天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试卷 Word版含解析
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期开学考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设全集U =R ，已知集合{}2|20A x x x =-->，{}1,0,1,2,3B =-，则()UA B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B.1,0,1,2C. {}1,1-D. {}1,2-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 以及集合A 的补集UA ，再根据集合的交集运算即可求出．【详解】因为(){}{(1)202A x x x x x =+-=或}1x <-，所以{}U1|2A x x -=≤≤，即有(){}U1,0,1,2A B ⋂=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题． 2. 已知集合{}23A x x =-≤≤，集合B 满足A B A =，则B 可能为（ ）A. {}13x x -<≤B. {}23x x -<<C. {}32x x -≤≤D.{}33x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】 根据AB A =得到，A 是B 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为集合B 满足AB A =，所以A B ⊆，又{}23A x x =-≤≤，A 选项，{}13x x -<≤显然是集合A 的子集，不满足题意，排除； B 选项，{}23x x -<<显然是集合A 的子集，不满足题意，，排除；C 选项，{}32x x -≤≤不是集合A 的子集，且A 也不是{}32x x -≤≤的子集，不满足题意，D 选项，{}33x x -≤≤包含集合A ，故满足题意，正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型. 3. “x y <”是“x y <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】利用取特殊值法判断即可.【详解】取特殊值代入，当4,0x y =-=时，满足x y <但x y >，所以不充分； 当x 1,y 2==-时，满足x y <，但x y >，所以不必要； 故“x y <”是“x y <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题． 4. 已知全集R ，设集合{}2430P x x x =-+≤，{}240Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A {}23x x ≤≤B. {}13x x <<C. {}23x x <≤D.{2x x ≤-或}1x ≥【答案】D 【解析】 【分析】先求出{}13P x x =≤≤，再求出R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，最后求()RPQ 即可.【详解】解：因为{}2430P x x x =-+≤，所以{}13P x x =≤≤， 因为{}240Q x x =-<，所以{}22Q x x =-<<，则R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，所以(){R2P Q x x ⋃=≤-或}1x ≥，【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.5. 命题“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为（）A. ∀a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立B. ∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立C. ∃a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立D. ∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立【答案】D【解析】【分析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.【详解】“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为：∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立.故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.6. 二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，对称轴是直线1x=.下列结论：①0abc<；②30a c+>；③()220a c b+-<.其中结论正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ， 图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <， 又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <， 所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -， 又12ba-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-， 又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题. 7. 已知集合{}1A x x =≥-，1212B x a x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥B. 23a ≥C. 0a ≥D.203a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为{}1A x x =≥-，1212B xa x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭， 若A B ⋂≠∅，则只需211a -≥-，解得0a ≥【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.8. 在平面直角坐标系中，先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A. 223y x x =-+-B. 2y x 2x 3=-++C. 223y x x =--+D.223y x x =++【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称得到解析式为2y x 2x 3=-++，再将抛物线关于y 轴作轴对称得到解析式为223y x x =--+，最后给出答案即可.【详解】解：先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，得到2[()2()3]y x x =--+--，整理得2y x 2x 3=-++；再将抛物线2y x 2x 3=-++关于y 轴作轴对称变换，得到2()2()3y x x =--+-+，整理得223y x x =--+；所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为223y x x =--+. 故选：C【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.9. 菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==段AP 的长为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断点P在对角线AC上，再分“点P在线段OA上”和“点P在线段OC上”两种情况讨论分别求线段AP的长.【详解】解：因为点P是菱形内一点，且23 PB PD==，所以点P在对角线AC上，设对角线AC与BD的交点为O，所以点P可能在线段OA上，也有可能在线段OC上，①当点P在线段OA上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA=，又因为23PD=，在Rt PDO△中，223OP PD OD=-=，此时23AP=，②当点P在线段OC上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA =又因为23PD=Rt PDO△中，223OP PD OD=-，此时3AP=故选：D.【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.10. 设集合{}1,3,5,6,9M=，1S，2S，，kS都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i iS a b=，{}{}(),,,1,2,3,,j j jS a b i j i j k=≠∈都有max,max,j ji ii i j ja ba bb a b a⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max,x y表示两个数x，y中的较大者），则k的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者），”的把握，即可得答案．【详解】根据题意，对于M ，含2个元素的子集{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,9}，{3,5}，{3,6}，{3,9}，{5,6}，{5,9}，{6,9}，有10个，但{1,3}、{3,9}只能取一个； 故满足条件的两个元素的集合有9个； 故选：B ． 【点睛】本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.【答案】-3 【解析】【详解】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.12. 集合A 满足{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先求出所有的集合A ，再确定个数即可.【详解】解：因为{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以{}1,3 {}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =， 所以集合A 的个数有3个. 故答案为：3【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.13. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+，若A B ⊇，则m 的取值范围是________.【答案】][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 【解析】 【分析】先化简确定集合A ，再根据A B ⊇分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论，最后解不等式确定m 的取值范围．【详解】解：因为{}116A x x =-≤+≤，所以{|25}A x x =-≤≤， 因为A B ⊇，所以B 是A 的子集，当B =∅时，则121m m -≥+，解得2m ≤-，符合题意；当B ≠∅时，则12215121m m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得12m -≤≤，符合题意；综上所述，m 的取值范围是][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 故答案为：][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题． 14. 已知2514x x -=，则()()()212111x x x ---++=________ 【答案】15 【解析】 【分析】先解方程，得到7x =或2x =-，再分别代入所求式子，即可得出结果. 【详解】由2514x x -=得()()720x x -+=，解得7x =或2x =-， 当7x =时，()()()22121116138115x x x ---++=⨯-+=； 当2x =-时，()()()()212111351115x x x ---++=-⨯--+=. 故答案为：15.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.15. 已知:3x α>或1x <，124m x m β+≤≤+:，m R ∈，若β是α⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是________. 