概率论与数理统计-中山大学-第三版

第一章 随机事件与概率
1．从十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：
(1)放回时的样本空间
(2)不放回时的样本空间 解：
(1)
，(2) 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。

写出下列两种取法的样本空间：
(1)不放回时的样本空间
(2)放回时的样本空间
解：(1)
(2)
3.解：
5.设样本空间，求：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
0,1,2,,91
Ω2
Ω100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭201 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98⎧⎫⎪⎪⎪⎪Ω=⎨⎬
⎪⎪⎪⎪⎩⎭1Ω
2Ω
Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝
Ωn 个
２＝｛红，白红，，白白白红,｝3
3
3
3
1
1
1
1
2
1
1231
32
31
2
3123123123123123123123,,,()()()()
()()()()
()()()
i i i i i i i i A A B A A C A D A C E A A A A A A A A A A A A F A A A A A A A A A A A A G A A A A A A A A A =====
=
==
=
===={0,1,2,
,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}A
B
()
A
B C {2,3,4,5}
A
B A
B A
B ===()(){4,5}
{0,1,5,6,7,8,9}{4,5}{0,1,4,5,6,7,8,9}
A
B
C A BC A ====
11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。

解：
14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。

如果n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r
个人的概率与r 无关，都是（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。

解：(1)基本事件数为，设甲排在第i 位，则乙排在第i+r+1位，，共中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位置可调换，有种，故有利事件数由乘法原理有，由古典概型的计算公式，得
甲乙相邻的概率为：
另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有,有利事件数为2(n-r-1).故有
另解2:先在甲乙之间选出r 个人，然后将甲乙与这r 个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.
(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r 个人的基本事件数是 n 个位
置取2个人的排列，共有种，而甲的位置选取有n 种选法，故由古典概型的计算有
甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有种排
列，故
. 另解：一圈有n 个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故
(只考虑乙)
15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。

解：，
214!12P ==
1
1n -!n 1,2,,1i n r =--1n r --1
2
C 12C （n-r-1）(n-2)!122(1)(1)C n r P n n --==
-（n-r-1）(n-2)!n!12(1)!2!C n P n n -==
(1)n n -2(1)(1)n r P n n --=
-21221
2(1)!(1)r n r n n r A A A n r P n n n -------==
-2
n A 211
n n P A n ==
-2(2)!n -2(2)!2
(1)!1n P n n -=
=
--21P n =
-4105040n A ==3112
94882296k A C C A =+=
16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.
解: 基本事件数为,有利事件数为
1) 2个伍分,其他任意,有
2) 1个伍分,2个贰分:
3) 1个伍分,3个贰分:
故
17:箱中有个白球和个黑球,从其中任意地接连取出k+1()球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率. 解:令,则
另解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为,有利于A 的基本事件数为,故
18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概
率：
(1)某一层有两位乘客离开。

(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。

(3)恰有两位乘客在同一层离开。

(4)至少有两位乘客在同一层离开。

解：
(1) 某有2位乘客离开，6个乘客选2名有种选法，其余4人在其余9层下有
种，故共有：
(2) 没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而
(3) 恰好有2位乘客在同一层离开
22960.465040k p n ∴=
==5
10252
n C ==232856
C C =12223560
C C C =13123510
C C C =56601012522k P n ++===
αβ1k αβ+≤+{1()}A k =+第次最后取出的是白球+1+1+(+1)!
(+1)!
(A)=
(+)!A +(+1)!k A k P k ααβαβ
αβα
ααβαβαβαβ----==
--1k C αβ+α()P A ααβ=
+2
6C 492466910C p =
610
6
10A P =
基本事件数为.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为，
其余4人有以下几种情况
a) 其余9层，4个人单独在某层下，有种。

b) 4人一起在其余9层中的某层下，有种。

c) 9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有
所以
(4) 为(2)的逆事件，从而
19．一列火车共有n 节车厢，有个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。

解：设，则
，，则
,以下计算
指定的i 节车厢空的概率为
,(因为每个人进入其他n-i 节车厢的概率为),所以,利用多除少补原理，有
注：错解：
（有重复情形） 20.某人从鱼池中捕得1200条鱼，做了记号后放回该鱼池中，经过一段时间后，再从池中捕1000条鱼，数得有记号的有100条。

试估计鱼池中共有多少条鱼？ 解：设鱼池中共有n 条鱼，则，由古典概率的定义有：
21．将线段(0,a)任意折成三段，试求此三段能够成三角形的概率 解：设,如图
能够三角形，必须有,即
.如图 610n =1
2
106C C 4
9A 19
C 131948
C C C 1241131106999486[]10C C A C C C C P ++=
610
6
110A P =-k n ≥{}A =每一节车厢至少有一个旅客{}A =存在空车厢{}
i A i =存在节空车厢1,2,,i n =1
=1
=
n i
i A A -()
i P A 1k
i n （－）
1n i i n n -=-()(1)(1,2,,1)
i
k i n i P A C i n n =-=-121
121()(1)(1)(1)(1),()1()k k n n k
n n n n P A C C C P A P A n n
n --=---+
+--
=-k k n
n k A n P n -=
1200100
120001000k p n n n =
==⇒=0x y a <<<y a y >-12y
>
0 x y a X
22．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内达到的时刻是等可能的，如果甲般的停泊时间是1小时，乙船停泊的时间是2小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。

解： 设x,y 分别表示甲乙船到达码头的时刻，不需等待码头空出，若甲先到，则，若乙先到，则，如图
23. 在一个半径为1的圆周上，男乙两人各自独立地从圆周上随机地各取一点，
将两点连成一条弦L,求圆心到弦L 的距离不大于这一事件A 的概率。

