【三维设计】高考数第一节坐标系课后练习人教A选修44
高中数学 第1讲 坐标系 1 平面直角坐标系课后练习 新人教A版选修4-4(2021年整理)
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人教A版选修4—4一、选择题（每小题5分，共20分）1．点P(2，3）关于y轴的对称点是( )A．（2,3) B．(－2,3）C．（2，－3) D．(－2，－3）解析：点（x，y)关于y轴的对称点坐标为（－x，y）．所以点（2,3)关于y轴的对称点坐标是(－2，3)．答案: B2．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换｛x′＝5·x，y′＝3·y后,曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为（)A．50x2＋72y2＝1 B．9x2＋100y2＝1C．10x2＋24y2＝1 D．错误!x2＋错误!y2＝1解析: 将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．将错误!直接代入2x′2＋8y′2＝1,得2·（5x)2＋8(3y)2＝1，则50x2＋72y2＝1即为所求曲线C的方程．答案: A3．将曲线C按伸缩变换公式错误!变换得曲线方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( )A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．4x2＋9y2＝36 D．4x2＋9y2＝1解析：将x′＝2x，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1得（2x）2＋（3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1.故选D．答案：D4．将曲线F（x，y）＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的错误!,得到的曲线方程为（)A．F错误!＝0 B．F错误!＝0C．F错误!＝0 D．F错误!＝0解析: 由横坐标伸长到原来的2倍知x′＝错误!，纵坐标缩短到原来的错误!知y′＝3y。
高考数学一轮复习 坐标系训练 理 新人教A版选修44
【创新设计】2014高考数学一轮复习坐标系训练理新人教A版选修4-4[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力．2.以解答题形式出现，难度不大，如2012年新课标高考T23等.[归纳·知识整合]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．[探究] 1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.[探究] 2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )(2)θ＝α和θ＝π＋α 过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)[自测·牛刀小试]1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程． 解：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， 故x 2＋y 2＝x .2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程． 解：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1.3．在极坐标系中，求点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ∶ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标．解：在直角坐标系中，A (0,2)，l ：x ＝1，点A 关于l 的对称点为(2,2)，所以ρ＝22＋22＝22，θ＝π4，所以此点极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.4．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，求AB 的长．解：曲线ρ＝4cos θ，即为圆x 2＋y 2－4x ＝0，过A (3,0)且与极轴垂直的直线为x ＝3，将x ＝3代入x 2＋y 2－4x ＝0，得y 2＝12－9＝3，解得y ＝± 3.故AB ＝2 3.5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，求该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离．解：直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x ＋y －1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x ＋y －1＝0的距离是55.伸缩变换的应用[例1] 求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x，y′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x′2＋y′2＝1.若椭圆x24＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为x′216＋y′24＝1，求满足的伸缩的变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μyμ>0，代入x′216＋y′24＝1，得λ2x216＋μ2y24＝1，与x24＋y2＝1的系数对比，得λ＝2，μ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x，y′＝y.因此经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x，y′＝y后，椭圆x24＋y2＝1变换为x′216＋y′24＝1.———————————————————求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx，y′＝μy的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝f⎝⎛⎭⎪⎫x′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．1．在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x，y′＝12y后得到的曲线方程为y′＝lg(x ′＋5)，求曲线C 的方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 代入y ′＝lg(x ′＋5)得12y ＝lg(x ＋5)， 即y ＝2lg(x ＋5)为所求曲线C 的方程.极坐标与直角坐标的互化[例2] 已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [自主解答] (1)由ρ＝2知ρ2＝4所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 ，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.——————————————————— 极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不惟一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．2．(2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P 的极坐标．解析：由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 可得，ρcos θ＝1，ρsin θ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2k π－π3(k ∈Z )，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π－π3(k∈Z )．3．求以点A (2,0)为圆心，且过点B ⎝⎛⎭⎪⎫23，π6的圆的极坐标方程．解：由已知圆的半径为AB ＝ 22＋232－2×2×23cos π6＝2，又圆的圆心坐标为A (2,0)， 所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.极坐标系的综合问题[例3] 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．[自主解答] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322， 知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1.——————————————————— 求解与极坐标有关的问题的主要方法一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用； 二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解．使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．(2013·西安五校联考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标．解：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.5．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离．解：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.1个互化——极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的三个前提条件 ①极点与原点重合； ②极轴与x 轴正方向重合； ③取相同的单位长度．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲易误警示——极坐标系中的解题误区[典例] (2012·湖南高考改编)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．[解] 直线方程为2x ＋y －1＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，把交点⎝⎛⎭⎪⎫22，0代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋02＝a 2，又a >0，所以a ＝22.