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圆锥曲线高考题(全国卷)

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全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)

全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)

全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

2024_2025年高考数学真题分类汇编15圆锥曲线选填题

2024_2025年高考数学真题分类汇编15圆锥曲线选填题

圆锥曲线小题一、选择题1．(2024年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A B C D 【答案】A解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =．故选：A2．(2024年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的随意一点P 都满意||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C3．(2024年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p．故选：C ．4．(2024年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( )A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 解析：2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B ．5．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A解析：5ca=，c ∴=，依据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．6．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( ) A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 依据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．7．(2024年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 ( )A ．4B C ．D ．【答案】A【解析】由2,a b c ====,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则2P y ==1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ． 8．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C的离心率为()( )A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又∵||PQ OF c ==，∴||2c PA =， PA 为以OF 为直径的圆的半径，∴A 为圆心||2c OA =．∴,22c c P ⎛⎫⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，∴22244c c a +=，即222c a =，∴2222c e a==，∴2e =，故选A ．9．(2024年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以232p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得8p =，故选D ．10．(2024年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．在1ABF △中，由余弦定理可得2222129491cos 12sin 2323t t t BAF OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯，)的左、右OP ，则C 的离心率为 ( )A B ．2CD【答案】C解析：法一：依据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线by x a=的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P Pab y c ax c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由22116PF PF OP =⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得42222240a a c c a b -++=即()422222240a a c c a c a -++-= 即4223c a c =即223c a =，所以23e =，所以e =C ．法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，222cos PF bPF O OF c∠== 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF bPF O PF F F c+-∠==所以)222422b c bb cc+-=⋅，整理可得2222464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==-所以223c a =，所以e =C ．12．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D解析：因为12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由余弦定理得1PF =，所以(2)P c ，而(,0)A a -，由已知AP k =，得4a c =，即14e =，故选D ．13．(2024年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>线方程为( ) A．y = B．y =C．y = D．y = 14．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN =( )A ．32B ．3C．D ．4【答案】B解析：双曲线22:13x C y -=的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60，不妨设过()2,0F 的直线为：)2y x =-，则)2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得3,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;)23y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得：(3,N ，则3MN ==，故选B ．15．(2024年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D解析：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为23的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，解得122,4y y ==，不妨()1,2M ，()4,4N ，()0,2FM =，()3,4FN =，则()()0,23,48FM FN ==，故选D ． 16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过F 作两条相互垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于,A B 两点,直线2l 与C 交于,D E 两点,则AB DE +的是小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,3344(,),(,)D x y E x y ,直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满意22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号．17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆2222:1x y C a b+=，()0a b >>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )A．3B．3C．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为原点，半径为R a =，该圆与直线20bx ay ab -+=相切所以圆心()0,0到直线20bx ay ab -+=的距离d R a ===，整理可得223a b =所以c e a ==3==，故选A ．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 ( ) A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】由渐近线的方程y x =，可设双曲线的方程为2245x y λ-= 又椭圆221123x y +=的焦点坐标为()3,0± 所以0λ>，且24531λλλ+=⇒=，故所求双曲线C 的方程为：22145x y -=，故选B ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线C:22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 ( )A ．2BCD．3【解析】解法一：常规解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a=±，依据直线与圆的位置关系可求得圆心到=，解得2e =．解法二：待定系数法设渐进线的方程为y kx =∴=23k =；由于渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法三：几何法从题意可知：112OA OO O A ===，1OO A ∆为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3π由于tan k θ=，可得3k渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法四：坐标系转化法依据圆的直角坐标系方程：()2224x y -+=，可得极坐标方程4cos ρθ=，由4cos 2θ=可得极 角3πθ=，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以3k =渐近线的斜率与离心率关系为221k e =-，解得2e =． 解法五：参数法之直线参数方程如上图，依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为by x a =±，可以表示点A 的坐标为()2cos ,2sin θθ，∵ cos a c θ=，sin b c θ= ∴ 点A 的坐标为22,a b c c ⎛⎫⎪⎝⎭，代入圆方程中，解得2e =．20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B 、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得12OE OB FM BC =,即2()ka ak a c a c=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率13e =,故选A. 21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF |=1，则22a 所以1a ，248c ，所以2c ，所以2e故选Ａ．22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点．已知42AB =，25DE =，则C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A)2(B)4(C)6(D)8【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，题目条件翻译如图：设(0,22A x ，52p D ⎛-⎝， 点(0,22A x 在抛物线22ypx =上，∴082px =……①点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =． 故选B ．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+错误!未指定书签。

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ， 当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ， 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。

2024年全国一卷数学新高考题型细分S13圆锥曲线解答题3

2024年全国一卷数学新高考题型细分S13圆锥曲线解答题3

2024年全国一卷新高考题型细分S13——圆锥曲线 大题31、试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。