【答案】102m -≤≤ 【解析】 【分析】先由题意，得到:13x α⌝≤≤，根据β是α⌝的必要不充分条件，得到[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为:3x α>或1x <，所以:13x α⌝≤≤；又124m x m β+≤≤+:，m R ∈，β是α⌝的必要不充分条件， 所以[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，因此11243m m +≤⎧⎨+≥⎩（不能同时取等号）， 解得102m -≤≤.故答案为：102m -≤≤ 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.16. 设0a >，若只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，则a =________.【答案】2 【解析】 【分析】先判断函数1y cx =+单调递增，再由题意建立方程组求解a 的值即可.【详解】解：因为10cx y -+=，所以1y cx =+，因为0c >， 所以函数1y cx =+单调递增，因为只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，所以1231a ca a ca =+⎧⎨=+⎩，解得：2a =故答案为：2.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）17. 已知{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】{1a a =或}1a ≤- 【解析】 【分析】求出集合A ，对集合B 中的元素个数进行分类讨论，结合B A ⊆可得出实数a 所满足的等式或不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】{}{}2404,0A x x x =+==-，(){}222110B x x a x a =+++-=，对于方程()222110x a x a +++-=，()()()22414181a a a ∆=+--=+，且B A ⊆.①当B =∅时，∆<0，可得1a <-，合乎题意；②当集合B 中只有一个元素时，0∆=，可得1a =-，此时{}{}200B x x A ===⊆，合乎题意；③当集合B 中有两个元素时，B A =，则()221410a a ⎧+=⎨-=⎩，解得1a =.综上所述，实数a 的取值范围是{1a a =或}1a ≤-.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18. 已知{}28200A x x x =--≤，{}2B x x m =-≤.（1）当1m =时，求集合B ；（2）若“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）{}13B x x =-≤≤；（2）[4,12]-；（3）[0,8].【解析】【分析】（1）先化简得到{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再将1m =代入求集合B 即可；（2）先化简得到{}210A x x =-≤≤和{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再转化已知条件得到A B ⋂≠∅，最后建立不等式求m 的取值范围；（3）先判断存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到B A ，最后建立不等式求m 的取值范围. 【详解】解：因为{}2B x x m =-≤，所以{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，（1）当1m =时，解得{}13B x x =-≤≤；（2）因为{}28200A x x x =--≤，所以{}210A x x =-≤≤，因为“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，所以A B ⋂≠∅，所以2210m -≤+≤或2210m -≤-≤，解得412m -≤≤，所以m 的取值范围是[4,12]-，（3）存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，假设存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，则B A所以21022m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得08m ≤≤， 当0m =时，{}22B x x =-≤≤，符合题意；当8m =时，{}610B x x =≤≤，符合题意； 所以存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，此时m 的取值范围是[0,8].【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.19. 设全集I R =，集合{}220,A x x x m m R =-+<∈，{2440,B a R ax ax =∈+-<对任意实数x 恒成立}.，()I A B ≠∅，求实数m 的范围. 【答案】(3,)-+∞【解析】【分析】 先由题意求出{}10B a a =-<<，再化简得到{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈，最后分1m =，1m 和1m <三种情况讨论求实数m 的范围. 【详解】解：因为{2440B a R ax ax =∈+-<，对任意实数x 恒成立}.， 所以20(4)4(4)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩或040a =⎧⎨-<⎩，解得10a -<≤，则{}10B a a =-<≤， 因为{}220,A x x x m m R =-+<∈，所以{}220,I A x x x m m R =-+≥∈ 则{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈当10m -=即1m =时，{}1I A x x =≠，此时()I A B ≠∅成立，符合题意； 当10m -<即1m 时，I A R =，此时()I A B ≠∅成立，符合题意；当10m ->即1m <时，{1I A x x =≥或1x ≤，使得()I A B ≠∅成立，则11>-解得3m >-，所以31m -<<；综上所述：3m >-，故答案为：(3,)-+∞.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.。
2020-2021学年天津市某校高一(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{1, 2, 3, 4, 5}【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x−3<2}={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．故选A．2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）A.{−3, 3}B.{0, 2}C.{−1, 1}D.{−3, −2, −1, 1, 3 }【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、交集的运算即可．【解答】全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则∁U B＝{−2, −1, 1}，∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．【解答】若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，所以a＝1或−1，当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，故a＝−1．4. “x>2”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论【解答】解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要条件,∴x>2是x>1的充分不必要条件.故选A．5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.故选C.6. 下列不等式中成立的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a>b，则a3>b3【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．【解答】对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b2)2+34b2]>0，故选项D正确．故选：D．7. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)8. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√3【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.9. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.a>0C.a<−1D.a>1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先由已知条件得到{△=16−12a>03a<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．【解答】若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：{a≠016−12a>03 a <0，解得a<0；∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；10. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．【答案】∀x∈R，x2−1≤0【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|a +b|b|+ab|ab|}，则集合A的元素的个数有________个．【答案】2【考点】元素与集合关系的判断【解析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．【解答】当a>0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1+1+1＝3，当a>0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1−1−1＝−1，当a<0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1＝−1，当a<0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1−1+1＝−1，故x的所有值组成的集合为{−1, 3}设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．【解答】∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），故实数m＝0．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．【答案】6【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．【解答】∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，∴A∩B={1, 2, 3}，∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．给出下列条件p与q：①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为________．【答案】②【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p:x2−1＝0，解得x＝±1，q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．【答案】{2, 4, 8},{3, 4, 7}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．【解答】全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，∴A∩B＝{4}，集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．【答案】[1, 2]【考点】集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．