第三章流体运动学和流体动力学基础3
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
工程流体力学--第三章--流体动力学基础ppt课件
当地加速度和迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
2021/4/19
3
的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中 间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的 速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2 点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移
加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变
第三章 流体动力学基础
§1–1 描述流体运动的两种方法
§1–2 流体运动的一些基本概念
§1–3 流体运动的连续性方程
§1–4 理想流体的运动微分方程
§1–5 理想流体微元流束的伯努力方程
§1–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
§1–7 定常流动的动量方程和动量矩方程
§1–8 液体的空化和空蚀现象
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体 质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本
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的参数是流体质点的位移，在某一时刻，任一流体质点的
位置可表示为：
X=x (a，b，c，t)
y=y (a，b，c，t)
z=z (a，b，c，t)
(3-1)
式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、 b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、 b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到 某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉
(3-2) (3-3)
az w t t22 zaz(a,b,c,t)
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式（3-6）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
u dx dt
流体力学 3-1-2流体运动学
v y y 1
，
v x 1 x v y 1 t
其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：
ax x t 1
ay y t 1
az 0
（2）根据拉格朗日方法：
ax dvx dx 1 vx 1 x t 1 dt dt
dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c zet
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
u x A. t
ux ux B. ux t x
ux ux ux C .ux uy uz x y z
ux ux ux ux D. ux uy uz t x y z
C 的变化情况 2.欧拉法研究_____ (A) 每个质点的速度 (C) 流经每个空间点的流速 (B) 每个质点的轨迹 (D) 流经每个空间点的质点轨迹
，
v x 1 x v y 1 t
其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：
ax x t 1
ay y t 1
az 0
（2）根据拉格朗日方法：
ax dvx dx 1 vx 1 x t 1 dt dt
dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c zet
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
u x A. t
ux ux B. ux t x
ux ux ux C .ux uy uz x y z
ux ux ux ux D. ux uy uz t x y z
C 的变化情况 2.欧拉法研究_____ (A) 每个质点的速度 (C) 流经每个空间点的流速 (B) 每个质点的轨迹 (D) 流经每个空间点的质点轨迹
工程流体力学课件3流体动力学基础
总结词
边界层理论是研究流体在固体表面附近流动的理论， 其特征包括流体的粘性和湍流状态。
详细描述
边界层理论主要关注流体与固体表面之间的相互作用 ，特别是流体的粘性和湍流状态对流动的影响。在边 界层内，流体的速度和压力变化梯度较大，湍流状态 较为明显。
边界层分离现象和转捩过程
总结词
边界层分离现象是指流体在经过曲面或突然扩大区域 时，流速减小，压力增加，导致流体离开壁面并形成 回流的现象。转捩过程则是从层流到湍流的过渡过程 。
有旋流动
需要求解偏微分方程组，如纳维-斯托克斯 方程（Navier-Stokes equations），该方 程组较为复杂，需要采用数值方法进行求解
。
05 流体动力学中的湍流流动
湍流流动的定义和特征
湍流流动的定义
湍流是一种高度复杂的流动状态，其中流体的速度、压 力和其它属性随时间和空间变化。
湍流流动的特征
质量守恒定律在流体中的应用
质量守恒定律
物质的质量不会凭空产生也不会消失，只会从一种形式转化为另一种形式。在流体中，质量守恒定律表现为流体 微元的质量变化率等于进入和离开微元的净质量流量。
质量守恒方程
根据质量守恒定律，流体微元的质量变化率可以表示为流入和流出微元的净质量流量。这个方程是流体动力学基 本方程之一，用于描述流体的运动特性。
流体流动的描述方法
描述流体流动的方法包括拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法是以流体质点作为描述对象，追踪各个质点的运动轨迹，研究其速度、加速度等参数随时 间的变化。欧拉法是以空间点作为描述对象，研究空间点上流速、压强等参数随时间和空间的变化。
03 流体动力学基本方程的推 导
牛顿第二定律在流体中的应用
能源
边界层理论是研究流体在固体表面附近流动的理论， 其特征包括流体的粘性和湍流状态。
详细描述
边界层理论主要关注流体与固体表面之间的相互作用 ，特别是流体的粘性和湍流状态对流动的影响。在边 界层内，流体的速度和压力变化梯度较大，湍流状态 较为明显。
边界层分离现象和转捩过程
总结词
边界层分离现象是指流体在经过曲面或突然扩大区域 时，流速减小，压力增加，导致流体离开壁面并形成 回流的现象。转捩过程则是从层流到湍流的过渡过程 。
有旋流动
需要求解偏微分方程组，如纳维-斯托克斯 方程（Navier-Stokes equations），该方 程组较为复杂，需要采用数值方法进行求解
。
05 流体动力学中的湍流流动
湍流流动的定义和特征
湍流流动的定义
湍流是一种高度复杂的流动状态，其中流体的速度、压 力和其它属性随时间和空间变化。
湍流流动的特征
质量守恒定律在流体中的应用
质量守恒定律
物质的质量不会凭空产生也不会消失，只会从一种形式转化为另一种形式。在流体中，质量守恒定律表现为流体 微元的质量变化率等于进入和离开微元的净质量流量。
质量守恒方程
根据质量守恒定律，流体微元的质量变化率可以表示为流入和流出微元的净质量流量。这个方程是流体动力学基 本方程之一，用于描述流体的运动特性。
