数学物理方法复习整理
数学物理方法复习
数学物理方法复习
数学物理方法是指在数学和物理学领域中常用的方法和技巧。
复习这些方法可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学的知识。
数学方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 微积分：复习微分和积分的基本概念和性质，掌握常用的微积分技巧，如导数的计算、函数的积分等。
2. 线性代数：复习矩阵的运算和性质，如矩阵乘法、逆矩阵、特征值等；掌握线性方程组的解法，如高斯消元法、矩阵求逆法等。
3. 微分方程：复习一阶和二阶微分方程的基本概念和解法，如分离变量法、变换法、欧拉方程等。
4. 概率与统计：复习概率的基本概念和性质，如事件的概率、条件概率等；掌握常用的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
5. 复变函数：复习复数的基本概念和运算，如复数的加减乘除、复函数的导数和积分等；掌握常用的复变函数，如指数函数、三角函数、对数函数等。
物理方法的复习包括但不限于以下内容：
1. 牛顿力学：复习牛顿的三大定律和它们的应用，如力的合成、力的分解、摩擦力等。
2. 电磁学：复习电荷、电场、电势等基本概念和性质，掌握库仑定律、电场强度和电势的计算方法。
3. 光学：复习光的折射、反射、干涉、衍射等基本原理和现象，掌握光的像的
成像公式和光的传播速度。
4. 热学：复习热力学和热传导的基本概念和定律，如热容、热力学第一定律、热传导方程等。
5. 量子力学：复习波粒二象性、不确定性原理等基本概念和性质，了解薛定谔方程和波函数的基本解法。
除了复习这些数学和物理方法外，还可以通过做习题、阅读教材、参加学习小组等方式来加深理解和应用。
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理数学物理方法一、本课程的教学内容第1章典型数学物理方程及定解问题第2章分离变量法第3章积分变换法第4章行波法和降维法（达朗贝尔法）第5章数理方程差分法第6章格林函数法第7章bessel方程与函数二、章节重点第一章典型的数学和物理方程及定解问题1。
术语解释：(1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性；(2).dirichlet、neumann定解问题；（3）傅立叶热传导定律和胡克弹性定律；（4）演化方程，势方程，拉普拉斯方程，泊松方程；2.简述二阶线性偏微分方程的分类方法。
3.推导一维波和热传导方程。
4.写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。
5.书1.4习题：1，3，4，7，8，96.书中示例1.1.1、1.1.3、1.1.6和1.2.1第二章分离变量方法1。
名词解释：(1)特征值、特征函数、sturm-liouville问题；(2)驻波、腹点、节点、基频、固有频率；(3)三角函数系正交性；(4)fourier级数；（5）矩形和圆形区域上的拉普拉斯问题；2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。
3.第2.7册练习：1,4,6,8,15,16（p65-67）。
4.书籍示例：2.1.1、2.1.2、2.2.1。
第三章积分变换方法1。
术语解释：(1)fourier变换；(2)laplace变换；（3）傅里叶变换，线性性质，位移性质；（4）拉普拉斯变换，线性性质，平移性质，微分性质；2.简述用积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本步骤。
3.写出傅里叶变换和拉普拉斯变换的存在条件。
4.用傅里叶变换方法导出了无限弦振动的达朗贝尔公式。
5.第3.6册练习：1（1）（2）、6、9（1）（2）、12、13（p93-94）。
6.书籍示例：3.1.1；3.1.2； 3.3.1、2、3、4、6；例3.4.1、3.4.2、3.4.3解的像函数。
第四章行波法与降维法(d’alembert法)1．名词解释：（1）无限长弦自由振动的达朗贝尔公式；（2）行波速度；(3)特征变换，特征线；(4)球对称性，降维法；2.简要描述达朗贝尔公式的物理意义。
数学物理方法整理(全)
CR条件极坐标形式
u 1 v 1 u v
f z u v u v 0 CR条件： i 0 z x y y x 解析函数 性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数 u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程
若l所围区域包围n个奇 点b1 b2 b3 ….， bn , 则 单极点
f z dz 2 i Re sf (b )
l j 1 j
n
称为留数定理
Re sf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
m 1
1 d m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f ( z )]} m阶极点 0 0 m 1 z z0 (m 1)! dz
m为z0的阶，z 0为m阶极点，一阶极点 单极点 z0本性奇点 m ,
第四章 留数定理
l
f ( z )dz ak ( z z0 ) k dz 2ia1 2i Re sf z0
k l0
a1 Re sf ( z0 )
a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
k
k
0
f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分 (z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
若 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 z0可去奇点
m m1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) ... a0 a1 ( z z0 ) 若 m 0 m1 0
f ( z)
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。
2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。
3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。
4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。