解：由运动的相对性，不妨将甲固定，则基本事件为“（乙可取的点）整个圆周”，
有利于A 的事件对应为：（乙可取点）甲的左边圆周和甲的右边圆周,故
024x y <<≤1y x ->2x y ->222
1
(2322)20.8793424P +==1
21313
2 244444
.
24.解：三角形a,b,c 任一边与平行线相交的概率分别为, 而“三角
形与平行线相交”等价于“任意两个边与平行线相交”。

故
28.一个袋内有n-1个黑球和一个白球，每次从袋中随机取出一球并换入一个黑球，这样继续下去，求第k 次取到黑球的概率。

解：记，因为袋中只有一只白球，故在第k 次摸到白球，则前面的k-1次不能摸到白球，只能摸到黑球，故
，.
30.某彩票公司共发行了n 张彩票，其中有m 张彩票。

某人买了m 张彩票，求至少有一张中彩的概率。

解：记A={至少有一张中彩},先求对立事件={没有彩票中奖}的概率;基本事件数
,的有利事件数
则
.. 31设，用x,y,z 表示下列事件的概率: (1) (2) (3) (4)
解：
(2)
(3)
(4)
23
2223p ππ=
=222,,a b c
d d d πππ1222()2a b c a b c
p d d d d ππππ++=++=
{}{}A k A k ==第次摸到黑球，则第次摸到白球11111(1)k k k N P A N N N --⋅=-⋅()＝111()1(1)k P A N N -=--⋅
A r
n
N C =A r
n m k C -=()1()11r n m
r n C k
P A P A N C -=-=-=-(),(),()P A x P B y P A B z ===()P A B ()P A B ()P A B ()P A B (1)()()1()1P A
B P A
B P A
B z ==-=-()()()()P AB P B AB P B P AB y z =-=-=-()()()()1()()()1()1P A B P A P B P AB P A P B P B AB x y y z x z
=+-=-+--=-+--=-+()()1()
1(()()())1()1P A B P A B P A B P A P B P AB x y z x y z ==-=-+-=-+-=--+
33 设事件A,B,C 满足:
试求事件A,B,C 中至少有一个发生的概率及A,B,C 均不发生的概率。

解：记事件E 为“A,B,C 至少一个发生”，事件F 为“A,B,C 均不发生” 则有
34．袋中有编号为1,2,…,n 的n 个球，从中有放回地随机选取m 个，求取出的m 个球的最大号码为k 有概率。

并计算n=6,m=3,时，k=1和k=3的值。

解：基本事件的可能数为,记＝｛取到这最大号码为k ｝,={取到的最大
号码不超过k 这一事件}，则有又,故有
,
36.n 个人参加同学聚会，每个人都带了一件礼物，并附上祝福词和签上自己的名字，聚会时每人从放在一起的礼物中随机取出一件礼品，至少有一人取到自己礼物的概率，并计算出当n=2和n=1000时的概率。

解：先求事件A={没有人取到自己的礼物}的概率。

令
，由P46例1.4.4（配对问题）的结
论，有
，
,
41.一位教师对所教班级学生期终考试成绩估计高等数学优秀的占15%，外语优秀占5%，两科都优秀的占3%，求
11
()()(),()()0,()48P A P B P C P AB P CB P AB ======
()()()()()()()()()11115
=4448853
()1()1.
88P E P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC P F P E ==++---+++-=
=-=-=m n k A k B 1,k k k A B B -=-1,k k B B -⊂()m
k m
k p B n =1(1)()()(),1,2,,m m
k k k m
k k P A P B P B k n
n ---=-==(1)0.00463p =(2)0.421296p ={}1,2,
,i A i i n
==第个人取到自己的礼物，01(1)()1()!k
n
n
i k i P A P A k ==-=-=∑
1
(1)11
1
()1()11(1)!2!3!!k n
n k P A P A k n +=-=-=-=-++
+-∑(2)0.5,(1000)0.73P p ⇒==
(1)已知一学生高等数学成绩优秀，其外语成绩也优秀的概率。

(2)已知一学生外语成绩优秀，其高等数学成绩也优秀的概率。

解：
记A 为“高等数学成绩优秀”，B 为“外语成绩优秀”，则
42 已知。

43．试证：如果 证：
44.一批产品共100件，对其进行抽象检查，整批产品看作不合格的规定如下：在被检查的5件产品中只要有一件是废品。

如果在该批产品中有5%是不合格品，试问该批产品被认为不合格的概率是多少？
解：共100件产品，其中的5件废品，95件合格品。

45.全部产品中4%是废品，而合格品中的75%为一级品，求任选一个产品为一级品的概率。

解：记A={任选一个产品为合格品}B ＝｛任选一个产品为一级品｝，则
46.证明：当时，
证：
()0.03
(1).(|)0.2()0.15()0.03
(2).(|)0.6
()0.05P AB P B A P A P AB P A B P B =
=====()0.3,(|)0.4,()0.5,P A P B A P A B ===求 P(B ｜A B ）(|)(),(|)()P A B P A P B A P B >>则()
(|)()()()()()
()()()
(|)()
()()P AB P A B P A P AB P A P B P B P AB P A P B P B A P B P A P A =
>⇒>∴=>=5
95
5100
10.23
C P C =-=()()()(|)(10.04)*0.750.72P B P AB P A P B A ===-=(),()P A a P B b ==1
a b P b +-≥
（A ｜B ）
47.进行摩托车竞赛，在地段甲乙间布设了三个故障，在第一故障前停车的概率为0.1,从乙地到丙地竞赛者不停车的概率为0.7，求在地段甲丙间竞赛者不停车的概率。