其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。

2、题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。

方便老师备课选题。

3、题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。

4、《圆锥曲线——大题》题目主要按长短顺序排版，具体有：短，中，长，涉后导数等，大概206道题。

每道题目后面标注有类型和难度，方便老师备课选题。

1. （2024年冀J12大数据应用调研）19. 已知圆()()22:4,1,0,1,0O x y B C +=-.点M 在圆O 上，延长CM 到A ，使CM MA =，点P 在线段AB 上，满足()0PA PC AC +⋅=.（1）求点P 的轨迹E 的方程；（①）（2）设Q 点在直线1x =上运动，()()122,0,2,0D D -.直线1QD 与2QD 与轨迹E 分别交于G H ，两点，求OGH 面积的最大值.（椭圆，中下；面积，最值，中档；）2. （2024年冀J16邯郸三调）18. 已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b +=>>经过2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（②）（2）若圆221x y +=的两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值． （椭圆，基础；面积，最值，中档；）3. （2024年冀J11衡水一模）17. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（③）（2）求AB 的范围.（椭圆，基础；长度，范围，中档；）4. （2024年粤J105湛江二模）18. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点(D 到左､右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线C 的方程，（④）（2）已知()(),3,03,0A B -，过点()5,0的直线l 与C 交于,M N （异于,A B ）两点，直线MA 与NB 交于点P ，试问点P 到直线2x =-的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由， （双曲线，易；距离，定值，中档；）5. （2024年粤J104名校一联考）16. 现有一“v ”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A 点．物件可绕A 点在平面内旋转．AP 间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．（1）在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP 间距离最短为多少；（⑤）（2）为了使椭圆物件能自由绕A 点自由转动，AP 间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性． （椭圆，距离最值，中档；距离最值，中档；）6. （2024年闽J13厦门二检）17.（15分）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，点T在C 上.（1）求C 的方程；（⑥）（2）设圆O ：222x y +=上任意一点P 处的切线交C 于M 、N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.（双曲线，基础；圆切线，定点，中档；）7. （2024年湘J42岳阳三检）18．已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(⑦)(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=； (2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值． （斜率，中下；中点，定值，中档；）8.（2024年湘J47长沙雅礼二模）17．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>右焦点为(),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -. （1）求椭圆G 的方程；（⑧） （2）求PAB 的面积. （椭圆，易；面积，中下；）9. （2024年鲁J46烟台二模）19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()1,0F ，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ． (1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；（⑨）(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值． （椭圆，定直线，中档；长度，中档；）10. （2024年鲁J38济宁三模）18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P . (1)求椭圆E 的标准方程；（⑩）(2)过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.（椭圆，基础；角度，直线，中档；）11. （2024年鲁J42青岛二适）16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1． (1)求椭圆E 的方程；（11）(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程． （椭圆，中下；直线，中档；）12. （2024年浙J40台州二评）18．已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x -交椭圆于M ，N 两点，T为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标；（12） (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长. （椭圆，易；圆，中下；圆切线，周长，中档；）13. （2024年浙J31五校联考）16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离11． (1)求该椭圆的方程；（13）(2)对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P '，求PF P F '+； (3)过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB 面积的最大值． （椭圆，中下；椭圆，基础；面积最值，中档；）14. （2024年苏J35南京二模）18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧). (1)求E 的渐近线方程；（14）(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围． （双曲线，基础；范围分析，中档；）15. （2024年粤J138汕头金南三模）19．已知动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹方程；（15）(2)设过点P 且斜率为1）中的曲线交于A 、B 两点，求AOBS ；(3)设点(,0)N a 是x 轴上一定点，求M 、N 两点间距离的最小值()d a ． （抛物线，中下；面积，中下；距离最值，中档；）16. （2024年粤J137梅州二模）15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，且经过点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程：（16）(2)求椭圆C 上的点到直线l ：2y x =的距离的最大值． （椭圆，基础；最值，中下；）17. （2024年粤J136茂名高州一模）21．已知抛物线()2:20C y px p =>，F 为抛物线的焦点，,P Q 其为准线上的两个动点，且PF QF ⊥.当2PF QF =时，5PQ =. (1)求抛物线C 的标准方程；（17）(2)若线段,PF QF 分别交抛物线C 于点,A B ，记PQF △的面积为1S ，ABF △的面积为2S ，当129S S =时，求PQ 的长.（抛物线，基础；面积，长度，中档；）18. （2024年粤J135茂名二测）17．已知椭圆22:12x C y +=，右焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于,A B 两点.(1)若直线l 的倾斜角为π4，求AB ；（18）(2)记线段AB 的垂直平分线交直线=1x -于点M ，当AMB ∠最大时，求直线l 的方程. （椭圆，常规，基础；最值求直线，中档）19. （2024年粤J133江门开平忠源）18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点与椭圆2215x y +=的焦点重合，其渐近线方程为y =. (1)求双曲线C 的方程；（19）(2)若,A B 为双曲线C 上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x =过AB 的中点，求直线AB 的斜率.（双曲线，常规，基础；直线中点，斜率，中下）20. （2024年冀J47唐山二模）18．已知椭圆C 的右焦点为()1,0F ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为ABDE 内接于椭圆C ． (1)求椭圆C 的标准方程；（20）(2)（ⅰ）坐标原点O 在边AB 上的投影为点P ，求点P 的轨迹方程； （ⅰ）求菱形ABDE 面积的取值范围．（椭圆，基础；轨迹，中档；面积范围，中上）①【答案】（1）22143x y +=（2【解析】【分析】（1）由题意可得PA PC =，再根据M 为AC 的中点，可得12OM AB =，再根据PB PC PB PA AB +=+=，结合椭圆的定义即可得解；（2）设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，根据1,,Q G D 三点共线，2,,Q H D 三点共线，求出,G H 两点坐标的关系，设GH 的方程为ty x m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,y y y y +，再根据弦长公式及点到直线的距离公式分析即可得解. 【小问1详解】因为()0PA PC AC +⋅=，所以()()0PA PC PC PA +⋅-=， 所以22PA PC =，所以PA PC =， 因为CM MA =，所以M 为AC 的中点， 又因O 为BC 的中点，所以122OM AB ==，所以AB 4=，则4PB PC PB PA AB BC +=+==>，所以点P 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆，而22213-=，所以点P 的轨迹E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）得()()122,0,2,0D D -是椭圆E 的左右顶点， 设()()()011221,,,,,Q y G x y H x y ，由1,,Q G D 三点共线，得11//D Q D G ，而()()101113,,2,D Q y D G x y ==+， 所以()10132y y x =+，所以10132y y x =+， 由2,,Q H D 三点共线，得22//D Q D H ，而()()101221,,2,DQ y DG x y =-=-， 所以()1012y y x -=-，所以2022y y x =--， 所以1212322y y x x =-+-，即()()12213220y x y x -++=， 设GH 的方程为ty x m =+，联立22143ty x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120t y tmy m +-+-=，则()()()222222Δ3643431248340t m t m t m =-+-=-+>，21212226312,3434tm m y y y y t t -+==++，所以()2121242m ty y y y m-=+，由()()12213220y x y x -++=，得()()12213220y ty m y ty m --+-+=， 即()()122142320ty y m y m y ---+=， 所以()()()()21221242320m y y m ym y m-+---+=，所以()()()214220m m y m y ⎡⎤+--+=⎣⎦恒成立，所以4m =-， 则()2Δ483120t =->，所以24t >， 则21221234243634,t y y y y t t ==++-+，GH 的方程为4ty x =-，所以GH ==，原点O 到直线GH 的距离d =则12424323416OGHSGH d t ====-++≤===t =时取等号，所以OGH【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．②【答案】（1）22143x y +=．（2）24049． 【解析】【分析】（1）依据椭圆经过两点，将点的坐标代入椭圆方程，待定系数法解方程即可；（2）设其中一条的斜截式方程，首先由直线与圆相切，得出直线的斜率与截距关系；再设而不求，用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长，再利用条件知两弦垂直，故四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅，利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数，利用函数求最值. 【小问1详解】因为E过点P ⎛ ⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以2222231,2191,4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩ 故E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由题知12,l l 的斜率存在且不为0． 设1:(0)l y kx m k =+≠． 因为1l 与圆221x y +=1=，得221m k =+．联立1l 与E 的方程，可得()2223484120kxkmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,C x y ，则122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+．所以12AC x =-==，将221m k =+代入，可得AC =．用1k-替换k，可得BD =四边形ABCD 的面积123434S AC BD k k =⋅=++令21t k=+，则(1,)t ∈+∞，可得212S t t==+-， 再令u =(1,)t ∈+∞，则52u ⎤∈⎥⎦，可得2242424240652649625u S u u u ==≥=+++⨯，即四边形ABCD 面积的最小值为24049．③【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4 【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解； 【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b ==，所以椭圆的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】由（1）知()11,0F -，()21,0F ， 当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 易得()22Δ636(34)0m m =++>，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB ==2221212443434m m m +===-++， 因为20m ≥，所以2344m +≥，所以240134m <≤+，所以34AB ≤<，综上，34AB ≤≤，即AB 的范围是[]3,4.④【答案】（1）2219x y -=（2）是定值，定值为195【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义与点在双曲线上得到关于,a b 的方程，解之即可得解；（2）假设直线l 方程5x my =+，联立双曲线方程得到1212,y y y y +，再由题设条件得到直线AM 与BN 的方程，推得两者的交点P 在定直线上，从而得解. 【小问1详解】依题意可得22222661a ab =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得23,1a b ==，故双曲线C 的方程为2219x y -=.【小问2详解】由题意可得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为5x my =+，联立22519x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()22910160m y my -++=， 则290m -≠，()()()222Δ10416936160m m m =-⨯-=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则1212221016,99m y y y y m m -+==--， 又()()3,0,3,0A B -， 直线11:(3)3y AM y x x =++，直线22:(3)3y BN y x x =--， 联立1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得()()()()2121122121212138833322y x y my my y y x x y x y my my y y ++++===--++()1122212121121112216806488889994161622299m m my y my y y y y m m m m m my y y y y m m ----++----====-+++--， 即343x x +=--，解得95x =， 所以点P 在定直线95x =上，因为直线95x =与直线2x =-之间的距离为919255+=， 所以点P 到直线2x =-的距离为定值，且定值为195. