天津市南开区南开中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题含解析
天津市南开区南开中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题3分，共30分.）1.已知R 是实数集，集合{}3|12,|02A x x B x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A. []0,1B. (0,1]C. [0,1)D. (0,1)【答案】B 【解析】 【分析】阴影部分对应的集合为R C A ∩B ，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为R C A ∩B ， ∵R C A ＝{x |x 1≤或x 2≥}， B ＝{x |0＜x 32＜}，∴R C A ∩B ＝{x |0＜x 1≤}=(0，1]， 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键．2.命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ）A. 不存在0x R ∈，020x >B. 存在0x R ∈，020x ≥C. 对任意的x ∈R ，020x ≤D. 对任意的x ∈R ，020x >【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D.【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题．3.若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A. (2)(3)(4)f f f --＜＜ B. (3)(2)(4)f f f --＜＜ C. (4)(3)(2)f f f --＜＜ D. (3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2），即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．4.设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A. 1，3 B. 1-，1C. 1-，3D. 1-，1，3【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当1a =-时，11y xx-==，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件. 当2a =时，2yx 为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.当3a =时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5.设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ） A. 2211x x-+ B.221x+ C.21x+ D.11xx-+ 【答案】C 【解析】 试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t-=+=++，所以2()1f x x =+，故选C ．考点：求函数解析式．6.若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（ ） A. 413,⎛-⎫⎪⎝⎭B. (),3,41-∞+⎪∞⎛⎫⎝⎭C. ()1,4-D.()()–21,∞-+∞，【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-， 则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐ 即()()3410x x +-<﹐ 解可得413x -<<， 即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭； 故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题． 7.已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A. （0，2） B. （1，2）C. （2，3）D. （﹣1，1）【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 8.已知a ，∈b R ，则>a b 是>a a b b 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若a b >，则0a b >≥，则a b >，所以2a a a =，则a ab b 成立，当1,2a b ==-时，满足a a b b ，但a b >不一定成立，所以a b >是a ab b 的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9.设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范10.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是（ ）A. ()(),22-∞-+∞B. ()(),20,2-∞-C. ()()2,02-+∞D. ()()2,00,2-【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，故在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号，结合零点及单调性即可求解.【详解】因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数， 因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 且(2)(2)0f f =-=， 因为()f x 是偶函数，所以原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题. 二.不定项选择题：本大题共2小题，每题4分，共8分；在每小题给出的四个选项中，都有至少一项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错或不答的得011.已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的（ ）A.2a b+≥ B. 12a a+≥C. ||2a bb a+≥ D.()()2222a b a b +≥+【答案】CD 【解析】 【分析】当0a <，0b <时，2a b ab +不成立；当0a <，时，12a a+不成立；由||||||a b b ab a a b +=+利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-，可判断． 【详解】当0a <，0b <时，2a b+≥不成立； 当0a <时，12a a+≥不成立；2a b b ab a a b+=+≥； ()()()222222220a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，故()()2222a b a b +≥+，故选：CD.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 12.下列判断中哪些是不正确的（ ） A. ()(1f x x =-是偶函数 B. ()()()2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数 C. ()f x =D. ()33f x x =+-是非奇非偶函数【答案】AD 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【详解】A.()f x 的定义域为(]1,1-，定义域不关于原点对称，()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B.设0x >，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，同理设0x <，也有()()f x f x -=-成立，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C.解230x -=得，x =，()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D.解210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得，10x -≤<，或01x <≤，()f x ∴==，()=()f x f x --()f x ∴是奇函数，∴该判断错误.故选：AD.【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题． 三.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分13.函数y x =________. 【答案】12. 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由120x -≥，得12x ≤.∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦，函数y x =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，函数y =12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴当12x =时，函数y x =12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．14.已知函数()f x 满足()1221,0f x f x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为________ 【答案】()24133f x x x=--+ 【解析】 【分析】 由已知可得f （1x ）-2f （x ）21x =-，联立两式消去f （1x），解方程组可得． 【详解】∵()1221,f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴f （1x ）-2f （x ）21x=-， 联立两式消去f （1x ），可得f （x ）=24133x x--+ 故答案为f （x ）=24133x x--+ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．15.已知()2y f x x =+是奇函数，且()13f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=________.【答案】–3. 【解析】 【分析】由已知可知，22()()f x x f x x -+=--，然后结合f （1）3=，可求(1)f -，然后代入即可求解(1)g -． 【详解】()2y f x x =+是奇函数，()()22f x x f x x ∴-+=--，()()22x f x f x -+=-∴， ()13f =，()15f ∴-=-， ()()2g x f x =+，则()()1123g f -=-+=-. 故答案为：–3【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．16.已知函数()224f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则k 的取值范围是________.【答案】(][),816,-∞-+∞.【解析】 【分析】函数2()24f x x kx =--对称轴为：4k x =，函数()f x 在区间[2-，4]上有单调性，由44k 或24k-，解得k 即可． 【详解】函数()224f x x kx =--对称轴4k x =， 又函数()f x 在区间[]2,4-上有单调性， 44k ∴≤或24k -≥，16k ∴≥或8k ≤-，故答案为：(][),816,-∞-+∞.【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17.已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________.【答案】(2,1)-【解析】【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<.故答案为:(2,1)-【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.18.设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】xy = 0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥=当且仅当3xy=，即3,1x y==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．四、解答题：本大题共5小题，共38分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19.已知全集U=R，集合2{|3180}A x x x=--≥，5{|0}14xB xx+=≤-.（1）求()UC B A⋂.（2）若集合{|21}C x a x a=<<+，且B C C=，求实数a的取值范围.【答案】（1）(){|14UC B A x x⋂=≥或5}x<-（2）52a≥-【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B及UC B，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为C B⊆求解，分C=∅和C≠∅两种情况进行讨论．