解：
49.解：A 个球中有a 个红球，每次抽取一个球后不放回，考虑最终取到红球的概率。

令
，
，
50.解：设则
51.解：设A 0={第一次比赛取出的是2个旧球}， A 1={第一次比赛取出的是1个新球，2个旧球}， A 2={第一次比赛取出的是2个新球，1个旧球} A 3={第一次比赛取出的是3个新球}，
3
(10.1)*0.70.5103P =-={}1,2,
, 1.
i A i i A a ==-+直到第次抽到红球，1()a P A A =2312
(),(),112A a a A a a a P A P A A A A A A ----=⋅=⋅⋅---412(),123
A a A a A a a
P A A A A A -----=
⋅⋅⋅--
-112(2)()12(2)(1)
1221221
1221()1221A a A a A a A a A a A a A a a P A A A A A A a A A a A a A a A a a A A A a a A a A a A a a
P A A A A a a a --+--
-------=
-------------=
--++-----=
--++()(1)
()11(1)(2)()(1)211(1)(2)(2)(1)i i
a a A a a A a A a P A A A A A A A A a A a A A A a a a
----=⇒
+++------⋅+=--++∑⇒()(1)
()32111(1)(2)
(1)(1)A a A a A a A a A
A A A A a a a -----⋅⋅+
++=
----+10{}A =从第一批中抽到废品，A ＝｛从第一批中抽到正品｝，
B ＝｛从第二批产品中抽出废品｝
101011121
12121111P P P P （A ）＝，（A ）＝，（B ｜A ）＝，（B ｜A ）＝
1100)(|))(|)12111130.09848512111211132
P P B A P B A ∴+=
⋅+⋅==（B ）＝P(A P(A
B ＝｛第二次取出3个新球｝，则
由全概率公式得
53.解：A 1＝{发出点}，B 1＝{接收点}
A 2＝{发出划}，
B 2＝{接收划}
,以下求
54.解：记D ＝{取出的是废品}，A ＝{机器A 生产}，B ＝{机器B 生产}，C ＝{机器C 生产}，则
由Bayes 公式得
33
69
0033
1515213
6981133
1515123697
2233
15153396
3333
1515
()0.043956,(|)()0.296703,(|)()0.474725,(|)()0.184615,(|)C C P A P B A C C C C C P A P B A C C C C C P A P B A C C C C P A P B A C C ============2
0()()(|)0.089265
i i i P B P A P B A ==⋅=∑1211125331
(),(),(|),(|)8853P A P A P B A P B A ====
1122(|),(|)P A B P A B 1111111111121253
855331
85
83
()()(|)
(|)()()(|)()(|)
34P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A =
=+⋅==⋅+⋅221212*********
2
855322
85
83
()()(|)
(|)()()(|)()(|)
12P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A =
=
+⋅==⋅+⋅()0.25,(|)0.05,()0.35,(|)0.04,()0.4,(|)0.02P A P D A P B P D B P C P D A ======()()(|)
(|)()()(|)()(|)()(|)0.25*0.05
0.3623190.25*0.050.35*0.040.4*0.02P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =
=++==++
55.某仪器有三个灯泡，烧坏第一、二、三个灯泡的概率分别为0.1,0.2及0.3，并且相互独立.当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为0.25，当烧坏2个灯泡时为0.6，而当烧坏3个灯泡时为0.9，求仪器发生故障的概率。

解：
记B 表示“仪器发故障”，表示“第i 个灯泡烧坏”，则
由全概率公式
56.记A ＝{男}，B ＝{女}，D ＝{色盲}，则
57.证明：
58 解：设A ＝{甲获胜}，B ＝{乙获胜},.
()()(|)
(|)()()(|)()(|)()(|)0.35*0.04
0.4057970.25*0.050.35*0.040.4*0.02P BD P B P D B P B D P D P A P D A P B P D B P C P D C =
=++==++()()(|)
(|)()()(|)()(|)()(|)0.4*0.02
0.2318840.25*0.050.35*0.040.4*0.02P CD P C P C B P C D P D P A P D A P B P D B P C P D C =
=++==++i
A 123121323123112233121213132323123123()()(|)()(|)()(|)
()(|)()(|)()(|) +()(|)
0.25*(0.10.20.3)0B BA BA BA BA A BA A BA A BA A A P B P A P B A P A P B A P A P B A P A A P B A A P A A P B A A P A A P B A A P A A A P B A A A =++++++=+++++=+++.6*(0.1*0.20.1*0.30.2*0.3)0.9*0.1*0.2*0.30.1614+++=57
()0.537736,()0.462264,(|)0.02,(|)0.0025
5749P A P B P D A P D B =
====+()(|)
(|)()(|)()(|)0.537736*0.02
0.902970.537736*0.020.462264*0.0025P A P D A P A D P A P D A P B P D B =
+==+()()()()
(|)(|)()1()()
()()()()()()()()()(),.
P BA P B A P B P AB P B A P B A P A P A P A P BA P A P BA P A P B P A P AB P AB P A P B A B -=⇒
==-⇒-=-⇒=⇒相互独立(),()P A p P B q ==
A 1＝{第一次比赛甲获胜}，
B 1＝{第一次比赛乙获胜} A 2＝{第二次比赛甲获胜}，B 2＝{第二次比赛乙获胜}
，
59.(小概率事件)：
60.解：
61.解：
62:解：
可知，负值误差次数为1时概率取到最大值
63．解：
(1)由k 1或者k 2发生故障而断电的概率为P(A)
(),(),1,2
i i P A P B i αβ===12121212121212121212121222
2
()()(|)()(|)()(|)()()()()()
2,,
1212A A B A B A A A A A p P A P A B P A A B P B A P A B A P A A P A A A P A B P A P B A P A P A A p p q αβαβααβαβ
=++⇒
==++=++=+⇒==--同理()(1)1(0)1(1)1()r r
n r n n P r C p P n ξεεξε-==-⇒
=-==--→→∞4444132223344444412
,1,433
()(1)0.6(2)(3)(4)0.30.70.6(0.30.70.30.70.3)
0.59526p q p n P B P P P P ==-==⇒
=++⋅⋅⋅+⋅+⋅+=＋（）1
=C C C C 4
4441
4(1)0.59(0)10.590.41
(1)0.410.2r
r r r C
p p P p p -=-=⇒=-=-=⇒=∑即4
4
4
4
044
224433
13222
32
1212244444333333313
440
812121444433333312
,,4
33
(0)()()(1)(),(2)()()(3)()(),(4)()()p q n P C P C P C P C P C =======
====
==
32
81
0.395062
=121212
()0.60.40.40.50.60.50.8A k k k k k k P A =++⇒=⨯+⨯++=
(2)
同时发生故障而断电的概率为
(3)
64解：4，5，6中有两个是备用件，当正在工作的一个失效时，其中一个立即补上去。

