y=ax^2+k的图象和性质
点外)．
知1－讲
知识点
1 二次函数y=ax2+k的图象
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象吗？
二次函数y=ax2的图象是什么 形状呢？什么确定y=ax2的性质？
2016/10/31
知2－导
归 纳
代数性质：
（1）当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有
最大值k； （2）如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增
大而减小.
2016/10/31
知2－讲
（3）它们的位置是由什么决定的？ 解析：(1)它们的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分 别是（0，1）（0，-1）. 抛物线 2 y=x 2 y=x +1 y=x2-1 开口方向 向上 向上 向上 对称轴 x=0 x=0 x=0 顶点坐标 （０,０） (0，1) (0，-1)
(2)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线 y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物 线y=x2-1. (3)它们的位置是由+1、-1决定的.
2016/10/31
二次函数y=ax2+k的图象与性质：
二次函数解 析式 a的符 号 开口方 向 对称 轴 顶点坐 标 增减性 当x＞0时，y随x 的增大而增大； 当x＜0时，y随x 的增大而减小 当x＜0时，y随x 的增大而增大； 当x＞0时，y随x 的增大而减小 最值 当x＝0时， y最小值＝k
y=-3x2 +2 向下，y轴,（0, y=8x2+6
(4)
y= -x2-4
思考
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？
向下平移3.4个单位呢？ y=2x2+5 y=2x2-3.4
知1－讲
归 纳
几何性质：
（1）抛物线y＝ax2＋k开口方向由a决定，当a>0 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点 当a<0时，开口向下； （2）对称轴是y轴； （3）顶点坐标是（ 0，k）； a （4） 决定了抛物线的开口大小.
22.1.3
二次函数y=ax2+k的图象和性质
一、复习引入 二次函数y＝ax2的图象和特征：
0,0） ； 1.顶点坐标（ ________
X轴 ； 2.对称轴________ 上 ，顶点是抛物 3.当a＞0时，抛物线的开口向________ 上方 除顶点 低 点，图象在 x 轴的 ________( 线上的最 ________
思路二：根据二次函数图象的特征来比较，利用增减性以
及点在抛物线上的大致位置，关键是这些点与对称轴的位 置关系来确定y1，y2，y3的大小，显然这种方法把抛物线向上平移6个单位，会得到哪条
2 抛物线？向下平移7个单位呢？ y=-3x +6
y=-3x2-7
2.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象:
a＞ 0 y＝ax2＋k a＜ 0
向上
y轴
(0，k)
向下
y轴
(0，k)
当x＝0时， y最大值＝k
2016/10/31
归 纳
（1）一般地，抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不同；
（2）抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2平移
k 个单位长度得
到（当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移）；
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
9
4
1
0
1
4
9
10 8
5 3
2 0
1 -1
2 0
5 3
10 8
描点，连线
y
10
y=x2+1
8
6
y=x2-1
4
2
y=x2
-5
O
5
x
-2
（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么？
（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？
C（ 5 ，y3）到对称轴的距离大于点B（2，y2）
到对称轴的距离，所以y2<y3，所以y3>y2>y1.
2016/10/31
知2－讲
归 纳
解答此类题有两种思路， 思路一：将三点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应 的y1，y2，y3的值，再比较大小，但这样计算比较困难，显 然不是最佳的方案；
（3）抛物线y=ax2+k有如下特点：当a>0时，开口向上；当
a<0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点为（0，k）.
2016/10/31
1.说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶
点坐标 (1) (2) (3) y=5x2 向上，y轴,（0, 向上，y轴,（0, 向下，y轴,（0, 0) 2) 6) - 4)
通常怎样画一个函数的图象？
… …
x
y=x2
-3
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
… …
9
y
9 8
y=x2
7
6
5
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2
O
-1
2
4
6
8
x
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=x2 , y=x2+1, y=x2-1的图象. 【解析】列表：
x … … … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … …
【例2】已知二次函数y=3x2+k的图象上有A（ 2 ，y1），
B（2，y2），C（ 5，y3）三点，则y1，y2，y3的
大小关系是（ D ） A.y1>y2>y3 C.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1
导引：因为a=3>0，所以图象开口向上，因为对称轴为y轴， 所以当x>0时，y随x的增大而增大，因为x1= 2 >0， x2=2>0，x1<x2，所以y1<y2，又 5 2 ，所以点
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方
1 2 向、对称轴及顶点.你能说出抛物线 y x k 2 1 的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 y x 2 2
1 2 1 2 1 2 y x , y x 2, y x 2 2 2 2
有什么关系？
知2－练
1
若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而 减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大 致是( A )
初三导学课3二次函数y=ax^2+K的图像与性质
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
1.开口方向由a的
符号决定；
2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴.
