第2讲 整式(3～8分)
第2讲 代数式与整式课件
4.多项式: 由几个单项式相② 加 组成的代数式叫做多项式.
5.多项式的次数: 一个多项式中,⑤ 次数最高的项的次数 就是这个多项
式的次数.
【疑难典析】
6.整式:③ 单项式和多项式统称为整式. 字母x的次数是1而不是0;单项式xy
的次数是2;单项式的系数包括它前
面的符号,如-2xy的系数是-2.
C.4035x2018
D.4036x2018
课前考点过关
4. 已知 a,b,c 是△ABC 的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果是 ( B )
A.2a+2b-2c
B.0
5. 若 am=2,an=8,则 am-n=
C.2a+2b
1
4
D.2c
.
6. 如图中的四边形为矩形,根据图形写出一个正确的等式
(1)去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变号;括号前是“-”号,把
括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号. +(b+c)= b+c
(2)整式的加减可以归结为去括号和① 合并同类项.
-(b-c)= -b+c
课前考点过关
【疑难典析】
2.幂的运算
m
am+n
x,y 的值.
原式=(x²+2x+1)+(y²-6y+9)
=(x+1)2+(y-3)2+11.
∵(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,
∴原代数式最小值为11,
此时
x=-1,y=3.
课堂互动探究
探究三 整式的创新应用(微专题)
第2讲 整式乘法七年级数学下册同步精品讲义
第2讲 整式乘法1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.知识点01单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识拓展1】计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭；（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．知识精讲目标导航【即学即练1】 计算： （1）()()121232n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭（2）322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----．知识点02单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识拓展1】 计算： （1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【即学即练1】 224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【即学即练2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【知识拓展2】计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【知识拓展3】化简求值： （1）已知()2352122=-+-，求代数式a b ab a a b a b 的值（2）已知33202()48+=+++-，求a b a ab a b b 的值.（3）已知210+-=m m ，求3222010++m m 的值.【知识拓展4】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【知识拓展1】计算：（1）(32)(45)a b a b +-； （2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-； （4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【知识拓展2】求方程(1)(21)(21)(2)x x x x -+=-+的解．【即学即练1】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【知识拓展3】若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【即学即练1】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6， 求a 、b ．1.已知(m - x )⋅ (-x ) + n (x + m ) = x 2 + 5x - 6 对于任意数 x 都成立， 求 m (n -1) + n (m +1) 的值．能力拓展2.已知a + 2b = 0 ，求a 3 + 2ab (a + b ) + 4b 3 - 8 的值．3.已知(x + ay )(x + by ) = x 2 - 4xy - 6y 2 ，求代数式3(a + b ) - 2ab 的值．4.(x + y + z )4的乘积展开式中，各项系数之和是．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·北京市第一六一中学分校七年级期中）化简8(21)x --的结果是（ ） A ．161x --B ．161x -+C ．168x -+D ．168x --2．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2021·安徽·淮南市田家庵区教育体育局教研室七年级期中）如图所示，一块“L ”型菜地，小新在求菜地面积的面积时，列出了下列4个式子，其中错误的是（ ）A ．()ab a c a +-B ．()ac a b a +-C ．ab ac +D ．()()bc c a b a ---4．（2021·湖南·邵阳市第六中学七年级阶段练习）如图，阴影部分的面积是（ ）A ．112xy B ．132xy C ．6xy D ．3xy分层提分5．（2021·北京市第三十五中学七年级期中）规定新运算“ω”的运算规则为：aωb=3a－2b，则(x+y)ω(x－y)等于（）A．x+y B．x+2yC．2x+2y D．x+5y6．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2二、填空题7．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）计算：23(66)32ab ab a b--+＝______．8．（2021·北京市三帆中学七年级期中）如图（图中长度单位：m）阴影部分的面积是_____m2（用含x的式子表示），面积表达式是_____次三项式．9．（2021·江苏·梅岭中学教育集团运河中学七年级期中）一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的占地面积之和是______．（用含x、y的代数式表示）三、解答题10．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室七年级期中）为庆祝六一儿童节，某书店为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图（1）），推出了一系列优惠活动，购买此书籍则赠送如图（2）所示的精致矩形包书纸.在图（2）的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸正好可以包好图（1）中的《世界经典童话》这本书，该书的长为24 cm ，宽为17 cm ，厚度为2 cm ．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm ．（1）该包书纸的长为_____________cm ，宽为___________cm （用含a 的代数式表示）； （2）当a =2时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．11．（2021·广西·大新县养利学校七年级期中）填空：()()23a a ++= ；()()23a a +-= ； ()()35a a ++= ；()()35a a --= ；（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果：()()x a x b ++= ； （2）运用上述结果，写出下列各题结果： ①()()20121000x x +-= ； ②()()20122000x x --=题组B 能力提升练一、填空题1．（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）如图，我们知道（a+b ）n 展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n +1行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，照此规律，计算：65423262152202152621+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=__________；2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）若22(4)(3)x mx x x n ++-+展开后不含3x 和x 项，则m n +的值为___．