设
并联下部系统B 正常工作的概率
并联上部系统C 正常正常工作的概率：
65解：记
则有
,其中
依次乘以
相加得
另解：
123
,,A A A 123123()()()()0.40.70.90.252
P A A A P A P A P A ==⋅⋅=121231
2
12312123121123212312123,,)))))))0.60.50.2520.60.50.60.2520.50.2520.60.50.2520.8504k k A A A k k A A A k k A A A k k k A A A k A A A k k A A A ++---+=++-⨯-⨯-⨯+⨯⨯=或或同时发生故障而断电的概率为P()
=P(P(P(P(P(P(P((1,2,3),{4}{5}{6}i P i i P P P p
==｛正常工作｝＝p 正常工作＝正常工作＝正常工作3()1(1)(4,5,6)P B p =--不同时出现故障的概率23
()P C P P =1133123233123(A)P (B C)=P ((B)+(C)-(BC))=P [1-(1-P))+P P -P P (1-(1-P)]=P [1-(1-P P )(1-P)]
P P P P P ∴＝{},
n p P n A =在次试验中，事件出现偶数次111
(1)(1)(12)n n n n P p P p p p p p ---=-+-=+-11,1n p p
≥=-21321
(12)(12)(12)n n p p p p p p p p p p p p -=+-=+-=+-23
(12),(12),,(12)n n p p p -----221(1(12)(12)(12))(12)(1)
1(12)2
n n n n
p p p p p p p p --=+-+-++-+--+-=
第二章 随机变量及其分布函数
1. 解：记为该球员直到投中篮时所投篮的次数，则
2. 解：设A=｛甲投中｝，B ＝｛乙投中｝,
甲乙投篮次数分别为，则
类似有：
3.解：每次向上抛硬币出现正在面的概率为
,则
4.解：（1）
0{}
() (1)
()() (2)
(1)+(2)2()1()1(12)22n
n
k k n k
n k n n
k k n k n k
n n p p A p q C p q p q C p q p p q p p -=-==+=-+=-⇒+-++-∴==
∑∑记事件出现偶数次奇数次的项相加为零ξ1{}(1),1,2,
k P k p p k ξ-==-=,ξη1
1
1
1111
1
1()0.4,()0.6,{}{}{}{}()()()()()()
0.60.40.60.40.60.760.24,1,2,
k k k k k k k k k k
k
k k P A P B k A
B
A A
B B P k P A P B P A P A P B P B k ξξ---------====⇒
==+=+=⋅=1
1{}{}{}{}0.60.40.60.60.40.4 1.90.24,1,2,{0}0.4k
k k
k
k k k k k k A B B A B A P k k P ηηη--==⇒
==+=⋅===34p =3(3,)
4B ξ03331
223222333
331
{0}(1)()0.015
4
13{1}(1)3*()0.1406
4413
{2}(1)3*()0.4219
44
3{3}()0.4219
4P C P P C P p P C P p P C p ξξξξ==-====-====-======0, x 0
1
, 0<x 4
2()3, 421, x> F x x ξππππ≤⎧⎪⎪≤⎪=⎨⎪<≤⎪⎪⎩
（2）
(3)
5解： 表示动物生蛋的个数，，表示后代的个数，则由全概率公式有
6解：
（1） 证明：
（2） 求
的分布
（3） 求与的联合分布
232ηξ=+ζξ()P ξ
λη{}{}{|}
{}!
!
!!()!
()()()!()!!!()r k
r k r k
k
k r k k
r
r r k
r k
r
k
r k
r k
k k r k k k p q r k P k P r P k r e P r C q
p C q p r r e p
q r k r k e p q e p p e e k r k k k P p λ
λλλλληξηξλξλλλλληλ∞
=-∞
∞
--==∞
--=----∞==========-===-∴∑∑∑
∑
∑1121211212120
21221
20
{,}{,}
{|}{}
{,}
{}{}
1(1)1
{}{}
n
i k n k
n n
n
n i
n i
i i P k n P k n k P k n P n P i n i P k P n k pq pq p q n p q n P i n i pq pq
ξξξξξξξξξξξξξξξ
ξ=--===+===-=+==
=+===-==-=
=
==
++==-∑∑∑12max{,}
ηξξ=1212121211
00
12
1{}{,}{,}{}{}{}{}
111111()(2)
11k k
k
k k i
k i
k
k i i k k
k
k k k P k P k k P k k P k P k P k P k q q pq pq pq pq pq pq q q q q p q pq q q q q ηξξξξξξξξ+-==++===≤+≤===≤+<=--=+=+----=+=----∑∑η1ξ
7.解：
8． 解：
9.解：
10.解：
11.解：
12.解：（1）
（2）
（3）
1112211221{,}{,max{,}}
0 i>j {,}(1) i=j {}{} =p q i<j i i i j P i j P i j P i i p q q P i P j ξηξξξξξξη++=====⎧⎪
==≤=-⎨⎪==⎩1
2
1212120
()1212120
012()()12121201212{}{,}{}{}
()!
!
()!!
!()!()
()()()()!!i i i k i k
i k i k i i k k i i k i k i P k P i k i P i P k i e e e k i k i k i k i e e C k k λλ
λλλλλλξηξηξηλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∞∞
==---+--∞
∞
==-+-+∞-=+====-===-+==
--+++==++∑∑∑
∑∑12
211121()
12121212
{,}{,}
{|}{}{}
{}{}!(!)()()(;,)(){}!k N k k
k N k N N P k N P k N k P k N P N P N e e P k P N k k N k C B k N e P N N λλλλξξηξηξξηξηξηλλλλλξηλλξηλλλλλλ-----+-=+===-=+===
+=+===--====++=+++1730
,730,2,(2)
365365(;2)0.09p n np P P k λξ=
=≈===0
200,0.6,(,)
(;200,0.6)0.99142
k i n p B n p b i k ξ
===≥⇒≥⇒∑至少要供电能142E 3
0400,0.01,4,(4)
(;4)0.4335
k n p np P P k λξ=====⇒=∑[(1)][401*0.01]4m n p =+==0
(2),(;2)0.955
2,21,(2;2)(1;2)0.27k
i P P i k P P ξ
λ=≥⇒≥===∑最大可能次数为或者3
4
(2),(,2)1(,2)0.142877
k k P P k P k ξ
∞===-=∑∑0
(,2)0.94
k
i P i k =≥⇒=∑[][2]2,(2;2)0.2707m P λ====
13.解：
,
（1）
（2）令
(3)
.
14.解：(1)
（2）
（3）
15.解：
16.解：
17.解： （1）
（2）
()()x
F x f t dt
ξ
-∞
=⎰()2,01f x x x =<≤1
1
,()()()
F y P y P y ξηηξξ==<=<223
1111
()()|(()')|(),0
212,1f y f f y y y y y
y y y y ηξξ==≠==
≥121122||(),(),0()(())|'()|(())|'()|()(),02,01
y x x y y x y y y f y f x y x y f x y x y f y f y y y y ηξξξξ==⇒==-≥=+=+-≥=<≤1ln ,0
1
()(ln )|(ln )'|(ln ),0
2ln ,(0ln 11)x y e x y y f y f y y f y y y
y y e y y ηξξ--=⇒=->⇒=--=->-=<-<⇒<<22
2
222cos 12cos 1210.5
0,21
sin 1()cos ,2222sin 112cos 12
22x a xdx a xdx a a x x F x tdt x tdt x π
πππππππππ
π---=⇒=⇒=⇒=⎧⎪⎪≤
⎪
⎪+⎪==<≤
⎨⎪⎪+⎪⎪==>⎪⎩⎰⎰
⎰⎰
，4011{0}cos sin 42244P xdx π
π
πξ≤≤===
⎰()lim()1
x x F A e A -→∞
∞=-==()(1)(1)0.25
(1)0.7510.290.71P k P k P k P k k k ηξξξ≤=-≤=≥-=⇒<-=⇒-=⇒=122
1
(,)()(),(1)x
f x y xe f x f y y ξη-==⇒+相互独立
，故不独立。