[易误辨析](1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程． (2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x 轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况．[变式训练]已知两曲线的极坐标方程C 1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C 2：ρ＝4cos θ，求两曲线交点的直角坐标．解：C 1的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4(y ≥0)，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.将两方程联立，解方程组得x ＝1，y ＝± 3.又因为y ≥0，舍去y ＝－3，所以两曲线交点坐标为(1，3)．1．已知直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离．解：∵ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线方程为3x ＋4y ＋a ＝0，又圆与直线相切，所以|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝2或a ＝－8.3．(2012·江西高考改编)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．解：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.4．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．解：原方程化为ρ2－42ρ⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＋6＝0，即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0. 故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.5．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l 1的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，求实数a 的值．解：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，将直线l 2的方程化为直角坐标方程得3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a＝－11.2．(2011·江西高考改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐标方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，得，ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.3．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求AB 的最小值．解：将互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝4 2.所以|AB |的最小值为42－2.4．在极坐标系中，圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫6，π6，半径r ＝6.(1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程． 解：(1)圆C 的极坐标方程ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.(2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在O Q 的延长线上，又O Q ∶QP ＝3∶2.所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ， 若Q 点在圆C 上运动，则35ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即ρ＝20cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.故点P 的轨迹方程为ρ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.第二节 参数方程[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.了解参数方程，了解参数的意义．2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.本节考查的重点是参数方程和直角坐标方程的互化，热点是参数方程、极坐标方程的综合性问题，难度较小，主要考查转化和化归的思想方法，如2012年新课标T23等.[归纳·知识整合]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y都可以表示为某个变量t的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x＝f t，y＝g t反过来，对于t的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x＝f t，y＝g t所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝f t，y＝g t叫做这条曲线C的参数方程，变量t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[探究] 1.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗？提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．2．直线的参数方程经过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋t cos α，y＝y0＋t sin α(t为参数)．3．圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝a＋r cos θ，y＝b＋r sin θ(θ为参数)．4．椭圆的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝a cos θ，y＝b sin θ(θ为参数)．[探究] 2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中，参数φ的几何意义是什么？提示：如图，取椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任一点M 作x 轴垂线，交以原点为圆心，a 为半径的圆于点A ，φ就是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(或点M 的离心角)即Ox 绕O 逆时针转到与OA 重合时的最小正角，φ∈[0,2π)．[自测·牛刀小试]1．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)，求直线l 倾斜角的余弦值．解：消去参数，得直线l 方程为4x ＋3y －10＝0，所以tan θ＝－43，cos θ＝－35.2．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，求|PF |.解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.3．(2012·中山模拟)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程．解：将参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －1＝sin α(α为参数)，平方相加得x 2＋(y －1)2＝cos 2α＋sin 2α＝1，所以对应的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.4．求参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线．解：当t >0时，x ＝t ＋1t ≥2；当t <0时，x ＝t ＋1t≤－2，故此方程表示的曲线是两条射线．5．求椭圆x －123＋y ＋225＝1的参数方程．解：设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．参数方程与普通方程的互化[例1] 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k 2，(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.[自主解答] (1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． ——————————————————— 将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝t1＋t2(t 为参数)．解：(1)∵x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0.∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t，∴t ≠0.当t ≥1时，0<1t≤1，当t ≤－1时，－1≤1t<0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0. (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，得x 2＋4y 2＝1， 又x ＝1－t 21＋t2≠－1，得所求的普通方程是x 2＋4y 2＝1(x ≠－1).参数方程的应用[例2] (2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a 的值．[自主解答] ∵C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，∴C 1的方程为2x ＋y －3＝0.∴C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，∴C 2的方程为：x 2a 2＋y 29＝1.∵C 1与C 2有一个公共点在x 轴上，且a >0， ∴C 1与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0在C 2上．∴a ＝32. ———————————————————与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程，转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题．