波函数的统计诠释态叠加原理薛定谔方程粒子
合集下载
量子力学教程-周世勋-第二章波函数
在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的 一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双 狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
波函数和薛定谔方程
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
量子力学第二章 波函数和薛定谔方程
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射 图样.
电子源
P
P
O
感
Q光QBiblioteka 屏在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。
波动观点
明纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2大
粒子观点
电子出现的概率大
暗纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2小
平方成比例。
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在 t 时刻，r 点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描 写的粒子的几率是：
dW (x, y, z, t) C 2 (x, y, z, t) 2 d 其中C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那 么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验 事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在 一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也 不是经典的波， 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也 是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再 是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
(x, y, z,t)
dW(x, y, z,t)
d
C2 (x, y, z,t) 2
几率密度 probability density
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
W (t) dW (x, y,z,t)d C2 (x, y, z,t) 2 d
波函数与薛定谔方程
（２）态 的 迭 加 原 理
Ｂ．时 间部分 函数是确定 的。
如果 １、 ２、ｘＩ＊３…是体 系可能 的状 态 ，则 它们的线性 迭加态 ＝ ｃｌ ｌ＋ｃ２ ２＋ｅ３Ｘｌｔ３…＝∑ｃｉ＇Ｐｉ也 是体 系的一个 可 能状态 。当体 系处 在迭加 态 时 ，体系部 分处在 在迭加之前的各个态 ＇ｔｑ。
１）量子力学使用最多 的是把 可以实现的态分解为某一个算 符本征 态 的迭 加 。
２）如同经 典波的分解 和迭加 ，量子力学 的态的迭加 也是波 函数 的
数 ，这称 为简并 。若一 个本征值对应 的不 同本征 函数数 目为 Ｎ，则 称 Ｎ 重简并 。
定态薛 定谔方 程或不 含时 的薛定 谔方程 是能量 本征方程 ，Ｅ就称
波函数与薛定谔方程
四 川理 工 学院 王 学建
［摘 要 ］本文论述 了量子 力学微 观粒子行为 由波函数描 述，波函数具有统计 意义，波函数 由薛定谔方程解 出，介 绍 了用定态 薛定谔方
程 的 基 本 方 法和 步 骤 。 ［关键词 ］波函数 态的迭加原理 薛定谔方程 定 态薛定谔方程
、Ｐ ，ｆ） ｊ一。。ｊ ｊ。。ｆ（声， ） （产）（ ｄｐｙｄｐ。
（２—１）
这 在数学上是成立的 ，这正好是非周期 函数的傅立叶展开 。
（１）在态 （ｘ，ｙ＇Ｚ’ｔ）的粒子 ，它的动 量没有确 定 的值 ，由上式可 知 ，
积 内的概率或 ｔ时刻粒子在空间分布 的概率密度
变 化 规 律 。
４．波 函 数 的 归 一 化 条 件 和 标 准 条 件
（２）建立方程 而不是 推导方程 ，其正确性由实验验证 。薛定谔方程
波函数 归一化条件
实质上是一种基本假设 ，不能从 其他更基本原理或方程推导 出来 ，它 的
2波函数和薛定谔方程
第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1
归一化
C
1
( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )
波函数的统计解释-2022年学习资料
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为粒子是由波组成？-比如说，电子是三维空间的物质波包，波包-的 小即电子的大小，波包的速度即电子的-速度，但物质波包是色散的，即使原来的物-质波包很小，但经过一段时间后， 会扩散-到很大的空间去，或者形象地说，随着时间-的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相-矛盾。
电子双缝实验-P1-P2-P12-薄金属片-电子枪-二二二三-磷探-打开-缝二打开-双缝齐开-测屏-二关闭 缝一关闭-段（相同）时间后每个探测器上的电子数目
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为波是由粒子组成？-粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒-子 度，让粒子近似的一个一个从粒子源射-出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点-是无规则的，但只要时间足够长， 光点足-够多，底片上仍然会出现衍射条纹。如果波-是由粒子组成，那末，波的干涉、衍射必然-依赖于粒子间的相互 用。这和上述实验结-果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性-的。
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-◆经典波动测是以场量（振幅、相位等）来-描述其运动状态，遵从经典波动 程，波-的能量和动量周期性分布于波所传播的空-间而不是集中在空间一点，即波的能量-动量是空间广延的。波与其 物质体系相-互作用时，可同时与波所在广延空间内的-所有物理体系相互作用，其能量可连续变-化，波满足叠加原理 “非定域”是波动-性运动的特性。
2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析-在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体-系的呈现，反映着两类对象，两种 质形-态，其运动特点是不相容的，即具有粒子-性运动的物质不会具有波动性；反之具有-波动◆-综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不-是经典的波，或者说它既是量子概念的 子-又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性-表示他们是具有一定的能量、动量和质量等-粒子的属性，但不具有确 的运动轨道，运-动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波-动性并不是指某个实在物理量在空间的波动：-而是指用 函数的模的平方表示在空间某处-粒子被发现的概率。
量子力学薛定谔方程及理论(2)
分理出变量后，我们很容易给出两个方程解的形式，大大简化 了方程的求解
i - ct df (t ) f (t )满足i =cf (t )，则f (t )可写为f (t )=Ae ， dt
与自由粒子波函数 A e 我们可以知道c=E
所以有 df (t ) i =Ef (t ) dt
2
i ( p r Et )
一维线性谐振子
如果在一维空 间内运动的粒 1 子的势能为 2 ω是常量，则 这种体系就成 线性谐振子
薛定谔方程可写为
V(x) a 0 x
V0
2
x2
d2 1 2 (x)+ 2 x 2 (x)=E (x) 2 dx 2
2
令 =
， =
2E
， = x，则d = dx
d2 则薛定谔方程可写为 2 ( )+ - 2 ( )=0 d