试题解析：（1）由题意得{|3A x x=≤-或6}x≥，{|514}B x x=-≤<，∴{|5UB x x=<-或14}≥，∴(){|14UC B A x x⋂=≥或5}x<-．（2）∵B C C⋂=∴C B⊆，①当C=∅时，则有21a a≥+，解得1a≥．②当C≠∅时，则有2111425a aaa<+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得512a-≤<．综上可得52a≥-．实数a的取值范围为5[)2-+∞，．20.已知幂函数()af x x=的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.【答案】（1）())0f x x =≥；（2）(]1,3. 【解析】【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)f a f a +>-化为关于a 的不等式组，求出解集即可．【详解】（1）幂函数()a f x x =的图象经过点(，2a ∴= 解得12a =， ∴幂函数())120x x f x ==≥；（2）由（1）知()f x 在定义域[)0,+∞上单调递增，则不等式()()13f a f a +>-可化为103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a ，∴实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题．21.已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析【解析】【分析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法．22.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--. （1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间（不需要证明）；（3）若函数()()[]()2212g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值. 【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1+∞，，减区间：()1,1-，；（3）当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+.【解析】【分析】（1）根据奇函数定义和当0x 时，2()2f x x x =--，并写出函数在0x >时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论．【详解】（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴当0x >时，此时0x -<，()()f x f x ∴=--， 又当0x ≤时，()22f x x x =--， ()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-∴-，∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩. （2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1,+∞﹒减区间：()1,1-.（3）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++∈， 二次函数对称轴为：1x a =+，当21a ≤+时，即1a ≥时，()()min 224g x g a ==-，当11a ≥+时，即0a ≤时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2()min (1)21g x g a a a =+=--+综上，当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题．23.函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
2019-2020学年天津市第二南开中学高一(上)第一次月考数学试卷(10月份) (含答案解析)
2019-2020学年天津市第二南开中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={(x,y)|y 2<x}，B ={(x,y)|xy =−2，x ∈Z ，y ∈Z}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {(2,−1)}C. {(−1,2)，(−2,1)}D. {(1,−2)，(−1,2)，(−2,1)}2. 设集合M ={x|x 2−x >0}.N ={x|1x <1}，则( ) A. M ⊊N B. N ⊊M C. M =N D. M ∪N =R3. 已知集合A ={y|kx −y −k +1=0}，B ={(x,y)|x 2+y 2−2x −2y =0}，则A ∩B 中元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 0或1或24. 已知集合A ={x|x 2−5x +4<0,x ∈Z}，B ={m,2}，若A ⊆B ，则m =( )A. 1B. 2C. 3D. 55. 设A ={x|x 2−4x +3≤0}，B ={x|ln(3−2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. (−∞,32)B. (1,32)C. [1,32)D. (32,3] 6. 设n ∈N ，√n +4−√n +3与√n +2−√n +1的大小关系是( )A. √n +4−√n +3>√n +2−√n +1B. √n +4−√n +3<√n +2−√n +1C. √n +4−√n +3=√n +2−√n +1D. 不能确定7. 在下列给出的四个命题中，为真命题的是( )A. ∀a ∈R ，∃b ∈Q ，a 2+b 2=0B. ∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，nm =mC. ∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，n >m 2D. ∀a ∈R ，∃b ∈Q ，a 2+b 2=18. 若条件p ：|x|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A. a ≥2B. a ≤2C. a ≥−2D. a ≤−29. 已知集合A ={−1,0，1}，B ={0,1，2}，则A ∪B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，0，l ，1，2}10. 不等式1−xx <0成立的一个充分不必要条件是( )A. x >1B. x <0或x >1C. 0<x <1D. x ≤0 11. 若不等式x 2−ax +1≥0对一切x ∈[2,+∞)恒成立，则实数a 的最大值为( ) A. 0 B. 2C. 52D. 3 12. 已知正实数a,b ，且a +b =1，则2a +4b 的最小值为( )A. 6+4√2B. 4−2√2C. 6+2√3D. 5二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.设集合{1,a2}={1,a}，则a=______ ．14.命题“∃x∈R，x≤1”的否定是______ ．15.设集合A={−1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4,x∈Z}，则A∩B=______ ．16.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：①(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，以上说法正确的是________(填序号)。
2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市南开区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】 由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 【考点】全称命题与特称命题3．下列函数中为偶函数，且在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．()lg 2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．y =【答案】D【解析】分析各选项中函数单调性以及在区间()0,∞+上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()lg 2y x =定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数；对于B 选项，函数2y x =-为偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数； 对于C 选项，函数2xy =为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数；对于D 选项，函数y =为偶函数，且在区间()0,∞+上为增函数.故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题. 4．“11a b<”是“0b a <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“11a b<”是“0b a <<”的必要不充分条件. 【详解】取2a =，1b =，11a b <成立，但0b a <<不成立，则“11a b<”⇒“0b a <<”. 当0b a <<，则0b a ->->，由不等式的性质得11a b ->-，11a b∴<，即“0b a <<”⇒“11a b<”.因此，“11a b<”是“0b a <<”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.5．cos 480等于（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】利用诱导公式可计算出cos 480的值. 【详解】由诱导公式得()()1cos 480cos 54060cos 18060cos602=-=-=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.6．设0.5log 6a =，60.5b =，0.56c =，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，可得出这三个数的大小关系. 【详解】对数函数0.5log y x =在()0,∞+上为减函数，则0.50.5log 6log 10a =<=； 指数函数0.5xy =为减函数，则6000.50.5<<，即01b <<； 指数函数6x y =为增函数，则0.50661c =>=. 因此，a b c <<. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题. 7．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【答案】B【解析】将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形为sin 243y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用平移规律可得出正确选项. 【详解】sin 2sin 2643y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度.故选：B. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题.8．如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的图象（收支差额=车票收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法：（1）图2的建议是：减少支出，提高票价； （2）图2的建议是：减少支出，票价不变； （3）图3的建议是：减少支出，提高票价； （4）图3的建议是：支出不变，提高票价； 上面说法中正确的是（ ） A ．（1）（3） B ．（1）（4） C ．（2）（4） D ．（2）（3）【答案】C【解析】根据题意知图象反映了收支差额y 与乘客量x 的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当0x =的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明. 【详解】根据题意和图2知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.9．已知三个函数()22xf x x =+-，()38g x x =-，()2log 2h x x x =+-的零点依次为a 、b 、c ，则a b c ++=（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】令()0f x =，得出22x x =-，令()0h x =，得出2log 2x x =-，由于函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =-垂直，利用对称性可求出a c +的值，利用代数法求出函数()38g x x =-的零点b 的值，即可求出a b c ++的值. 【详解】令()0f x =，得出22x x =-，令()0h x =，得出2log 2x x =-，则函数2y x =-与函数2xy =、2log y x =交点的横坐标分别为a 、c .函数2xy =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，且直线y x =与直线2y x =-垂直， 如下图所示：联立2y xy x=⎧⎨=-⎩，得1x y ==，则点()1,1A ，由图象可知，直线2y x =-与函数2xy =、2log y x =的交点关于点A 对称，则2a c +=，由题意得()380g b b =-=，解得2b =，因此，4a b c ++=.故选：C. 【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为221y x =+，值域为{}3,19的“孪生函数”共有 ( )A ．15个B ．12个C ．9个D ．8个【答案】C【解析】试题分析：由y=2x 2+1=3，得x 2=1，即x=1或x=-1，由y=2x 2+1=19，得x 2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C ． 【考点】1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．二、填空题11．已知幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()f x =____________． 【答案】12x -【解析】设幂函数的解析式为()f x x α=，将点的坐标代入求出参数α即可。