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.⑤【答案】（1）13- （2）13+，证明见解析 【解析】【分析】（1）如图，设00(,)P x y 和过点P 的直线，切线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示1212,k k k k +，进而可得121200tan 1k k MPN k k -∠==+，结合tan 0MPN ∠>或tan MPN ∠≤（2）当PA 恒为正实数R 时，设11(,)B x y 1(11)y -≤≤为椭圆上任意一点，则2163PB ≤，进而1R x >=.由（1）可得222012(320)(320)160R y R -+--≤或20320620R y -++≥，利用换元法，结合011R y R -≤≤+建立不等式组，化简可得2310R ≥+.【小问1详解】由题意，如图，该椭圆的方程为2214x y +=，(0,1)A ，,PM PN 分别为椭圆的2条切线，切点分别为,M N ，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k .设00(,)P x y ，当02x =±时，12,k k 其中1个不存在，另1个趋于∞； 当02x ≠±时，设过点P 的直线为00()y k x x y =-+(0)k ≠，00222200002()(14)8()4()4014y k x x y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩， 所以2222000064()16(14)[()1]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理，得220000(4)210x k x y k y --+-=，①由12,k k 是方程①的2个实根，得20001212220021,44x y y k k k k x x -+==--， 所以220002222200121212222012122021()444()4tan 11(1)(1)4x y y x x k k k k k k MPN y k k k k x -----+-∠===-+++- 2222222000000022222222000004()4(1)(4)(4)4(44)(4)(5)(5)x y y x x x y x x y x y ----+-=⨯=-+-+-， 又220014x y +>，所以2200440x y +->， 当220050x y +->时，点P 在圆225x y +=的外部，则tan 0MPN ∠>，此时00tan MPN ∠=；当220050x y +-<时，点P 在圆225x y +=的内部，则tan 0MPN ∠>，此时00tan MPN ∠=，所以00tan MPN ∠=.又tan 0MPN ∠>或tan tan120MPN ︒∠≤=，000>00≤整理，得220050x y +-≥或2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-.要求PA 的最小值，只需考虑MPN ∠为钝角的情况，即2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-且220050x y +-<，得22222220000003(5)4(44)4(444)x y x y x y +-≤+-≤+-.令2OP t =，则5t <且23(5)4(44)t t -≤-，即2346910t t -+≤，解得7133t ≤≤，所以OP ≥13PA OP OA ≥-=-，当且仅当,,P O A 三点共线时等号成立.故00tan MPN ∠=053=-，得120MPN ︒∠=. 综上，PA的最小值为13-. 【小问2详解】当PA 恒为正实数R 时，设11(,)B x y 1(11)y -≤≤为椭圆上任意一点， 则22222211111111216(1)213255333PB x y x y y y y =+-=+-+=--+≤-++=，当且仅当1113x y ==时等号成立，所以13R x >=. 由（1）知，2222200004(44)3(5)x y x y +-≥+-或220050x y +-≥，由22200(1)x y R +-=，得22222200004[(1)44]3[(1)5]R y y R y y --+-≥--+-或22200(1)50R y y --+-≥，即22220004(325)3(26)y y R R y ++-≥+-或20260R y +-≥，整理，得222012(320)(320)160R y R -+--≤或20320620R y -++≥，令2320u R =-，则4u >-，得2012160uy u +-≤或0620u y ++≥，011R y R -≤≤+.当2203R ≤即0u <时，201612u y u-≥或026u y --≥，令v u =-，则04v <<，得201612v y v -≥-或026v y -≥，又011y ≤得216112v v --或216v -≥，而12111136v -=<-<-<，所以216112v v--，整理，得010v <≤-10u ≥- 当0u ≥时，010u ≥>，符合题意.综上，10u ≥，则232010u R =-≥，即2310R ≥+解得1R ≥+，所以R1，即PA1.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．⑥17. 方法一：（1）依题意：22222221a b c a b ca⎧-=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，……2分解得：21a =，22b =，……3分所以双曲线方程为2212y x -=.……4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，……6分联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩， 则12222kmx x k+=-，212222m x x k --=-，()()()222222442282k m k m m k ∆=+-+=+-.……8分 由对称性知，若以MN 为直径的圆过定点，则定点必为原点.……9分1212OM ON x x y y ⋅=+……10分()()()()22121212121x x kx m kx m k x x mk x x m =+++=++++……11分 ()2222222122m km kmk m k k--=+++-- 222222m k k --=-.……12分又2222m k =+，所以0OM ON ⋅=，所以OM ON ⊥，故以MN 为直径的圆过原点.……13分②当直线斜率不存在时，直线方程x =(222x y ±+=，恒过原点.综上所述，以MN 为直径的圆过原点.……15分 方法二：（1）同方法一；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，①当切线斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，=2222m k =+，……6分联立()22222122202y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩， 则12222km x x k+=-，212222m x x k --=-，()()()222222442282k m k m m k ∆=+-+=+-.……8分 以()11,M x y ，()22,N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=， 即()()22121212120x x x x x x y y y y y y -+++-++=，……9分因为()()()()221212*********x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++，所以()222221212222222210222m km m k x x y y k km m k k k ----+=+⋅+⋅+==---，……11分 且()121222242222km my y k x x m k m k k +=++=⋅+=--， 所以所求的圆的方程为222224022km m x x y y k k -+-=--，……12分所以MN 为直径的圆过原点.……13分②当直线斜率不存在时，直线方程x =(222x y ±+=，恒过原点.综上所述，以MN 为直径的圆过原点.……15分⑦18．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）先有两点间距离公式求出圆心的轨迹方程，再由斜率的定义表示出斜率，利用轨迹方程化简斜率之差即可证明；（2）先设直线MN 的方程为y kx b =+，直曲联立，用韦达定理表示出线段MN 中点坐标()22,21Q k k --+进而得到Q 的轨迹方程是222x y =-+，再与动圆P 的方程联立，得到C 、D 、G 的横坐标分别为c ，d ，g ，最后利用()()()0x c x d x g ---=的展开式系数与3(42)40x b x a +-+=相同，得到2x 系数为零即可. 【详解】（1）设点(,)P x y ，|3|y =-， 化简并整理成248x y =-+， 圆心P 的轨迹E 的方程为248x y =-+1211,22y y k k x x --==+-，122114(1)224y y y k k x x x -----=-=+--， 又248x y =-+， 所以24(1)4(1)1444y y x y ，所以121k k -=.（2）显然直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx b =+，由248x y y kx b ⎧=-+⎨=+⎩，消y 并整理成24480x kx b ++-=， 在判别式大于零时，1248x x b =-， 又124x x =-，所以1b =， 所以2440x kx +-=，1y kx =+，()21212124,242x x k y y k x x k +=-+=++=-+，所以线段MN 的中点坐标为()22,21Q k k --+，设(,)Q x y ，则2221x k y k =-⎧⎨=-+⎩，消k 得222x y =-+， 所以Q 的轨迹方程是222x y =-+，圆P 过定点(0,1)F ，设其方程为22(1)(1)0x y ax b y +-++-=，由222(1)(1)022x y ax b y x y ⎧+-++-=⎨=-+⎩，得42(42)40x b x ax +-+=， 设C 、D 、G 的横坐标分别为c ，d ，g ，因为C 、D 、G 异于F ，所以c ，d ，g 都不为零， 故3(42)40x b x a +-+=的根为c ，d ，g ， 令()()()0x c x d x g ---=，即有32()()0x c d g x cd dg gc x cdg -+++++-=， 所以0c d g ++=，故CDG 的重心的横坐标为定值．【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是圆P 过定点(0,1)F ，设其方程为22(1)(1)0x y ax b y +-++-=，然后与Q 的轨迹方程联立，表示出重心横坐标的方程，然后利用待定系数法求出结果.⑧17．（1）221.124x y +=（2）92【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知a =2224b a c =-=，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线y x m =+，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出AB 中点为00(,)E x y 的坐标，再根据ⅰPAB 为等腰三角形知PE AB ⊥，从而得PE 的斜率为241334mk m -==--+，求出2m =，写出AB ：20x y -+=，并计算||AB = 【详解】（1）由已知得c =ca=a =2224b ac =-=， 所以椭圆G 的方程为221124x y +=．（2）设直线l 的方程为y x m =+，由22,{1124y x m x y ，=++=得22463120x mx m ++-=，ⅰ设A 、B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y （12x x <），AB 中点为00(,)E x y ， 则120324x x m x +==-，004my x m =+=， 因为AB 是等腰ⅰPAB 的底边，所以PE AB ⊥．所以PE 的斜率为241334mk m-==--+，解得2m =，此时方程ⅰ为24120x x +=． 解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以||AB =， 此时，点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离d =所以ⅰPAB 的面积1922S AB d =⋅=． 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离. 【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．⑨19．(1)证明见解析，4x =(2)12【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，写出,A B 两点处的切线方程，由对称性得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得Q x ，再代入()()1122=1,=1y k x y k x --即可证明；法二：由点(),Q Q Q x y 在两切线上得直线AB 的方程143Q Q x y x y +=，结合直线AB 过点()1,0F ，即可得出Q x ；（2）由（1）得出直线OQ 的方程，设直线AB 和OQ 交于点P ，得出P 为线段AB 的中点，由弦长公式得出AB 进而得出AP ，由两直线夹角公式得出tan APM ∠，得出243k AM AP k+=⋅，根据基本不等式求解即可．【详解】（1）由题意可知，231a -=， 所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=， 设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠， 联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 可得，()22223484120k x k x k +-+-=， 所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++， 因为过点A 的切线为11143x x y y+=，过点B 的切线为22143x x y y +=， 由对称性可得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上， 法一：联立1122143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，()2112214Q y y x x y x y -=-，将()()1122=1,=1y k x y k x --代入上式得()()()()212112211244411Q k x x k x x x kx x kx x kx kx --===----+，所以Q 点在直线4x =上．法二：因为点(),Q Q Q x y 在两切线上，所以1122114343Q QQ Q x x y y x x y y+=+=，， 所以直线AB 的方程为143Q Q x y x y +=，又直线AB 过点()1,0F ，所以10143QQ x y ⨯+⨯=，解得4Q x ．（2）将4x =代入11143x x y y+=得，()()()1111313131Q x x y y k x k --===--，直线OQ 的方程为34y x k =-， 设直线AB 和OQ 交于点P ，联立()134y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得22434P kx k =+， 又221222418342342P k k x x x k k +==⋅=++，所以P 为线段AB 的中点，因为()212212134k AB x k +=-==+， 所以()226134k AP k +=+，又因为23434tan 314k AM k kAPM k AP k k ++∠===⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()2222614343161234k k k AM AP k k k k k +⎛⎫++=⋅=⋅=+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当1k =±时，等号成立， 故AM 的最小值为12．⑩18．(1)2212x y +=；(2)550x y ++=.【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得. 