增减性结合 开口方向和 对称轴才能 确定.
平移规律：
k正向上； k负向下.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
大而增大.
增大.
三、二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究 解析式 y=2x2-1
-1
+1
y=2x2
y=2x2+1
点的坐标 (x,2x2-1 ) 函数对应值表
(x, 2x2 )
x y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1
… -1 -1.5 … 3.5 1 … 4.5 2
… 5.5 3
(x, 2x2+1 )
做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的
图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶
点高低、函数最值、函数增减性.
x
… –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 …
…
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 …
从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于 正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，
二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
3、(浙江湖州)已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一 平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数 y2＝ax+b的大致图象不可能是（ D ）
5.画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_27
学习目标：1.经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质的过程；2.能够理解函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响；3.能正确说出函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2的图象的性质.教学过程：一、探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质。
(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2y x=和21y x=+的图象；2.思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？（3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？3.归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+ k (a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到；当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。
二、探索二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质：1.操作：在上图右边直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象；2.思考：函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4.①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?三、例题：1.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到。
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
人教版初三数学上册y=ax^2+k的图象和性质
对___称__轴___左___侧__y__随__x__增__大___而__增___大___
对___称___轴__右___侧__y__随__x__增__大___而__减___小___
y
2
y2
1 3
x
2
2
-2 0 2
x
-2
-4
y1
1 3
x
2
2
y 1 x2 3
y = ax2+k ﹙a≠0)
抛 物 线
向 上
向 下
（0，0）
最
最
最小， 最大，对称轴左 对称轴左
y=0
y=0
侧y随x增 侧y随x增 大而减小，大而增大，
X=0
低
（0，k）
高
对称轴右 对称轴右
最小，最大，侧y随x增 侧y随x增
y=k y=k 大而增大；大而减小.
探究a>0时y=ax2与 y=ax2+k图象间的联系
-6
-4
-2
o
2
4
x6
-1
y
5
4
y 2x2 1
3
2
y 2x2
1
-6
-4
-2
o
2
y=2x2-1
4
6x
-1 对称轴右侧y随x增大而增大.
解析式 形 开口 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性 状 方向
y=2x2-1 抛 y=2x2 物 y=2x2+1 线
(0,-1) 向上 直线x=0 (0,0)
解析式 y=2x2-1 -1 y=2x2 +1 y=2x2+1
[K12配套]2017年九年级数学上册21.2.2第1课时二次函数y=ax2 k的图象和性质教案2新版沪科版
![[K12配套]2017年九年级数学上册21.2.2第1课时二次函数y=ax2 k的图象和性质教案2新版沪科版](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/2009f5632e3f5727a5e9626a.webp)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+k的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