【解答】因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥12a≤4，解得1≤a≤2，所以a的取值范围为[1, 2]．设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．【解答】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．若x<53，y＝3x+13x−5，当x＝________43时，y的最大值为________．【答案】,3【考点】基本不等式及其应用【解析】y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由x<53得3x−5<0，y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5≤−2√(5−3x)⋅15−3x+5＝3，当且仅当5−3x=15−3x ，即x=43时取等号，此时y＝3x+13x−5取得最大值3．已知正实数a，b满足a+b＝1，则1a (b+1b)的最小值是________．【答案】2+2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵正实数a，b满足a+b＝1，∴1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2≥2√2ba⋅ab+2=2+2√2，当且仅当2ba =ab且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，则1a (b+1b)的最小值2+2√2．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．【答案】a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，∁R Q＝{x|x<2或x>4}，P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，当Q≠⌀时，{2a≤a+3a+3≤−2或{2a≤a+32a≥3，解得a≤−5或32≤a≤3，∴实数a的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝{x|0≤x<3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，由此能求出实数a 的取值范围．（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．【解答】a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3， 解得a ≤−5或32≤a ≤3，∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥4}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题补集及其运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可【解答】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.设，且则( )A. B. C. D.3.若集合，，则的充要条件是( )A. B. C. D.4.设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.不等式中等号成立的条件是 ( )A. B. C. D.6.已知集合，，若，则a的取值范围为( )A. B.C. D.7.正实数a，b满足，，则的最小值为( )A. B. C. D.8.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.9.已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是.( )A. B.C.或 D.10.若关于x的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.设a，，若集合，则__________.12.试用列举法表示集合：__________；13.不等式的解集为__________.14.已知实数，当取得最小值时，则的值为__________.15.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是__________.16.若函数的最小值为0，则m的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共36分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分设全集为，集合，，求，，；若，求实数a的取值范围.18.本小题12分解关于x的不等式：19.本小题14分已知且，记m为的最大值，记n为ab的最大值.求的值;若，且对任意，恒成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.根据交集的定义求解即可.【解答】解：因为 ，，所以.故选：2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题.运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【解答】解：A ：当 时，显然不成立，因此本选项不正确；B ：当 时， 没有意义，因此本选项不正确；C ：若 ，显然，但是不成立，因此本选项不正确；D ：由 ，因此本选项正确，故选：D 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查充要条件及含参数的集合关系问题，属于基础题.利用充要条件及两个集合的关系即可得出答案.【解答】解：因为集合 ，，且，所以，故选：4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案.【解答】解：命题p：，，则为， .故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题考察基本不等式，属于基础题.易知取等时解出x即可.【解答】解：故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及集合包含关系的判断，分类讨论含参数的集合包含关系，属于中档题.由可以得到，从而对集合B分类讨论即可求解参数a的范围.【解答】解：已知，又因为，，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述， .故选：7.【答案】A【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为 .故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题.求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【解答】解：由可得，当时，，所以，所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，故选：C9.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决恒成立及一元二次方程问题，属于中档题.若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可.【解答】解：命题p：为真命题，对任意恒成立，又，，当且仅当，即时，等号成立，，命题，，为真命题，，或，命题p，q都是真命题，或 .故选：C10.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，涉及集合的混合运算，属于中档题.根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，讨论两根大小，然后根据集合的运算即可求解.【解答】解：当，则的解集为或，，，，，所以或 .当，则的解集为或，，，，，所以或，综上，故选：11.【答案】0【解析】【分析】本题考查集合相等，属于中档题.利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【解答】解：由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以 .故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，属于基础题.求解x 的范围，然后表示成描述法即可.【解答】解：由题意可得： .故答案为： .13.【答案】【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.根据分式不等式求解方法进行求解即可．【解答】解：不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为 .故答案为： .14.【答案】4 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.先利用配凑法根据基本不等式求最值，根据取等条件得 ，即 即得.【解答】解：根据题意可得，，因 ，所以，，所以即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则 .故答案为： 415.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决有解问题，属于中档题.由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因为两个正实数x，y满足，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.因为有解，所以，即，解得或，即实数m的取值范围是 .故答案为： .16.【答案】【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，属于较难题.根据题意，讨论，求得时，取得最小值 0 ，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【解答】解：当时，，当时，取得最小值 0 ，满足条件；当时，，当时，可得，当时，，，当时，，当时，取得最小值0，此时；当时，，由题意可得恒成立，不满足.则m的取值范围为 .故答案为：17.【答案】解：因为，，根据并集、补集的概念可得，或，或，所以，或 .若，则，解得，若，则，且或，解得，所以实数a的取值范围是 .【解析】本题考查集合的运算，属于中档题.根据集合A、B利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果.分集合C为空集和C不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到a的范围.18.【答案】解：，时，，解集为时，不等式无解；时，，解集为时，不等式为，解集为；时，不等式的解集为或，综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无解；时，不等式的解集是【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题关键在于对参数的分类讨论，注意参数的正负情况对于解集的影响，属于中档题.分类讨论，进行求解即可.19.【答案】解：因为，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为1，即，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，即，由题可得，令，则，故 .对任意，，则恒成立，因为a为正数，所以所以，此时，所以，当时，等号成立，此时成立，所以的最大值为第11页，共11页【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式恒成立问题，属于难题.利用基本不等式结合已知可求得，则 ，从而可求出 n 的值，再结合完全平方公式可求出 m ；令，则 ，得 ，根据 时， ，求得 的关系，从而可得 的取值范围，根据 取最大值的的值检验不等式 恒成立，即可求得结果.。
