初中数学向量练习(含详细解析)
初中数学向量的线性运算经典测试题及解析
初中数学向量的线性运算经典测试题及解析一、选择题1．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( )A ．()a ab b --= B ．0a 0=C ．如果1a b 2=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-【答案】C 【解析】 【分析】根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】解：A 、()a ab b --=rr r r ，正确；B 、0a 0⋅=r r ，正确；C 、如果1a b 2=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r，正确；故选C ． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果． 【详解】∵在平行四边形ABCD 中， 与 是一对相反向量，∴ = -∴-+=-+=，故选A ． 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.3．在中，已知是边上一点，，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.4．如图，已知向量a r，b r，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得：解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r ，即a c b +=-r r r故选D ．5．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a r r+-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u rC ．()-=+-rrrra b a bD ．()()++=++r r r r r r a b c a b c【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】解：A. ()0a a vv v+-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.6．已知233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r ，那么4m n -r r等于（ ）A ．823a b -r rB ．443a b r r -C ．423a b -r rD ．843a b -r r【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．解：∵233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r，∴4m n -r r =2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-rr r r r r r r r r ．故选A ．7．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大8．计算45a a -+r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r【答案】B 【解析】 【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】-4a+5a=a v v v ,所以答案为B 选项 【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．13．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r ，故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.14．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．15．若2a b c +=rr，3a b c -=r r，而且c r ≠0，a r 与rb 是（ ）A ．a r 与rb 是相等向量B ．a r 与rb 是平行向量C ．a r 与rb 方向相同，长度不等D ．a r 与rb 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．16．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=r rB ．如果a r 和b r都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =r rD ．12a b =-r r （b r为非零向量），那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】解：A 、()a a +-r r等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a r 和b r都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-r r （b r为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.17．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（ ）．A ．CA u u u rB ．AC u u u r C ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．18．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确， D 、因为5a b =rr，所以||5||a b =r r；故该选项说法正确， 故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．19．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r rC ．2a b =r rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．20．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ==u u u r r u u u r r ，那么向量AO uuu r用向量a b ⋅r r 表示为（ ）A ．12a b +r rB ．2133a b +r rC ．2233a b +r rD ．1124a b +r r【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AO AD =；结合平面向量的三角形法则解答即可．【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b =u u u r r， ∴11BD BC b 22==u u u r u u u r r ．∴1b 2AD AB BD a =+=+u u u r u u u r u u u r r r又∵点O 是△ABC 的重心，∴23AO AD =，∴221AO AD a b 333==+u u u r u u u r r r ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AO AD =是解题的关键．。
新初中数学向量的线性运算解析含答案(1)
新初中数学向量的线性运算解析含答案(1)一、选择题1．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误；故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．2．在四边形ABCD 中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．梯形D ．菱形【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项.【详解】 解：∵，∴，∴AD ∥BC ，AD=2BC. ∴四边形ABCD 为梯形. 【点睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.3．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r rB ．00a ⋅=rC ．()a b b a -=--rr r rD ．km k m =r r【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=rr r，故本选项错误； B. 00a ⋅=rr，故本选项错误；C. ()a b b a -=--rr r r ，故本选项正确；D. km k m =⋅r r，故本选项错误.故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．4．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，则2132m m -r r 等于（ ）．A ．AO u u u rB ．BO uuu rC ．CO uuu rD ．