2．(2011·广东高考改编)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．解：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2.则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.3．(2013·扬州模拟)已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围．解：∵x 24＋y 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ是参数)，∴设P (2cos θ，sin θ)，∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，22]．极坐标方程和参数方程的综合[例3] (2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．[自主解答] (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2；圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ；联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，解得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1，C 2的交点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.(2)由ρ＝2，θ＝±π3，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，圆C 1，C 2的交点直角坐标为(1, 3)，(1，－3)， 故圆C 1，C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．——————————————————— 求参数方程与极坐标问题的转化方法在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．4．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |的最小值．解：曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，知C 1是以(3,4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2：ρ＝1的直角坐标方程是x 2＋y 2＝1，可知C 2是以原点为圆心，1为半径的圆，题意就是求分别在两个圆C 1和C 2上的两点A ，B 的最短距离. 由圆的方程知，这两个圆相离，所以|AB |min ＝3－02＋4－02－1－1＝5－1－1＝3.4种方法——化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有： ①代入消元法； ②加减消元法； ③乘除消元法； ④三角恒等式消元法.数学思想——参数方程中的转化思想在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想．[典例] (2012·浙江高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求曲线C 1与C 2的交点坐标．[解] C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．[题后悟道](1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型，解题方法是将参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围．(2)对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的．[变式训练](2012·朝阳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，求|AB |的长．解：直线l 可化为x ＋y －2＝0，① 曲线C 可化为y ＝(x －2)2，②联立①②消去y 得x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋－12·x 1－x 22＝2|x 1－x 2|＝ 2.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，求θ∈[0,2π))所截得的弦长．解：把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为x ＋y ＋1＝0和(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，于是弦心距d ＝322，弦长l ＝225－92＝82.2．(2012·福州模拟)已知点P (x ，y )在曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1，且a 2＋b 2≤3，求x ＋y 的最小值．解：设x ＝a cos t ，y ＝b sin t (0≤t ≤2π)， 则x ＋y ＝a cos t ＋b sin t ＝a 2＋b 2cos(t －α)，因此，当a 2＋b 2＝3，cos(t －α)＝－1时，x ＋y 取得最小值－ 3. 3．已知曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－ 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1，得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．4．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|1＋3＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．5．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)， 令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．1．(2012·南京模拟)已知圆的极坐标方程为ρ2＋4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3－5＝0.(1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋3y 的最大值和最小值． 解：(1)∵ρ2＋4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－5＝0，∴ρ2＋2(ρcos θ－3ρsin θ)－5＝0. ∴x 2＋y 2＋2x －23y －5＝0， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝9.21 ∴圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋3cos α，y ＝3＋3sin α(α为参数)． (2)利用圆的参数方程可得： x ＋3y ＝33sin α＋3cos α＋2＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2， ∴x ＋3y 的最大值为8，最小值为－4.2．(2013·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4；(2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2， 即d ＝|5sin α＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25. 当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102.。
新课标人教版选修44坐标系练习题(含答案)
第一讲 极坐标系一、选择题1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )．A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π，3．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫⎝⎛-34,2π 4．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 5．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π6．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ 7．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )．A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆8．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )9．点P 在曲线 ρcos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段10．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为A ．2B ．1C ．3D ．011．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆12．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．3213．ρ＝2(cos θ －sin θ )(ρ＞0)的圆心极坐标为( )．A ．(－1，4π3) B ．(1，4π7) C ．(2，4π)D ．(1，4π5) 14．极坐标方程为lg ρ＝1＋lg cos θ，则曲线上的点(ρ，θ)的轨迹是( )．A ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆B ．以点(5，0)为圆心，5为半径的圆，除去极点C ．以点(5，0)为圆心，5为半径的上半圆D ．以点(5，0)为圆心，5为半径的右半圆15．方程θθρsin ＋ cos 11＝ －表示的曲线是( )．A ． 圆B ．椭圆C ． 双曲线D ． 抛物线二、填空题16．点()22-，的极坐标为 。
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义 坐标系与参数方程(含解析)
