第十讲勾股定理D巧妙运用
勾股定理的使用技巧
勾股定理的使用技巧
勾股定理是数学中一个非常经典的定理，它用来计算直角三角形的边长和角度。
勾股定理的数学表达式是a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
下面将介绍一些勾股定理的使用技巧。
1. 确定已知信息：在使用勾股定理之前，首先要确定已知的信息，即已知的两条直角边或一条直角边和斜边的长度。
2. 求斜边：如果已知两条直角边的长度，可以直接使用勾股定理求斜边的长度。
即c = √(a^2 + b^2)。
3. 求直角边：如果已知一条直角边和斜边的长度，可以使用勾股定理求另一条直角边的长度。
即如果已知a和c，可以求得b = √(c^2 - a^2)；如果已知b和c，可以求得a = √(c^2 - b^2)。
4. 判断是否为直角三角形：对于已知的三条边长，可以使用勾股定理判断是否构成直角三角形。
当a^2 + b^2 = c^2时，可以确认为直角三角形；当a^2 + b^2 > c^2时，为锐角三角形；当a^2 + b^2 < c^2时，为钝角三角形。
5. 求角度：勾股定理不仅可以用于计算三角形的边长，还可以用于计算三角形的角度。
例如，已知直角边a和斜边c，可以使用正弦定理sinA = a/c求得角A的正弦值，然后通过反正弦函数求得角A的度数。
总结起来，勾股定理的使用技巧主要包括确定已知信息、求斜
边和直角边、判断是否为直角三角形以及求角度等。
根据不同的已知条件，可以灵活运用勾股定理解决各种直角三角形相关的问题。
勾股定理计算方法 勾股定理的运用方法
勾股定理计算方法勾股定理的运用方法你真的懂勾股定理吗数是什么？毕达哥拉斯会告诉你，数是众神之母，万物之源——节选自《数学之旅· 闪耀人类的54个数学家》一般人看来，勾股定理只存在于特定的三角形或几何图形中。
但实际上，绝大多数人都小看了这条有2600年历史的公式，很多看似不可能的图形，只要涉及到了平方数，勾股定理就能插上一手！什么？你不信？今天，超模君就来讲一下勾股定理背后隐藏的大学问，不过在讲之前，超模君先带模友们重新认识一下“面积”这个词。
面积是怎么计算？何谓面积？当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小就叫做该物体的面积。
举个简单的例子：正方形的面积 = 边长 x 边长对此，相信模友们也能快速地列举出大量的图形面积公式，但你真的理解面积的性质吗？实际上，除了我们熟知的图形面积公式，还有一种鲜为人知的面积计算方法——通过计算任意线段的平方来得到任意图形的面积。
先不要质疑，继续往下看。
举个例子：正方形的面积为边长a的平方，平方项即边长a（边为5，那么面积就是25）；圆的面积为πr²，平方项为半径r（半径是5，那么面积就是25π）；接下来，超模君要做一个大胆的假设：如果把半径 r 当做边长a的“替代品”，那么圆的面积也可看成某条线段的平方，但由于线段选取和图形的不同，在此过程中会产生一个“面积系数π”。
也就是说，任意图形的面积公式将会变成这个样子：面积＝系数×(线段)²然后我们再来看看，正方形和圆形的面积是怎么算的：如果用周长“p”作为线段，则面积为 p² /16，面积系数为1/16；如果用对角线“d”作为线段，则面积为 d²/2，面积系数为1/2 。
也就是说，我们可以通过正方形上任意一条线段计算出正方形的面积。
因为在被选取的任意一条线段总可以通过一定的关系（比如说正方形的周长，正好是边长的四倍）与通常意义上计算面积的线段相联系起来。
勾股定理的应用ppt
你认为勾股定理在未来的应用前景如何？
物理学
02
勾股定理在物理学中被用来描述物体的运动规律和相互作用，如重力、弹力等。
工程应用
03
在各种工程应用中，勾股定理被用来设计建筑物、桥梁、隧道等结构的形状和尺寸，以确保其稳定性和安全性。
勾股定理可以用来解决直角三角形的问题，如求三角形的面积、高度、底边长度等。
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勾股定理的应用
勾股定理的简介勾股定理的证明方法勾股定理的应用范围勾股定理的实际应用案例如何学习和掌握勾股定理拓展思考
contents
目录
勾股定理的简介
01
勾股定理是一种基本的几何定理，它指出在任何一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
数学表示为：c² = a² + b²，其中c为斜边，a和b为直角边的长度。
勾股定理的重要性
勾股定理的证明方法
02
总结词
详细描述
证明过程
毕达哥拉斯证明法
严谨而经典
欧几里得证明法
欧几里得证明法是一种基于演绎推理的证明方法，它从一些基本的几何公理出发，经过逐步推导，得出勾股定理的结论。
欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的证明。他从两个已知的公理（两点之间线段最短和两个直角相等）出发，通过构造相似三角形，推出 a^2 + b^2 = c^2。
利用勾股定理求最短路径
总结词
在传输线路上，利用勾股定理可以求出最大功率。
要点一
要点二
详细描述
在传输线路上，信号的衰减与传输距离的平方根成正比，因此可以利用勾股定理来计算最大功率。具体来说，如果传输线路上某一点的最大可用功率为Pmax，传输距离为d，那么该点的功率P可以表示为 `P = Pmax / sqrt(d² + L²)`，其中L为该点到信号源的距离。因此，利用勾股定理可以求出最大功率。
勾股定理应用课件
地球重力场测量
利用勾股定理测量地球的重力场， 有助于研究地球的形状、地球自转 、地球内部结构等。
地球磁场
勾股定理在地球磁场测量中用于确 定磁力线的方向和强度，有助于研 究地球的磁场变化和地磁场的起源 。
天文学中的应用
天体定位
通过勾股定理，天文学家 可以计算天体的位置和运 动轨迹，进行精确的天体 定位和测量。
03
勾股定理在日常生活中的 应用
建筑行业中的应用
建筑设计
勾股定理在建筑设计中被广泛应用。设计师利用勾股定理来计算建筑物的垂直 角度和确定建筑物的稳定性。
施工测量
在建筑施工过程中，勾股定理用于测量和定位。例如，确定建筑物的垂直线、 水平线以及确定建筑物的相对位置。
航海中的应用
船舶导航
勾股定理在航海中被用于确定船只的位置和航向。通过测量 太阳或星星与海平面的角度，结合时间差，可以计算出船只 与目标之间的距离和方向。
海洋工程
在海洋工程中，勾股定理用于计算海底深度和定位海底地形 。通过声纳技术测量声波从船只到海底再返回的时间差，结 合声波速度，可以计算出海底深度。
物理学中的应用
力学
在物理学中，勾股定理用于描述力和 运动之间的关系。例如，在自由落体 运动中，物体下落的时间与重力加速 度和初始高度有关，这可以通过勾股 定理进行计算。
电磁学
在电磁学中，勾股定理用于计算电场 和磁场中的矢量关系。例如，在计算 电磁波的传播方向和强度时，需要用 到勾股定理来计算矢量的合成和分解 。
04
勾股定理在现代科技中的 应用
计算机图形学中的应用
01
02
03
3D渲染
勾股定理在3D渲染中用于 确定物体的位置和方向， 以及计算光线在物体表面 反射的角度。
勾股定理的应用-课件
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
THANKS
感谢观看
确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
勾股定理的应用课件
在后来的几千年中，勾股定理经历了许多数学家的研究和证明，不断得到完善和发展。如今， 勾股定理已经成为中学数学课程中的重要内容之一，也是数学竞赛中的常见考点之一。
勾股定理的证明方法
基础证明方法
勾股定理可以通过多种方法进行证明，其中最基础的方法是利用相似三角形的性质进行证明。此外，还有利用代 数方法、微积分方法和几何方法等证明方法。
03 结构分析
在建筑结构分析中，勾股定理用于计算结构的承 载力和稳定性，确保建筑物的安全可靠。
航空航天领域中的应用
01 飞机设计
在飞机设计中，勾股定理用于计算机翼的弯度和 长度，以及机身的垂直度和水平度。