2024-2025学年天津市第二南开中学高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={1,2,3,4,5,9},B ={x| x ∈A}，则∁A (A ∩B)=( )A. {1,4,9}B. {3,4,9}C. {1,2,3}D. {2,3,5}2.命题“∃a >0，a 2+1<2”的否定为( )A. ∃a >0，a 2+1≥2B. ∃a ≤0，a 2+1≥2C. ∀a >0，a 2+1≥2D. ∀a ≤0，a 2+1≥23.已知a >b ，c >d >0，则下列不等式成立的是( )A. 1a <1b B. d c <d +4c +4 C. a−c >b−d D. ac >bd4.已知p ：−1≤x <3，q ：x ≤3，则p 是q 的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.已知正实数x ，y 满足1x +2y =1，则2xy−3x 的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 116.如果f(x)=mx 2+(m−1)x +1在区间(−∞,1]上为减函数，则m 的取值范围( )A. (0,13]B. [0,13)C. [0,13]D. (0,13)7.已知函数f (x )={12x−1,x ≥01x ,x <0，若f(a)=a ，则实数a 的值为( )A. ±1 B. −1C. −2或−1D. ±1或−28.函数f(x)={x + 1−x ,x ≤1,x +4x−1,x >1的值域为( )A. (−∞,54]∪[5,+∞)B. [54,5]C. (−∞,34]∪[4,+∞) D. [34,4]9.已知函数f(x)，g(x)是定义在R 上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=ax 2+x +2，若对任意1<x 1<x 2<2，都有g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2>−2，则实数a 的取值范围是 ( )A. (0,+∞)B. [−12,+∞)C. [−12,0)D. (−∞,−12]⋃[0,+∞)二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
天津市南开中学高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年天津市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题4分，共40分．）1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{﹣1，2，5} C．{2，5，7} D．{﹣7，2，5}2．下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=|x| D．f（x）=e x3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|4．函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B． C．D．6．设，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c7．设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．﹣1，1，3 B．，1 C．﹣1，3 D．1，38．若函数在[﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6] B．[﹣8，﹣6）C．（﹣8，﹣6] D．[﹣8，﹣6]9．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1）B．∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，，+∞）10．对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题4分，共24分．）11．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a= ．12．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间是．13．已知函f（x）=，则f（f（））= ．14．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．15．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m 的取值范围是．16．已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．三、解答题：（17、18每小题8分，19、20每小题8分，共36分．）17．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|2x2﹣ax+2=0}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．18．化简求值（1）；（2）．19．已知：2x≤256且log2x≥，（1）求x的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值及对应的x值．20．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．2015-2016学年天津市南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题4分，共40分．）1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{﹣1，2，5} C．{2，5，7} D．{﹣7，2，5}【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】由A与B求出两集合的并集，找出并集与C的交集即可．【解答】解：∵集合A={2，5}，集合B={1，2}，∴A∪B={1，2，5}，∵C={1，2，5，7}，∴（A∪B）∩C={1，2，5}．故选A【点评】此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=|x| D．f（x）=e x【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别求出各个函数的定义域，从而选出答案．【解答】解：函数的定义域是{x|x＞0}，对于A：定义域是{x|x＞0}，对于B：定义域是{x|x≠0}，对于C：定义域是R，对于A：定义域是R，故选：A．【点评】本题考察了求函数的定义域问题，是一道基础题．3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．y=D．y=x|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的定义，导数符号和函数单调性的关系，反比例函数的单调性，二次函数的单调性即可找出正确选项．【解答】解：A．该函数不是奇函数，所以该选项错误；B．y′=﹣3x2≤0，所以该函数是减函数，所以该选项错误；C．该函数是反比例函数，该函数在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递增，所以在定义域{x|x=0}上不具有单调性，所以该选项错误；D．容易判断该函数是奇函数，，根据二次函数的单调性x2在[0，+∞）是增函数，﹣x2在（﹣∞，0）上是增函数，所以函数y在R上是增函数，所以该选项正确．故选D．【点评】考查奇函数的定义，y=﹣x3的单调性，反比例函数的单调性，分段函数的单调性，以及二次函数的单调性．4．函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）＜0，f（10）＞0，由此得出结论．【解答】解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）•f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选D．【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据当x≥0时，f（x）=ln（x+1）的图象经过点（0，0），且函数在（0，+∞）上缓慢增长．再根据此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象．【解答】解：先作出当x≥0时，f（x）=ln（x+1）的图象，显然图象经过点（0，0），且在（0，+∞）上缓慢增长．再把此图象关于y轴对称，可得函数f（x）在R上的大致图象，如图C所示，故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象特征，偶函数的性质，属于中档题．6．设，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数y=单调性得出＜，再根据幂函数y=的单调性得出＜，即可得出答案．【解答】解：∵指数函数y=是定义域R上的减函数，且＜，∴＜，即a＜b；又幂函数y=在（0，+∞）上是单调增函数，且＜，∴＜，即b＜c；∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．7．设α∈，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．﹣1，1，3 B．，1 C．﹣1，3 D．1，3【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的性质，我们分别讨论a为﹣1，1，，3时，函数的定义域和奇偶性，然后分别和已知中的要求进行比照，即可得到答案．【解答】解：当a=﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当a=1时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；当a=函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当a=3时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D【点评】本题考查的知识点是奇函数，函数的定义域及其求法，其中熟练掌握幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数a的关系，是解答本题的关键．8．若函数在[﹣1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6] B．[﹣8，﹣6）C．（﹣8，﹣6] D．[﹣8，﹣6]【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得y=3x2﹣ax+5在[﹣1，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＞由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵函数在[﹣1，+∞）上单调递减，∴y=3x2﹣ax+5在[﹣1，+∞）上单调递增，∴，解得﹣8＜a≤﹣6．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．9．设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（，1）B．∪（1，+∞）C．（）D．（﹣∞，，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选A．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．10．对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题：（每小题4分，共24分．）11．已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a= 10 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】单调区间按照复合函数单调区间的求法进行即可．【解答】解：由x2﹣4＞0得（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），令t=x2﹣4，由于函数t=x2﹣4的对称轴为y轴，开口向上，所以t=x2﹣4在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）递增，又由函数y=log t是定义域内的减函数．所以原函数在（﹣∞，﹣2）上递増．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了复合函数单调区间的求法，一般的先求函数的定义域，然后确定内外函数并研究各自的单调性，再按照“同增异减”的原则确定原函数的单调性．13．已知函f（x）=，则f（f（））= ．【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础．14．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．【专题】作图题．【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．15．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m 的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．【解答】解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．三、解答题：（17、18每小题8分，19、20每小题8分，共36分．）17．