【详解】（1）令(,0)F c -，由c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =， 由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2， 则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=， 由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++， 由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=， 则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-， 所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.1116．(1)22143x y +=(2)10x y -=或10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B、C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c ，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121c a a c a b c⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A == 所以122y y =-ⅰ设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=， 由韦达定理得()122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩， 把ⅰ式代入上式得222226349234m y m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++， 解得m =， 所以直线l 的方程为：10x y +-=或10x y -=.1218．(1)0,⎛ ⎝⎭(2)221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）化简椭圆的标准方程，根据,,a b c 的关系即可求得焦点坐标；（2）先联立方程求得()1,3M -，()1,3N --，求出直线MT 的方程，然后利用待定系数法求得内切圆的方程；（3）设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =-+，利用相切关系求得点A ，B 坐标，进而结合内切圆的半径利用三角形中等面积法求解即可.【详解】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988-=，所以焦点坐标为0,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x -代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M -，()1,3N --， 直线MT 的方程为()3313y x =---，即3490x y +-=， 设圆Q 方程为()222x t y r -+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >-， 则Q 到直线MN 和直线MT的距离相等，即1t r +=，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在， 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =-+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率. 由圆Q32=，化简得：2812270k k +-=，则121232278k k k k ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++-+--=， 可得21121848989A P A k k x x x k --==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫----+=-+=-+= ⎪++⎝⎭ ()()()111113271218271833271291232k k k k k ---+-===--+-.同理22222848989B k k x k --=+，32B y =-，所以直线AB 的方程为32y =-， 所以AB 与圆Q 相切，将32y =-代入229881x y +=得x =所以AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB的面积13192222ABC S m =⨯=⨯△，解得m =所以PAB的周长为.1316．(1)2212x y +=；(2)【分析】（1）设出椭圆上的点00(,)M x y ，求出||MF 的最值，进而求出,a c 即可. （2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【详解】（1）令(,0)F c -，设00(,)M x y 是椭圆22221x y a b+=上的点，则22220002(),b y a x a x a a =--≤≤，则0||c MF a x a===+，显然当0x a =-时，min ||MF a c =-，当0x a =时，max ||MF a c =+，则11a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）记椭圆的右焦点为F '，由椭圆对称性知，||||P F PF ''=，所以2PF P F PF PF a +=+==''（3）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为2x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22222x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(2)420m y my +++=，222168(2)8(2)0m m m ∆=-+=->，则12122242,22m y y y y m m +=-=++，12||y y -=因此12|1|||2ABFS QF y y =-=，令0t =>，于是ABFS=≤=，当且仅当2t =，即m =所以FAB1418．(1)y =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，3a b ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围． 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =. 由222+=a b c ，得3ab ，所以E的渐近线的方程为y = （2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，12111122OP OQ y y +=+===设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，343411y y AF BFy y --=3423422y y pm y y p p +== 由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣⎭，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．1519．(1)28y x =(3)4(),4a d a a a ≥=<⎪⎩【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心M 的轨迹方程； （2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，再由12AOBA B SOP y y =-计算可得； （3）根据题设先求出MN 的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得. 【详解】（1）因为动圆M （M 为圆心）过定点(2,0)P ，且与定直线:2l x =-相切，即点M 到定点(2,0)P 的距离与到直线:2l x =-的距离相等，且点(2,0)P 不在直线:2l x =-上， 所以由抛物线定义知：圆心M 的轨迹是以定点()2,0P 为焦点，定直线:2l x =-为准线的抛物线，抛物线方程形如()220y px p =>，又22p=，则4p =， 故圆心M 的轨迹方程为28y x =．（2）如图，由题知，直线AB的方程为)2y x =-，由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得6x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23A ⎛ ⎝⎭，(6,B -， 所以()11222AOBA B SOP y y =-=⨯-=（3）设(),M x y ，则28y x =()0x ≥，又(,0)N a ，则MN ==)0x =≥，因二次函数()24816y x a a =-++-的对称轴为4x a =-，故当40a -≥，即4a ≥时，min 816y a =-，此时min ()MN d a =当40a -<，即4a <时，2min y a=，此时min ||()MN d a a ==.所以4(),4a d a a a ≥=⎨<⎪⎩.1615．(1)22143x y +=【分析】（1）由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将点T 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）设与2y x =平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．【详解】（1）由椭圆的离心率为12，可得12c e a=，可得2234a b =，设椭圆的方程为：2222143x y t t+=，20t >，又因为椭圆经过点3(1,)2T ，所以2213144t t +=，解得21t =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）设与直线2y x =平行的直线的方程为()20y x m m =+≠，联立222143y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：2219164120x mx m ++-=，22216419(412)0m m ∆=-⨯⨯-=，可得219m =，则m =所以直线2y x m =+到直线2y x =的距离d ==所以椭圆C 上的点到直线:2l y x =1721．(1)24y x = (2)649【分析】（1）首先利用勾股定理求出QF ，PF ，再由等面积法求出p ，即可得解；（2）设直线AB 的解析式为x ky b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意0FA FB ⋅=，即可得到22614b b k -+=，再由129S S =得到线段的比例关系，从而求出b ，再计算出12y y -，最后根据P Q PQ y y =-及韦达定理计算可得. 【详解】（1）方法一：5PQ =，PF QF ⊥，2PF QF =，22225QF PF PQ ∴+==，解得QF =PF = ∴在PQF △中，根据等面积法1122PQ MF PF QF ⋅=⋅，5p ⨯=2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =；方法二：设x 轴与准线的交点为M .,PF QF ⊥∴当2PF QF =时，tan 2tan PQF AFM ∠==∠，2PM MF ∴=，2MF MQ =.552PQ PM MQ MF ∴=+==，2MF p ∴==， ∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）由（1）可得抛物线的焦点()1,0F ，准线为=1x -， 依题意，直线AB 的斜率不为0，∴设直线AB 的解析式为x ky b =+，()11,A x y ，()22,B x y .联立24y x x ky b⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y ky b --=，显然0∆>，124y y k ∴+=，124y y b =-.由PF QF ⊥，则0FA FB ⋅=，可得()()11221,1,0x y x y -⋅-=，()()1212110x x y y ∴--+=，整理得22614b b k -+=.ⅰ易知直线AF 的解析式为()1111y y x x =--，令=1x -，可得1121P y y x -=-， 同理可得2221Q y y x -=-. 129S S =，9PF QF AF BF ∴⋅=⋅，即9PF BFAFQF =⨯，219P Qy y y y ∴=.129P Q y y y y ∴=，12121222119y y x x y y --⋅--∴=，()()124911x x ∴=--，即1249y y -=，19b ∴=.12169y y ∴-=. 所以()()1212211212122222221111P Q y y x y x y y y PQ y y x x x x ---+-=-=-=---- ()121212121264249y y y y y y y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-=-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.1817．(2)10x-=或10x -=【分析】（1）由椭圆方程，即可求出椭圆右焦点坐标，根据直线的点斜式，联立直线方程和椭圆方程，求得交点,A B 的坐标，根据两点之间距离公式可求得AB ；（2）联立直线方程和椭圆方程，根据椭圆的弦长公式可求得|AB |，计算AB 的中点,G MG ，利用AMB ∠最大求得直线方程【详解】（1）由题意可得()1,0F ，因为直线l 的倾斜角为π4，所以πtan 14k ==，因此，l 的方程为1y x =-，联立方程22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得2340x x -=解得1240,3x x ==所以()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此，AB =（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得，直线l 的斜率不为0，故设l 为1x my =+， 联立方程22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得，()222210m y my ++-=，0∆>，因此12122221,22m y y y y m m -+==-++， 所以)2212m AB m +==+，设线段AB 的中点为G ， 则12222,1222G G G y y m y x my m m +==-=+=++，所以()22242122m MG m m +=-=++，所以12tan 2ABAMB MG∠==设t =，则tan 2AMB t t ∠===≤+，当且仅当t =m = 当2AMB∠最大时，AMB ∠也最大，此时直线l 的方程为1x =+， 即10x-=或10x -=1918．(1)2213x y -=(2)1【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.【详解】（1）椭圆2215x y +=的焦点为()2,0±，故224a b +=，由双曲线的渐近线为y x =，故b a =1,b a == 故双曲线方程为：2213x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M ， 因为M 在直线1:3l y x =，故13M M y x =，而121231y x -=，222231y x -=，故()()()()1212121203x x x x y y y y -+--+=， 故()()121203M M x x xy y y ---=，由题设可知AB 的中点不为原点，故0M M x y ≠，所以121213M My y xx x y -==-， 故直线AB 的斜率为1.此时12:33M M M AB y x x x x x =-+=-，由222333M x y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩可得222333M x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得到：22424303M M x x x x -++=， 当222416Δ168324033M M M x x x ⎛⎫=-+=-> ⎪⎝⎭即M x <M x >即当M x <M x >AB 存在且斜率为1.2018．(1)22143x y +=(2)（ⅰ）2212 7x y+=；（ⅰ）48,7⎡⎢⎣．【分析】（1）利用题意列出两个方程，联立求解得,a b的值，即得椭圆方程；（2）（ⅰ）设AB方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用菱形对角线互相垂直得到()221217km+=，再由题意推出22212||17mOPk==+，即得点P的轨迹方程；（ⅰ）利用弦长公式求出AB =算出AOB的面积表达式S=t的函数S=图象即可求其取值范围.【详解】（1）根据题意设椭圆C的标准方程为22221x ya b+=，由已知得，1222a b⨯⨯==ab1c=可得，221a b-=，联立解得，2a=，b=故椭圆C的标准方程为：22143x y+=．（2）ⅰ 如图，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y kx m=+，由22143y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m+++-=，由题意()()()222222Δ6443441248430k m k m k m=-+-=-+>，设1122(,),(,)A x yB x y，则122834kmx xk+=-+，212241234mx xk-=+，于是，()()2212121212()y y kx m kx m k x x km xx m=++=+++。