DO u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r， ∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴122312AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r，故A 不符合题意；211322BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r，故B 符合题意；122312CO AC m m ==---u u u r u u uu u r r u u r ，故C 不符合题意；121232DO BD m m =-=-u u u r u u ur u u r u u r ，故D 不符合题意.故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.5．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=r r rC ．()a b a b -+=--r r r rD ．a b b a -=-r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确；B. a r与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r，故本选项错误.故选D. 【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.6．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=rr rB ．a b b a +=+r rrrC ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行D ．如果a b =r r ，那么a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r方向不同，则a b ≠r r，所以D 选项错误. 故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.7．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.8．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =r rC ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +rr 等于（ ）A ．BD u u u rB ．AC u u u r C ．DB u u u rD ．CA u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =u u u r r ，∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，∴a b +r r =AB u u ur +BC uuu r =AC u u u r ．故选B ．11．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）A ．a e a v v v =B ．e b b =v v vC ．1a e a=v v vD ．11a b a b=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.12．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．1,22a cbc ==r r r r C ．2a b =r r D ．a b =r r【答案】D 【解析】【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r，故本选项错误.C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r，故本选项错误；D.∵a b =r r ，∴a r 与b r的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．13．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r； C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u rr r； 故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．14．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A ．=a b r rB ．20a b +=r rC ．a r与b r方向相同 D ．a r与b r方向相反【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ，计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.15．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ．【点睛】本题考查了向量的性质．16．已知非零向量a r 、b r 和c r ，下列条件中，不能判定a b r rP 的是（ ）A ．2a b =-r rB ．a c =r r ，3b c =r rC ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r rrD ．2a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-r r，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-r r，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r ，故本选项错误；D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r不一定平行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．17．设e r为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）A ．2a e =r rB ．a e a=rr r C ．2a e =r r D ．112a =±r【答案】C 【解析】 【分析】根据e r为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.【详解】解：∵e r为单位向量， ∴1e =r,A 中忽视了向量的方向性,错误B 中忽视了向量的方向性,错误C 中,∵2a =r ,1e =r, ∴2a e =r r,正确,D 中忽视了向量的方向性,错误故选C. 【点睛】本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.18．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB =u u u r u u u rB ．12CB AB =u u u r u u u rC ．0AC BC u u u r u u u r+=D ．0AC CB +=u u u r u u u r r【答案】B 【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：A 、12CA BA =u u u r u u u r，故本选项错误；B 、12CB AB =u u u r u u u r，故本选项正确；C 、0AC BC +=u u u r u u u r r，故本选项错误；D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r，故本选项错误．故选B ．19．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r 和b r 都是单位向量，，可知|a r|＝|b r |＝1，由此即可判断．【详解】解：A 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =rr不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=r r 不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r和b r都是单位向量，则|a r|＝|b r|＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r ＝32a r B ．b r ＝23a r C ．b r ＝﹣32a r D ．b r ＝-23a r 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件得到非零向量a r 、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题． 【详解】 ∵2|a r |=3|b r |，∴|b r |23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r 的方向相同，∴23b a =r r ． 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．。
初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析