18.解：
19.解：
20.解： (1)
(2)
（3）
2
3
102
3
20()8842()8842x
y x f x xydy x x y f y xydx y y ======⎰⎰12(,)()()f x y f x f y ≠,ξη2221220
112
2
cos ,0,02sin 1(,)21r
D
r
r x a r y b f x y dxdy e ab d ab
e
d e
πρρρθρθπρθ
ρρπρρ---=⎧≥≥≤≤⎨=⎩===-⎰⎰⎰⎰
⎰
令22
221,(,)0,1
()x y r
f x y r
f x r x r
r ξππ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩==-≤≤其他2
2201202
()2,01
331(),02
336xy f x x dy x x x xy y
f y x dy y ξη=+
=+≤≤=+=+≤≤⎰⎰22|22|22(,)623(|),01,02
1()236
(,)333(|),01,022()6262
23xy x f x y x xy f x y x y y f y y xy x f x y x xy x y f x y x y f y x x x x x ξηηηξξ+
+===≤≤≤≤+++
++====≤≤≤≤+++1222011
01
02
65
{1}3372x x y x y xy xy P x dxdy x dx ξη-+>≤≤≤≤+>=+=+=
⎰⎰⎰⎰122000102
21
3
0{}33
7
3224
x y x x y xy xy
P x dxdy dx x dy
x x x dx ηξ<≤≤≤≤<=
+
=+=+=⎰⎰
⎰⎰⎰
21．解：
22.解： （1）
(2)
(3)
23.解：（1）
112220
1220
1221
232202
11{,}
113
22{|}1222{}22
3
11
11115523243()()11211428284322()38322xy dx x dy P P P x xdx x x dx x x dx ηξηξξ+
<<<<=
=<+
+==+=+⋅=⋅=
⋅⋅+⋅⋅⎰
⎰⎰
⎰⎰1211121
(,)(),0
()()k k y f x y x y x e y x k k ---=->>ΓΓ1
1110
()()
(),0,(,)(1)()s x p q p q s x e dx s B p q x x dx p q ∞
----ΓΓΓ=>=-=
Γ+⎰⎰112211111()
100121211()()()()()()()()
,0()
k k x k k y y x k x x x e f x y x e dy y x e d y x k k k k x e x k ---∞∞-------=-=--ΓΓΓΓ=>Γ⎰⎰12121212121212111120012121111111
0012121121()()()()()()()
()(1)(1)(01)()()()()(,)()()y
k k k k y y k k k k y y k k k k k k y e f y x y x e dx x y x e dx k k k k e y x x x e y x d t t dt t k k y y y k k y e y B p q k k -∞∞------+-+---∞----+--=
-=-ΓΓΓΓ=-=-<=<ΓΓΓΓ=ΓΓ⎰⎰⎰⎰12121112121212()(),0()()()()
k k k k y y k k e y e y y k k k k k k +-+---ΓΓ==>ΓΓΓ+Γ+0
00
()1
()
()22[]211.
2
x x x x x x x x f x dx Ae dx Ae dx A e dx e dx A e dx e dx A e dx A e A A ∞
-∞∞
∞
---∞
-∞
∞
∞
∞
----∞=+=+=+==-==⇒=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰1
1
011{01}22x e P e dx ξ---≤≤==⎰
00()()11(),022
1111,0
2222x x x t
x x
x t t F x f t dt
f t dt e dt e x e e dt e dt x -∞
-∞-∞----∞=⎧=≤⎪⎪⎨-⎪+=+>⎪⎩⎰
⎰⎰⎰⎰＝＝
（2）
24.解 :
另解：先求
的分布。