全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)

全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)

高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、（2015全国I卷）（14）一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程16 4为。

3、（2014全国I卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：上+ y2= 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆a2 b2 2的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一，，〜5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：— + ） =1（a > b > 0）a 2 b2的离心率为*，左、右焦点分别是F , F ，以F 为圆心，以3为半径的圆与以F 为圆心，以1为半径的 2 1212圆相交，交点在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；x 2 y 2（H ）设椭圆E ：江+而二1，P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国I 卷）（5）已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i ）求|OQ | | OP |的值；（ii ）求A ABQ 面积最大值.取值范围是（2、（2015全国I 卷）（5）已知M （x 0 丫0）是双曲线C ： --W= 1上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是（2J3(D )(一二33、（2014全国I 卷）4.已知F 是双曲线C ： x 2 - my 2 = 3m （m > 0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E_,： ---= 1 （a >0, b >0）,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上， 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点，且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、（2015山东卷）（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C : 一--—= 1（a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py （p > 0）交于点O , A , B ，若A OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、（2014山东卷）（10）已知a > b ，椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二，则C 的渐近线方程为（）222（A ） x 土 <2y = 0 （B ） J2x 土 y = 0 （C ） x 土2y = 0 （D ） 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、（2016全国I卷）（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4"；2 , | DEI= 2d5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）82、（2015全国I卷）（20）（本小题满分12分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y =—与直线y = kx + a（a >0）交与M,N两点，（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点R使得当k变动时，总有N OPM =Z OPN ?说明理由。