初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析一、选择题1．点C在线段AB上，且35AC AB=u u u r u u u r，若AC mBC=u u u r u u u r，则m的值等于（）．A ．23B．32C．23-D．32-【答案】D【解析】【分析】根据已知条件即可得：25AC ABCB AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r，从而得出：52AB BC=-u u u r u u u r，再代入35AC AB=u u u r u u u r中，即可求出m的值.【详解】解：∵点C在线段AB上，且35AC AB=u u u r u u u r∴25AC ABCB AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r∴5522CBAB BC==-u u u r u u u r u u u r∴55322335BC BC A CA B⎛⎫=-⎝==-⎪⎭u u u r u u u r u u u r u u u r故选D.【点睛】此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键. 2．下列命题中，真命题的个数为( )①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.【详解】解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确；对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.【详解】 ∵ ∴ ∵∴故本题答案选B. 【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】|||1||22|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u rQ u u u ru u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．已知233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r ，那么4m n -r r等于（ ）A ．823a b -r rB ．443a b r r -C ．423a b -r rD ．843a b -r r【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．解：∵233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r，∴4m n -r r =2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-rr r r r r r r r r ．故选A ．6．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大7．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键8．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( )A ．2a b =rrB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =rrD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意； C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.13．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量；③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠rr，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.14．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =rr C ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r，故本选项，不符合题意； D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．15．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r为（ ）A ．3a e =v vB ．3a e =-v vC ．3e a =v vD ．3e a =-v v【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的定义解答即可． 【详解】解：∵向量e r为单位向量，向量a r与向量e r方向相反， ∴3a e r r=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =rrC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =r r可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．17．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.18．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同 C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确，D 、因为5a b =r r ，所以||5||a b =r r ；故该选项说法正确，故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．19．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =r r； B ．a r ∥b r；C ．a r 与b r方向相反； D ．20a b +=r r．【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与br 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.20．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u rr，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r r r ；C ．()12BO b a =-+u u u r r r ； D ．()12BO b a =-u u u r r r ．【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选。
人教版初中数学向量的线性运算难题汇编含答案解析
人教版初中数学向量的线性运算难题汇编含答案解析一、选择题1．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r可以用点P 的坐标表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r ，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r与OB u r互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．()()013,2019,3,1OC OD -==-u r u r B ．()()21,1,21,1OE OF -=+u r u rC ．()()2138,,2,82OG OH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r u rD ．()252,2,52,OM⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭u r【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.()133201910-⨯-+⨯=，正确；B.()()2121112-⨯++⨯=，错误；C.()21382812242⨯-+⨯=+，错误； D.()()25252222+⨯-+⨯=，错误； 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而；故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.3．如果向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，那么向量a r 用单位向量e r表示为（ ）A ．12a e =rr B ．2a e =r rC ．12a e =-rr D ．2a e =-r r【答案】C 【解析】由向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案．解：∵向量a r 与单位向量e r方向相反，且长度为12，∴12a e =-rr ．故选C ．4．已知233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r ，那么4m n -r r等于（ ）A ．823a b -r rB ．443a b r r -C ．423a b -r rD ．843a b -r r【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．