坐标系与参数方程第一节坐_标_系基础盘查一 平面直角坐标系中的伸缩变换 (一)循纲忆知理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． (二)小题查验 1．判断正误(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆( ) (2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆( ) 答案：(1)× (2)√2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′基础盘查二 极坐标系的概念及极坐标和直角坐标的互化 (一)循纲忆知能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化⎝⎛x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).(二)小题查验1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π32．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________________．对应学生用书P166解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρ＝2，∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6或⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 基础盘查三 简单曲线的极坐标方程 (一)循纲忆知能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．(二)小题查验 1．判断正误(1)过极点，做斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或 θ＝π＋α( ) (2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ( ) 答案：(1)√ (2)×2．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρθ－，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ 3．在极坐标系中，曲线C 1：ρ()2cos θ＋sin θ＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，曲线C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：22考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]对应学生用书P166设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ＞，y ′＝μ·y ，μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[题组练透]1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．解：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．2．求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．解：设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． 3．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得曲线C ′的焦点坐标．解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．[类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λy ′＝μ·y ，μ下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二 极坐标与直角坐标的互化|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x (θ与(x ，y )所在象限一致)．[提醒] (1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[典题例析]在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.[类题通法]极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．[演练冲关](2014·广东高考改编)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2的交点的直角坐标．解析：由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．考点三 曲线的极坐标方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R .(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ.(3)圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a .(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a . [提醒] (1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．[典题例析](2015·唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[类题通法]求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正、余弦定理用的较多．求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[演练冲关](2014·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.对应B 本课时跟踪检测（六十四）1．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2. ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3上任意两点间的距离的最大值．解：由ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3可得ρ2＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝2ρcos θ＋23ρsinθ，即得x 2＋y 2＝2x ＋23y ，配方可得(x －1)2＋(y －3)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，求实数m 的取值范围．解：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径即可， 即|3×1＋－＋m |5＞1，|m －5|＞5，解得，m ＜0或m ＞10.4．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.将其代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，得2y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ′＋π4，即y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π4.5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝|－1－2|2＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2015·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2， ∴圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．第二节参数方程基础盘查一 参数方程与普通方程的互化 (一)循纲忆知了解参数方程，了解参数的意义，会进行参数方程与普通方程的互化.⎝ ⎛⎭⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧x＝f t ，y ＝g t t 为参数(二)小题查验 1．判断正误 (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t(t ≥1)表示的曲线为直线( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m ，当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆( )答案：(1)× (2)×对应学生用书P1682．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t2，y ＝4－2t21＋t2(t 为参数)化为普通方程为________．解析：∵x ＝2t21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t2＝＋t 2－6t21＋t2＝4－3×2t21＋t ＝4－3x .又x ＝2t21＋t2＝＋t 2－21＋t2＝2－21＋t 2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)．∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))． 答案：3x ＋y －4＝0()x ∈[0，基础盘查二 常见曲线的参数方程 (一)循纲忆知1．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．2．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(二)小题查验 1．判断正误(1)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝1＋t sin 150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数且θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2表示的曲线为椭圆( )答案：(1)√ (2)×2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由C 1得x 2＋y 2＝5，且⎩⎨⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5，① 由C 2得x ＝1＋y,②∴由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＝1＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.