圆锥曲线试题及答案

圆锥曲线试题及答案

椭圆一、选择题 1．(2021·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，那么该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 28＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 212＋y 24＝1 解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x 轴上，故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝4，a 2c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a 2＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝4，故所求椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 2．(2021·高考浙江卷)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，假设C 1恰好将线段AB 三等分，那么( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：选C.由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ， 解得a 2＝112，b 2＝12.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，22]B ．(0，12]C ．[2－1,1)D ．[12，1)解析：选D.设P (x 0，y 0)，那么|PF |＝a －ex 0.又点F 在AP 的垂直平分线上，∴a －ex 0＝a 2c －c ，因此x 0＝a (ac －a 2＋c 2)c 2.又－a ≤x 0<a ，∴－a ≤a (ac －a 2＋c 2)c 2<a .∴－1≤e 2＋e －1e 2<1.又0<e <1，∴12≤e <1.4．椭圆x 24＋y 23＝1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，假设直线P A 的斜率k P A ＝12，那么直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32C ．－34D ．－32解析：选D.设点P (x 1，y 1)(x 1≠±2)，那么k P A ＝y 1x 1＋2，k PB ＝y 1x 1－2，∵k P A ·k PB ＝y 1x 1＋2·y 1x 1－2＝y 21x 21－4＝3(1－x 214)x 21－4＝－34，∴k PB ＝－34k P A ＝－34×2＝－32，故应选D.5．椭圆E ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，以其左焦点F 1(－c,0)为圆心，以a －c 为半径作圆，过上顶点B 2(0，b )作圆F 1的两条切线，设切点分别为M ，N .假设过两个切点M ，N 的直线恰好经过下顶点B 1(0，－b )，那么椭圆E 的离心率为( )A.2－1B.3－1C.5－2D.7－3解析：选B.由题意得，圆F 1: (x ＋c )2＋y 2＝(a －c )2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么切线B 2M ：(x 1＋c )(x ＋c )＋y 1y ＝(a －c )2， 切线B 2N ：(x 2＋c )(x ＋c )＋y 2y ＝(a －c )2. 又两条切线都过点B 2(0，b )，所以c (x 1＋c )＋y 1b ＝(a －c )2，c (x 2＋c )＋y 2b ＝(a －c )2. 所以直线c (x ＋c )＋yb ＝(a －c )2就是过点M 、N 的直线． 又直线MN 过点B 1(0，－b )，代入化简得c 2－b 2＝(a －c )2，所以e ＝3－1. 二、填空题 6．(2021·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．(2021·高考江西卷)假设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A (1,0)．切点B (m ，n )满足⎩⎪⎨⎪⎧n －12m－1＝－mn m 2＋n 2＝1，解得B ⎝⎛⎭⎫35，45.∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2. ∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝18．(2021·高考四川卷)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△F AB 的周长的最大值是12，那么该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a . 又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，那么a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：23三、解答题9．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，由可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.10．(2021·高考辽宁卷)如图，椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1： x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a >b >0)． 设直线l ：x ＝t (|t |<a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎫t ，b a a 2－t 2. 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等， 即b a a 2－t 2t ＝ab a 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |<a ，又0<e <1，所以1－e 2e 2<1，解得22<e <1.所以当0<e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 11．(探究选做)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求椭圆C 1的方程；(2)菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆C 1上，顶点B 、D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程．解：(1)设M (x 1，y 1)，∵F 2(1,0)，|MF 2|＝53.由抛物线定义，x 1＋1＝53，∴x 1＝23，∵y 21＝4x 1，∴y 1＝263. ∴M (23，263)，∵M 在C 1上，∴49a 2＋83b 2＝1，又b 2＝a 2－1，∴9a 4－37a 2＋4＝0，∴a 2＝4或a 2＝19<c 2舍去．∴a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋mx 24＋y 23＝1⇒7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，∵A 、C 在椭圆C 1上，∴Δ>0，∴m 2<7， ∴－7<m <7.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝8m7.y 1＋y 2＝(－x 1＋m )＋(－x 2＋m )＝－(x 1＋x 2)＋2m＝－8m 7＋2m ＝6m 7.∴AC 的中点坐标为(4m 7，3m 7)，由ABCD 为菱形可知，点(4m 7，3m7)在直线BD ：7x －7y＋1＝0上，∴7·4m 7－7·3m7＋1＝0，m ＝－1.∵m ＝－1∈(－7，7)，∴直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.双曲线一、选择题1．(2021·高考湖南卷)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，那么a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝⎝⎛⎭⎫±322，解得a ＝±2.由题意知a >0，∴a ＝2. 2．(2021·高考天津卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，那么双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选B.双曲线左顶点为A 1(－a,0)，渐近线为y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p >0)焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为直线x ＝－p2.由题意知－p2＝－2，∴p ＝4，由题意知2＋a ＝4，∴a ＝2.∴双曲线渐近线y ＝±b 2x 中与准线x ＝－p 2交于(－2，－1)的渐近线为y ＝b 2x ，∴－1＝b2×(－2)，∴b ＝1.∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴c ＝5，∴2c ＝2 5.3．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，那么该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(22，1) D ．(2，＋∞)解析：选B.法一：由⎩⎨⎧x ＝－a 2c ，y ＝－b ax ，得A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c . 同理可得B ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－ab c .又左焦点F (－c,0)，∴F A →＝⎝⎛⎭⎫b 2c ，ab c ，FB →＝⎝⎛⎭⎫b 2c ，－ab c .∵点F 在以AB 为直径的圆内，∴F A →·FB →<0，即⎝⎛⎭⎫b 2c 2－⎝⎛⎭⎫ab c 2<0，∴b 4<a 2b 2， ∴b 2<a 2，即c 2－a 2<a 2，∴c 2<2a 2， 即e 2<2，∴e < 2.又∵e >1，∴1<e < 2.法二：由⎩⎨⎧x ＝－a 2c，y ＝－ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，abc . 同理可得B ⎝⎛⎭⎫－a 2c，－abc . ∵点F (－c,0)在以AB 为直径的圆内，∴左焦点F 到圆心的距离小于半径长，即c －a 2c <abc ，∴a >b .∴e ＝ca＝a 2＋b 2a＝ 1＋b 2a2< 2. 又∵e >1，∴1<e < 2. 4．(2021·高考大纲全国卷)F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4， ∴a ＝2，c ＝2.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.5．(2021·高考山东卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)． 又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.二、填空题6．(2021·高考四川卷)双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是__________．解析：由x 264－y 236＝1可知a ＝8，b ＝6，那么c ＝10，设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，由|PF 2|＝4及双曲线的第一定义得|PF 1|＝16＋4＝20.设点P 到左准线的距离为d ，由双曲线的第二定义有20d ＝108，即d ＝16.答案：167．(2021·高考重庆卷)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，那么双曲线的离心率e ＝________.解析：∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎨⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2－y2b 2＝1消去y 得x ＝32a4，又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝324.答案：3248．双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，那么b ＝________.解析：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴b a ＝2，∴b 2a 2＝4.∵a 2＝1，∴b 2＝4. 又∵b >0，∴b ＝2.答案：2 三、解答题9．由双曲线x 29－y 24＝1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .解：由双曲线方程知a ＝3，b ＝2，c ＝13.当点P 在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a .由于|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .① |NF 1|＋|NF 2|＝2c .②由①②得|NF 1|＝2a ＋2c2＝a ＋c ，∴|ON |＝|NF 1|－|OF 1|＝a ＋c －c ＝a ＝3. 故切点N 的坐标为(3,0)．根据对称性，当P 在双曲线左支上时，切点N 的坐标为(－3,0)．10．(2021·高考四川卷)如图，动点M 与两定点A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围． 解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1.此时，MA 的斜率为y x ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0.故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m 4x 2－y 2－4＝0，消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*) 对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0， 而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1.设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，那么x Q ，x R 为方程(*)的两根． 因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |， x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m 2＋121＋3m 2－1＝1＋22 1＋3m2－1. 此时 1＋3m 2>1，且 1＋3m2≠2，所以1<1＋22 1＋3m 2－1<3，且1＋22 1＋3m2－1≠53，所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪x R x Q<3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，53∪⎝⎛⎭⎫53，3. 11．(探究选做)双曲线C ：x24－y 2＝1，P 为C 上的任意一点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求|P A |的最小值． 解：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线C 上任意一点， 该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0， 点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是 |x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5， ∴|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝|x 21－4y 21|5＝45.故点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设点P 的坐标为(x ，y )(|x |≥2)，那么|P A |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54(x －125)2＋45， ∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|P A |2取到最小值45，即|P A |的最小值为255.抛物线一、选择题1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.2．(2021·高考四川卷)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．假设点M 到该抛物线焦点的距离为3，那么|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B.由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，那么M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2，∴y 0＝±22， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3. 3．(2021·四川成都模拟)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点．假设线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，那么弦AB 的长为( )A ．5B ．8C ．10D ．12解析：选C.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4， 又E 到y 轴距离为3，∴x 1＋x 22＝3.∴|AB |＝10. 4．(2021·高考课标全国卷)直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C.不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.5．(2021·高考四川卷)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，那么抛物线顶点的坐标为( )A ．(－2，－9)B ．(0，－5)C ．(2，－9)D ．(1，－6)解析：选A.当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ， ∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1 .由题意得6(a －2)2＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9.顶点坐标为(－2，－9)． 二、填空题 6．(2021·高考重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，假设|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，那么|AF |＝__________. 解析：由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＜x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ， ∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝14. 而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.答案：567．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，C 上的点M 在C 的准线上的射影为M ′，假设MM ′→·MF →＝12|MM ′→|·|MF →|，那么点M 的横坐标为________．解析：如下图，∵MM ′→·MF →＝|MM ′→||MF →|cos ∠M ′MF ＝12|MM ′→||MF →|， ∴cos ∠M ′MF ＝12.∴∠M ′MF ＝60°.又∵|M ′M |＝|MF |，故△MM ′F 为正三角形． 设M (x ，y )，那么M ′(－1，y )，F (1,0)， ∴|M ′F |＝(－1－1)2＋y 2＝|MM ′|＝x ＋1，整理得y 2＝x 2＋2x －3，将y 2＝4x 代入y 2＝x 2＋2x －3得x 2－2x －3＝0，即x ＝3或－1(舍)． 答案：3 8．(2021·高考重庆卷)设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，那么圆C 的半径能取到的最大值为__________．解析：如下图，假设圆C 的半径取到最大值，必须为圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a <3)，那么圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2＝2x 联立得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1.答案：6－1 三、解答题 9．(2021·东北三校调研)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，试求抛物线的方程．解：当抛物线开口向上时，准线为y ＝－14a ，点M 到它的距离为14a ＋3＝6，a ＝112，抛物线的方程为y ＝112x 2.当抛物线开口向下时，准线为y ＝－14a ，M 到它的距离为－14a －3＝6，a ＝－136.抛物线的方程为y ＝－136x 2.所以，抛物线的方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2.10．设抛物线y 2＝4ax (a ＞0)的焦点为A ，以B (a ＋4,0)点为圆心，|BA |为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同两点M 、N ，点P 是MN 的中点．求|AM |＋|AN |的值．解：设M 、N 、P 在抛物线的准线上射影分别为M ′、N ′、P ′， 那么由抛物线定义得|AM |＋|AN |＝|MM ′|＋|NN ′|＝x M ＋x N ＋2a . 又圆的方程为[x －(a ＋4)]2＋y 2＝16， 将y 2＝4ax 代入得x 2－2(4－a )x ＋a 2＋8a ＝0，∴x M ＋x N ＝2(4－a )，所以|AM |＋|AN |＝8.11．