02 航天器设计
在航天器设计中，勾股定理用于确定卫星轨道的 参数和火箭发射角度等。
03 导航定位
物理学领域
在物理学中，勾股定理也具有广泛的应用。例如，在力学中，勾股定理可以用于解决与力的合 成和分解相关的问题。在电磁学中，勾股定理可用于计算电磁波的传播路径和强度。 物理学中的许多现象和规律都与勾股定理有关，如光的反射和折射、电场和磁场等。
日常生活中的应用
勾股定理在日常生活中也有很多应用，如建筑测量、航海导 航、道路桥梁设计等。通过勾股定理可以确定建筑物的垂直 度和水平度，保证建筑物的安全性和稳定性。
勾股定理在日常生活中的应用案例
家具制作
在家具制作中，勾股定理 用于确定家具的尺寸和比 例，保证家具的美观和实 用性。
航海导航
在航海导航中，勾股定理 用于计算航行距离和方向 ，确保航行的准确性和安 全性。
音乐艺术
在音乐艺术中，勾股定理 用于确定音符的频率和音 高，保证音乐的和谐性和 美感。
如何提高勾股定理的应用能
勾股定理的表述
第10讲 勾股定理逆定理及简单应用(3种题型)(原卷版)-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假精
第10讲勾股定理逆定理及简单应用（3种题型）1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．二．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．勾股定理的逆定理1．（2022秋•句容市期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝252．（2022秋•阜宁县期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．（2022秋•大丰区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．4．（2022秋•南通期末）下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，85．（2022秋•玄武区期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P 都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．（2022秋•兴化市期末）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为．7．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为cm．8．（2022秋•邗江区期末）如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：（1）BD的长；（2）△ABC的面积．9．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．二．勾股数10．（2022秋•泰兴市期末）下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．32，42，52C．3，4，5D．11．（2022秋•宿豫区期中）下列各组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．11，60，6112．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝．（提示：5＝，13＝，…）13．（2022秋•铜山区期中）若m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．请你证明a、b、c为勾股数．14．（2022秋•工业园区校级期中）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n 为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组，；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．15．（2022秋•盱眙县期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．16．（2022秋•高邮市期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝，12＝，24＝……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为、；（3）用所学知识加以说明．17．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝，则据此规律第四组勾股数是．（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．18．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）请你写出另外两组勾股数：6，，；7，，；（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；②请你任选其中一个法则证明它的正确性．三．勾股定理的应用19．（2022秋•句容市期末）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高尺．20．（2022秋•无锡期末）如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m21．（2022秋•广陵区校级期末）一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长a的取值范围是cm．22．（2022秋•江都区期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．23．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）24．（2022秋•徐州期末）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？25．（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．26．（2022秋•建邺区期末）如图，点A处的居民楼与马路相距14m，当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50m时就会受到噪声污染，若汽车以15m/s的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪声污染？27．（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送m．28．（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．29．（2022秋•亭湖区期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？一．选择题1．（2023•广陵区一模）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．2．（2022秋•如皋市校级期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．2，4，5B．4，5，6C．6，12，13D．9，12，153．（2022秋•相城区校级月考）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．AD为△ABC的角平分线，CD的长度为（）A．2B．C．3D．4．（2022秋•邗江区期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．