[0,1],(){sin }
({0arcsin }{arcsin }arcsin arcsin 12arcsin ,0arcsin 0,01,1y F y P y P y y y
y
y
y y y y ηξξπξπππ
π
π
∀∈=<=<<-<<-=+-
⎧<≤⎪⎪
=≤⎨⎪>⎪⎩
()(cos )({arccos }{arccos })
22
arccos arccos 1F y P y P y y y y ηππ
ξξξππ=<=<<-<<--=-+
2arccos 1,011,10,0y
y y y π
⎧-<≤⎪⎪
=>⎨⎪≤⎪⎩121221
,[0,],(,),,(0,),U a f x y x y a a ξξηξξ=
∈-令=||1212222
2220,{}{||}{}1(0()0,,()),21z x y z
x y a
z z P z P z P z z a a z az z dxdy a
z P z a P z a a a ηηηξξξξ-<-<<<<<<=-<=-<-<<=>=---==<=⎰⎰当时，当时当0<时
12
ηξξ=-12121121121121222222212
,12,112212212121222 1 1
(,)10 1(,)1
(,)((,),(,))||,
(,){0,,0,}y x x x y y x x J y x x y y y f y y f x y y x y y J a
y y D y y y y a y y a ηηξξηξξηξ=-=-=+⎧⎧⎧∂⇒⇒===⎨⎨⎨
===∂⎩⎩⎩∴==∈=+=+===令
(2)
(3) )
25．解：
26．解:
27.解:（可当结论使用）不妨设n=2。

y 2 111211121221,122121
220
12111
11
11
22001111201,0()(,)1,0(1)(){}{}()1[a y y a z z
z z z z a y dy a y a a
f y f y y dy a y dy y a
a a F z P z z P z z f y dy a y a y dy dy a a
a y dy a y dy a ηηηζηξξη∞
--∞
-+---+⎧=-<<⎪⎪==⎨
-⎪=≤<⎪⎩∴=-<-<=-<<=+-=+=++-⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰当0<z<a 时,222
22
12][]22z z az z az az a a -=-+-=
0()0z z ζ≤=当时，F ()1
z a z ζ>=当时，F 11(),(),(){()}
{()}(())()[0,1]
F x F F z P F z P F z F F z z F U ηξ
ηξξξξ--==<=<==∴1
1[0,1],(),(){}{()}{()}()
U F F z P z P F z P F z F z ηξηξηξξ--=⇒
=<=<=<=1121121212211212{}1,,{,}0,{}0{,}{}{}
,{,}{},{}1{,}{}{}
P c x c P x y P x P x y P x P y x c P x y P y P x P x y P x P y ξξξξξξξξξξξξξξξξ==≤<<=<=∴<<=<<><<=<<=⇒<<=<<若则若则1,()0,A A
A A ωωω∈⎧=⎨
∉⎩的示性函数记为I ,,}{},A B A B x y R P A B ∀∈⇔有P{I <x,I <y}=P{I <x I <y 相互独立
习题27对事件
，定义随机变量
，试证：事件
相互独立的充要条件是
相互独立.
证明：
（可当结论使用）不妨设n=2
,
: 若相互独立，则对
相互独立，则有。