流体流动的描述方法
描述流体流动的方法包括拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法是以流体质点作为描述对象，追踪各个质点的运动轨迹，研究其速度、加速度等参数随时 间的变化。欧拉法是以空间点作为描述对象，研究空间点上流速、压强等参数随时间和空间的变化。
03 流体动力学基本方程的推 导
牛顿第二定律在流体中的应用
能源
流体力学3-3-4流体运动学
流体运动学的应用领域和发展趋势
能源
风力发电、水力发电等领域涉及到流体运动学的知识 ，用于提高能源转换效率和稳定性。
环境
流体运动学在气候变化研究、污染物扩散等领域有广 泛应用。
流体运动学的应用领域和发展趋势
1 2 3
跨学科融合
流体运动学与数学、物理、工程学等多个学科的 交叉融合，推动流体力学理论的创新与发展。
流体机械工作原理
泵的工作原理
通过叶轮旋转产生的离心力将流体吸入，在 叶轮出口处将流体以更高的压力排出。
风机的原理
利用叶轮旋转产生的空气动力学效应，将机 械能转换为空气的压力能和动能。
流体动力学在交通工程中的应用
要点一
车辆空气动力学
要点二
道路排水设计
车辆的外形设计、车速等都会影响空气对车辆的作用力， 进而影响车辆的行驶稳定性、燃油经济性等。
加强跨学科合作与交流是推动流体运动学发展的重要途径。
THANKS
感谢观看
流体力学3-3-4流体运动学
• 流体运动学概述 • 流体运动的分类与描述 • 流体运动的物理性质 • 流体动力学方程 • 流体运动的实例分析 • 总结与展望
01
流体运动学概述
流体运动学的定义与重要性
定义
流体运动学是研究流体运动的学科， 主要关注流体速度、方向和加速度等 物理量的变化规律。
重要性
层流与湍流
层流
流体在运动过程中，流层之间互不掺混，呈规则的层次流动 。
湍流
流体在运动过程中，流层之间相互掺混，流动呈现无规则的 紊乱状态。
定常流动与非定常流动
定常流动
流体在运动过程中，流场参数不随时 间变化而变化的流动。
非定常流动
高等流体力学—流体力学基本方程组
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数， 即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数
展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴 方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为
图 3-1 流场中的微元平行六面体
0.5 (m/s) 2 0 . 5 1
21
图 3-14 输水管道
22
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
23
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成：
1 通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
程。
11
若流体是定常流动，则
0， t
上式成为
u v w 0 x y z
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续 性方程。
12
对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
19
【例3-2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布
规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。 【解】 根据式（3-8）
所以
u 2 x sin y x
v 2 x sin y y
u v 2 x sin y (2 x sin y ) 0 x y
( x, y, z, t dt ) dt t
10
则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt t t
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
材料工程基础-动力学
材料工程基础第三节 流体动力学基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/流体运动学:研究流体的运动规律，如速度、加速度 等运动参数的变化规律 流体动力学:研究流体在外力作用下的运动规律，即 流体的运动参数与所受力之间的关系。
本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知 识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程： • 连续性方程 • 动量方程 • 能量方程1 2011-9-19 2§3–1 描述流体运动的两种方法 §3–2 流体运动的一些基本概念 §3–3 流体运动的连续性方程 §3–4 理想流体的运动微分方程 §3–5 理想流体微元流束的伯努力方程 §3–6 伯努利（Bernoulli）方程的应用 §3–7 恒定流动的动量方程和动量矩方程2011-9-19材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/3.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动两种方法比较拉格朗日法 — 随体法—质点轨迹： r =r (a，b，c，τ) 欧拉法—当地法—参数分布： B = B（x, y, z, τ ）grange，1736－1813Leonhard Euler，1707-1783拉格朗日（Lagrange）法2011-9-19欧拉（Euler）法3 2011-9-19 4材料工程基础课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础速度:课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/拉格朗日（Lagrange）法又称随体法，在某一时刻，任一流体质点的位置为：X=x(a，b，c，τ) 加速度：∂x = ux(a, b, c,τ ) ∂τ ∂y uy = = uy (a, b, c,τ ) ∂τ ∂z uz = = uz (a, b, c,τ ) ∂τ ux =y=y (a，b，c，τ) z=z (a，b，c，τ)ax =2011-9-1952011-9-19∂ux ∂ 2 x = = a x ( a , b, c , τ ) ∂τ ∂τ 2 2 ∂u y ∂ y ay = = = a y ( a , b, c , τ ) ∂τ ∂τ 2 2 ∂uz ∂ z = az = = a z (a, b, c,τ ) ∂τ ∂τ 26材料工程基础欧拉法课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/材料工程基础欧拉法空间点位置坐标:课程网址： http://202.114.88.54/new/clgcjc/web/又称局部法，分析流场中每一个空间点上的流体质点的运 动，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间 的变化规律。
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式中Cd为流量系数，通过实验测定。
有一贮水装置如所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压 强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中 流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径 d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。