0.3，0.4，0.5B．8，15，17C．D．3，4，45．（2022秋•句容市期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件能判断△ABC 不是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5D．a＝9，b＝23，c＝256．（2021秋•泗阳县期中）下列各组数中，哪一组是勾股数（）A．1，1，2B．6，8，10C．32，42，52D．7，12，15二．填空题7．（2022秋•天宁区校级期中）【教材例题】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．解：因为132+142＝169+196＝365，152＝225．所以132+142≠152，根据，这个三角形不是直角三角形．8．（2022秋•沭阳县期中）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，则这个三角形的面积为．9．（2022秋•秦淮区校级月考）若三角形三边满足a：b：c＝3：4：5，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为．10．（2022秋•江阴市期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长？”．根据题意求出绳索的长为尺．11．（2022秋•梁溪区校级期中）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人从出发到相遇用了x个单位时间．根据勾股定理可列得方程为．12．（2022秋•句容市期末）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为．13．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于°．14．（2022秋•连云港期中）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为．（不用化简）15．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；…照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为．16．（2022秋•新吴区期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都是1尺（1尺＝10寸），则AB的长是几寸？若设图中单扇门的宽AD＝x寸，则可列方程为：．三．解答题17．（2022秋•赣榆区校级月考）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A'处时，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A'F．18．（2022秋•泗洪县期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索OB的长度．18．（2022秋•涟水县期中）八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．20．（2022秋•鼓楼区期中）如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，已知AB＝2.5m，AC＝2m．求BC的长．21．（2022秋•江都区期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．22．（2022秋•涟水县期中）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD＝1，CD＝2，AD＝4．求证：∠ACB＝90°．23．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4＝，弦5＝；当勾为5时，股12＝，弦13＝；当勾为7时，股24＝，弦25＝．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？25．（2022秋•鼓楼区期中）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/26．（2022秋•苏州期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．27．（2022秋•梁溪区期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？28．（2021秋•江都区校级月考）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10 ②5，，13 ③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．29．（2021秋•东台市月考）一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？30．（2022秋•姑苏区校级期中）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．31．（2022秋•镇江期中）国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头项正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程．32．（2022秋•高新区校级月考）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20kn，停靠站A、B之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？33．（2022秋•连云港期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的AC上，这时点B到墙底端C的距离BC为0.7米．（1）求AC的值；（2）如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．34．（2022秋•玄武区期中）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．（1）求证：∠C＝90°；（2）求AD和BD的长．35．（2022秋•东海县期中）在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？一．选择题1．下列各组数不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，12．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m3．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．16米B．20米C．24米D．25米4．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.555．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（）A．15尺B．24尺C．25尺D．28尺二．填空题6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是．7．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为．8．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为尺．9．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）10．