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|2x2﹣ax+2=0}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】求出集合A，将条件A∩B=B转化为B⊆A，即可求a的取值范围．【解答】解：A={1，2}，由B=A∩B，所以B⊆A（1）B=∅，则由△=a2﹣16＜0，解得﹣4＜a＜4；（2）B≠∅，若△=0，则a=±4．当a=﹣4时，B={﹣1}，不满足B⊆A；当a=4时，B={1}，满足B⊆A．若△＞0，则a＜﹣4或a＞4，且B⊆A，应有B=A，故无解．综上，实数a的取值范围是a∈（﹣4，4]．【点评】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，注意对集合B要注意讨论．18．化简求值（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）===2•3=6；（2）．==2（lg5+lg2）+lg5•lg2+（lg2）2+lg5=2+lg2•（lg5+lg2）+lg5=2+1=3．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，是基础题．19．已知：2x≤256且log2x≥，（1）求x的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值及对应的x值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由2x≤256求得x≤8，再由log2x≥求得x≥，综上可得x的范围．（2）由（1）可得，≤x≤8，≤log2x≤3，再根据f（x）=（log2x﹣1）（log2x﹣2），利用二次函数的性质求得它的最值，以及此时对应的x值．【解答】解：（1）由2x≤256=28，∴x≤8．且log2x≥=，可得x≥．综上可得，≤x≤8，即x的范围为[，8]．（2）由（1）可得，≤x≤8，∴≤log2x≤3，∴f（x）=（log2x﹣1）（log2x﹣2）=﹣，∴当 log2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣，此时，x=2．当 log2x=3时，函数f（x）取得最大值为2，此时x=8．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合，二次函数的性质应用，属于中档题．20．设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）f（0）≥1⇒﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．（3）h（x）≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．【解答】解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1（2）当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴，如图所示：当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2，∴．综上所述：．（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；当﹣＜a＜时，△＞0，得：即进而分2类讨论：当﹣＜a＜﹣时，a＜，此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当﹣≤x≤时，＜a＜；此时不等式组的解集为[，+∞）．综上可得，当a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．【点评】本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．。
2020-2021学年天津市南开中学高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）在平行四边形ABCD中，+﹣＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知＝（1，2），＝（4，3），则（﹣）•＝（）A．﹣30B．﹣15C．﹣10D．53．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使△ABC有两解的是（）A．b＝2，c＝1，A＝30°B．a＝8，B＝45°，C＝65°C．a＝3，c＝2，A＝30°D．a＝3，b＝4，B＝45°4．（4分）下列命题中正确的是（）A．两个平面可以有且仅有一个公共点B．两两相交的直线一定共面C．如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行5．（4分）已知在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tan B＝ac，则角B的值（）A．B．C．或D．或7．（4分）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量，，则向量＝（）A．2+3B．（2+）+3C．（2+）+（2+）D．（1+）+（2+）8．（4分）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔宇楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊﹣﹣“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D 两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，AB＝50m，CD＝25m，设∠DAE＝θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．9．（4分）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，设，为同一平面内的两个向量，若＝+，|﹣|＝，则|﹣|的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝5，AD＝2，CD＝1，且•＝7，设点P为BC边上的任一点，则•的最小值为（）A．B．C．3D．﹣15二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）i是虚数单位，则＝．12．（4分）已知向量＝（1，），＝（，﹣3），则与的夹角大小为．13．（4分）已知向量＝（2，1），＝（0，1），＝（4，3），若λ为实数，且（λ+）⊥，则λ＝．14．（4分）已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为．15．（4分）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝（1﹣λ），＝λ，其中λ∈R，若•＝﹣，则λ＝．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，角B为锐角，向量＝（2sin B，﹣）与＝（cos2B，cos B）共线，且sin A+sin C＝2sin A sin C，则△ABC的周长为．三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分.17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求异面直线AE与BD1所成角的余弦值．18．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点．（Ⅰ）如图（1）．（ⅰ）求•+•的值；（ⅱ）求•+•+•+•的值；（Ⅱ）如图（2），若点M，N满足＝2，＝2．点P是线段MN的中点，点Q 是平面上动点，且满足2＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，求•的最小值．19．（12分）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔宇楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间．南鸢同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即∠P AQ＝45°，其中P，Q分别在边BC，CD上，记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．（Ⅰ）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当θ＝30°时，请你求出：（ⅰ）线段DQ的长为多少？（ⅱ）线段AR的长为多少？（Ⅱ）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形APCQ的面积，记为S）最大，θ应取何值？S的最大值为多少？2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020-2021天津市南开外国语高级中学高中必修一数学上期末第一次模拟试题附答案
2020-2021天津市南开外国语高级中学高中必修一数学上期末第一次模拟试题附答案一、选择题1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ）A ．2B ．－2C ．1D ．－16．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．19．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a= ．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁（A∪B）中元素个数为（）UA．4 B．5 C．6 D．7【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，结合集合并集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（A∪B）={3，6，7，8，9}，∴∁U故∁（A∪B）共有5个元素，U故选：B．2．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π【考点】终边相同的角．【分析】把化成15°，再根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，即可得答案．【解答】解：由α=+2kπ（k∈Z），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简求值即可得答案．【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=．故选：C．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用奇偶性的定义，即可判断出奇函数的函数．【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数；C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：A．5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由两角和的正切公式化简tan（θ+）=，求出tanθ的值，结合条件和三角函数值的符号判断出θ所在的象限．【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法的定义．【分析】判断f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出答案．【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），能求出结果．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或【考点】扇形面积公式．【分析】由题意可得旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，得：（cosα﹣sinα）2=，进而解得cosα﹣sinα=±，cosα+sinα=，联立解得cos α=，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②所以：由①②可得：cosα=．故α=或．故选：A．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin （﹣2x+），再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin（﹣2x+），x=+，﹣2x+=kπ+，f（﹣x）=Asin（﹣2x+）≠0，故选C．10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【考点】分段函数的应用．【分析】根据已知中函数f（x）=，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及最大值得出结论．