傅里叶级数(详细讲解)
傅里叶级数通俗解析
=
=
=0 (n,m=1,2,3,…,n ) 当 n=m 时
=
= 最后证明两个是不同名的三角函数的情况
设
，
,把
代入(1)得
=
=
=0
(n,m 为任意整数)
因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个
皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满
足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备
息就喷涌而出。根据所叠加的不同三角函数的 不同，我们可以以 为 x 轴，作
频率谱线，研究一个信号所叠加的不同频率。根据所叠加的不同三角函数的 不
同，我们还可以以 为 x 轴，作相位谱线，研究一个信号中的不同相位角。
7
本人才疏学浅，在学习和理解的时候借助了网络的一些图片以及文集，得 到了启发。我摘抄了网上的一张图片，希望能形象的阐明傅里叶级数在物理中 的意义。
傅里叶级数通俗解析
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
傅里叶级数
本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级 数代表的物理含义。
1.完备正交函数集
要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数
,… 构成一个函数集，若这些函数在区间
上满足
如果是复数集，那么正交条件是
杨煜基 2016 年 3 月
8
用
化简合并得到
(8) 对于(8)式。其中的参数有
和
另
(8)式可化成
(9) 6
(9)式就是傅里叶级数的复指数形式。 现在求 ，将上式两边同乘 ，并在一个周期内求积分得：
当 m=n 时
傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数的研究为我们提供了很多关于现代数学的宝贵资源。
它使数学家们可以利用加法、乘法和函数来表达复杂的数学模型。
这篇文章将介绍傅里叶级数和函数公式，包括傅里叶级数的定义，它的特征，以及函数公式。
**傅里叶级数的定义**
傅里叶级数（Fourier series）是一种代表周期性函数的函数和级数。
它可以描述周期性函数的形状和行为，并用简单的正弦和余弦级数来表示它，它的级数形式为：
a_0 + (a_1*sin(x) + b_1*cos(x)) + (a_2*sin(2x) +
b_2*cos(2x)) + ... + (a_n*sin(nx) + b_n*cos(nx))。
其中a_0表示直流分量，a_n和b_n表示振幅和相位移动，n表示频率。
**傅里叶级数的特征**
傅里叶级数具有三个重要的特点：
1.以用来表示任意周期性函数，并且只需要使用一组正弦和余弦函数。
2.度会随着频率的增加而减小，因此低频信号的振幅比高频信号的振幅大得多。
3.个频率成分都有其独特的相位移动。
**函数公式**
函数公式是傅里叶级数的一种更为一般的表示法。
它用函数公式
来表示傅里叶级数，公式为：
A(t) =(a_n*cos(n*ω*t +_n))
其中A(t)表示时域函数，a_n表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，θ_n表示相位移动。
**结论**
傅里叶级数和函数公式是一种用来表示周期性函数的数学工具，它们可以有效地表示周期性函数的形状和行为。
傅里叶级数的研究为我们提供了大量的宝贵知识，使得数学家们能够更好地分析和理解复杂的数学模型。
十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。
1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果n个函数,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足如果是复数集，那么正交条件是为函数的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==再证两个都是正弦的情况设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==最后证明两个是不同名的三角函数的情况设，,把代入(1)得===0 (n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。
证毕。
由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。
接着是复指数函数集的证明设，,则把代入(2)得当n时，根据欧拉公式==0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时，=1 (n,m=1,2,3,…,n)所以，复指数函数集也是正交函数集。
因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。
明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。
因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。
有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。
我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。
把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是其中，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。
高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数
在 例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义 由公式 ② 确定的 称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数 展开思路 在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开 在
上有定义 上, 上为奇函数(偶函数)
定义在 在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且 当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A：振幅 ：角频率
？
复杂的周期运动
：初相 )
傅里叶级数课件分解
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
卷积的傅里叶级数
卷积的傅里叶级数卷积是信号处理领域中一个重要的概念，它在频域中的表示方式即为傅里叶级数。
本文将详细探讨卷积的傅里叶级数表示方法，并分析其在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期信号的方法。
对于周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = ∑(n=-∞)^(∞) c_n * exp(j*2πn*t/T)其中，c_n为傅里叶系数，表示信号在频域中的振幅。
傅里叶级数的系数计算可以使用积分或离散采样方法。
二、卷积与傅里叶级数的关系对于两个周期函数f(t)和g(t)，它们的卷积表示为：(f * g)(t) = ∫(0)^(T) f(τ) * g(t-τ) dτ卷积操作可以看作是两个信号在时域上的叠加与乘积运算。
根据卷积的性质，可以得出卷积定理：两个函数的傅里叶级数的卷积等于它们的傅里叶级数的乘积。
即，若f(t)和g(t)的傅里叶级数分别为：f(t) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n * exp(j*2πn*t/T)g(t) = ∑(n=-∞)^(∞) b_n * exp(j*2πn*t/T)则它们的卷积(f * g)(t)的傅里叶级数为：(f * g)(t) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n * b_n * exp(j*2πn*t/T)三、卷积的傅里叶级数的应用卷积的傅里叶级数具有良好的数学性质和广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用领域。
1. 信号滤波卷积可以用来实现信号滤波，通过将待滤波的信号与滤波器的冲激响应进行卷积运算，可以实现对信号频率的选择性抑制或增强。
傅里叶级数的卷积表示方法为滤波算法提供了理论基础。
2. 图像处理在图像处理中，卷积常用于实现模糊、锐化、边缘检测等操作。
通过将图像与相应的卷积核进行卷积运算，可以改变图像的特征和质量。
傅里叶级数的卷积性质为图像处理算法提供了便利。
3. 信号分析卷积的傅里叶级数可以用来分析信号的频谱特性。
傅里叶级数
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为间断点
其中
( 证明略 )
为 f (x) 的傅里叶系数 .