2020-2021学年天津市南开中学高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）在平行四边形ABCD中，+﹣＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知＝（1，2），＝（4，3），则（﹣）•＝（）A．﹣30B．﹣15C．﹣10D．53．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使△ABC有两解的是（）A．b＝2，c＝1，A＝30°B．a＝8，B＝45°，C＝65°C．a＝3，c＝2，A＝30°D．a＝3，b＝4，B＝45°4．（4分）下列命题中正确的是（）A．两个平面可以有且仅有一个公共点B．两两相交的直线一定共面C．如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行5．（4分）已知在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tan B＝ac，则角B的值（）A．B．C．或D．或7．（4分）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量，，则向量＝（）A．2+3B．（2+）+3C．（2+）+（2+）D．（1+）+（2+）8．（4分）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔宇楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊﹣﹣“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D 两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，AB＝50m，CD＝25m，设∠DAE＝θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．9．（4分）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，设，为同一平面内的两个向量，若＝+，|﹣|＝，则|﹣|的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝5，AD＝2，CD＝1，且•＝7，设点P为BC边上的任一点，则•的最小值为（）A．B．C．3D．﹣15二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）i是虚数单位，则＝．12．（4分）已知向量＝（1，），＝（，﹣3），则与的夹角大小为．13．（4分）已知向量＝（2，1），＝（0，1），＝（4，3），若λ为实数，且（λ+）⊥，则λ＝．14．（4分）已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为．15．（4分）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝（1﹣λ），＝λ，其中λ∈R，若•＝﹣，则λ＝．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，角B为锐角，向量＝（2sin B，﹣）与＝（cos2B，cos B）共线，且sin A+sin C＝2sin A sin C，则△ABC的周长为．三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分.17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求异面直线AE与BD1所成角的余弦值．18．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点．（Ⅰ）如图（1）．（ⅰ）求•+•的值；（ⅱ）求•+•+•+•的值；（Ⅱ）如图（2），若点M，N满足＝2，＝2．点P是线段MN的中点，点Q 是平面上动点，且满足2＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，求•的最小值．19．（12分）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔宇楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间．南鸢同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即∠P AQ＝45°，其中P，Q分别在边BC，CD上，记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．（Ⅰ）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当θ＝30°时，请你求出：（ⅰ）线段DQ的长为多少？（ⅱ）线段AR的长为多少？（Ⅱ）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形APCQ的面积，记为S）最大，θ应取何值？S的最大值为多少？2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
天津市南开区19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
天津市南开区19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.集合U={1,2，3，4，5，6}，S={1,4，5}，T={2,3，4}，则S∩(C U T)等于()A. {1,4，5，6}B. {1,5}C. {4}D. {1,2，3，4，5}2.命题“∃x0∈(0,+∞)，使lnx0=x0−2”的否定是()A. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠x−2B. ∀x∉(0,+∞)，lnx=x−2C. ∃x0∈(0,+∞)，使lnx0≠x0−2D. ∃x0∉(0,+∞)，lnx0=x0−23.下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是()A. y=cosxB. y=−x3C. y=(12)|x| D. y=|sinx|4.“b>a>0”是“1a >1b”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.计算cos300°的值()A. 12B. √32C. −12D. −√326.已知a=ln0.5，b=50.1，c=0.60.2，则a，b，c的大小关系是()A. b>c>aB. a>b>cC. b>a>cD. c>b>a7.为了得到函数y=sin(2x+π3)+1的图象，可以将函数y=cos(2x+π6)+1的图象()A. 向右平移π3个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度C. 向左平移π3个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度8.如图1是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2，3所示．你能根据图象判断下列说法正确的是()①图2的建议为减少运营成本；②图2的建议可能是提高票价； ③图3的建议为减少运营成本；④图3的建议可能是提高票价．A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③9. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m +1n 的取值范围( )A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函数”，那么函数解析式为y =2x 2−1，值域为{1,7}的“合一函数”共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 已知幂函数f(x)的图象经过点(2,√22)，则f(x)的解析式为______． 12. 设x ∈R ，使不等式3x 2+x −2<0成立的x 的取值范围为__________．13. 设函数f (x )={2x +a,x >2x +a 2,x ≤2，若f (x )的值域为R ，是实数a 的取值范围是__________ 14. △ABC 中，sinA =35，cosC =513，则sinB =______． 15. 设a >0，b >0，且a +b =4，则1a +1b ≥ ______ ．三、解答题（本大题共5小题，共55.0分）16. 若a2x=√2−1，求a 3x +a −3x a x +a −x的值．17. 已知函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)(1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若f(a)=12，求a 的取值集合．18. 在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的纵坐标分别为√55，3√1010(1)求α−β；(2)求cos(2α−β)的值．19. 已知函数f(x)=λcos 2(ωx +π6)−3(λ>0,ω>0)的最大值为2，最小正周期为2π3．(1)求函数y =f(x)的解析式；(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．20.若f(x)为二次函数，−1和3是方程f(x)−x−4=0的两根，f(0)=1；(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[−12,32]上，不等式xf(x)>2x+m有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了集合中交集、补集的混合运算，属于基础题．由U ={1,2，3，4，5，6}，T ={2,3，4}先得到C U T ={1,5,6}，最后由S ={1,4，5}即可得到S ∩(C U T)． 解：∵U ={1,2，3，4，5，6}，T ={2,3，4}， ∴C U T ={1,5,6}， 又∵S ={1,4，5}， ∴S ∩(C U T)={1,5}， 故选B ．2.答案：A解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x 0∈(0,+∞)，使lnx 0=x 0−2”的否定是∀x ∈(0,+∞)，lnx ≠x −2． 故选：A ．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =cosx 为余弦函数，是偶函数，在区间[0,1]上单调递减，不符合题意； 对于B ，y =−x 3，为奇函数，不符合题意；对于C ，y =(12)|x|，是偶函数，在(0,+∞)上，y =(12)x ，为减函数，不符合题意； 对于D ，y =|sinx|，是偶函数，在(0,1)上，y =sinx ，为增函数，符合题意； 故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.答案：A解析：解：当b>a>0时，1a >1b成立，反之当b<0，a>0时，满足1a >1b，但b>a>0不成立，即b>a>0”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5.答案：A解析：解：cos300°=cos(360°−60°)=cos60°=12，故选：A．利用诱导公式化简求值即可．本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵a=ln0.5<0，b=50.1>1，0<c=0.60.2<1，∴a<c<b．故选：A．直接利用有理指数幂及对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．7.