答案：(2,1)3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有 3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，所以b ＝±3a ，而直线的倾斜角α的正切值tan α＝ba，所以tan α＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3考点一 参数方程和普通方程的互化|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．参考方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．对应学生用书P169[提醒] 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．[题组练透]1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k2，y ＝6k21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． 2．求曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离．解：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0.[类题通法]参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点二 直线的参数方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[提醒] 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[典题例析]设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)法一：由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，知直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，由此解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.法二：将圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，① 将直线l 的参数方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0.②当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100＞0，即20sin αcos α＞21cos 2α，两边同除以cos 2α，由此解得tan α＞2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.[类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)．当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[演练冲关]已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，解得t 1＝－2＋102，t 2＝－2－102.由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.考点三 极坐标、参数方程的综合应用|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[典题例析](2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[演练冲关]1．(2015·大同调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 被曲线C 所截得的弦长；(2)若M (x ，y )是曲线C 上的动点，求x ＋y 的最大值． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t y ＝－1－35t (t 为参数)，消去t ，可得3x ＋4y ＋1＝0.由于ρ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ， 即有ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，则有x 2＋y 2－x ＋y ＝0， 其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为r ＝22，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＋19＋16＝110， 故弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75. (2)可设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋22cos θy ＝－12＋22sin θ(θ为参数)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，－12＋22sin θ，则x ＋y ＝22cos θ＋22sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由于θ ∈R ，则x ＋y 的最大值为1.2．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a ＞0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a ＞0)，x －y －2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1.1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求线段MN 的长．对应A 本课时跟踪检测（六十五）解析：由题意得，C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t转化为直角坐标方程为x ＋3y －43＝0，C 2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝22，圆心(0,2)到直线x ＋3y －43＝0的距离为d ＝|0＋23－43|12＋32＝3， 所以|MN |＝222－32＝2.2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标得P (0,4)， ∵P (0,4)满足方程x －y ＋4＝0，∴点P 在直线l 上．(2)法一：因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，所以点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42(α∈R )所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值 2.3．(2015·河南实验中学模拟)直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2.由于M 点在曲线C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，从而曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 6．(2014·福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.故实数a 的取值范围为[－25，25]7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.8．(2015·洛阳模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解：(1)∵直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝23，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23，∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15α＋φ－43|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432， 即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432.。
高中数学选修44坐标系与参数方程练习题含详解1
数学选修 4-4坐标系与参数方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为x 1 2t (t 为参数 ) ，则直线的斜率为（ ）y 2 3t A ．2B ．2 3 D ．333C ．222．以下在曲线x sin 2( 为参数 ) 上的点是（）ycossinA ．(1,2)B ． (3,1)C ． (2, 3)D ． (1,3)24 23．将参数方程x 2 sin 2为参数 ) 化为一般方程为（y sin2( ）A ． y x2B ． y x 2C ． y x 2(2 x 3)D ． yx 2(0 y 1)4．化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为（）A ． x 2y 20或 y 1B ． x 1C ． x 2 y 20或 x 1D ． y 15．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（）A ． (2,) B ． (2,) C ． (2,2)D ． (2,2 k),( k Z )33336．极坐标方程cos 2sin 2 表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线x 3 4t (t 为参数 ) 的斜率为 ______________________。
y 4 5t2．参数方程x e te t) (t 为参数) 的一般方程为 __________________。
y2(e te t3．已知直线 l 1 :x 1 3ty 2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 : 2x 4 y 5 订交于点 B ，又点 A(1,2) ，4t则 AB_______________。
x 2 1 t4．直线2(t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为 ______________。
y1 1t25．直线 x cos y sin 0 的极坐标方程为 ____________________ 。
三、解答题1．已知点 P(x, y) 是圆 x 2y 2 2y 上的动点，（ 1）求 2xy 的取值范围；（ 2）若 xy a 0恒建立，务实数 a 的取值范围。