(探究选做)如图，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，M为直线y ＝－2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；(2)当M 点的坐标为(2，－2p )时，|AB |＝410.求此时抛物线的方程．解：(1)证明：由题意设A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，那么y ′＝x p ，所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p.因此直线MA的方程为y ＋2p ＝x 1p(x －x 0)．直线MB 的方程为y ＋2p ＝x 2p(x －x 0)．所以x 212p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)，①x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)，② 由①－②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列． (2)由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①、②并整理得x 21－4x 1－4p 2＝0，x 22－4x 2－4p 2＝0，所以x 1、x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根， 因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2，又k AB ＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ，所以k AB ＝2p .由弦长公式得|AB |＝1＋k 2AB ·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4p2·16＋16p 2. 又|AB |＝4 10， 所以p ＝1或p ＝2.因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y . 直线与圆锥曲线一、选择题1．(2021·福州模拟)F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B两点．在△AF 1B 中，假设有两边之和是10，那么第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．(2021·高考大纲全国卷)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－45解析：选D.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.法二：由法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.3．曲线C 1的方程为x 2－y28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x －3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，那么直线AB 的斜率为( )A.33B.12 C ．1 D. 3解析：选A.设B (a ，b )，那么由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33或k ＝－33(舍去)．4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：选D.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如下图，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－b c)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，应选D.5．双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：选B.∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3. 由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，把y ＝x －3代入双曲线方程，那么x 2a 2－(x －3)2b 2＝1.整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝6a 2a 2－b2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.二、填空题6．(2021·高考江西卷)假设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A (1,0)．切点B (m ，n )满足⎩⎪⎨⎪⎧n －12m －1＝－mn m 2＋n 2＝1，，解得B ⎝⎛⎭⎫35，45.∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝17．(2021·广西梧州高三检测)设点F 为抛物线y ＝－14x 2的焦点，与抛物线相切于点P (－4，－4)的直线l 与x 轴的交点为Q ，那么∠PQF 的值是________．解析：∵y ′＝－12x ，∴k PQ ＝y ′|x ＝－4＝2，∴直线PQ 的方程为y ＋4＝2(x ＋4)． 令y ＝0，得x ＝－2，∴点Q (－2,0)．又∵焦点F (0，－1)，∴k FQ ＝－12，∴k PQ ·k FQ ＝－1，∴∠PQF ＝π2.答案：π28．F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF →＝2FD →，那么C 的离心率为________．解析：法一：如图，设椭圆C 的焦点在x 轴上， B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，那么BF →＝(c ，－b )，FD →＝(x D －c ，y D )， ∵BF →＝2FD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎨⎧x D ＝3c2，y D ＝－b 2.∴(3c 2)2a 2＋(－b 2)2b 2＝1，即e 2＝13，∴ e ＝33. 法二：设椭圆C 的焦点在x 轴上， 如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )， 那么|BF |＝b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1，那么由BF →＝2 FD →，得|OF ||DD 1|＝|BF ||BD |＝23，∴|DD 1|＝32|OF |＝32c ，即x D ＝3c2.由椭圆的第二定义得|FD |＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c 22a.又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a，整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13.∴e ＝33.答案：33三、解答题9. 抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F ，准线为l ，过F 作直线m 交抛物线C 于M ，N 两点．求S △OMN 的最小值．解：由题意知F (1,0)，l ：x ＝－1， 设m ：x ＝ay ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＋1y 2＝4x ⇒y 2－4ay －4＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4a y 1y 2＝－4.S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12·16a 2＋16＝2a 2＋1≥2(a ＝0时取得等号)． 所以S △OMN 的最小值为2.10．(2021·高考重庆卷)如下图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，那么y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0， 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.11．(探究选做)(2021·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．假设l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.假设M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因直线PQ 与圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，那么O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22， 那么直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k2，y 2＝k24＋k2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值． 圆锥曲线综合〔一〕(时间：100分钟 总分值：120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116)D ．(116，0)解析 将抛物线方程变为x 2＝2×18y ，知p ＝18，又焦点在y 轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116)． 答案 C2．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，那么点P 到另一焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．7 解析 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，10－3＝7.选D. 答案 D3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )． A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析 因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，应选D. 答案 D4．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )． A.x 216－y 248＝1B.x 29－y 227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析 当顶点为(±4，0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，x 216－y 248＝1； 当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，y 29 －x 227＝1. 答案 C5．椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，那么椭圆的标准方程为( )． A.x 220＋y 225＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1D.x 25＋y 225＝1解析 双曲线x 23－y 22＝1中a 21＝3，b 21＝2，那么c 1＝a 21＋b 21＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，那么a ＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. 答案 B6．(2021·山东烟台期末)椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，那么△ABF 2的周长为( )．A ．10B ．20C ．241D ．441 解析 |AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|B F 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝441. 答案 D7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )． A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·(－b a ) ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a 2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.应选C. 答案 C8．椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，那么α的取值范围是( )． A ．(34π，π) B ．(π4，34π) C ．(π2，π)D ．(π2，34π)解析 椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4. 答案 D9．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，那么m 等于( )．A.32 B ．2 C.52 D ．3 解析 依题意，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 2＋x 1＝－12，且(x 2＋x 12，y 2＋y 12)在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ， y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ，∴2(x 22＋x 21)＝x 2＋x 1＋2m ，2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ，2m ＝3，m ＝32. 答案 A10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1解析 圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3，根据得3ba 2＋b 2＝2，即3b3＝2，解得b ＝2，得a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上．) 11．点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，那么p ＝________. 解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得〔p2＋2〕2＋〔－3〕2＝5.解得p ＝4. 答案 412．假设椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，那么它的长半轴长为________．解析 当0<m <1时，y 21m＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m ＝4，a ＝2；当m >1时，x 21＋y 21m ＝1，a ＝1.应填1或2.答案 1或213．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，那么双曲线的方程为________．解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，因此所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案 x 24－y 23＝114．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，假设△F 1PF 2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是________．解析 由题意，知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)， 所以e ＝2c2a ＝12＋1＝2－1. 答案2－1三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba ＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解 由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40， 双曲线的过点P (3，4)的渐近线为 y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b 2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.17．(10分)抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程． 解 由题意，知直线l 的斜率存在，设为k ，那么直线l 的方程为y ＝k x ＋2(k ≠0)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝k x ＋2，y 2＝2x ，消去x 得k y 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 那么y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k ，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12y 21x 2＝12y 22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k 2 OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴4k 2＋4k ＝0，解得k ＝－1.所以所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.18．(12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2，x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋〔－2〕2|x 1－x 2| ＝5·〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2 ＝5·〔－169〕2－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.19．(12分)抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35，(1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标． 解 (1)由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24， |AB |＝1＋k 2〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2 ＝1＋22〔1－m 〕2－4·m 24＝5〔1－2m 〕.由|AB |＝35，即5〔1－2m 〕＝35⇒m ＝－4. (2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，那么d ＝|2a －0－4|22＋〔－1〕2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ， 那么d ＝2·S △ABP|AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5或a ＝－1， 故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)．圆锥曲线综合〔二〕(考试时间90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析： 双曲线x 24－y 212＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，故所求椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，c ＝23，∴b 2＝4，所求方程为x 24＋y 216＝1，应选D.答案： D2．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，假设|PF 1|等于4，那么|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．13解析： 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26， 又∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝26－4＝22. 答案： A3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，那么它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0) 解析： 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.答案： C 4．假设抛物线x 2＝2py的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，那么p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－2解析： 椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，即p ＝－2. 答案： D5．假设k ∈R ，那么k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析： 方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的条件是(k －3)(k ＋3)>0，即k >3或k <－3.故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．应选A. 答案： A6．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1解析： 由MF 1→·MF 2→＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2， 故离心率e ＝c a <22.因为0<e <1，所以0<e <22. 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22.应选C. 答案： C7．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45解析 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.。