解：∵233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r，∴4m n-r r =2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-rr r r r r r r r r ． 故选A ．5．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r r ，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r rr ； C ．()12BO b a =-+u u u r r r； D ．()12BO b a =-u u u r r r ． 【答案】D1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选6．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r rB ．00a ⋅=rC ．()a b b a -=--rr r r D ．km k m =r r【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=rr r，故本选项错误； B. 00a ⋅=rr，故本选项错误；C. ()a b b a -=--rr r r ，故本选项正确；D. km k m =⋅r r，故本选项错误.故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．7．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.8．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r，正确； ③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n =，正确； 故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD n ==u u u r u u u r r，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u ur u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r ()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．11．已知a r、b r、c r都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b rr的是（ ）A ．a b =r rB ．3a b =r rC ．//a c r r，//b c r r D ．2,2a c b c ==-r r r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】解：A 、||||a b =r r只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;B 、3a b =r r说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意; C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意;D 、2a c =r r，2b c =-rr说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．12．对于非零向量a r 、b r ，如果2|a r |＝3|b r |，且它们的方向相同，那么用向量a r表示向量b r正确的是（ ）A ．b r ＝32a rB ．b r ＝23a rC ．b r ＝﹣32a rD ．b r ＝-23a r【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到非零向量a r、b r的模间的数量关系，再结合它们的方向相同解题．【详解】∵2|a r|=3|b r |，∴|b r|23=|a r |． 又∵非零向量a r 与b r的方向相同，∴23b a =r r ．故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．13．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +rr 等于（ ）A ．BD u u u rB ．AC u u u rC ．DB u u u rD ．CA u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ，∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，∴a b +r r =AB u u ur +BC uuu r =AC u u u r ．故选B ．14．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=r rB ．如果a r 和b r 都是单位向量，那么a b =r rC ．如果||||a b =r r ，那么a b =r rD ．12a b =-r r （b r为非零向量），那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】解：A 、()a a +-r r等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a r 和b r都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-r r （b r为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.15．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuur 是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r 是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误； B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r，，该选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．16．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A ．AB BA =-u u u r u u u rB ．AB BA =uu u r uu rC ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u rD ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】A 选项，AB BA =-u u u r u u u r，成立；B 选项，AB BA =uu u r uu r，成立；C 选项，AB BC AC +=u u r u u r u u u r，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r不一定成立；故答案为D. 【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.17．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确， C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确，D 、因为5a b =r r ，所以||5||a b =r r ；故该选项说法正确，故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．18．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv-= 故错误. 故选B.19．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v v C ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．20．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.。
初中数学向量练习题(含答案)
3．已知平面向量
，
A．2
B．3
【解答】解：由平面向量
，且 C．4
，可得| |＝
，则
＝（ ）
D．5
＝2，
由
，可得 •（ ﹣2 ）＝0，
即 2＝2 • ＝4，
则 • ＝2，
＝
＝
＝
＝4，
故选：C． 4．在△ABC 中，已知 BC＝2，| + |＝| ﹣ |，cos2C+2sin2
＝1，则 • ＝
（） A．1
∵
t t，
t，∴E ， ，F t ， t ，
∴
，，
t， t ，
∴
．
故选：C． 4．如图所示，已知在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则
| |＝（ ）
13
A．
B．
【解答】解：
tt tt t
t
t，
∴| | t t t
．
tt t
故选：C．
C． tt
t
tt t
t
8．在四边形 ABCD 中，AD＝2，BC＝3，M，N 分别为 AB，CD 的中点，且 MN
t t
，若
•t
t，则 t•
的值为 ． t
【解答】解：如图，
令t
，即 t
①，
t
t
由①+②得，
t
t，
在四边形 ABCD 中，因为 M，N 分别为 AB，CD 的中点，所以
平方得，
t，
t②，
t
t ，两边
∴ t，即 t
t t，若
λ
，则
λ+μ的值是（ ）
A．4