5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。
使物体的运动状态发生改变。
6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。
7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。
8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。
9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。
10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。
11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。
12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。
13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。
接触面的粗糙程度。
14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。
15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。
17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。
如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。
18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。
二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。
3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。
4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。
5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。
6.密度和比热容是物质本身的属性。
7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。
8.物体温度升高内能一定增加(对)。
9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。
数学物理方法复习总结
数 学 物 理 方 法教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]内 容：第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程第一章 复变函数 一、复数1、复数的定义iy x z +=——代数式)sin (cos ϕϕρi z +=——三角式ϕρi e z =——指数式 重点：复数三种表示式之间的转换！实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：22y x z +==ρ主辐角：)(arg x yarctg z = ,2a r g 0π<≤z辐角：πk z Argz 2arg +=),2,1,0( ±±=k共轭复数:iy x z +=*z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法(2)、乘法和除法))((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-=)()(212121y y i x x z z ±+±=±111iyx z +=222iy x z +=21z z *22*21zz z z ⋅⋅=22222211))((y x iy x iy x +-+=2222211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=(2)、乘法和除法121111122222(cos sin )(cos sin )i i z i ez i eϕϕρϕϕρρϕϕρ=+==+=▶两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;▶两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
(3) 复数的乘方和开方（重点掌握） )]sin()[cos(21212121ϕϕϕϕρρ-+-=i z z )(2121ϕϕρρ-=i e 12121212[cos()sin()]z z i ρρϕϕϕϕ=+++)(2121ϕϕρρ+=i e n i n e z )(ϕρ=ϕρin n e =)sin (cos ϕϕρn i n n +=或 （n 为正整数的情况)棣莫弗公式：ϕϕϕϕn i n i nsin cos )sin (cos +=+复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。
数学物理方法归纳总结
数学物理方法归纳总结在数学和物理领域，人们经常使用各种数学方法来解决复杂的问题。
这些数学方法不仅能够帮助我们理解自然界的规律，还可以应用于各种实际情况中。
本文将对数学物理方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1.微积分方法微积分是数学中的一门重要学科，它包括微分和积分两个方面。
微积分方法在物理学中的应用非常广泛。
例如，在研究物体的运动过程中，我们可以使用微积分方法求解物体的速度、加速度等相关问题。
微积分方法还可以用于求解曲线的斜率、曲率等问题，进一步帮助我们理解物理现象。
2.矢量分析方法矢量分析方法主要应用于描述和分析空间中的物理量。
在物理问题中，许多物理量都是有方向和大小的，通过使用矢量分析方法，我们可以更好地理解其性质和变化规律。
例如，通过计算力的合成与分解，可以求解力的平衡问题；利用矢量叉乘可以得到磁场强度的方向等。
3.微分方程方法微分方程是数学中的一种重要方程形式，它描述了变量之间的关系随时间、空间或其他独立变量的变化情况。
微分方程方法在物理学中应用广泛，常用于描述动力学、电磁场、波动等问题。
通过建立适当的微分方程模型，我们可以求解各种物理现象的演化过程。
4.矩阵方法矩阵方法是一种通过线性代数的理论和技巧来处理物理问题的数学方法。
在量子力学中，矩阵方法广泛应用于描述和计算粒子的能量、波函数、自旋等性质。
矩阵方法可以简化复杂的计算过程，帮助人们更好地理解量子力学中的各种现象。