圆锥曲线高考题选

圆锥曲线高考题选

全国卷圆锥曲线高考题选1、 (15全国新课标1)已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．2、(14全国新课标)已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 相交于A 、B 两点，若AB 的 垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求的方程.3、（13新课标1）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.4．（13新课标Ⅱ卷数学）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.5、(12全国新课标)设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。

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2015（新课标全国卷2）（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2（15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 。

20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.20．（本小题满分12分）理科已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

2015（新课标全国卷1）（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（5）（理）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u u r •2MF u u u u ur ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3） （B ）（-6，6）（B ）（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） （16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为（14）一个圆经过椭圆141622=+y x 错误!未找到引用源。

的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。

（20）（本小题满分12分）理科在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当K 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。

（20）（本小题满分12分）已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点. （1） 求K 的取值范围；（2） 若OM u u u u r ·ON uuu r=12，其中0为坐标原点，求︱MN ︱.2014（新课标全国卷1）4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2B.26C.25D. 110.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 820.已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（A ）3（B ）6 （C ）12 （D ）（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）⎡⎣ （D ） ⎡⎢⎣⎦ 20.设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。

（I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；（II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。

4．已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的离心率为2，则C的渐近线方程为( )．A．y＝14x±B．y＝13x±C．y＝12x±D．y＝±x8.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为( )．A．2 B．．．421．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.5、设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=o ，则C 的离心率为（ ）（A ）6 （B ）13 （C ）12 （D ）310、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。

若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ）（A ）1y x =-或!y x =-+ （B ）(1)3y x =-或1)3y x =--（C ）1)y x =-或1)y x =- （D ）(1)2y x =-或(1)2y x =--（20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）若P 点到直线y x =的距离为2，求圆P 的方程。

（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8（20）（本小题满分12分）设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（I ）若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；（II ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C ．3D ．29．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ． 36D ． 4820.在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．（5）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为（A （B （C ）2 （D ）2（13）圆心在原点且与直线20x y +-=相切的圆的方程为 。

（20）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0b<1<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。

（Ⅰ）求AB（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。

2010（全国卷1）（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =g(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v 的最小值为(A) 4-+3- (C) 4-+3-+(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且→→=FD BF 2，则C 的离心率为 .(22)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =u u u r u u u r g ，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .2010（全国卷2） （12）已知椭圆C ：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的离心率为23，过右焦点F 且斜率k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 亮点，若AF =3FB ，则k = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ,若AM MB =u u u u r u u u r , 则p = .（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．（22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ()0,012222>>=-b a by a x 相交于B 、D 两点，且BD 的中点为)3,1(M（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17=•BF DF ,证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。

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