综上所述，
28. 解:教材P326. 29.解：
（1）
,1,2,
,i A i n
=0,1,i
i i
A A ωξω∉⎧=⎨
∈⎩12,,,n
A A A 12,,,n
ξξξ1,()0,A A
A A ωωω∈⎧=⎨
∉⎩的示性函数记为I ""⇐,A B I I 0,1,)(,.A B A B x y P A B ∀<<有P{I <x,I <y}=P{I <x}P{I <y}即有P{AB}=P(A B)，AB 独立，从而独立"",⇒设事件A,B ()()()P AB P A P B =,,
(1)1,}{}{},}{}
A A
B B A B B A B A B x y R x P P P ∀∈>=Ω=∴当x,y 中有一个比如时，{I <x}有P{I <x,I <y}=P{I <y}
P{I <x I <y I <y P{I <x,I <y}=P{I <x I <y (2)0,)0,}{}0,}{}
A A
B A B A B A B x P P <=∅∅==∴当x,y 中有一个比如时，{I <x}有P{I <x,I <y}=P(P{I <x I <y P{I <x,I <y}=P{I <x I <y 0<,),}{}()(),,)()()}{}
A B A B A B A B A B A A P P A P A B A A P A P P ==⇒(3)当x,y<1时，{I <x}{I <x}=B,有P{I <x,I <y}=P(B P{I <x I <y B 由独立，有，B 独立，P(B ＝B ，P{I <x,I <y}＝P{I <x I <y ,,}{},.
A B A B A B x y R P ∀∈有P{I <x,I <y}＝P{I <x I <y 即I ，I 相互独立,(1)E ξη独立且2
32
2
11
,11 11(1)(,)1 1 -1(,)(1)(1) -1(1)UV uv x U V v V U u y V v v u v v v D x y u u
J u D u v v v v v ξξηξηη⎧⎧===+⎧⎪⎪⎪⎪⎪++⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪==⎩
⎪⎪++⎩⎩++====-
++++令令
（2）
30.如果相互独立，均服从,则与相互独立.
解：令
11
2
2
022
(,)()()||||(1)1(),0(1)11
(),0(1)(1)
(,)()(),uv u
u
v v u
u
u u
v u v u f u v f x f y J e e J e v f u ue dv ue u v f v ue du v v v f u v f u f v U V ξη-
--++∞
--∞
-∴===
+==>+==>++=⇒⎰⎰独立
, u (,)1-v -u
(,)U UV x uv V U UV y u uv v D x y J u
D u v ξη
ξξηξη
=+⎧==⎧⎧⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
==-=-⎩⎩⎪+⎩
===令令1
0(,)()()||(),0()1,01
0,1(,)()(),uv u uv
u
u
u u u u v u v f u v f x f y J e e
u ue
f u ue dv ue dv ue u f v ue du v u v f u v f u f v ξηξ
ξηξη--+-∞
---∞
-======>==<<∴≥≤=⎰⎰⎰在时，即+与
独立
+,ξη(0,1)N 22
ξη+ξ
η32
221222(,)
||||||(,)
)(1) 11
2(1)
x U V y D x y J J J v D u v v v ξξηξηη⎧⎧⎧=±=±=+⎪⎪
⎪⎪⎪
⇒⇒⎨
⎨⎨=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪⎩⎩
====
-+==+令
31.见教材P328.
32.解：
33.解：
34. 31.见教材P329. 35.解（1）
(2) (3)
(4)令
2
2
2
2
1
12222211122222
2
2
112
2211
22
2
22(,)||((,),(,))||((,),(,))
112||()
221112[
]22(1)21111()(,),0212
()(,)x y x y u v u u v v u u U V f u v J f x u v y u v J f x u v y u v J e e e
e v v
f u f u v dv e dv e u v f v f u v ππ
π
ππ----
---++∞
∞---∞-∞∞-∞∴=+=+=⨯=
++===>+=⎰⎰⎰2
22011121(1)
(,)()(),,u
U V du e du v v f u v f u f v ππ∞-==
++=⎰即U V 独立。

1(){()}{()}[0,1]()(){()},,.
F y P F y P F y U F y F y P F y ηζζηζζξξξξηζ-⎫=<=<⎪
⇒
⎬⎪⎭==<即同分布12121122(1).()()()()21
(2).()()F x F x F F a F x a F x +∞+∞≠+不是分布函数。

＝是分布函数。

（满足P129Th2.1.6)1
11111
()(,),||1
4211
()(,),||1
42xy f x f x y dy dy x xy f x f x y dx dx y ξη∞
-∞-∞-∞-+===<+===<⎰
⎰
⎰⎰11
(,)()(),,44xy f x y f x f y ξηξη+=≠=故
不独立
22222(){}{()()1
()|'|(|'|1,()1
F x P x P f t dt f x x f x f f x f y y ξξξξξξηξξ=<=<<====<<+=<<=
<<另解：
＝（同理
(5)
因为,故相互独立，故。

36.解：求和的分布 (1)
(2)
(3)
22222222
22
4
,,122, 0,(,)((),())||
112
2,144(,)()(),,i i i i U u x x J V v y y f u v f x u y v J u v f u v f u f v ξηξηξηξηξηξη=⎧⎧⎧===⎪⎪⎪
⇒==⎨⎨⎨==⎪⎪=⎪⎩⎩⎩==+=<<=∑故相互独立。