答案：B解析：解：∵y=cos(2x+π6)+1=sin(2x+π6+π2)+1=sin(2x+2π3)+1，所以为了得到函数y=sin(2x+π3)+1的图象，可以将函数y=cos(2x+π6)+1的图象向右平移π6个单位长度即可，故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的变换规律，属于基础题．8.答案：A解析：解：根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得①④正确，②③错误．故选：A．根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．本题属于基础题．9.答案：B解析：解：函数f(x)=a x+x−4的零点是函数y=a x与函数y=4−x图象交点A的横坐标，函数g(x)=log a x+x−4的零点是函数y=log a x与函数y=4−x图象交点B的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4−x与直线y=x垂直，故直线y=4−x与直线y=x的交点(2,2)即是A，B的中点，∴m+n=4，∴1m +1n=14(m+n)(1m+1n)=14(2+mn+nm)≥1，当m=n=2等号成立，而m+n=4，故1m +1n≥1，故所求的取值范围是[1,+∞)．故选B．把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．10.答案：B解析：本题考查了对新定义的理解和运用，定义域和值域的关系和求法，根据新定义，函数解析式为y= 2x2−1，求出满足值域为{1,7}的所有定义域即可，属于基础题．解：由题意知“合一函数”是只有定义域不同的函数，函数解析式为y=2x2−1，值域为{1,7}，它的定义域可以是{1,2}，{1,−2}，{−1,2}，{−1,−2}，{1,−1,2}，{1,−1,−2}，{1,2，−2}，{−1,2，−2}，{1,−1,2，−2}共有9种不同的情况，故选B．11.答案：f(x)=x−12解析：本题考查求幂函数的解析式，利用待定系数法设出幂函数的解析式，通过幂函数经过的点，列出方程，求解即可得到幂函数的解析式，属简单题．解：设幂函数f(x)的解析式为f(x)=x a，∵幂函数f(x)图象过点(2,√2)，2=2a，即2−12=2a，∴√22∴a=−1，2∴幂函数的解析式为f(x)=x−12．故答案为：f(x)=x−12．12.答案：(−1,23)解析：本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题． 解一元二次不等式即可． 解：3x 2+x −2<0， 故(x +1)(x −23)<0，由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”， 可得：−1<x <23， 即{x|−1<x <23}. 故答案为：(−1,23).13.答案：(−∞,−1]∪[2,+∞)解析：因为当x >2时，f(x)=2x +a >4+a ；当x ≤2时，f(x)=x +a 2≤2+a 2，所以要使f(x)的值域为R ，须4+a ≤2+a 2即实数a 的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)14.答案：6365解析：解：∵sinA =35<√22=sin π4，cosC =513<12=cos π3，∴π3<C <π，∵若A 为锐角，则A <π4， ∴cosA =45，sinC =1213，此时sinB =sin(π−A −C)=sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =35×513+45×1213=6365， 若A 为钝角， 则A >3π4，A +B >π，不合要求．故答案为：6365．将sin B 化成sin(A +C)，再利用两角和与差的三角函数公式计算，即可得解．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式，角的代换，计算能力．本题的关键是充分讨论A 的大小范围，确定解的个数，属于中档题．15.答案：1解析：解：∵a >0，b >0，且a +b =4，∴1a +1b =14(a +b)(1a +1b )=14(2+ba +ab )≥14(2+2√ba ⋅ab )=1，当且仅当a =n =2时取等号． 故答案为：1．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．16.答案：2√2−1解析：由a2x=√2−1，得a−2x=√2+1，所以a 3x +a −3x a x +a −x=a 2x +a −2x −1=2√2−1．17.答案：解：(1)函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)的图象如下图所示：(2)当a ≤−1时，f(a)=a +2=12，可得：a =−32；当−1<a <2时，f(a)=a 2=12，可得：a =±√22；当a ≥2时，f(a)=2a =12，可得：a =14(舍去)；综上所述，a 的取值构成集合为{−32,−√22,√22}解析：(1)根据分段函数分段画的原则，分别根据一次函数，二次函数图象的画法，做出三段上函数的图象，可得答案；(2)根据分段函数分段处理的原则，分三种情况构造方程f(a)=12，最后综合讨论结果，可得答案． 本题考查的知识点是分段函数的图象及分段函数的函数值，其中分段函数分段处理的原则，是解答此类问题的通法． 18.答案：解：(1)由题意得，sinα=√55，sinβ=3√1010…2 ∵sin 2α+cos 2α=1，∴cos 2α=1−sin 2α=2025，又α是锐角，则cosα=2√55，…3 同理可求，cosβ=√1010；…4 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴−π2<α−β<π2，…5 且sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=√55×√1010−2√55×3√1010=−√22…7 ∴α−β=−π4；…8 (2)由(1)得cos(α−β)=cos(−π4)=√22…9 ∴cos(2α−β)=cos[(α−β)+α]=cos(α−β)cosα−sin(α−β)sinα=√22×2√55−(−√22)×√55=3√1010 (12)解析：(1)根据三角函数的定义和平方关系，求出α、β的正弦和余弦值，由α、β的范围求出α−β的范围，由两角差的正弦公式求出sin(α−β)，在求出α−β的值；(2)由(2α−β)=(α−β)+α和两角和的余弦公式，求出cos(2α−β)的值．本题考查了三角函数的定义和平方关系，两角差的正弦公式，以及两角和的余弦公式，注意角的范围，考查角之间的关系，以及化简、计算能力．19.答案：解：，=λ2cos(2ωx +π3)+λ2−3， ∴λ−3=2，从而λ=5，∴f(x)=52cos(2ωx+π3)−12，，ω=32，即f(x)=52cos(3x+π3)−12；(2)∵x∈[0,π2],∴3x+π3∈[π3,11π6],∴cos(3x+π3)∈[−1,√32],∴f(x)∈[−3,5√3−24]，所以f(x)的值域是[−3,5√3−24]．解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．(1)利用二倍角的余弦函数公式化简可得f(x)=λ2cos(2ωx+π3)+λ2−3，利用最大值为2，可得λ2+λ2−3=2，解得λ，利用周期公式可求ω，即可得解函数y=f(x)的解析式；(2)由x的范围，可求范围3x+π3∈[π3,11π6]，利用余弦函数的性质可得函数f(x)的值域．20.答案：解：(1)有题意设f(x)=ax2+bx+c，则f(x)−x−4=0为：ax2+(b−1)x+c−4=0，∴{−1+3=−b−1a−1×3=c−4a，又∵f(0)=1，∴c=1，代入上面方程组解得，a=1，b=−1，∴f(x)=x2−x+1；(2)由(1)得，将不等式xf(x)>2x+m化为：m<x3−x2−x，则此不等式在区间[−12,32]上有解，设g(x)=x3−x2−x，则g′(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)，∴当x=−13或1时，g′(x)=0，当x∈[−13,1]时，g′(x)<0，当x∈[1,32]或[−12,−13]时，g′(x)>0，∴g(x)在[−13,1]上单调递减，在[1,32]、[−12,−13]上单调递增，∵g(−12)=18，g(32)=−38，g(−13)=527，g(1)=−1， ∴g(x)最小值是−1，最大值是527，故m <527时不等式xf(x)>2x +m 在区间[−12,32]上有解．解析：(1)由题意设出f(x)的解析式，代入方程化简，根据韦达定理和条件列出方程组，求出系数即可；(2)根据(1)将原不等式化简和分离出m 后，再构造函数g(x)=x 3−x 2−x ，求出对应的导数，求出导数大于零和小于零的解集，求出函数的单调区间，再求出函数的最值，即求出m 的范围．本题考查了待定系数法求函数的解析式，韦达定理应用，以及函数单调性、最值与导数的应用，考查了转化思想和构造函数法．。
天津市六校2019-2020学年高一上学期期中考试联考数学试题
天津市六校2019-2020学年高一上学期期中考试联考数学试题一、选择题 本大题共9道小题。
1.设集合U ={0,1,2,3,4,5},A ={1,2}，{}2540B x x x =∈-+<Z ，则C U (A ∪B )（ ）． A. {0,1,2,3}B. {5}C. {1,2,4}D. {0,4,5}答案及解析：1. D分析：求出集合B 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B ，求出A 与B 的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求.详解：∵集合{}2{540}{14}2,3B x Z x x x Z x =∈-+<=∈<<=，∴{}1,2,3A B ⋃=, ∴(){}0,4,5U C A B ⋃=． 故选D ．点睛：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键. 2.若不等式220ax x c ++<的解集是121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ，则不等式220cx x a ++≤的解集是（ ）.A. 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [-2，3]D. [-3，2]答案及解析：答案第2页，总17页2. D 【分析】先由题意求出,a c ，再代入不等式220cx x a ++≤，求解，即可得出结果. 【详解】因为不等式220ax x c ++<的解集是121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U ，所以0211321132a a c a⎧⎪<⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩，解得122a c =-⎧⎨=⎩，所以不等式220cx x a ++≤可化为222120x x +-≤，即260x x +-≤， 解得32x -≤≤. 故选D【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基础题型. 3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()0xf x >的解集为（ ）． A.(－∞,－4)∪(4,+∞)B. (－4,0)∪(4,+∞)C. (－∞,－4)∪(0,4)D.( －4,4)答案及解析：3. A∵()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-，∴当0x <时，()(4)f x x x =-+，当0x >时，2()0()0404xf x f x x x x >⇔>⇔->⇔>，当x <时，()0()0(4)04xf x f x x x x >⇔<⇔-+<⇔<-，∴不等式()0xf x >的解集为(,4)(4,)-∞-⋃+∞，故选A . 4.已知幂函数223()(33)m f x m m x -=--在(0,+ ∞)上为增函数，则m 值为（ ） A. 4B. 3C. －1D. －1或4答案及解析：4. A 【分析】由已知得2331m m --=，可求得4m =或1-.当1m =-时，5()f x x -=在区间(0,)+∞上是减函数，不合题意；当4m =时，5()f x x =，满足题意，故得选项.【详解】∵223()(33)m f x m m x-=--，2331m m --=，解得4m =或1-.当1m =-时，5()f x x -=在区间(0,)+∞上是减函数，不合题意；当4m =时，5()f x x =，满足题意，所以4m =. 故选：A.【点睛】本题考查幂函数的定义式和幂函数的性质，关键是准确掌握幂函数的定义和其单调性，属于基础题. 5. 函数y =）A. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. [)4,+∞C. 5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[)4,+∞答案及解析：5. B 【分析】答案第4页，总17页先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和y =,结合复合函数的单调性的判断可得出选项.【详解】因为y =所以25401x x x -+≥⇒≤或4x ≥，即函数y =为(][),14,-∞+∞U ，设254u x x =-+，所以u 在(],1-∞上单调递减，u 在[)4,+∞上单调递增， 而y =[)0,+∞单调递增，由复合函数的单调性可知，函数y =[)4,+∞.故选：B ．【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题. 6.命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤ C. 存在x ∈R ，3210x x -+>D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>答案及解析：6. C【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。