【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin （2x+2φ）的图象，将函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣]=cos（2x﹣2φ﹣）=sin[﹣（2x﹣2φ﹣）]=sin（﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ++2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+，（k∈Z）=．当k=0时，φmin故答案为：．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用差角的余弦公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，故答案为．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3=﹣，则a= ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】如图所示，画出函数f （x ）的图象，不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×，又x 1+x 2+x 3=﹣，可得x 3，代入a即可得出a ．【解答】解：如图所示，画出函数f （x ）的图象， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×=﹣3，又x 1+x 2+x 3=﹣， ∴x 3=． ∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 16．已知集合A={x|2x ﹣6≤2﹣2x ≤1}，B={x|x ∈A ∩N}，C={x|a ≤x ≤a+1}． （Ⅰ）写出集合B 的所有子集；（Ⅱ）若A ∩C=C ，求实数a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【分析】（Ⅰ）根据题意，解2x ﹣6≤2﹣2x ≤1可得集合A ，又由B={x|x ∈A ∩N}，即可得集合B ，进而由子集的定义可得集合B 的子集；（Ⅱ）根据题意，分析可得C 是A 的子集，进而有：，解可得a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A ，因为2x ﹣6≤2﹣2x ≤1，则x ﹣6≤﹣2x ≤0， 解可得：0≤x ≤2．即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数，由函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，求出f（x）和f（﹣x）即可证得结论；（Ⅱ）由已知条件求出，再由θ为第一象限角，求出，然后利用三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）=f（﹣x）=．因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，则函数f（x）的解析式f（x）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），则函数f（x）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【考点】函数的值域．【分析】（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，利用cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα=；（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，∴函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简即可得答案；（Ⅱ）求出函数f（x）的最值即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=，由题意知，因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=．即，．∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，∴f（x）在x2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。
【解析】天津市六校2020-2021学年高一上学期期末考试联考数学试卷
2020~2021学年度第一学期期末六校联考高一数学一､选择题(本题共9小题，每题4分，共36分)1. 设集合{}2540A xx x =-+≤∣，{2}B x N x =∈≤∣，则A B =（ ）A. {12}xx <≤∣ B. {}1,2 C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】B 【分析】分别求出集合A 和B 的范围，直接求交集即可得解.【详解】{}{}2540|14A xx x x x =-+≤=≤≤∣， {}{2}0,1,2B x N x =∈≤=∣，所以{}1,2AB =，故选：B.2. 已知命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为（ ）A. 00x ∃≤，使得()0011xx e +≤B. 00x ∃>，使得()0011xx e +≤C. 0x ∀>，总有()11x x e +≤D. 0x ∀≤，使得()11xx e +≤【答案】B 【分析】本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，所以p ⌝：00x ∃>，使得()0011xx e +≤，故选：B .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.3. 设α∈R ，则“23k παπ=+，k Z ∈”是“1cos 2α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】 根据1cos 2α=可得：23k παπ=+或523k παπ=+（k Z ∈），利用集合语言和命题语言的对应关系，即可得解. 【详解】由1cos 2α=可得：23k παπ=+或523k παπ=+， 可得2,3|k k Z παπα=+∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭ |23k πααπ⎧=+⎨⎩或523k k Z παπ⎫=+∈⎬⎭，， 所以“23k παπ=+，k Z ∈”是“1cos 2α=”的充分不必要条件， 故选：A.4. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.【答案】D因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.5. 设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】0.5.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<，0.60.6log 1.2log 10b =<=，0.601.2 1.21c =>=，因此，b a c <<. 故选：B.6. 已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],4-∞B. ()4,-+∞C. []4,4-D. (]4,4-【答案】C 【分析】先由题意，得到23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立；根据二次函数性质，列出不等式求解，即可求出结果.【详解】因为()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，所以有23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立；因此，只需2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得44a -≤≤.故选C【点睛】本题主要考查由复函数函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型. 7. 若02＜＜πα，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-，则cos()2βα+=（ ）A.B.C.D. -【答案】C 【分析】 由于cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，所以先由已知条件求出sin()4πα+，sin()42πβ-的值，从而可求出答案【详解】cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，因为02＜＜πα，02πβ-＜＜，所以3(,)444πππα+∈，(,)4242πβππ-∈， 因为1cos()43πα+=，cos()42πβ-，所以sin()43πα+=，sin()42πβ-=，则1cos()23βα+==． 故选：C【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8. 已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）①函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ②函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 ③函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 ④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象 A. ①② B. ①③C. ①②③D. ①②④【答案】A 【分析】根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解+析式，得到()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.【详解】由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭所以222T ππωπ===， 当12x π=时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以22()122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，得 3πϕ=，故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于①，当6x π=-时，()2sin(2())0663f πππ-=⨯-+=，正确；对于②，当512x π=-时，()2sin 551212(2())23f πππ=⨯+-=--，正确； 对于③，令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，27,,()361212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确； 对于④，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333f x x x ππππ-=-+=-，所以不正确； 故选：A.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.9. 设函数21,2()7,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A. ()8,9B. ()65,129C. ()64,128D.()66,130【答案】D【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果．【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<． 故选：D ．【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 1、确定方程根的个数； 2、求参数的取值范围； 3、求不等式的解集； 4、研究函数性质．二､填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)10. 已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.【答案】2π 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.11. 已知函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为__________.