||||()()1()|1|1,01()1,01
f y f y f y y f y y ξξξη=⋅+--=<<=<<令|x|=y,同理222
2
4
,,1(,),1(,)11(,)((),())221,0,1
44i i i i u x x u D x y J y v D u v v y uv uv
f u v f x u y v J u v ξηξη=⎧==±⎧⎪⇒==⇒⎨⎨=±=⎪⎩⎩+-=⋅+⋅=<<∑令＝22
,ξη相互独立||,||ξη||,||||||(,)()()1,,(0,1)f u v f u f v u v ξηξη==∈ξη
+2
222
2222
2
()2
2()4
2
4
1()21
()()()21
1,
22(0,2)
x
y x y z x z x z z z x F z e
dxdy
f z f x f z x dx e
e
dx
e e
dx e N ξηξηξηπππ
π
ξη
+-++<-∞∞
-
-
+-∞-∞
∞
----
-∞
==-=
==
=
∴+⎰⎰⎰⎰
⎰
2222
22
{}{}{}
112()()()
23322,0,1,2,
9
k
i k
i k i k i k i
i k
k
i k i i i p k P i P k i C C C C
k ξηξη=---+=--=+====-===∑∑∑
(4).
（a ） 当
（b ） 当
（c ）
（d ） 当
(5)
1
112
0121122
1
,[0,1],
()()()()()() ,0<z 1233,1229
3,23
220, z z z z
z z z z z Z U f z f x f z x dx f z x dx
f t dt f t dt
z tdt ydy z ydy z z z z z ydy z z ξηξηηηη
ξηξ∞+-∞
----=+=-=-=-==≤+-=--<≤=-=-+<≤⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰>3⎧⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩(5,1),(1,5)U U ξη-1
55
1()()()1
()61()6z z f z f x f z x dx
f z x dx f t dt ξηξηηη∞
+-∞
-+-=-=-=⎰⎰
⎰51,4()0
z z z ξη++≤≤-=即时，f 51155,40114
()6424z z z z z dt ξη++<+<-<<+==
⎰即时，
f 51115,2<z 6116f ()6424z z z
z dt ξη+-<-≤≤-==
⎰当即时
1
11()6z z ξη+-≤≤⊂=
，z+5>5,即0<z<2,[1,5][z-1,z+5],f 4
,[4,0)241,[0,2]()6
6,(2,6)240,z z z f z x
z ξη++⎧∈-⎪⎪
⎪∈⎪
∴=⎨⎪-∈⎪⎪⎪⎩其他
N ξση
（a,）,U[-b,b]
(6)
(7)
另解：
37.解： （1）
（2）
()()()11()()221()()()211()()()2211()[()()]22b
b
b b z b z b
z b a
z b z b a z b z b a z b a f z f x f z x dx
f z x dx f z x dx b b f t d t z x t b t a f t dt f s a ds s b b z b a z b a s ds b b ξηηξξξξσξξσσσσσσ
ϕφφσσ
∞+-∞
---++-=---+---=-=-=-=--=-==+=+---==-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰令令11(),()
23E E ξη320
3233636
0003
6
3
2
11()()()23
11
66
(1),0z x x
z
z x x z x z x
z z z z z z z f z f x f z x dx e e dx e e dx e e dx e de e e e e z ξηξη--∞-+--+-----
-
-
-
=-====-=--=-≥⎰⎰
⎰⎰⎰[,],()
U h h F y ηξη
-()()()11()()22()()1(),221()()2h
h
h h z h
z h z h
z h f z f z f z x dx
f z x dx f z x dx h h
F z h F z h f t dx h h
F z F x dx
h ξηξηηηηηηξηη∞+-∞
--+-++-=-=-=-+--==⇒=⎰
⎰
⎰⎰⎰{}{}()()1()2h
h
h
h
P z P z F z x f x dx
F z x dx h ηξηξηηξ--+<=<-=-=-⎰⎰,,111
()(,)(,)(()||||||z z z f z f y dy f x dx f x dx
y y x x x x ξηξηξηξη∞
∞∞-∞
-∞-∞==⎰
⎰⎰＝）f
(1)
,
另解：
0000011
()()()()()||||11()()()()()()11
()()()()()()(,)1()()(a a a a a a a z z f z f x f dx f x f dx
x x x x z z f x f dx ax z ax f x f dx ax z ax x x x x z z f x f dx ax z ax f t f d t x t at z at x x t t z f x f dx a x x ξηξηξηξηξηξηξηξη∞
-∞--===-<<+<<---=-<<+--=--<<=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰001
)()()()()1
2()()()
a a z x z ax f t f d t at z at t t z f x f dx ax z ax ξηξη<<+-<<=-<<⎰⎰2222222211
12ln ln 2(ln ln ),0422111||2ln ln ||2(ln ln ),04222ln ln ||,||2a z a a z a z a z dx a z a x a a a z a z dx a z a x a a a a z z a
a --⎧=-=>⎪⎪=⎨
-⎪=-=<⎪⎩-=≤⎰⎰2
2
2
1
()()(,)(,)
42ln ln ||,||()2xy z
xy z
F z P z f x y dxdy dxdy a x a a y a a a z z a a
ξη<<=<==
-≤≤-≤≤-=
≤⎰⎰
⎰⎰具体过程从略
（3）
38．解：
22
()()()11()()22(1),2()0
112(2)0()224112(3)2a z<0()224(4)a a z
a a z a z a a a z f z f x f x z dx
f x z dx f t dt a a
a z a z a f z a z
a z a a z f z dt a a a a z
a z a a z f z dt a a a a ξηξηηηξηξηξη∞
--∞
-----------=-=
-=-<->---<-<-≤≤+--<<-≤⎰⎰⎰⎰⎰即时，＝时，即z 2a 时＝＝
时，即－时＝＝
2
2
2()00,||22(),042,2a z<04z a z a f z z a a z
f z a a z
a ξηξη--<--<-⎧
⎪>⎪
-⎪≤≤⎨⎪
+⎪≤⎪⎩时，即时，＝＝z 2a
－2222
2
2
2
422
22
110
222
2
01222
1
()()()||
111112z z x x x x z x z x x x z f z f x f dx
x x dx dx x x
dx e
dx x x
ξηξηπ∞
-∞-
-
∞
-
-
+--
∞
∞
-==+-==
⎰⎰
⎰⎰
⎰
(
)22
22
2222222()2
2
()111(22)()2
2242
11
44()()111()2222
1,(0,2)2x x z x x z z
x xz z z z x z z f z f x f x z dx dx
z e dx e dx e e d x e N ξηξηπππξηπ-∞∞--
--∞
+-∞
∞∞-
--+-+---∞-∞-∞--=-====-==-⎰
⎰
⎰⎰⎰即10210
2
120
122||
11
()(,)(,)1
2(,)11
2||2211
()22(ln ln 2||)211
2ln 4||,44
z z z f z f y dy f y dy
y y y y z f y dy
y y z y z y f z dy z y z z ξηξη-=+-=-≤≤⇒≥∴==-=--≤≤
⎰
⎰⎰⎰。