高中数学选修4-4(人教A版)第一讲坐标系1.3知识点总结含同步练习及答案
第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程
一、知识清单
极坐标与极坐标方程
二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述： 极坐标系 在平面上取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向（通常取 逆时针方向），合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox称为极轴．平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画．这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标．ρ 称为极径，θ 称为极角． 在极坐标系(ρ, θ)中，一般限定ρ ≥ 0．当ρ = 0时，就与极点重合，此时θ 不确定．给定点的极坐 标(ρ, θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有 无穷多种表示形式．事实上，(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点，其中k 为整数．可见，平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处，如果限定ρ ≥ 0， 0 ≤ θ ≤ 2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系． ρ < 0，此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上，它到极点O 的距离为|ρ|，即规定当ρ < 0时，点M (ρ, θ)就是点M (−ρ, θ + π)． 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点，它的直角坐标系为(x, y)，极坐标为(ρ, θ)．则有{ x = ρ cos θ 或
⎧ ρ2 = x 2 + y 2 ⎨ ⎩ tan θ = y (x ≠ 0) ，ρ < 0也成立． x
y = ρ sin θ
曲线的极坐标方程 在给定的平面上极坐标系下，有一个二元方程F (ρ, θ) = 0．如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程 的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程． 圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆，其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ；圆心在点(a, 圆，其极坐标方程是ρ = 2a sin θ，0 ≤ θ ≤ π．
高考数学总复习 坐标系与参数方程配套课时作业 理 新
【与名师对话】2014年高考数学总复习 坐标系与参数方程配套课时作业 理 新人教A 版选修4-4一、选择题1．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x 2＋y 2＝4变换为椭圆方程x ′2＋y ′24＝1，此伸缩变换公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′x ＝y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝y ′C.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ′y ＝y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝4y ′解析：设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ>0y ′＝μy μ>0，代入x ′2＋y ′24＝1得(λx )2＋μy24＝1，即4λ2x 2＋μ2y 2＝4，与x 2＋y 2＝4比较得⎩⎪⎨⎪⎧4λ2＝1λ>0μ2＝1μ>0，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12μ＝1即所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y .故选B. 答案：B2．极坐标方程2cos θ－3＝0(ρ∈R )表示的图形是 ( )A ．两条射线B ．两条相交直线C ．一条直线D ．一条直线与一条射线解析：由cos θ＝32知θ＝π6＋2kπ或θ＝116π＋2kπ(k ∈Z ，ρ∈R )，故所给曲线表示两条相交直线．故选B.答案：B3．过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程是 ( )A ．ρcos θ＝4B ．ρsin θ＝4C ．ρsin θ＝ 2D ．ρcos θ＝ 2答案：C4．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析：∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，即x 2－x ＋y 2＝0表示圆， ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋3t，∴消t 后，得3x ＋y ＋1＝0，表示直线． 故选A. 答案：A5．(2012年安徽皖南八校三联)已知曲线M 与曲线N ：ρ＝53·cos θ－5sin θ关于极轴对称，则曲线M 的方程为( )A ．ρ＝－10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6B ．ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6C ．ρ＝－10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6 D ．ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6 解析：曲线N 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝53x －5y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5322＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋522＝25，其圆心为⎝⎛⎭⎪⎫532，－52，半径为5.又∵曲线M 与曲线N 关于x 轴对称，∴曲线M 仍表示圆且圆心为⎝⎛⎭⎪⎫532，52，半径为5，∴曲线M 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －5322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝25，即x 2＋y 2＝53x ＋5y ，化为极坐标方程为ρ＝53cos θ＋5sin θ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，故B 正确．答案：B6．(2012年北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C (2,2)到直线l 的距离d ＝|2－2＋4|2＝22＝r ，∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B. 答案：B 二、填空题7．(2012年安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析：由题意将极坐标方程转化为普通方程． 圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，圆心C (0,2)．直线l ：x －3y ＝0.故圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 38．(2011年陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1C 2：x 2＋y 2＝1.最小值为|C 1C 2|－2＝5－2＝3. 答案：39．(2012年天津)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 消元得y 2＝2px ，将x ＝3代入y 2＝2px 得y ＝±6p .令M (3，6p )，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，6p . ∵|EF |＝|MF |. ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋6p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－32＋6p2，化简得p 2＋4p －12＝0， ∵p >0，∴p ＝2. 答案：2 三、解答题10．(2012年福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233；又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交． 11．(2013年宁夏银川月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(2)在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值． 解：(1)由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x －y －6＝0， 曲线C 2的直角坐标方程为：⎝⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1， 曲线C 2的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ(θ为参数)．(2)设点P 的坐标(3cos θ，2sin θ)，则点P 到直线l 的距离为：d ＝|23cos θ－2sin θ－6|5＝|4sin 60°－θ－6|5，当sin(60°－θ)＝－1时，d max ＝2 5 此时60°－θ＝－90°＋360°k ，k ∈Zθ＝150°－360°k ∴cos θ＝－32，sin θ＝12∴P (－32，1)故所求的点P 为(－32，1)，最大值为2 5.12．(2012年辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t(－3≤t ≤3)．(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t(－3≤y ≤3))法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.[热点预测]13．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，π2)．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M为圆心、4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－5＋32t ，(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)因为M (4，π2)对应的直角坐标为(0,4)，直线l 化为普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心到l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32>4，所以直线l与圆C相离．。