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．11．已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC边上的中线AD＝3，则AC＝．12．（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝°（点A，B，P 是网格线交点）．13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为米．三．解答题14．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．15．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．16．如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．17．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．18．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．19．如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．20．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形ABCD的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形ABCD的周长；若不同意，请说明理由．21．阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米2．求这块地草坪绿化的价钱．。
勾股定理及其逆定理的运用课件
通过学习勾股定理及其逆定理，学生可 以培养出严密的逻辑思维和推理能力， 为后续的数学、物理、工程等学科的学
习打下坚实的基础。
学生可以从中领悟到数学与实际生活的 紧密联系，激发对数学的兴趣和热爱，
提高自主学习和探索的能力。
对实际应用的展望和期待
随着科技的发展和实际问题的复杂化，勾股定理及其逆定理的应用前景 将更加广阔。
度。
物理学
在物理学中，勾股定理可以用来解 决与直角三角形相关的力和运动问 题，例如单摆的运动和受力分析。
航海学
在航海学中，勾股定理可以用来计 算船只的航行距离和方向，以确保 航行安全。
02
逆定理的的逆定理是指，如果一 个三角形的三边满足勾股定理的 条件，那么这个三角形一定是直 角三角形。
条件限制不同
勾股定理适用于所有直角 三角形，而逆定理只适用 于已知一边和与之相对的 角为直角的三角形。
证明方法不同
勾股定理可以通过相似三 角形或面积法证明，而逆 定理通常通过反证法证明 。
定理与逆定理的互补之处
勾股定理是逆定理的前提
01
只有当满足勾股定理的条件时，一个三角形才可能是直角三角
形。
逆定理是勾股定理的延伸
02
勾股定理的逆定理是勾股定理的 一个重要应用，它可以帮助我们 判断一个三角形是否为直角三角 形。
逆定理的证明方法
勾股定理的逆定理可以通过反证法进 行证明。
然后通过构造一个直角三角形与三角 形ABC全等，并利用勾股定理证明假 设不成立，从而得出三角形ABC是直 角三角形的结论。
首先假设一个三角形ABC的三边满足 a²+b²=c²，但角C不是直角。
勾股定理及其逆定理的运用ppt课件
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第十讲 勾股定理D 巧妙运用
【知识要点】
1．勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
表达形式：在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对 边分别为c b a ,,，则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③2
22a c b -=．
2．勾股定理的逆定理（直角三角形的判别条件） 如果三角形的三边长为c b a ,,，满足222c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． 3．勾股数：
（1）满足2
22c b a =+的三个正整数，称为勾股数．
（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③88、15、17；④7、24、25；
⑤10、24、26；⑥9、40、41．
【经典例题】
例1、如图，已知△ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，AB=9cm ，AC=7cm ，BC=8cm ，求DE 的长。
例2、如图,在∆Rt ABC 中,∠ABC=90°,四边形ACDE 是正方形,BC=6，AB=8，求BE 的长．
A
E
E
A
例3、已知直角三角形的周长为26
，斜边上的中线为1，求这个三角形的面积。
例4、如图折叠长方形的一边BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，
求折痕EF 的长．
例5．如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数．
例6．如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA 垂直AB 于A ，CB 垂直AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？
A E
B
C
D F A B
C
D P
例7、如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别为300m 和500m ，
两村庄之间距离为m ，现要在公路上建一汽车停靠点，使两村到停靠点的距离之和最小。
问最小值是多少？
思考：如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，B 点离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点C ，需要爬行的最短距离是多少？
【随堂练习】
1、在一个长6m ，宽3m ，高2m 的房间里放进一根竹竿，这根竹竿最长为多少？
2、如图，在一个高BC 为6米，长AC 为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯50元，共需多少元？
B
A
D
C
l
A B B C · A
3、如图，一个圆柱体高20cm ，底面半径为6cm 。
在圆柱体下底面的A 点处有一只蜘蛛，想吃到与A 点相对的上底面B 点处的苍蝇，这只蜘蛛从点A 出发沿着圆柱形的曲面爬到B 点，最短线路是多长？（结果保留 ）
4、如图，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该长方形折叠，使C 点与A 点重合， 则折痕EF 的长为多少？
5、印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
请用学过的数学知识回答这个问题。
6、如图，某人在B 处通过平面镜看见在B 正上方3米处的A 物体，已知物体A 到平面镜的距离为2米，问B 点到物体A 的像A ′的距离是多少？
A
B
勾股定理妙用D 作业
1．已知等腰△ABC ，底边BC=20，D 为AB 上一点，且CD=16，BD=12，求△ABC 的周长。
2．已知△ABC 中∠A=30°，AC=4，BC=5
2
，求AB 的长。
3．求图中阴影部分的面积S 。
4 已知，如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 。
A B
C
D P
C。