【解】当阀门关闭时，根据 压强计的读数，应用流体静 力学基本,方程求出Ｈ值
（d）沿流程流量保持不变(qv1= qv2 =qv3) ； （e）所选用的过流断面必须是缓变过流断面。
测压管
BA Z
测速管 （皮托管）
V Z
一端垂直向上，这时
测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于
当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流
图 3-16 总水头线和静水头线
实际流体总流的伯努利方程式
1)实际流体总流的伯努利方程式
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hf
2)实际流体总流的伯努利方程的适用条件
（a）不可压缩流体（ = constant）；
（b）恒定流动（ u w 0 ）；
t t t
（c）只在重力作用之下（质量力只有重力）；
Hg gh p1 gh1
p1 Hg gh gh1
p1
g
Hg
h h1
13.6 0.2 0.72
2
列1-1和2-2断面的伯努利方程
z1
p1
g
V12 2g
z2
p2
g
V22 2g
由连续性方程：
V1
V2
d2 d1
2
将已知数据代入上式，得
20 2 1 V22 15 0 V22
g 2g
g
h pA pB V 2
g g 2g
v 2 pA pB 2gh
只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可 以确定流体的流动速度。
由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实 际流速比计算出的要小，因此，实际流速为
V 2gh
式中 ψ—流速修正系数，一般由实验确定， ψ =0.97。
如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量 出气柱差来，必须把两根管子连接到一个Ｕ形差压计上， 从差压计上的液面差来求得流速，如图所示，则
pA pB h液g(液 )
V
2g
液
h液
2gh液
液
1
考虑到实际情况，
V
2gh液
液
1
文特里(Venturi)流量计
文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主 要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成。它是利用收 缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管 差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。
称为理想流体微元流束的伯努利方程。
该方程的适用范围:理想不可压缩均质流体在重力作用下作 定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则：
z1
p1
g
V1 2 2g
z2
p2
g
V2 2 2g
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，可以得到静力学基本方程
z p 常数
g
qV
4
d 2V2
0.785 0.122 20.78 0.235
水流通过如所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水
银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径d1=0.1m， 管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管 中流量qv。
【解】 首先计算1-1断面管路中 心的压强。因为A-B为等压面，列 等压面方程得：
理想流体运动微分方程式
X 1 p dvx
x dt
Y 1 p dvy
y dt
Z 1 p dvz
z dt
a x
v x t
vx x
dx vx dt y
dy vx dt z
dz dt
a y
v y t
v y x
dx v y dt y
dy v y dt z
dz dt
a
z
v z t
16 2g
2g
v2 12.1m / s
管中流量
qV
4
d 22V2
0.052 12.1 0.024
4
§3.7 动量方程及其应用
在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部 的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体 的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十 分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力， 以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的 流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压 缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。
速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压
强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例 如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程 于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有
z
pB
V2
z
pA
0
g 2g
g
h pA pB V 2
g g 2g
则
v 2 pA pB 2gh
z pB V 2 z pA 0
V2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
上式表明，若ρ液， ρ ，A2，A1已知，只要测量出h液，就 可以确定流体的速度。流量为：
qV
A2V2
4
d
2 2
考虑到实际情况
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
qV实
Cd qV
Cd
4
d
2 2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-
1，2-2的伯努利方程 0 p1 V12 0 p2 V22
g 2g
g 2g
由一维流动连续性方程
所以：V2
2( p1 p2 )
[1 ( A2 / A1)2 ]
V1
A2 A1
V2
p1 p2 (液 )gh液
V2
2g(液 )h液 [1 ( A2 / A1)2 ]
vz dx vz x dt y
dy vz dt z
dz dt
或 a v (v )v
t
用向量表达： F 1 gradp dv (v)v
dt
理想（欧拉）流体运动微分方程式
适用范围：可压缩、不可压缩流体
当dv/dt＝0时即为流体平衡微分方程。
gz
p V2
常数
2
z
p
V2
常数
g 2g
pa gH pa 2.8 pa
则
H 2.8 pa
g
2.8 98060 9806
28(mH 2O)
当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程
H pa 0 0 pa 0.6 pa V22
g
g
2g
0.6 pa
0.6 98000
v2 2g(H g ) 29.8 (2.8 9800 ) 20.78m / s