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
向量经典例题及解析
向量经典例题及解析一、向量的基本概念与线性运算例题例1：已知向量→a=(1,2)，→b=(3, - 4)，求→a+→b，→a-→b。
解析：1. 对于向量的加法，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)。
- 已知→a=(1,2)，→b=(3,-4)，那么→a+→b=(1 + 3,2+( - 4))=(4,-2)。
2. 对于向量的减法，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)。
- 所以→a-→b=(1 - 3,2-( - 4))=(-2,6)。
例2：设→e_1，→e_2是两个不共线向量，已知→AB=2→e_1+k→e_2，→CB=→e_1+3→e_2，→CD=2→e_1-→e_2，若A，B，D三点共线，求k的值。
解析：1. 首先求→BD，因为→BD=→CD-→CB。
- 已知→CB=→e_1+3→e_2，→CD=2→e_1-→e_2，则→BD=(2→e_1-→e_2)-(→e_1+3→e_2)=→e_1-4→e_2。
2. 因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得→AB=λ→BD。
- 即2→e_1+k→e_2=λ(→e_1-4→e_2)=λ→e_1-4λ→e_2。
- 由向量相等的定义，可得<=ft{begin{array}{l}2=λ k = - 4λend{array}right.。
- 把λ = 2代入k=-4λ，得k=-8。
二、向量的数量积例题例3：已知向量→a=(3,4)，→b=( - 2,1)，求→a·→b，|→a|，|→b|以及cos〈→a,→b〉。
解析：1. 对于向量的数量积，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2。
- 已知→a=(3,4)，→b=(-2,1)，则→a·→b=3×(-2)+4×1=-6 + 4=-2。
平面向量经典练习题(含答案)
平面向量经典练习题(含答案)1、向量a=(2,4)，b=(-1,-3)，则向量3a-2b的坐标是(8,22)。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=(3,4)，|b|=1，则|a+5b|=√61.3、已知点A(1,2)，B(2,1)，若AP=(3,4)，则BP=(-1,-1)。
4、已知A(-1,2)，B(1,3)，C(2,0)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|=2.5、向量a、b满足|a|=1，|b|=2，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为30°。
6、设向量a，b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a·b=7.7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是60°。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，AD=2DB，CD=3CA+mCB，则m=1.9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥(2a+b)，则a与b的夹角是53.13°。
10、在三角形ABC中，已知A(-3,1)，B(4,-2)，点P(1,-1)在中线AD上，且AP=2PD，则点C的坐标是(6,-3)。
二、选择题1、设向量OA=(6,2)，OB=(-2,4)，向量OC垂直于向量OB，向量BC平行于OA，若OD+OA=OC，则OD坐标=(11,6)。
2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A'，则点A'的坐标(4,2)。
3、已知向量a，b，若a为单位向量，且|a|=|2b|，则(2a+b)⊥(a-2b)，则向量a与b的夹角是30°。
4、已知向量ab的夹角60°，|a|=2，b=(-1,√3)，则|2a-3b|=13.5、在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|2·0C+CD|=4，则|BC+CD|=2.6、略。
7、略。
8、若向量a=(3,4)，向量b=(2,1)，则a在b方向上的投影为2.9、略。
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向量概念、加减练习
1．如果，，而且，那么与是（）
A．与是相等向量B．与是平行向量
C．与方向相同，长度不同D．与方向相反，长度相同
2．下列判断错误的是（）
A．0•=
B．如果（为非零向量），那么∥
C．设为单位向量，那么||=1
D．如果，那么或
3．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（）
A．=﹣B．||=||C．+=D．|+|=||+|| 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果=，
=．那么下列选项中，正确的是（）
A．=（+）B．=（+）C．=（﹣）D．=（﹣）5．下列命题：
①若，，则；
②若∥，∥，则∥；
③若||=2||，则或=﹣2；
④若与是互为相反向量，则+=0．
其中真命题的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（）
A．B．C．D．
7．如果向量与向量方向相反，且，那么向量用向量表示为（）
A．B．C．D．
8．下列关于向量的说法中，不正确的是（）
A． B．
C．若，则或 D．
9．已知非零向量，，下列条件中，不能判定的是（）A．B．C．D．
10．如果与均是单位向量，以下关系式：（1），（2），（3）
中，正确的有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，
=，那么向量用向量、表示为（）
A．+B．﹣C．﹣+ D．﹣﹣
12．如图，已知平行四边形ABCD中，向量在，方向上的分量分别是（）
A． B．C．、D．、
13．已知非零向量、、，其中=2+．下列各向量中与是平行向量的是（）
A．=﹣2B．=﹣2C．=4+2D．=2+4
14．下列说法中不正确的是（）
A．如果m、n为实数，那么
B．如果k=0或，那么
C．长度为1的向量叫做单位向量
D．如果m为实数，那么
15．若，且，则四边形ABCD是（）
A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形
16．下列关于向量的说法中，不正确的是（）
A． B．
C．若（k为实数），则∥D．若，则或
17．下列命题中正确的共有（）个
①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形必须；
⑤模为0的向量方向不确定．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．已知非零向量、和单位向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．
19．如图，向量与均为单位向量，且OA⊥OB，令，则=（）
A．1 B．C．D．2
20．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若，，则向量
可表示为（）
A．B．C．D．
21．下列判断错误的是（）
A．如果k=0或，那么
B．设m为实数，则
C．如果，那么
D．在平行四边形ABCD中，
22．已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，则下列式子中，正确的是（）
A．B．C．D．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（﹣1，3）、（﹣2，﹣2）．
（1）在图中作向量；
（2）在图中作向量；
（3）填空：=．
向量坐标表示练习
1．向量=（1，2），=（3，4），且x，y∈R，x=（5，6），则x ﹣y=（）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
2．已知向量=（﹣2，2），=（1，m），若向量∥，则m=（）A．﹣1 B．1 C．D．2
3．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（）A．B．2C．3D．4
4．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4）
5．设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
7．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）
A．﹣B．0 C．3 D．
8．在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）
A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）9．已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）
A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）
10．设向量和满足：，，则=（）A．B．C．2 D．3
11．设向量=（x，﹣4），=（1，﹣x），若向量与同向，则x=（）。