数学人教A版选修4-4课后导练第一讲一平面直角坐标系含解析
课后导练基础达标1。
在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3,5后，曲线C 变为曲线2x′2+8y′2=1，则曲线C 的方程为（ ） A 。
50x 2+72y 2=1 B.9x 2+100y 2=1 C.25x 2+36y 2=1 D.252x 2+98y 2=1解析：把伸缩变换公式代入2x′2+8y′2=1，知A 成立。
答案：A2。
将曲线x 2+y 2=1伸缩变换为9422y x '+'=1的伸缩变换公式为（ ）A.⎩⎨⎧='='yy x x 32 B 。
⎩⎨⎧='='yy xx 23 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2131解析:观察知x=2x '，y=3y '，∴⎩⎨⎧='='yy x x 32选A 。
答案：A3。
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121后的图形。
(1）5x+2y=0;(2)x 2+y 2=1.解:由伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 3121,得⎩⎨⎧'='=y y x x 32①将⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x ①代入5x+2y=0得5x′+3y′=0，经后仍为直线. (2)将①代入x 2+y 2=1中得914122y x '+'=1，圆变成了椭圆.综合运用4。
在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2—36y 2-8x+12=0变成曲线x′2—y′2—4x′+3=0,求满足图象变换的伸缩变换。
解:设伸缩变换为⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x 将其代入方程x′2-y′2—4x′+3=0，得λ2x 2-μ2y 2-4λx+3=0，与x 2-36y 2—8x+12=0比较系数得1238436122===λμλ,∴λ=21,μ=3。
高中数学 第1讲 坐标系 4 柱坐标系与球坐标系简介课后练习 新人教A版选修4-4(2021年整理)
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后练习新人教A版选修4—4一、选择题（每小题5分，共20分）1．在空间球坐标系中，方程r＝2错误!表示（)A．圆B．半圆C．球面D．半球面解析：当r＝2，0≤φ≤π，0≤θ<2π时表示半径为1的球面，但由于0≤φ≤错误!，0≤θ〈2π故此方程表示半径为1的半球面．答案：D2．已知点M的直角坐标为(0,0,1）,则点M的球坐标可以是( ）A．（1,0,0) B．(0,1，0）C．（0，0,1) D．(1，π，0）解析: 利用公式错误!进行公式转化:r＝错误!＝1cos φ＝1,φ＝0;tan θ＝错误!＝0，故θ＝0所以球坐标的(1，0,0)．答案: A3．某点的柱坐标为错误!，则其直角坐标为（)A．（1，错误!，3) B．(错误!，1,3）C．（1，－错误!,3）D．(－错误!，1,3）解析：由错误!得错误!即直角坐标为（错误!，1，3)．答案：B4．已知点M的球坐标为错误!,则点M到Oz轴的距离为( ）A．2错误!B．错误!C．2 D．4解析: 设点M的直角坐标为(x，y，z),∵(r,φ，θ）＝错误!，∴错误!∴M(－2,2，2错误!）,到Oz轴的距离为错误!＝2错误!.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分）5．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为错误!，则|OM|＝________。
数学人教A版选修4-4课后导练 第一讲一平面直角坐标系
课后导练基础达标1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3,5后,曲线C 变为曲线2x′2+8y′2=1,则曲线C 的方程为( )A.50x 2+72y 2=1B.9x 2+100y 2=1C.25x 2+36y 2=1D.252x 2+98y 2=1 解析:把伸缩变换公式代入2x′2+8y′2=1,知A 成立.答案:A2.将曲线x 2+y 2=1伸缩变换为9422y x '+'=1的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎨⎧='='y y x x 32 B.⎩⎨⎧='='yy x x 23 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2131 解析:观察知x=2x ',y=3y ',∴⎩⎨⎧='='yy x x 32选A. 答案:A 3.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x 2+y 2=1.解:由伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121,得⎩⎨⎧'='=y y x x 32①将⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x ①代入5x+2y=0得5x′+3y′=0, 经后仍为直线.(2)将①代入x 2+y 2=1中得914122y x '+'=1,圆变成了椭圆.综合运用4.在同一平面直角坐标系中,将曲线x 2-36y 2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0,求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x 将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0,得 λ2x 2-μ2y 2-4λx+3=0,与x 2-36y 2-8x+12=0比较系数得1238436122===λμλ,∴λ=21,μ=3. ∴变换为⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321.5.△ABC 中,若BC 的长度为4,中线AD 的长为3,则点A 的轨迹方程是____________. 解析:A 点在以D(0,0)为圆心,以DA=3为半径的圆上.答案:x 2+y 2=9(y≠0)拓展探究6.在平面直角坐标系中,有一个以F 1(0,3-)和F 2(0,3)为焦点,离心率为23的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P 在C 上,C 在点P 处的切线与x,y 轴的交点分别为A,B,且向量+=.求:(1)点M 的轨迹方程; (2)|OM |的最小值.解:(1)椭圆方程可写为2222a x a y +=1,式中b<a, 且⎪⎩⎪⎨⎧==-,233,322a b a ,得a 2=4,b 2=1,故曲线C 的方程为x 2+42y =1(x>0,y>0). y=212x -(0<x<1),y′=212x x--.设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0<x 0<1,y 0=2201x -,y′0x x ==004y x -,得切线AB 的方程为 y=004y x -(x-x 0)+y 0.设A(x,0),B(0,y),由切线方程得x=01x ,y=04y . 由OB OA OM +=得M 的坐标为(x,y),由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为2241yx ==1(x>1,y>2). (2)∵|OM |2=x 2+y 2且y 2=2114x -=4+142-x , ∴|OM |2=x 2-1+142-x +5≥4+5=9. 且当x 2-1=142-x 时,即x=3>1时,上式等号成立. 故||的最小值为3.。
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1．已知⊙ O1 和⊙ O2 的极坐标方程分别是 ρ ＝ 2cos θ 和 ρ ＝ 2asin θ ( a 是非零常数 ) ．
(1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 若两圆的圆心距为 5，求 a 的值．
2
2＋
1 y－2
2
＝
1 2，
(2) 把
13 x＝ 2＋ 2 t ，
1 y＝ 1＋2t
代入
1 x－ 2
2＋
1 y－2
2
＝
1 2，
得
t
2＋1t
1 － ＝ 0.
24
1 | PA| ·｜PB| ＝ | t 1t 2| ＝ 4.
3．(2011 ·山西六校联考 ) 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，已知点
∴42＝ρ 2＋ 42－2×４ρ cos
π θ－ 2
.
化简得 ρ ＝8sin θ ，即为圆 C的极坐标方程．
(2) 由 (1) 可进一步得出圆心 M的直角坐标是 (0,4) ，直线 l 的普通方程是 3x－ y－ 5－ 3
|0 － 4－ 5－ 3| 9＋ 3
＝ 0，圆心 M到直线 l 的距离 d＝
3＋ 1
A 的直角坐标为 (1 ，－ 5) ，点 M 的极坐标为
π
4， 2
，若直线
l
过点
A，且倾斜角为
π 3
，圆
C
以 M为圆心、 4 为半径．
(1) 求直线 l 的参数方程和圆 C的极坐标方程；
(2) 试判定直线 l 和圆 C的位置关系．
解： (1) 由题意，直线
l 的普通方程是
π
y＋ 5 x－ 1
y＋5＝ ( x－ 1)tan 3 ，此方程可化为 sin π ＝ cosπ ，
l 的参数方程为
x＝－ 1＋ t cos α ， y＝ 1＋ t sin α
( t 为参数 ) ，曲线 C的极坐标方程为 ρ ＝ 4cosθ .
(1) 若直线 l 的斜率为－ 1，求直线 l 与曲线 C交点的极坐标；
(2) 若直线 l 与曲线 C相交弦长为 2 3，求直线 l 的参数方程．
解： (1) 直线 l 的方程： y－ 1＝－ ) ， M是 C1 上的动点， P 点满足 OP ＝ 2 OM ， P点的轨迹为曲线 C2·
(1) 求 C2 的方程；
(2) 在以 O为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
π θ ＝ 3 与 C1 的异于极点的交
点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 | AB|.