我还注意到，在小组讨论中，部分学生依赖性强，独立思考能力较弱。为了培养学生的自主学习能力，我计划在今后的教学中，逐步增加学生的独立思考时间，鼓励他们提出自己的观点和解决方案。
此外，教学过程中的互动提问环节，学生的反应速度和准确性还有待提高。我将在今后的教学中，多设计一些启发式问题，引导学生主动探索，提高他们的思维敏捷性。
- a<0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。
（3）掌握二次函数y=ax^2+k的最值问题，能够求解函数的最大值和最小值。
- a>0时，函数最小值为k，无最大值。
- a<0时，函数最大值为k，无最小值。
（4）了解二次函数y=ax^2+k与坐标轴的交点，包括与x轴、y轴的交点及根的分布情况。
-与x轴的交点：当k=0时，交点为原点；当k≠0时，交点个数取决于判别式Δ=b^2-4ac的值。
-与y轴的交点：交点为（0，k）。
-根的分布：根据判别式Δ的正负判断根的分布情况。
2.教学难点
（1）理解二次函数图像与系数a、k的关系，特别是开口方向与a的正负关系。
九年级数学二次函数的图象和性质课件
向下平移k个单位
（k<0）
y=
2
ax
|k|
-
探究
抛物线y = a(x-h)2+k抛物线y=ax2 有什么关系？
y=ax2
向右（h＞0）或向左（h＜0）平
移|h|个单位长度
2
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
向上（k﹥0）或
向下（k﹤0）平
移|k|个单位长度
y=ax2+k
=a −h
向右（h＞0）或向左（h＜0）
平移|h|个单位长度
= a − h 2 +k
1
2
【提问】若将抛物线y= − x2 先向右平移3个单位，再向下平移2个单
思考
位后所得的图象与抛物线 = −
抛物线 =
1
−
2
+1
2
− 1与抛物线y=
1 2
− x
2
1
2
+1
2
− 1有什么关系呢？
有什么关系？
y=
1
−
2
与抛物线y=
+ 1, =
1 2
− x
2
1
−
2
−1
有什么关系？
二次函数"y=ax2+c"的性质
抛物线y = ax2+k
a>0
a<0
k>0
图象
k<0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
顶点坐标
（0，k）
（0，k）
函数的增减性
二次函数y=ax^2+k的图像与性质
向 下 平移 |k|个单位得到。
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
例1、分别说下列抛物线的开口方向，对称 轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1
(4) y= −2x2+3
例2 ： 按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
新苏科版九年级数学下册《5章二次函数5.2二次函数的图像和性质y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_32
习兴趣。
新旧知识 比较，猜想激 发学生学习新 知识的欲望．
样的性质？
质，为本节课学
2．猜想： y＝ x2＋1 的图像可能与上述哪个函数图 像有关系？
习打下基础．
环节 活动一：画图与观察 二 1．填表： 画函数 y＝ x2 和 y＝x2＋ 1 的图像．
按 照列 表、 描
学生经历
列表、描点、
点、连线的过程 作图、观察、
学生先交流、 尝
的变化规律， 初步感受点坐 标的变化带来 图形位置的变 化；新问题 y ＝ ax2＋ k 将 k 的取值由 1 变 为－ 2，丰富了 学生对上下平 移的认识．质．
的图像与函数 y＝ax2（ a≠ 0）的图像有什么关系？ （2）二次函数 y＝ ax2＋ k（ a≠0）有什么性质？
试概括，师生共 同总结出结论：
2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数 y＝ x2＋1 的图像和 y＝ x2 的图像；
画函数图像
比较、思考的
过程，引导学
画图， 观察、思 生观察表中数
3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所 对应的两个函数的函数值有什么关系？
考并交流提出 的问题．
据的变化与点 在平面内位置 的变化的关
（2）从对应点的位置看：函数 y＝ x2＋1 的图像和Leabharlann 系，进而得到 函数图像位置
y＝ x2 的图像的位置有什么关系？
（3）根据图像，你能得出函数 y＝ x2＋1 的图像的
性质吗？ 4．猜想：函数 y＝ x2－2 的图像和 y＝ x2 的图像的 位置有何关系？函数 y＝ x2－ 2 的图像有哪些性 质？ 总结与归纳
思考：（1）由上面的例子，你发现函数 y＝ ax2＋ k
像与函数 y＝ax2（a≠0）的图像有什么关系？ （2）函数 y＝a(x＋h)2 有什么性质？
苏科版九年级下册数学 5.2 y=ax^2+k、y=a^2的图像(共19张PPT)
二次函数y＝a(x ＋ m)2（ m＜0）的图像是由二次函数 y＝ax2的图像沿 x 轴向＿右＿平移｜＿m＿｜个单位长度得到的．
二次函数y＝a(x+m)2 顶点坐标是＿（-m，0）＿ ，对称轴
是＿过（＿-m，0）与y轴平行的直线
．
1．将函数y＝2x2－2的图像先向 上 平移 2 个单 位，就得到函数y ＝ 2x2的图像，再向 右 平移 3 个
幻灯片 7
（2）描点、连线．
从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝
x2的图像的位置有什么关系？
y
10
（3）函数y＝x2－2的图像和
9 8
y=x2的图像的位置有何关系？
7 6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
幻灯片 8
y
y=x2+1
8
6
4
2
y=x2
-10
-5
O
5
x 10
-2
y
8
6
4
y=x2
2
-10
-5
O
5
x 10
y=x2-2
-2
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
2. y＝-x2＋3， y＝-x2-2 与 y＝-x2
又有什么关系呢？ 画出草图，进行比较
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
a>0
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时， y随着x的增大而增大。