d2 当 时，有 2 ( )- 2 ( )=0 d 2 2 2 其解的形式为 ( )=Ae +Be 2 ， 因为函数有界，所以A 0， ( )=Be 2 ， 2 令 ( )=e 2 H ，对 求二阶导数并化简为 d2 d H( ) H( )-2 + -1 H( )=0 2 d d
2
2
2
(U 0 E ) (x)=0
令 =
2
2
2
(U 0 E )，则 2 (x) 2 (x)=0
则定态方程的解满足以下形式
x =Ae- x +Be x，当x -时，要满足函数的有界性
所以A =0， x =Be x =0 同理，当x +时， x =Ae- x =0
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
平面波归一化以后讨论
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程， 量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
i (prEt)
(r, t) Ae
i E
t
2
p2 2
15
利用自由粒子
E p2
2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
p2 E U (r)
2
根据能量和动量算符
i 2 2 U (r) t 2
29
En
(n
1 ),
2
n 0,1, 2,...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象 性的表现，因为“静止 的”波没有意义。
30
厄密多项式
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dHn ( d
式中
p (r)
1
(2)3/ 2
e ipr /
c(p, t )
1
(2)3/ 2
(r,
t
)e
i
pr
dxdydz
13
(r, t )
1
(2)3/ 2
c(p,
t
)e
i
pr
dpx
dp
y
dpz
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波 函数。
n
(x
a
)e
i
Ent
a 2a
25
束缚态：本征能 量小于势能，即 E<U0
基态：体系能量最 低的态
本征函数的奇偶性 取决于势能函数
26
2.7 线性谐振子
在自然界中一维谐振子广泛存在，任何体系在平衡位置附 近的小振动，如分子的振动、晶格的振动、原子和表面振动以 及辐射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动。
归一化条件可表示为：
2
(x, y, z, t) d 1
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 ei
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r,t) Aexp[i(k r t)]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
量或强度不同的两种波动状态；
而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。
因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。
7
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
dW(x, y, z, t) (x, y, z, t) 2 d
几率密度为： w(x, y, z, t) (x, y, z, t) 2
n (x)
1/
2 2n
n!
exp(
1 2
2
x
2
)
H
n
(x)
0(x)
1/2
exp( 1 2 x2 )
2
1(x)
( m / )
2 1/2
x
exp(
1 2
2
x
2
)
32
谐振子波函数的奇偶性
n (x) (1)n n (x)
1 er/a
a3
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理
经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
c11 c22
c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c11 c22 2 (c11 c22 )(c11 c22 )
w
1
exp( 2 )d
16%
0
经典允许区
34
n=10时线性谐振子的位置几率分布
35
习题 P52~53 1、3、4、5、7、8
36
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的 双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢?
在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
c11 2 c12 2 c1c212 c1c212
11
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c11 c2 2 ... cn n cn n
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
w J 0 t
V
w t
d
SJ dS
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
19
i 2 2 U (r) t 2
考虑一种特解 (r,t) (r) f (t)
下面着重讨论一下基态
经典力学，对于能量E0= ħω/2的谐振子，粒子将限制在 x 1
范围内运动
对于量子力学，粒子将有一定的几率处于经典允许区之外，对于
基态，该几率为
w
1 0 (x) dx
0 0 (x) dx
33
0(x)
1/2
exp(
1 2x2)
2
exp( 2 )d
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 波函数的统计诠释
2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
2.5 定态薛定谔方程
2.6 一维无限深势阱
2.7 线性谐振子
1
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。 Aei(krt )
质量为m、频率为ω的振子的哈密顿量可表示为
H px2 1 m 2 x2
2m 2
定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx2
(x)
1 2
m 2 x2
(x)
E
(x)
27
令
m x x, m
d 2 d 2
( 2 )
0
2E
首先考虑方程的渐近解
2
本征方程
Hˆ E
当体系处于能量本征态时，粒子的能量有确定值E 21
以En表示体系能量算符的第n个本征值， n是与En相应的波 函数，则体系的第n个定态波函数为
iEnt
n (r,t) n (r)e
iEnt
(r,t) cnn (r)e
n
22
2.6 一维无限深势阱
利用波函数在边界处连续，
(a) (a) 0
体系的能量
E
22
8ma 2
n2,
n 1, 2, 3, ...
24
相应的归一化的波函数为
n
1 a
sin n
2a
(x a),
0,
xa x a
定态波函数为
n (x,t)
e
i
Ent
n
1
sin
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实
验证明它们两者却无关。
2
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
在一维空间运动的粒子，其势场满足
U
(
x)
0
x a
x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解 释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0, x a 23
（2）阱内（a> x > -a）
2 2m2 x 2源自Ei df 1 [ 2 2 U (r) ] 常数＝E f dt 2
(r,t) (r) exp(i Et)
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。
定态与定态波函数
20
定态薛定谔方程
2
2
2
U (r)
E
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U (r)
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
i (Etpr)
p (r,t) Ne
12