【20套试卷合集】天津市重点中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案“长汀﹑上杭﹑武平﹑连城﹑漳平﹑永定一（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合R U =，{}02A x x =<<，{}1<=x x B ， 则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{}1≥x xB ．{}1≤x xC ．{}10≤<x x D ．{}21<≤x x2．把函数x1y -=的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得函数的图像应为( )3.下列函数中，表示同一函数的一组是( ) A.⎩⎨⎧≤->==)0(,1)0(,1)(,)(x x x g x xx fB. 1)(,1)(22-+=-+=t t t g x x x f C.)(1)(),(1)(N x x x g R x x x f ∈-=∈-= D. )1ln(ln )(),1(ln )(-+=-=x x x g x x x f4.已知定义在R 上的函数)(x f 的图像是连续不断的，且有如下对应值表则函数一定存在零点的区间是 ( )A.)1,(-∞B. )2,1(C.)3,2(D. ),3(+∞ 5．已知函数(),()f x g x 的对应值如表.则的值为( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在6．已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()3f x <的x 的取值范围是( )A.(3,0)-B.(0,3)C.(3,3)-D.(3,3]-7．若(1)(1)log (21)log (1)a a x x --->-，则有( )A ．1,0a x >>B ．1,1a x >>C ．2,0a x >>D ．2,1a x >> 8. 已知函数和g(x)均为R 上的奇函数，且h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，(5)6h =，则 (5)h -的值为( )A ．－2B ．－8C ．－6D ．69．已知函数16()3(01)x f x a a a -=+>≠且的图象恒过定点P ，若定点P 在幂函数()g x 的图像上，则幂函数()g x 的图像是 ( )10.若函数为定义在R 上的奇函数，且在内是减函数，又，则不等式的解集为( ) A ．B ．C ．D ．11．已知⎩⎨⎧>≤+-=1,log 1,4)12()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．（0，1）B ．)21,0(C ．)21,61(D ．)21,61[12.已知定义在上的奇函数满足：当0x ≥时，32()f x x x =+，若不等式2(4)(2)f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数的取值范围是( )A ．(,-∞ B ．()C ．()),0-∞⋃+∞D ．(),-∞⋃+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．求值：2log 312lg100= .14．若221log log 3a b ==，1.01.1=c ，则c b a ,,的大小关系为 . 15.若幂函数122)1(----=a x a a y 在),0(+∞∈x 上为减函数，则实数a 的值 .16．函数()[]f x x x =-（[]x 表示不超过x 的最大整数，如 []3.64-=-，[]2.12=），设函数()()6log g x f x x =+，则函数()y g x =的零点的个数为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
天津市南开区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
天津市南开区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一次函数y=kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（）A．（﹣5，3）B．（1，﹣3）C．（2，2）D．（5，﹣1）2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（）A．31°B．32°C．59°D．62°3．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与kyx=（k为常数，k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．下表是某校合唱团成员的年龄分布.年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10x-对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．众数、中位数B．平均数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差5．某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．(1)19802x x-=B．x（x+1）=1980C．2x（x+1）=1980 D．x（x-1）=1980 6．对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（）A．图象分布在第二、四象限B．当x＞0时，y随x的增大而增大C ．图象经过点（1，﹣2）D ．若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 27．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝3，AC ＝4，AD ＝1．M 是BD 的中点，则CM 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．38．一个多边形的边数由原来的3增加到n 时（n ＞3，且n 为正整数），它的外角和（ ） A ．增加（n ﹣2）×180° B ．减小（n ﹣2）×180° C ．增加（n ﹣1）×180°D ．没有改变9．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα10．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代. 中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米. 数据0.000000007用科学计数法表示为（ ） A ．9710-⨯B ．10710-⨯C ．11710-⨯D ．12710-⨯11．某自行车厂准备生产共享单车4000辆，在生产完1600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务，若设原来每天生产自行车x 辆，则根据题意可列方程为( )A ．1600x+4000(120%)x +＝18B ．1600x40001600(120%)x -++＝18 C ．1600x +4000160020%x -＝18D ．4000x40001600(120%)x -++＝1812．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( ) A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，经过点B （－2，0）的直线y kx b =+与直线y 4x 2=+相交于点A （－1，－2），则不等式4x 2<kx b<0++的解集为 ．14．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为_____．15．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．请从下面的A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________．A 、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要__________个正方体积木．B 、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为__________．16．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）．图乙种，67ABBC=，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为___cm17．若代数式211x--的值为零，则x=_____．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（-1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为___．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某初中学校组织200位同学参加义务植树活动．甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表1和表2：表1：甲调查九年级30位同学植树情况每人植树棵数7 8 9 10人数 3 6 15 6表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况每人植树棵数6 7 8 9 10人数 3 6 3 12 6根据以上材料回答下列问题：（1）关于于植树棵数，表1中的中位数是棵；表2中的众数是棵；（2）你认为同学（填“甲”或“乙”）所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况；（3）在问题（2）的基础上估计本次活动200位同学一共植树多少棵？20．（6分）现有两个纸箱,每个纸箱内各装有4个材质、大小都相同的乒乓球,其中一个纸箱内4个小球上分别写有1、2、3、4这4个数，另一个纸箱内4个小球上分别写有5、6、7、8这4个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个纸箱中各随机摸出一个小球，然后把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得1分，若得到积是3的倍数，则乙得2分.完成一次游戏后,将球分别放回各自的纸箱,摇匀后进行下一次游戏,最后得分高者胜出.。
2019-2020学年天津市南开区南开中学高一期中数学试题(解析版)
天津市南开区南开中学高一期中数学试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}3|12,|02A x x B x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]0,1B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(0,1)【答案】B【解析】阴影部分对应的集合为R C A ∩B ，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为R C A ∩B ， ∵R C A ＝{x |x 1≤或x 2≥}， B ＝{x |0＜x 32＜}，∴R C A ∩B ＝{x |0＜x 1≤}=(0，1]， 故选B ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键．2．命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ） A ．不存在0x R ∈，020x > B ．存在0x R ∈，020x ≥ C ．对任意的x ∈R ，020x ≤ D ．对任意的x ∈R ，020x >【答案】D【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．Q 特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题．3．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A ．(2)(3)(4)f f f --＜＜ B ．(3)(2)(4)f f f --＜＜ C ．(4)(3)(2)f f f --＜＜ D ．(3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2）， 即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．4．设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．1-，1 C ．1-，3 D ．1-，1，3【答案】A【解析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当1a =-时，11y xx-==，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件.