【答案】3 【分析】求出函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠过的定点坐标，再由tan yxα=即可得解. 【详解】由函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ， 则A 点坐标为(2,6)， 由点A 在角α的终边上， 可得6tan 32y x α===， 故答案为：3.12. 设函数()2010x bx c x f x x ⎧++≥=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是__________. 【答案】2 【分析】根据(4)(0)f f =，(2)2f =，利用二次函数性质求得()f x ，再将()g x 的零点问题转化为函数(),y f x y x ==的图象交点问题，利用数形结合法求解. 【详解】因为(4)(0)f f =，所以当0x ≥时，函数图象关于2x =对称， 所以22b=-，解得4b =-， 又(2)482f c =-+=， 解得6c =，所以()246010x x x f x x ⎧-+≥=⎨<⎩，令()()0g x f x x =-=，即()f x x =，在同一坐标系中作出(),y f x y x ==的图象，如图所示：由图象知，函数(),y f x y x ==的图象交点有2个， 所以()()g x f x x =-的零点的个数有2个，故答案为：2 13. 对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________． 【答案】[]4,5-()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(],2-∞ 【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()max maxf t ag s +≤求出a 的范围．【详解】对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]， 对于函数g （x）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]， ∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max max f t a g s +≤∴a +4≤6， 解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．三､解答题(本大题共5小题，共64分)15.设函数y 的定义域为A ，集合{}220B xx x =-≤∣. （1）求集合A ，B ，并求RAB ；（2）若集合{}21C xa x a =≤≤+∣，且B C C =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{2}A xx =≥∣，{02}B x x =≤≤∣，{2}RA B x x =>∣；（2）[0,)+∞.【分析】（1）由对数函数的性质可得{2}A xx =≥∣，由二次不等式可得{02}B x x =≤≤∣，再由集合的交集、补集的概念即可得解；（2）转化条件为C B ⊆，按照C =∅、C ≠∅分类，运算即可得解. 【详解】（1）因为2102log (1)0x x x ->⎧⇒≥⎨-≥⎩，所以{2}A x x =≥∣，又{}220{02}B xx x x x =-≤=≤≤∣∣，{0RB x x =<∣或2}x >，所以{2}RAB x x =>∣；（2）因为B C C =，所以C B ⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，符合题意；当C ≠∅时，则12200112a a a a a +≥⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪+≤⎩；综上：a 的取值范围是[0,)+∞.16. 已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. （1）化简()f α，并求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求函数2()2()12g x f x f x π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的值域. 【答案】（1）()cos f αα=，π132f ；（2）1；（3）250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由诱导公式化简可得()cos f αα=，进而可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）由平方关系和商数关系可转化条件为224tan 3tan 5tan 1ααα--+，即可得解； （3）转化条件为()21252sin 48g x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅， 故1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）∵tan 2α=，故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+224tan 3tan 51tan 1ααα--==+；（3）因为()cos f αα=， 所以22()2cos cos 12cos sin 12g x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭， 因为sin [1,1]x ∈-， 所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【分析】（1）依题意求出各段的函数解+析式，再写成分段函数即可； （2）根据解+析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 18.已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π. （1）求()f x 的解+析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若263x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围. 【答案】（1）1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）()0,2.【分析】（1）根据正弦和余弦二倍角公式化简可得1()sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222T ππω==，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππππ-≤-≤+，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在263x ππ≤≤范围内求出()g x 的最值即可得解.【详解】（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)22x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222T ππω==，解得2ω= 所以，1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∵242262k x k πππππ-≤-≤+∴224233k x k ππππ-≤≤+∴21226k k x ππππ-≤≤+ ∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）依题意得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+因为当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()2g x m g x -<<+恒成立所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =单调减函数所以max ()1126g x g π⎛⎫==+=⎪⎝⎭，()min21103g x g π⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<所以m 的取值范围是()0,2.【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有： （1）三角函数基本量的理解应用； （2）三角函数图像平移伸缩变换的方法； （3）恒成立思想的理解及转化.19. 已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-. （1）求函数()f x 的解+析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值； （3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围. 【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2. 【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =， 所以函数()f x 的解+析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈， 令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3. （3）因为0m >且1m m >，所以1m 且101m <<， 因为2()22()22(1)1f x g x x ex x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增， 又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<， 所以m 的取值范围是()1,2.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
2023-2024学年天津市第二南开中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，2，5，6}B ．{1，2，3，4}C ．{2}D ．{1}2．设a ∈R ，则“a ≥2”是“a 2﹣3a +2≥0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．下列函数中，与函数y ＝x +1是相等函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =x 2x+1D ．y =√x 2+14．已知a ＞b ，且ab ≠0，c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．1a ＜1bC ．a+b 2≥√abD ．a c 2+1＞b c 2+15．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]6．已知函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（ ） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)7．若函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]8．下列结论正确的是（ ）A ．若正实数x ，y 满足8x +1y =1，则x +2y 的最小值为25B ．若x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝1，则xy 的最大值为14C ．若a ，b 为正实数，且a +2b ＝2，则4a +ab的最小值为6D ．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为39．若函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣2，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共18分）10．（6分）函数f(x)=2x 21−x+(2x −1)0的定义域为 ．11．（6分）函数y ＝﹣x 2+4x +3，x ∈[0，3]的单调递增区间是 ． 12．（6分）不等式x 2x−1≥1的解集为 ．13．（6分）若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．（6分）若存在x ∈R ，使得4x+m x 2−2x+3≥2成立，则实数m 的取值范围是 ．15．（6分）已知f （x ）={12x +1，x ≤0−(x −1)2，x ＞0，使f （x ）≥﹣1成立的x 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（13分）已知集合P ＝{x |a +1≤x ≤2a +1}，Q ＝{x |x 2﹣3x ≤10}． （1）若a ＝3，求（∁R P ）∩Q ；（2）若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．