解： (1) 由 ρ＝ 2cos θ，得 ρ ＝ 2ρ cos θ . 所以⊙ O1 的直角坐标方程为 x2＋ y2＝2x， 即( x－ 1) 2＋ y2＝1. 由 ρ ＝ 2asin θ ，得 ρ 2＝ 2aρ sin θ . 所以⊙ O2 的直角坐标方程为 x2＋ y2＝2ay， 即 x2＋( y－ a) 2＝a2.
(2) ⊙ O1 与⊙ O2 的圆心距为 12＋ a2＝ 5，解得 a＝± 2.
2．(2011 ·大连模拟
) 已知直线
1 l 经过点 P 2， 1 ，倾斜角
α＝ π ，圆 6
C 的极坐标方程为
π ρ ＝ 2cos θ － 4 .
(1) 写出直线 l 的参数方程，并把圆 C的方程化为直角坐标方程；
(2) 设 l 与圆 C相交于两点 A，B，求点 P到 A， B两点的距离之积．
(2) 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ ＝ 4sin θ ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝ 8sin θ .
π
π
射线 θ ＝ 3 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ 1＝ 4sin 3 ，
π
π
射线 θ ＝ 3 与 C2 的交点 B 的极径为
ρ 2＝ 8sin
. 3
所以 | AB| ＝| ρ 2－ ρ 1| ＝ 2 3.
＝ 2 >4，所以直线 l 和圆 C相离．
4．(2011 ·哈九中高三期末 ) 已知直线 l 的参数方程为
1 x＝ 2t ，
23 y＝ ＋ t
22
( t 为参数 ) ，
若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得
曲线 C的极坐标方程为
ρ＝ 2cos(
解： (1) 直线 l 的参数方程为
x＝
1 2＋
t
cos
π6 ，
y＝ 1＋t sin π6 ，
13 x＝2＋ 2 t ，
即 1
y＝1＋ 2t
( t 为参数 ) ．
π 由 ρ ＝ 2cos θ － 4 得 ρ ＝cos θ ＋sin θ ， 所以 ρ 2＝ ρ cos θ ＋ ρ sin θ ，
得
1 x－ 2
π
22
22
ρ＝ 2cos( θ－ 4 ) 的直角坐标方程为 x－ 2 ＋ y－ 2 ＝ 1，
22
6
10
∴圆心 ( 2 ， 2 ) 到直线 l 的距离 d＝ 4 . ∴ | AB| ＝ 2 .
5．(2011 ·东北三校模拟 ) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐
标系的 x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线
xy 解： (1) 设 P( x，y) ，则由条件知 M 2， 2 . 由于 M点在 C1 上，所以
x 2＝ 2cos α ， y 2＝ 2＋ 2sin α .
x＝4cos α ，
即
.
y＝4＋ 4sin α
x＝ 4cos α， 从而 C2 的参数方程为
y＝ 4＋ 4sin α
.( α 为参数 ) ．
θ
－
π 4
)
．
(1) 求直线 l 的倾斜角； (2) 若直线 l 与曲线 C交于 A，B 两点，求 | AB|.
解： (1) 直线参数方程可以化为
x＝ t cos60°， 2
y＝ 2 ＋ t sin60 °，
根据直线参数方程的意义，这
2 条直线是经过点 (0 ， 2 ) ，倾斜角为 60°的直线．
2 (2) l 的直角坐标方程为 y＝ 3x＋ 2 ，
的距离为
k2＋ 1
3 ＝ 1. ∴k＝ 0 或 k＝－ 4.
x＝－ 1＋ t ， ∴l ：
y＝1
( t 为参数 ) 或
4 x＝－ 1－ 5t ，
3 y＝ 1＋ t
5
( t 为参数 ) ．
x＝ 2cos α，
6．(2011 ·新课标全国卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
，
y＝ 2＋ 2sin α
3
3
令 y＋ 5 ＝ x－ 1 ＝ a( a 为参数 ) ，得直线 l 的参数方程为
π
π
sin 3 cos 3
1 x＝ 2a＋ 1，
3 y＝ 2 a－ 5
( a 为参数 ) ．
如图，设圆上任意一点为 P( ρ， θ ) ， 则在△ POM中，由余弦定理， 得 PM2＝ PO2＋ OM2－2· PO·OMcos ∠ POM，
C：ρ ＝ 4cosθ ，即
x2＋
y
2
－
4
x＝
0
，
联立方程得 2x2－ 4x＝ 0，
7π ∴两交点分别为： A(0,0) ， B(2 ，－ 2) ，极坐标 A(0,0) ， B(2 2， 4 ) ．
(2) d＝
r 2－
l 2
2＝ 1，设直线
l
为 y－ 1＝ k( x＋ 1) ，则圆心
C到 l
|2 k＋ k＋1|