当2a =时，2y x =为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.当3a =时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A.本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5．设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ） A ．2211x x -+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x-+ 【答案】C【解析】试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t-=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ． 【考点】求函数解析式．6．若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（ ） A ．413,⎛-⎫⎪⎝⎭B ．(),3,41-∞+⎪∞⎛⎫⎝⎭U C ．()1,4-D ．()()–21,∞-+∞U ，【答案】A【解析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-， 则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐即()()3410x x +-<﹐ 解可得413x -<<， 即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫-⎪⎝⎭； 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．7．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 8．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9．设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是（ ）A ．()(),22-∞-+∞UB ．()(),20,2-∞-UC ．()()2,02-+∞UD ．()()2,00,2-U【答案】B【解析】由题意可知偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，故在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号，结合零点及单调性即可求解. 【详解】因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数， 因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 且(2)(2)0f f =-=， 因为()f x 是偶函数，所以原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题.二、多选题11．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的（ ）A ．2a b+≥ B ．12a a+≥C ．||2a b b a+≥D ．()()2222a ba b +≥+【答案】CD【解析】当0a <，0b <时，2a b +0a <，时，12a a+…不成立；由||||||a b b ab a a b+=+利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-…，可判断．【详解】当0a <，0b <时，2a b+≥不成立； 当0a <时，12a a+≥不成立；2a b b ab a a b+=+≥Q； ()()()222222220a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥Q ，故()()2222a b a b +≥+，故选：CD. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 12．下列判断中哪些是不正确的（ ）A ．()(1f x x =-是偶函数B ．()()()2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数C ．()f x =D ．()f x =是非奇非偶函数【答案】AD【解析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【详解】A.()f x 的定义域为(]1,1-，定义域不关于原点对称，()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B.设0x >，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，同理设0x <，也有()()f x f x -=-成立，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C.解230x -=得，x =，()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D.解210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得，10x -≤<，或01x <≤，()33f x x x∴==+-，()=()f x f x --Q()f x ∴是奇函数，∴该判断错误.故选：AD. 【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题．三、填空题13．函数y x =________. 【答案】12. 【解析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由120x -≥，得12x ≤.∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦，Q 函数y x =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，函数y =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴当12x =时，函数y x =12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题． 14．已知函数()f x 满足()1221,0f x f x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为________【答案】()24133f x x x=--+ 【解析】由已知可得f （1x ）-2f （x ）21x =-，联立两式消去f （1x），解方程组可得．【详解】∵()1221,f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴f （1x ）-2f （x ）21x=-， 联立两式消去f （1x ），可得f （x ）=24133x x--+ 故答案为f （x ）=24133x x--+ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．15．已知()2y f x x =+是奇函数，且()13f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=________.【答案】–3.【解析】由已知可知，22()()f x x f x x -+=--，然后结合f （1）3=，可求(1)f -，然后代入即可求解(1)g -． 【详解】()2y f x x =+Q 是奇函数， ()()22f x x f x x ∴-+=--，()()22x f x f x -+=-∴， ()13f =Q ， ()15f ∴-=-， ()()2g x f x =+，则()()1123g f -=-+=-. 故答案为：–3 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．16．已知函数()224f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则k 的取值范围是________.【答案】(][),816,-∞-+∞U .【解析】函数2()24f x x kx =--对称轴为：4kx =，函数()f x 在区间[2-，4]上有单调性，由44k (24)-…，解得k 即可．【详解】Q 函数()224f x x kx =--对称轴4kx =， 又Q 函数()f x 在区间[]2,4-上有单调性， 44k ∴≤或24k -≥， 16k ∴≥或8k ≤-，故答案为：(][),816,-∞-+∞U . 【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17．已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,1)-【解析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)- 【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题. 18．设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．四、解答题19．已知全集U =R ，集合2{|3180}A x x x =--≥，5{|0}14x B x x +=≤-. （1）求()U C B A ⋂.（2）若集合{|21}C x a x a =<<+，且B C C =I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-（2）52a ≥-【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B 及U C B ，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为C B ⊆求解，分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论．试题解析 ：（1）由题意得{|3A x x =≤-或6}x ≥，{|514}B x x =-≤<， ∴{|5U B x x =<-ð或14}≥，∴(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-． （2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，①当C =∅时，则有21a a ≥+，解得1a ≥．②当C ≠∅时，则有2111425a a a a <+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得512a -≤<．综上可得52a ≥-． 实数a 的取值范围为5[)2-+∞，． 20．已知幂函数()af x x =的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围. 【答案】（1）())0f x x =≥；（2）(]1,3.【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)f a f a +>-化为关于a 的不等式组，求出解集即可． 【详解】（1）幂函数()af x x =的图象经过点(，2a ∴=解得12a =， ∴幂函数())120x x f x ==≥；（2）由（1）知()f x 在定义域[)0,+∞上单调递增， 则不等式()()13f a f a +>-可化为103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a <?，∴实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题． 21．已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>Q ；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x Q 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--.（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间（不需要证明）；（3）若函数()()[]()2212g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1+∞，，减区间：()1,1-，；（3）当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+.【解析】（1）根据奇函数定义和当0x …时，2()2f x x x =--，并写出函数在0x >时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论． 【详解】（1）Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，此时0x -<，()()f x f x ∴=--，又Q 当0x ≤时，()22f x x x =--，()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-∴-，∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩.（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1,+∞﹒ 减区间：()1,1-.（3）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++∈，二次函数对称轴为：1x a =+，当21a ≤+时，即1a ≥时，()()min 224g x g a ==-， 当11a ≥+时，即0a ≤时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2()min (1)21g x g a a a =+=--+ 综上，当1a ≥时，()min 24g x a =-， 当0a ≤时，()min 12g x a =-， 当01a <<时，2()min 21g x a a =--+ 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题．23．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