17．（13分）（1）已知函数f （x ﹣1）＝2x +5，求f （x ）的解析式； （2）已知f （x ）﹣3f （﹣x ）＝8x +2，求f （x ）的解析式． 18．（15分）求下列函数的值域： （1）f （x ）=3x+1x−2； （2）f （x ）=x +√x +1； （3）f （x ）=√2√x 2−2x+3．19．（15分）设命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p ，q 一真一假，求实数m 的取值范围． 20．（13分）设函数f （x ）＝x +ax+1，x ∈[0，+∞）． （1）当a ＝2时，求函数f （x ）的最小值； （2）当0＜a ＜1时，求函数f （x ）的最小值．2023-2024学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，∴∁U B＝{1，5，6}，又∵A＝{1，2}，∴A∩（∁U B）＝{1}，故选：D．2．设a∈R，则“a≥2”是“a2﹣3a+2≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解：由a2﹣3a+2≥0，得a≤1或a≥2．即由a≥2可得a2﹣3a+2≥0，反之不一定成立．故“a≥2”是“a2﹣3a+2≥0”的充分非必要条件．故选：A．3．下列函数中，与函数y＝x+1是相等函数的是（）A．y=(√x+1)2B．y=√x33+1C．y=x 2x+1D．y=√x2+1解：对于A，函数y＝（√x+1）2＝x+1的定义域为{x|x≥﹣1}，和y＝x+1（∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数y=√x33+1＝x+1的定义域为R，和y＝x+1的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C，函数y=x2x+1＝x+1的定义域为{x|x≠0}，和y＝x+1的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y=√x2+1＝|x|+1的定义域为R，和y＝x+1的对应法则不相同，不是同一函数．故选：B．4．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a 2＞b 2B ．1a ＜1bC ．a+b 2≥√abD ．a c 2+1＞b c 2+1解：对于A ，令a ＝3，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但a 2＝b 2，故A 错误， 对于B ，令a ＝3，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但1a ＞1b ，故B 错误，对于C ，令a ＝﹣2，b ＝﹣4，满足a ＞b ，但a+b2＜√ab ，故C 错误，对于D ，∵c 2+1＞0，a ＞b ，∴a c 2+1＞b c 2+1，故D 正确．故选：D ．5．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]解：∵函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]， ∴由﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1， ∴f （2x ﹣1）的定义域是[0，1]， 故选：A ．6．已知函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（ ） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解：因为函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，且满足f(2x −1)＜f(13)，所以0≤2x −1＜13，解得12≤x ＜23．故选：D ．7．若函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]解：∵函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3={2x −2a +3，x ≥a−2x +2a +3，x ＜a ，∵函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调， ∴a ＞1．∴a 的取值范围是（1，+∞）． 故选：B ．8．下列结论正确的是（ ）A ．若正实数x ，y 满足8x +1y =1，则x +2y 的最小值为25B ．若x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝1，则xy 的最大值为14C ．若a ，b 为正实数，且a +2b ＝2，则4a +ab的最小值为6D ．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为3解：A 选项：因为x ＞0，y ＞0，所以x +2y =(x +2y)(8x +1y )=8+2+16y x +x y ≥10+2√16y x ×xy=18，当且仅当x ＝4y ＝12时取等号，故A 选项错误； B 选项：因为x ＞0，y ＞0，所以1=x +4y ≥2√x ⋅4y =4√xy ，当且仅当x =4y =12时取等号，所以116≥xy ，故B 选项错误；C 选项：因为a ＞0，b ＞0，a +2b ＝2，所以4＝2a +4b ，所以4a +a b =2a+4b a +a b =2+4b a +a b ≥2+2√4b a ⋅a b=6，当且仅当a ＝2b ＝1时取等号，故C 选项正确； D 选项：a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab=4ab +1ab≥4，当且仅当a 2＝2b 2且4ab =1ab ，即a 2=√22，b 2=√24时取等号，故D 选项错误． 故选：C ．9．若函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣2，0）解：∵函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，∴{a ＜0−a ≥14+2a ≥1+a 解得﹣3≤a ≤﹣1．故a 的取值范围是[﹣3，﹣1]．故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共18分）10．（6分）函数f(x)=2x 21−x +(2x −1)0的定义域为 （﹣∞，12）∪（12，1） ．解：函数f(x)=2x 2√1−x(2x −1)0中， 令{1−x ＞02x −1≠0，解得x ＜1且x ≠12，所以f （x ）的定义域为（﹣∞，12）∪（12，1）．故答案为：（﹣∞，12）∪（12，1）．11．（6分）函数y ＝﹣x 2+4x +3，x ∈[0，3]的单调递增区间是 [0，2] ． 解：根据二次函数的性质可知，y ＝﹣x 2+4x +3的开口向下，对称轴x ＝2， 所以x ∈[0，3]的单调递增区间[0，2]． 故答案为：[0，2] 12．（6分）不等式x2x−1≥1的解集为 （12，1] ． 解：不等式x 2x−1≥1，即x−12x−1≤0，故（x ﹣1）•（2x ﹣1）≤0且2x ﹣1≠0，解得12＜x ＜1，故不等式的解集为（12，1]．故答案为：（12，1]．13．（6分）若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是 （﹣1，0] ． 解：命题：“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题⇔命题：“∀x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1＜0”恒成立． ∵a ＝0时，符合题意，∴a ≠0时，需{a ＜0△＜0⇒{a ＜0(2a)2−4a ⋅(−1)＜0⇒﹣1＜a ＜0，∴﹣1＜a ≤0． 故答案为：（﹣1，0]． 14．（6分）若存在x ∈R ，使得4x+m x 2−2x+3≥2成立，则实数m 的取值范围是 {m |m ≥﹣2} ．解：∵x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0， ∴不等式4x+m x 2−2x+3≥2可化为4x +m ≥2（x 2﹣2x +3），∴由题意得，不等式m ≥2x 2﹣8x +6有解， ∴g （x ）＝2x 2﹣8x +6，g （x ）＝2（x ﹣2）2﹣2，∴g（x）min＝g（2）＝﹣2，故要使m≥2x2﹣8x+6有解，则m≥﹣2，∴m的取值范围为{m|m≥﹣2}．故答案为：{m|m≥﹣2}．15．（6分）已知f（x）={12x+1，x≤0−(x−1)2，x＞0，使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是[﹣4，2]．解：∵f（x）≥﹣1，∴{x≤012x+1≥−1或{x＞0−(x−1)2≥−1∴﹣4≤x≤0或0＜x≤2，即﹣4≤x≤2．∴使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是[﹣4，2]，故答案为：[﹣4，2]．三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|x2﹣3x≤10}．（1）若a＝3，求（∁R P）∩Q；（2）若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．解：（1）因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，∁R P＝{x|x＜4或x＞7}．又Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，所以（∁R P）∩Q＝{x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}＝{x|﹣2≤x＜4}．（2）当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，所以{a+1≥−22a+1≤52a+1≥a+1解得0≤a≤2；当P＝∅，即2a+1＜a+1时，有P⊆Q，得a＜0．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．17．（13分）（1）已知函数f（x﹣1）＝2x+5，求f（x）的解析式；（2）已知f（x）﹣3f（﹣x）＝8x+2，求f（x）的解析式．解：（1）f（x）＝f（x+1﹣1）＝2（x+1）+5＝2x+7；（2）f（x）﹣3f（﹣x）＝8x+2①，x 用﹣x 代换得f （﹣x ）﹣3f （x ）＝﹣8x +2②， 解①②得f （x ）＝2x ﹣1． 18．（15分）求下列函数的值域： （1）f （x ）=3x+1x−2； （2）f （x ）=x +√x +1； （3）f （x ）=√21√x −2x+3．解：（1）f （x ）=3x+1x−2=3(x−2)+7x−2=7x−2+3， 则f （x ）的值域为{y |y ≠3}；（2）∵f （x ）=x +√x +1的定义域为x ≥0，且该函数在定义域内单调递增， 则函数的值域为[1，+∞）；（3）由x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2≥2，可得√x 2−2x +3≥√2，则01√x 2−2x+3≤√22，∴f （x ）=√2+√x 2−2x+3的值域为（√2，3√22]．19．（15分）设命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p ，q 一真一假，求实数m 的取值范围．解：（1）命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根； 所以Δ＝（2m ﹣4）2﹣4m ＝4（m ﹣1）（m ﹣4）＞0，解得m ＞4或m ＜1， 所以m 的取值范围{m |m ＞4或m ＜1}．（2）命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立． 整理得（x ﹣2）2≥m 2﹣9， 当x ＝2时，（x ﹣2）2min ＝0， 所以0≥m 2﹣9，解得﹣3≤m ≤3． 由于命题p 和q 一真一假， 故①p 真q 假，{m ＜1或m ＞4m ＜−3或m ＞3，解得m ＜﹣3或m ＞4．②p假q真，{1≤m≤4−3≤m≤3，解得1≤m≤3．综上所述实数m的取值范围为{m|m＜﹣3或m＞4或1≤m≤3}．20．（13分）设函数f（x）＝x+ax+1，x∈[0，+∞）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．解：（1）当a＝2时，f（x）＝x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f（x）min＝2√2−1．（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，∴1−a(x1+1)(x2+1)＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min＝f（0）＝a．。