5.概率统计方法概率统计方法是数学中研究随机事件规律和数据分析的一种数学方法。
在物理学中，概率统计方法可以用于解释微观粒子运动的不确定性、描述热力学系统的行为等。
概率统计方法可以帮助我们预测和分析物理现象中的随机因素，并进行相应的量化处理。
6.变分法变分法是一种用于求解最值问题的数学方法。
在物理学中，变分法常用于描述系统的最小作用量原理以及拉格朗日力学中的运动方程。
通过对物理量的变分求解，我们可以得到系统的稳定状态、系统的能量变化等重要信息。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
i 1 li n
复通
l
公式 2 if ( )
l
f ( z) dz z
2 if ( )
l
n f ( z) f ( z) d d z k 1 lk z
求路径积分
第一类情形：沿非闭合曲线的积分
在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析 F ( z) 和 G( z) 的；当 z 在上半平面或实轴上 时， 一致地趋于零
0
1 F ( x) cos mxdx F ( x)e imx dx 2 imz
i{F ( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
0
1 G ( x)sin mxdx G ( x)eimx dx 2i imz {G( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
2
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的自由振动问题
u x 0 0
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
奇延拓
一齐
( x)
( x)
u t 0 ( x)
x0
x0
( x)
ut t 0 ( x)
本性奇点 0 z z0 R内的洛朗级数含有无限个 z z0的负幂项
f ( z)
k k a ( z z ) k 0
z z0
lim f ( z )
不存在
如何判断极点的阶
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] 非零有限值
m
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学物理方法
一、本课程授讲内容
第1章 典型数学物理方程及定解问题 第2章 分离变量法 第3章 积分变换法
第4章 行波法与降维法(d ’Alembert 法) 第5章 数学物理方程差分解法
第6章 Green 函数法
第7章 Bessel 方程与函数 二、章节重点
第一章 典型数学物理方程及定解问题 1．名词解释：
(1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性； (2).Dirichlet 、Neumann 定解问题；
(3)热传导Fourier 定律、Hooke 弹性定律； (4)发展方程、位势方程、Laplace 方程、Poisson 方程； 2．简述二阶线性偏微分方程分类方法。
3．推导一维波动、热传导方程。
4. 写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。
5. 书1.4习题：1，3，4，7，8，9
6. 书例1.1.1，例1.1.3，例1.1.6，例1.2.1 第二章 分离变量法 1．名词解释：
(1)特征值、特征函数、Sturm-Liouville 问题； (2)驻波、腹点、节点、基频、固有频率； (3)三角函数系正交性； (4)Fourier 级数；
(5)矩形、园域上Laplace 问题；
2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。
3．书2.7习题：1，4，6，8，15，16（P65-67）。
4. 书例题：2.1.1、2.1.2、2.2.1。
第三章 积分变换法 1．名词解释：
(1)Fourier 变换； (2)Laplace 变换；
(3)Fourier 变换线性性质，位移性质，微分性质； (4)Laplace 变换线性性质，平移性质，微分性质； 2．简述积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本骤 。
3．写出Fourier 变换、Laplace 变换存在条件。
4. 用Fourier 变换法推导无限长弦振动的d ’Alembert 公式。
5. 书3.6习题：1(1)(2)，6，9(1)(2),12,13（P93-94）。
6. 书例题：3.1.1；3.1.2；3.3.1、2、3、4、6；
例3.4.1、3.4.2、3.4.3解的像函数。
第四章 行波法与降维法(d ’Alembert 法) 1．名词解释：
(1)无限长弦自由振动的d ’Alembert 公式； (2)行波速度；
(3)特征变换，特征线； (4)球对称性，降维法；
2．简述d ’Alembert 公式的物理意义。
3．简述行波法与驻波法的区别。
4. 用行波法推导无限长弦的d ’Alembert 公式。
5. 书4.3习题：3，4。
6. 书例题：4.1.1；4.1.2。
第五章 数学物理方程差分解法 1．名词解释：
(1)二元函数的二阶中央差商； (2)逼近误差； (3)差分方程；
(4)球对称性，降维法；
2．简述用数值差分法求解偏微分方程的基本原理。
3．简述有限差分法求解应用问题的一般步骤。
4. 课件例题及习题。
第六章 Green 函数法 1．名词解释：
(1)Dirichlet 定解问题； (2)Neumann 定解问题；
(3)二维三维Laplace 方程基本解； 2．简述调和函数基本性质一及其物理意义。
3．简述调和函数平均值定理及其物理意义。
4. 简述Green 函数的物理意义。
5. 求解Laplace 方程在半空间x > 0 内的Dirichlet 问题。
6. 求解Laplace 方程在半空间y > 0 内的Dirichlet 问题。
7. 书5.6习题：6，7。
第七章 Bessel 方程与函数 1.名词解释：
(1)Helmholts 方程； (2)Bessel 方程； (3)Bessel 函数；
(4)Bessel 函数正交性；
2.简述整数阶Bessel 函数J0(x)和J1(x)的重要意义，并描绘其简图。
3.简述Bessel 函数零点的概念和特征。
4.设有半径为R 的薄圆盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度始终保持为0，且初始温度已知，写出圆 盘内温度分布的定解问题。
5.书
6.5习题：6，7，8(1)。
6.书例题：6.2.1；6.2.2。