天津市南开区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
天津市南开区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题1.设U=R，A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A B. 0，C. D. 0，2.函数的定义域为（）A. B. C. D.3.使函数f（x）=2x-x2有零点的区间是（）A. B. C. D.4.已知x=ln3，y=log50.3，z=e，则（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）=ln（x+）若实数a，b满足f（a）+f（b-2）=0，则a+b=（）A. B. C. 0 D. 26.已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A. B.C. D.7.已知0＜a＜1，函数y=a x与y=log a（-x）的图象可能是（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=5-x-1，则f（log499•log57）的值为（）A. B. C. D.二、填空题.9.已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．10.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为(m).11.幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，则整数m=__．12.设，则实数a的取值范围是______．13.函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是______．14.已知函数f（x）=，x∈R，则f（x2-3x）＜f（3-x）的解集是______．三解答题,15.已知不等式ax2-5x+b＞0的解是-3＜x＜2，设A={x|bx2-5x+a＞0}，B={x|}．（1）求a，b的值；（2）求A∩B和A∪（∁U B）．16.已知函数f（x）=x++a（a∈R）（1）当a=4，求函数f（x）在[1，5]上的值域；（2）设g（x）=xf（x）-2x+1，若[1，4]是g（x）的一个单调区间且在该区间上g（x）＞0恒成立，求a的取值范围．17.定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．(1)求f（0）的值；(2)求证f（x）为奇函数；(3)若f（k•2x）+f（4x+1-8x-2x）＞0对任意x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．18.已知f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函数．（1）求k的值；（2）判断函数y=f（x）-x在R上的单调性，并加以证明；（3）设g（x）=log4（a•2x-a），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围．天津市南开区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案二、选择题1.设U=R，A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A B. 0，C. D. 0，【答案】C【解析】因，所以，故选C．2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】要使函数有意义，需使，即，所以故选C3.使函数f（x）=2x-x2有零点的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意先判断函数f（x）=2x-x2在其定义域上连续，再求函数值，从而确定零点所在的区间．【详解】函数f（x）=2x-x2在其定义域上连续，f（0）=1＞0，f（-1）=-1＜0；故f（0）f（-1）＜0；故选：C．【点睛】本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题．4.已知x=ln3，y=log50.3，z=e，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x=ln3＞lne=1，y=log50.3＜log51=0，e0=1，∴y＜z＜x．故选：D．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知函数f（x）=ln（x+）若实数a，b满足f（a）+f（b-2）=0，则a+b=（）A. B. C. 0 D. 2【答案】D【解析】略6.已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据f（x）为R上的减函数，即可由f（||）＜f（1）得出||，解该不等式即可．【详解】∵f（x）为R上的减函数；∴由f（||）＜f（1）得出||；解得-1＜x＜1，且x≠0；∴实数x的取值范围为（-1，0）∪（0，1）．故选：A．【点睛】本题考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法，以及绝对值不等式的解法．7.已知0＜a＜1，函数y=a x与y=log a（-x）的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数y=a x与y=log a x互为反函数， y=log a（-x）与y=log a x的图象关于y轴对称，以及函数的单调性即可得出．【详解】函数y=a x与y=log a x互为反函数，其图象关于直线y=x对称，y=log a（-x）与y=log a x的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得出．故选：D．【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质，属于基础题．8.已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=5-x-1，则f（log499•log57）的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简log499•log57，根据f（x）为奇函数即可求出其值.；【详解】log499•log57==又x＜0时，f（x）=5-x-1，且f（x）为奇函数；∴f（log499•log57）=f()=-f()=-=-2．故选：B．【点睛】本题考查奇函数的定义，对数式的运算，以及对数的换底公式，指数与对数的互化．二、填空题.9.已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．【答案】【解析】【分析】先利用有理指数幂的运算法则化简，再代值．【详解】m=2，n=3，则原式==m•n-3=2×3-3=，故答案为：．【点睛】本题考查了有理指数幂及根式．属基础题．10.在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为(m).【答案】20【解析】试题分析：设矩形高为，由三角形相似得且，所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为. 考点：基本不等式的应用.【此处有视频，请去附件查看】11.幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，则整数m=__．【答案】1或2【解析】【分析】由幂函数的的图象关于y轴对称，可得出它的幂指数为偶数，又它在（0，+∞）递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数小于零即可求出参数m 的值．【详解】幂函数的的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，∴m2-3m＜0，m2-3m是偶数由 m2-3m＜0得0＜m＜3，又由题设m是整数，故m的值可能为1或2验证知m=1，2都能保证m2-3m是偶数故m=1，2即所求．故答案为1或2【点睛】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向．12.设，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】13.函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是______．【答案】（5，+∞）【解析】【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论．【详解】由x2-3x-10＞0可得x＜-2或x＞5，∵u=x2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f（x）=lg（x2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）故答案为：（5，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题14.已知函数f（x）=，x∈R，则f（x2-3x）＜f（3-x）的解集是______．【答案】（0，3）【解析】【分析】原函数变成f（x）=，从而可得出f（x）在（-∞，0）上单调递增，且x＜0时，f （x）＜1，从而根据f（x2-3x）＜f（3-x）可得出，解出x的范围即可．【详解】f（x）=；∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，且x＜0时，f（x）＜1；∴由f（x2-3x）＜f（3-x）得：；解得0＜x＜3；∴解集为（0，3）．故答案为：（0，3）．【点睛】本题考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，增函数的定义，以及一元二次不等式的解法．三解答题,15.已知不等式ax2-5x+b＞0的解是-3＜x＜2，设A={x|bx2-5x+a＞0}，B={x|}．（1）求a，b的值；（2）求A∩B和A∪（∁U B）．【答案】（1）a=-5，b=30 （2），【解析】【分析】（1）据题意可知，-3，2是方程ax2-5x+b=0的两实数根，由韦达定理即可求出a=-5，b=30；（2）根据上面求得的a，b，得出A={x|30x2-5x-5＞0}，通过解不等式得出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【详解】（1）根据题意知，x=-3，2是方程ax2-5x+b=0的两实数根；∴由韦达定理得，；解得a=-5，b=30；（2）由上面，a=-5，b=30；∴A={x|30x2-5x-5＞0}=，且；∴，；∴．【点睛】本题考查韦达定理，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．16.已知函数f（x）=x++a（a∈R）（1）当a=4，求函数f（x）在[1，5]上的值域；（2）设g（x）=xf（x）-2x+1，若[1，4]是g（x）的一个单调区间且在该区间上g（x）＞0恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）f（x）在[1，5]上的值域为[8，]（2）实数a的取值范围是（0，+∞）【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，根据单调性得到函数的最值，根据最值写出值域；（2）结合二次函数的图象列式可得．【详解】（1）a=4时，f（x）=x++4，设，则，∵，∴x1-x2＜0，，即，则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即在上函数f（x）单调递减，同理可证函数f（x）在单调递增。
【精品高一数学试卷】2019-2020天津高一(上)期中+答案