3．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：211(4)(2)42x x x ++-=__． 二、解答题4．（2022·全国·七年级）计算（1）232232213(-)334()a b ab a b （2）223-53()-6a ab a （3）()()223x x -+5．（2021·全国·七年级专题练习）已知28x px ++与23x x q -+的乘积中不含3x 和2x 项，求,p q 的值．6．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a +b ）n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 例如：（a +b ）0＝1，它只有一项，系数为1；（a +b ）1＝a +b ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．7.（2021·广东·深圳市新华中学七年级阶段练习）定义 ac bd =ad bc -，如 12 34=14232⨯-⨯=-．（1）若11x x +-11x x -+=4，求x 的值；（2）若1x m nx +-121x x -+的值与x 无关，求n m 值．8．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设123456788a =，那么2(1)(2)2x a a a a =+-=--2(1)y a a a a =-=-22(2)()20x y a a a a -=----=-<x y ∴<看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：若20072007200720112007200820072010x =⨯-⨯，20072008200720122007200920072011y =⨯-⨯，试比较x ，y 的大小．9．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD ，它是由上下两个长方形（长方形AEFD 和长方形EBCF ）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·浙江·七年级专题练习）已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个A ．4B ．5C ．8D ．102．（2021·全国·七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=的展开式的系数规律（按n 的次数由大到小的顺序）1 1 1()a b a b +=+1 2 1 222()2a b a ab b +=++1 3 3 1 +=+++33223()33a b a a b ab b1 4 6 4 1 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++… … 请依据上述规律，写出20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2019x 项的系数是（ ）A ．-2021B ．2021C ．4042D ．-4042 3．（2021·浙江浙江·七年级期中）如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的较长边为15y -；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+；③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；④当15x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④二、填空题4．（2021·山东·青岛市城阳第六中学七年级期中）数学兴趣小组发现：（x －1）（x ＋1）＝x 2－1（x －1）（x 2＋x ＋1）＝x 3－1（x －1）（x 3＋x 2＋x ＋1）＝x 4－1利用你发现的规律：求：20212020201977771+++⋯++＝__________5．（2020·浙江杭州·模拟预测）若2()()6x a x b x mx ++=++，其中,,a b m 均为整数，则m 的值为_______．6．（2021·全国·七年级专题练习）若32211123325x ax x x x ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的积不含3x 项，则=a ___________． 7．（2021·浙江南浔·七年级期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a 的正方形EFGH 四周分别放置四个边长为b 的小正方形，构造了一个大正方形ABCD ，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作1S ，每一个边长为b 的小正方形面积记作2S ，若126S S =，则a b的值是______．三、解答题8．（2020·重庆文德中学校七年级期中）数学上，我们把a bc d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为a bad bc c d=-，例23=2534245⨯-⨯=-，请根据阅读理解上述材料解答下列各题： （1）64132-=___________；（2）计算：12569798+++347899100（3）已知实数a b ，满足行列式2 15 1a a b a -=-+-，求代数式534222a b ab ab b --+-+的值．9．（2021·江苏锡山·七年级期中）（感悟数学方法）已知：2A ab a =-，2B ab a b =-++．（1）计算：52A B -；（2）若52A B -的值与字母b 的取值无关，求a 的值．（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m 元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m 的值．10．（2020·河南·七年级期中）已知x y 、为有理数，现规定一种新运算#，满足3#2x y xy x =-． ()1求(2)#4-的值；()2求()1#3#2⎡⎤⎣⎦-的值；()30a ≠，探索#)(a b c +与##a b a c +两个式子是否相等，说明理由．11．（2021·贵州织金·七年级期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如图所示是该市自来水收费价格见价目表．（1）填空：若某户居民2月份用水34m ，则2月份应收水费______元；若该户居民3月份用水38m ，则3月份应收水费______元；（2）若该户居民4月份用水量3m a （a 在6至310m 之间），则应收水费包含两部分，一部分为用水量为36m ，水费12元；另外一部分用水量为______3m ，此部分应收水费______元；则4月份总共应收水费______元．（用a 的整式表示并化简）（3）若该户居民5月份用水3m (10)x x >，求该户居民5月份共交水费多少元？（用x 的整式表示并化简）12．（2021·全国·七年级单元测试）在长方形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b （a b >）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，当42AD AB -=时求21S S -的值（用含a 、b 的代数式表示）．13．（2021·陕西·西安市中铁中学七年级阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（x n+x n﹣1+……+x+1）＝（n为大于3的正整数），并证明你的结论；（3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．。
第一部分 第一章 第2讲 整式(3～8分)
2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单 项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝___m__a_＋__m__b_＋__m_c________________. (3)多项式与多项式相乘：(a＋b)(m＋n)＝___a_m_＋__a_n_＋__b_m__＋__b_n_________. (4)乘法公式 ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2___. ②完全平方公式：(a±b)2＝___a_2±__2_a_b_＋__b_2 ___.
