△CEH ≌△BEF ．所以CH =BF ，∠H =∠1
．
因为EG //AD ，所以∠1=∠2，∠3=∠G ．
又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G ．所以∠H =∠G ．
由此得CH =CG ．所以BF =CG ．
三、求线段的长
例3 如图3，△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE =3，CF =4，试求EF 的长．
分析：可以把ED 看作△EBC 的一条中线．
延长ED 至点G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ．
则△CDG ≌△BDE ．所以CG =BE =3，∠2=∠B ．
因为∠B +∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG =90°．
因为DF 垂直平分EG ，所以FG =EF ．
在Rt △FCG 中，由勾股定理得5FG ===，所以EF =5．
四、证明线段倍分
例4 如图4，CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：CE =2CD ． 分析：延长CD 至点F ，使DF =CD ，连接BF ．
则由△ADC ≌△BDF 可得AC =BF ，∠1=∠A ．由AC =AB 得∠ACB =∠2．
因为∠3=∠A +∠ACB ，所以∠3=∠CBF ．
CBE ≌△CBF ，所以CE =CF ，即CE =2CD ．
五、证明两直线垂直
例5 如图5，分别以△ABC 的边AB ，AC 为一边在三角形外作正方形ABEF 和ACGH ，M 为FH 的中点．求证：MA ⊥BC ．
分析：设MA 的延长线交BC 于点D ，延长AM 至点N ，使MN =AM ，连接FN ．
则由△FMN ≌△HMA 可得FN =AH =AC ，FN //AH ，所以∠AFN +∠F AH =180°．
因为∠BAC +∠F AH =180°，所以∠AFN =∠BAC ．
又因为AF =AB ，所以△AFN ≌△BAC ，得∠1=∠2．
因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB =90°．
从而得出MA ⊥BC ．
六、证明线段成比例
例6 如图6，△P AB 中，C 是PB 上一点，且∠P AC =∠B ，E 为AC 边的中点，PE 的延长线交AB 于点
D ．
求证：BD
AD PB PC =． 分析：延长PD 至点F ，使EF =PE ，连接AF ．
易知，△PEC ≌△FEA ，所以∠CPE =∠F ，AF =PC ．所以AF //PC ．
由△ADF ∽△BDP 可得BD AD
PB AF =．所以BD AD PB PC =．。