x 为连续点
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
它在
上的表达式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于
2) 傅氏级数的部分和逼近
说明:
f (x) 的情况见右图.
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
上的表达式为
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
它在
说明: 当
为便于计算, 将周期取为2
2. 定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成
周期延拓 F (x)
余弦级数
奇延拓
偶延拓
正弦级数
f (x) 在 [0, ]上展成
例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
奇函数
正弦级数
偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法
作奇周期延拓 ,
展开为正弦级数
作偶周期延拓 ,
展开为余弦级数
1. 在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?
答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
思考与练习
傅里叶级数与傅里叶变换的原理与应用
傅里叶级数与傅里叶变换的原理与应用傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的分析工具，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的原理，以及它们在实际应用中的一些例子。
一、傅里叶级数的原理与应用傅里叶级数是将一个周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数的和，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，f(t)表示周期函数，ω为基本频率，A_n和B_n分别为正弦和余弦函数的系数。
傅里叶级数的应用非常广泛，例如在电力系统中，我们需要分析电压和电流的波形，使用傅里叶级数可以将复杂的波形分解成一系列基本频率的波形，从而更好地分析、计算电力传输和能效。
二、傅里叶变换的原理与应用傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的数学工具，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，F(ω)表示原信号在频域上的变换结果，f(t)表示原信号在时域上的函数，e^(-iωt)为指数函数。
傅里叶变换在信号处理中经常用于频谱分析和滤波器设计。
例如在音频处理中，我们常常需要对音频信号进行频率分析，使用傅里叶变换可以将音频信号从时域转换为频域，得到音频的频谱图，从而帮助我们理解音乐的频率成分和谐波等特性。
三、傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上有密切的联系。
事实上，傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特殊应用。
傅里叶变换将非周期函数转换为连续频谱，而傅里叶级数则是将周期函数转换为离散频谱。
两者可以通过极限的方式进行转换。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法，使用傅里叶级数或傅里叶变换来分析信号。
四、傅里叶级数和傅里叶变换的实际应用举例1. 通信系统：在数字通信系统中，信号经过调制、解调等过程，需要将信号从时域转换到频域进行处理。
傅里叶变换被广泛应用于调制技术、频谱分析和信号压缩等方面。
2. 图像处理：傅里叶变换可以对图像进行频域分析，帮助我们理解图像的特征和纹理。
在图像压缩和图像增强等领域，傅里叶变换也发挥了重要作用。
傅里叶级数介绍
傅⾥叶级数介绍傅⾥叶变换能将满⾜⼀定条件的某个函数表⽰成三⾓函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅⾥叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅⾥叶变换和离散傅⾥叶变换。
最初傅⾥叶分析是作为热过程的解析分析的⼯具被提出的。
要理解傅⽴叶变换，确实需要⼀定的耐⼼，别⼀下⼦想着傅⽴叶变换是怎么变换的，当然，也需要⼀定的⾼等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅⽴叶级数变换是傅⽴叶变换的基础公式。
变换提出让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。
当时审查这个论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表⽰带有棱⾓的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗⽇的威望，拒绝了傅⽴叶的⼯作，幸运的是，傅⽴叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国⼤⾰命后因会被推上断头台⽽⼀直在逃避。
直到拉格朗⽇死后15年这个论⽂才被发表出来。
谁是对的呢？拉格朗⽇是对的：正弦曲线⽆法组合成⼀个带有棱⾓的信号。
但是，我们可以⽤正弦曲线来⾮常逼近地表⽰它，逼近到两种表⽰⽅法不存在能量差别，基于此，傅⽴叶是对的。
为什么我们要⽤正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以⽤⽅波或三⾓波来代替呀，分解信号的⽅法是⽆穷的，但分解信号的⽬的是为了更加简单地处理原来的信号。