数学物理方法习题

第一章 分离变量法

1、求解定解问题：

2000

000

00,(01),

||0,

,(0),|(),(),|0,(0).

tt xx x x l t t u a u x u u n h

l x x l n u h l

l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪

=⎨-≤≤⎪-

⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为

200

0000

00,(0),(0,)(,)0,

,(0),(,0)(),(),

|0.

tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l

u x F x l x x x l T l

u =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨

⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)

3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。[定解问题为

22

0200,()(0),||0,|()/.t

xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ

===⎧-==≤≤⎪⎪⎪

==⎨

⎪=-⎪⎪⎩

] (P-230) 4、求解定解问题

2220,0,0

220,0.03sin ,0.

00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪

==⎨==⎪

∂⎪===⎪∂=⎩

4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提示：定解问题为

20000,(0),||0,2

|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪

==⎪⎪

⎨=-⎪⎪

=⎪⎩

] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。[提示：定解问题为

200

0000,(0),

|0,|0,(,0),

|0.tt xx x x x l x x t t u a u x l u u F u u x dx dx x YS u ===⎧-=≤≤⎪

==⎪⎪

⎨∂==⎪∂⎪

=⎪⎩

⎰⎰] (P-238) 6、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为0v 时突然停止，求解杆的振动。[提示：定解问题为

2000,(0),

(0,)0,(,)|0,

(,0),(,0)|0.tt xx x x l t t v a v x l v t v l t v x v v x ==⎧-=<<⎪

==⎪⎨

=⎪

⎪=⎩

] (P-242) 7、求解细杆导热问题，杆长l ，初始温度均匀为0u ，两端分别保持温度为1u 和2u 。[提示：定解问题为

201,2000,||,|.t xx x x l t u a u u u u u u u ===⎧-=⎪

==⎨⎪=⎩

] (P-251) 8、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉氏方程0u ∆=，使满足边界条件

00|(),|0.|sin

,|0.

x x a y y b u Ay b y u x

u B u a

π=====-===(P-265)

9、均匀的薄板占据区域0,0x a y <<<<∞，边界上温度000|0,|0,|x x a y u u u u ======，

lim 0y u →∞

=。[提示：泛定方程为：0.xx yy u u +=](P-269)

10、矩形膜，边长1l 和2l ，边缘固定，求它的本征振动模式。[提示：定解问题为

1221200()0,(0,0),

|0,|0,

|0,|0.

tt xx yy x x l y x l u a u u x l y l u u u u ====-+=<<<<====] (P-271) 11、细圆环，半径为R ，初始温度分布已知为()f ϕ，ϕ是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。求解环内温度变化情况。[提示：其定解问题为

20,02,

(),(2)().t t u a u u f u u ϕϕϕπϕϕπϕ⎧-=≤<⎪

=⎨

⎪+=⎩

] (P-274) 12、在圆形域内求解0u ∆=使满足边界条件

(1)|cos ,(2)|sin a a u A u A B ρρϕϕ====+。[提示：泛定方程为

201

1

0,.02a u u u ρρρϕϕρϕπρ

ρ<<⎛⎫

+

+

= ⎪<<⎝⎭] (P-275) 13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持0u ，求稳定状态下的板上温度分布。[提示：定解问题为

200110,(0,0),|0,|0,(0),|,0).R u u u R u u R u u ρρρϕϕϕϕπρρϕπρρρϕπ===⎧

++=<<<<⎪⎪⎪=⎨⎪=<<⎪

=<<⎪⎩

] (P-276) 14、在以原点为心，以1R 和2R 为半径的两个同心圆所围城的环域上求解20u ∇=，使满足边界条件1211|(),|()R R u f u f ρρϕϕ====。[提示：泛定方程为

1221

1

0,.02R R u u u ρρρϕϕ

ρϕπρ

ρ<<⎛⎫+

+

= ⎪<<⎝⎭] (P-282) 15、两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动，求解其振动情况，研究共振的可能性，并求共振时的解。[提示：定解问题为

2000()sin ,

|0,|0,|0,|0.

tt xx x x l t t t u a u x t u u u u ω====⎧-=Φ⎪

==⎨⎪==⎩

] (P-292) 16、两端固定弦在点0x 受谐变力0(,)sin f x t f t ρρω=作用而振动，求解振动情况。[提示：外加力的线密度课表为00(,)sin ()f x t f t x x ρρωδ=-，所以定解问题为