2019-2020学年天津市和平区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上1．（4分）设集合M ＝{4，5，6，8}，集合N ＝{3，5，7，8}，那么M ∪N ＝（ ） A ．{3，4，5，6，7，8} B ．{5，8} C ．{3，5，7，8}D ．{4，5，6，8}2．（4分）命题p ：∀x ∈R ，x +|x |≥0，则￢p （ ） A ．￢p ：∃x ∈R ，x +|x |＞0 B ．￢p ：∃x ∈R ，x +|x |＜0 C ．￢p ：∃x ∈R ，x +|x |≤0D ．￢p ：∃x ∈R ，x +|x |≥03．（4分）已知a ＞0，b ＞0，且2a +3b ＝1，则2a+3b的最小值为（ ） A ．24B ．25C ．26D ．274．（4分）下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）=√x 2，g （x ）＝x B ．f （x ）＝x ，g （x ）=x 2xC ．f （x ）=2−4，g （x ）=x 2xD ．f （x ）＝|x +1|，g （x ）={x +1，x ≥−1−x −1，x ＜−15．（4分）函数y =|x|x+x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．（4分）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件②“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件： ③a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件 ④“a ＜5”是“a ＜3的必要不充分条件， 其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．（4分）若函数y ＝f （x ）的定义域是[0，4]，则函数g(x)=x−1的定义域是（ ） A ．（1，8）B ．（1，2）C ．（1，8]D ．（1，2]8．（4分）已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （13）的x 取值范围是（ ） A ．（13，23）B ．[13，23）C ．（12，23）D ．[12，23）9．（4分）函数y ＝x 2﹣2x +3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） A ．[1，∞）B ．[0，2]C ．（﹣∞，2]D ．[1，2]10．（4分）已知函数f （x ）={−ax ，x ≤−1(3−2a)x +2，x ＞−1，在（﹣∞，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0，32]B ．（0，32）C ．[1，32）D ．[1，32]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题纸上11．（4分）设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x 丨x ＝a +b ，a ∈A ，b ∈B }则M 中的元素个数为 ．12．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （x ∈R ）的部分对应值如表，x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y6﹣4﹣6﹣6﹣46则不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是 ．13．（4分）若关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣m ≥0对任意x ∈（0，1]恒成立，则m 的最大值为 ． 14．（4分）设函数f(x)={x 2，x ≤1x +6x −6，x ＞1，则f [f （﹣2）]＝ ． 15．（4分）已知f(√x +1)=x +2√x ，则函数f （x ）的解析式为 ．16．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共4小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题纸上17．（8分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|2a≤x＜3﹣a}．（1）若a＝﹣2，求B∩A，B∩∁U A；（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．18．（8分）已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．19．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＜0（a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求不等式的解集；（Ⅱ）当a＞0时，求不等式的解集．20．（10分）已知函数f（x）是定义在（﹣4，4）上的奇函数，满足f（2）＝1，当﹣4＜x≤0时，有f（x）=ax+b x+4．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间（0，4）上的解析式，并利用定义证明函数f（x）在（0，4）上的单调性．2019-2020学年天津市和平区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上1．【解答】解：由题意，找M 与N 的所有元素为3，4，5，6，7，8， 则M ∪N ＝{3，4，5，6，7，8}． 故选：A ．2．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定：∃x ∈R ，x +|x |＜0． 故选：B ．3．【解答】解：根据题意， 由2a +3b ＝1，则2a +3b=（2a +3b ）×（2a+3b）＝4+9+6（b a+a b）＝13+6（b a+ab），又由a ＞0，b ＞0，可得ba+a b≥2√a b ⋅ba =2，则2a+3b≥13+12＝25，即2a+3b的最小值为25；故选：B ．4．【解答】解：两个函数是相同的函数，则它们的定义域、值域、对应关系一定相同． 函数f （x ）=√x 2的值域为[0，+∞），函数g （x ）＝x 的值域为（﹣∞，+∞），故它们的值域不同，故不是同一个函数．函数f （x ）＝x 的定义域为（﹣∞，+∞），函数g （x ）=x 2x=x 的定义域为[0，+∞），故它们的定义域不同，故不是同一个函数． 函数f （x ）=2−4的对应关系和g （x ）=x 2x=x ，解析式不同，故它们的对应关系不一样，故不是同一个函数．函数f （x ）＝|x +1|和函数g （x ）={x +1，x ≥−1−x −1，x ＜−1具有相同的定义域R ，相同的值域[0，+∞），相同的对应关系（对x +1取绝对值）， 故它们为同一个函数， 故选：D ．5．【解答】解：函数y =|x|x +x 可化为：当x ＞0时，y ＝1+x ；它的图象是一条过点（0，1）的射线； 当x ＜0时，y ＝﹣1+x ．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线； 对照选项， 故选：D ．6．【解答】解：①，ac ＝bc ⇒ac ﹣bc ＝0⇒c （a ﹣b ）＝0⇒c ＝0或a ＝b ，所以a ＝b 是ac ＝bc 的充分不必要条件，所以A 不正确；②中，a +5是无理数，∵5是有理数，所以a 是无理数，a +5是无理数是充分条件；a 是无理数，则a +5是无理数，所以a +5是无理数是必要条件，最后得a +5是无理数是充要条件，所以②正确；③a ＞b ，若都小于0，则a 2＜b 2 得，不是充分条件，所以③不正确；④a ＜5推不出a ＜3，所以a ＜5是不充分条件，a ＜3⇒a ＜5，a ＜5是必要条件，所以④正确； 故选：B ．7．【解答】解：由函数y ＝f （x ）的定义域是[0，4]， 在函数g(x)=x−1中， 令{0≤2x ≤4x −1＞0， 解得1＜x ≤2；所以函数g （x ）的定义域是（1，2]． 故选：D ．8．【解答】解：∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）＝f （|x |）， ∴不等式等价为f （|2x ﹣1|）＜f(13)， ∵f （x ）在区间[0，+∞）单调递增， ∴|2x −1|＜13，解得13＜x ＜23．故选：A ．9．【解答】解：由题意可知抛物线的对称轴为x ＝1，开口向上 ∴0在对称轴的左侧∵对称轴的左侧图象为单调递减 ∴在对称轴左侧x ＝0时有最大值3∵[0，m ]上有最大值3，最小值2，当x ＝1时，y ＝2 ∴m 的取值范围必须大于或等于1 ∵抛物线的图象关于x ＝1对称 ∴m 必须≤2 故选：D ．10．【解答】解：由已知条件函数f （x ）={−ax ，x ≤−1(3−2a)x +2，x ＞−1，在（﹣∞，+∞）上为增函数， 得，{a ＞03−2a ＞0a ≤−3+2a +2；∴1≤a ＜32；∴实数a 的取值范围是：[1，32）．故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题纸上 11．【解答】解：因为集合M 中的元素x ＝a +b ，a ∈A ，b ∈B ， 所以当b ＝4时，a ＝1，2，3，此时x ＝5，6，7． 当b ＝5时，a ＝1，2，3，此时x ＝6，7，8． 所以关键集合元素的互异性可知，x ＝5，6，7，8． 即M ＝{5，6，7，8}，共有4个元素． 故答案为：4．12．【解答】解：由二次函数y ＝ax 2+bx +c （x ∈R ）的部分对应值知， x ＝﹣2时，y ＝0；x ＝3时，y ＝0； 且函数y 的图象开口向上，∴不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）．13．【解答】解：由已知可关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣m ≥0对任意x ∈（0，1]恒成立，可得m ≤x 2﹣4x 对一切x ∈（0，1]恒成立， 又f （x ）＝x 2﹣4x 在（0，1]上为减函数， ∴f （x ）min ＝f （1）＝﹣3，∴m ≤﹣3，即 m 的最大值为﹣3， 故答案为﹣3．14．【解答】解：由f(x)={x 2，x ≤1x +6x−6，x ＞1，得f （﹣2）＝4； ∴f [f （﹣2）]＝f （4）=4+64−6=−12． 故答案为：−12．15．【解答】解：令√x +1＝t ，t ≥1，可得√x =t ﹣1， 代入已知解析式可得f （t ）＝（t ﹣1）2+2（t ﹣1）， 化简可得f （t ）＝t 2﹣1，t ≥1故可得所求函数的解析式为：f （x ）＝x 2﹣1，（x ≥1） 故答案为：f （x ）＝x 2﹣1，（x ≥1）16．【解答】解：当∀x 1∈[﹣1，2]时，由f （x ）＝x 2﹣2x 得，对称轴是x ＝1， f （1）＝﹣1是函数的最小值，且f （﹣1）＝3是函数的最大值， ∴f （x 1）＝[﹣1，3]，又∵任意的x 1∈[﹣1，2]，都存在x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）， ∴当x 2∈[﹣1，2]时，g （x 2）⊇[﹣1，3]． ∵a ＞0，g （x ）＝ax +2是增函数， ∴{−a +2≤−12a +2≥3，解得a ≥3． 综上所述实数a 的取值范围是[3，+∞）． 故答案为：[3，+∞）．三．解答题：本大题共4小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题纸上17．【解答】解：（1）集合A ＝{x |1≤x ＜4}，∁U A ＝{x |x ＜1或x ≥4}，a ＝﹣2时，B ＝{﹣4≤x ＜5}，…（2分）所以B ∩A ＝[1，4），B ∩∁U A ＝{x |﹣4≤x ＜1或4≤x ＜5}…（6分） （2）若A ∪B ＝A 则B ⊆A ，分以下两种情形： ①B ＝∅时，则有2a ≥3﹣a ，∴a ≥1…（8分） ②B ≠∅时，则有{2a ＜3−a 2a ≥13−a ≤4，∴12≤a ＜1⋯（12分）综上所述，所求a 的取值范围为a ≥12⋯（14分）18．【解答】解：（Ⅰ）a ＝﹣1，f （x ）＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1； ∵x ∈[﹣5，5]；∴x ＝1时，f （x ）取最小值1； x ＝﹣5时，f （x ）取最大值37； （Ⅱ）f （x ）的对称轴为x ＝﹣a ； ∵f （x ）在[﹣5，5]上是单调函数； ∴﹣a ≤﹣5，或﹣a ≥5；∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．19．【解答】解：（I ）当a ＝﹣1时，不等式﹣x 2﹣（﹣2+1）x +2＜0，即x 2﹣x ﹣2＞0 因式分解：（x ﹣2）（x +1）＞0 解得：x ＞2或x ＜﹣1．∴不等式的解集为{x |x ＞2或x ＜﹣1}．（II ）当a ＞0时，不等式ax 2﹣（2a +1）x +2＜0因式分解，可得：（ax ﹣1）（x ﹣2）＜0． ∴方程（ax ﹣1）（x ﹣2）＝0的两个根1a =x 1，x 2＝2当0＜a ＜12时，1a＞2，∴不等式的解集为{x |2＜x ＜1a}．当a ＞12时，2＞1a ，不等式的解集为{x |1a＜x ＜2}．当a =12时，不等式（x ﹣2）2＜0，不等式的解集为∅． 综上：当0＜a ＜12时，不等式的解集为{x |2＜x ＜1a }． 当a ＞12时，不等式的解集为{x |1a＜x ＜2}．当a =12时，不等式的解集为∅．20．【解答】解：（1）∵函数f （x ）是定义在（﹣4，4）上的奇函数， ∴f （0）＝0，即b4=0，∴b ＝0，又因为f （2）＝1，所以f （﹣2）＝﹣f （2）＝﹣1， 即−2a 2=−1，所以a ＝1，综上可知a ＝1，b ＝0，（2）由（1）可知当x∈（﹣4，0）时，f(x)=xx+4，当x∈（0，4）时，﹣x∈（﹣4，0），且函数f（x）是奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−−x−x+4=x−x+4，∴当x∈（0，4）时，函数f（x）的解析式为f(x)=x−x+4，任取x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=x1−x1+4−x2−x2+4=4(x1−x2)(4−x1)(4−x2)，∵x1，x2∈（0，4），且x1＜x2，∴4﹣x1＞0，4﹣x2＞0，x1﹣x2＜0，于是f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f(x)=x−x+4在区间（0，4）上是单调增函数．。