4．(2018·洛阳二模)下列计算结果正确的是( D ) A．(－a3)2＝a9 B．a2·a3＝a6 C．(－12)－1－22＝－2 D．(cos 30°－12)0＝1
5．(2018·安阳二模)下列计算中，正确的是( D ) A．a2＋a2＝a4 B．(2a)3＝6a3 C．(a－b)2＝a2－b2 D．(－a2)3＝－a6
D．b＝22.1%×2a
【解析】 根据“现期量＝基期量＋增长量，增长量＝基期量×增长率”，可知 2017 年我省有效发明专利数为 a＋22.1%a＝(1＋22.1%)a(万件)，2018 年我省有效发 明专利数为(1＋22.1%)·(1＋22.1%)a(万件)，即 b＝(1＋22.1%)2a(万件)，故选 B．
第2讲 整式(3～8分)
考点一 整式的相关概念 1．单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也 是单项式． (1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． (2)一个单项式中，所有字母的指数的___和______叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项， 不 含 字 母 的 项 叫 做 __常__数__项___ ． 多 项 式 中 ， 次 数 最 高 项 的 次 数 叫 做 这 个 多 项 式 的 __次__数_____．
2014中考总复习第2讲整式的加减
➡特别提醒: 次数相同的单项式不一定是同类项. 二、整式的加减运算 1. 去、添括号法则: ( 1) 去括号法则: a+ ( b+c) =a+ a- ( b+c) =a; .
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
( 2) 添括号法则: a+b+c=a+ a-b-c=a2. 整式加减运.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
知识考点 01整式的有关概念 1. 单项式的系数包括其前面的符号, 当一个单项式的系数是 1 或-1 时, 通 常“1”省略不写, 如 ab2c, -a2bc等. 2. 圆周率π是一个无理数, 它是一个已知数, 而不是未知数, 故在判断 某一项的系数时, 应将π作为系数, 如 2πR 2的系数是 2π, 次数是 2.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
5. (2012·宜昌)根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》, 教育收费投入 应占当年 G D P 的 4% , 若设 2012 年 G D P 的总值为 n 亿元, 则 2012 年教育经费 投入可表示为( A. 4% n 亿元 C. ( 1-4% ) n 亿元 ) B. ( 1+% 4) n 亿元 D. ( 4% +n) 亿元
3 2 3. 代数式的系数是带分数时, 通常写成假分数, 如 1 4 xy , 通常写成
7 4
xy2.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
4. 单项式的次数只与字母有关, 而与字母本身的顺序及数字的指数 无关, 如 ab与 ba 都是 2 次单项式; 多项式的次数是多项式中次数最高的项 的次数, 如 3x2y2+2x+8 是 4 次多项式.
浙江专版中考数学第一章数与式第2讲整式与因式分解精讲本课件
a(1±x%)
每天工作量为a，完成工作量m所需时间
商品单价为a元，共有m个，总价
am
两y个种，商总品费单用价分别为a，b，两种商品分别购买x，ax＋by
商品单价a元，共有m元，购买n个，剩余金额 m－an
2.代数式求值的两种方法 (1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式求值； (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式的关系；②将所 求代数式变形成含有已知等式或部分项的形式，一般会用到提 公因式、平方差公式、完全平方公式；③把已知等式或部分项 之和看成一个整式代入所求代数式中求值．
1．(2021·温州)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不
超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元
．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为( D)
A．20a元
B．(20a＋24)元
C．(17a＋3.6)元
D．(20a＋3.6)元
2．(2021·杭州二模)已知a＝1，则a2＋4a＋4＝__9__．
A．a2
B．－a2
C．a4
D．－a4
9．(2021·衡阳)下列运算结果为 a6 的是( C )
A．a2·a3
B．a12÷a2
C．(a3)2
D．(12 a3)2
10．(2021·营口)下列计算正确的是( D )
A．2a＋3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b C．(2a＋b)2＝4a2＋b2 D．(－2a2b3)3＝－8a6b9
11．(2021·常州)计算：2a2－(a2＋2)＝ a2－2 ．
12．(2021·宁波)计算：(1＋a)(1－a)＋(a＋3)2. 解：原式＝1－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋10.
第2讲 整式
（） ２ 括号外 的因式是 负数 ， 去括 号后式 子各项 的 ．
， ｎ一 （ 一 ｃ ６ ＋ ） 一
露
Ａ． ｍ ２
．
Ｂ． ２ 一 ｍ Ｃ ｎ ２
例 １ 化 简 ＋ 一 （ 研一 的 结 果 为 （ ）
反 之 也 成立 ．
（０ ８ 咸 宁） ２０ ，
３ 整式加减 ： ． 几个 整式 相加减 ， 常用括 号把 每 通
一
项， 即把它们的系数
和 部分不变．
作为新 的 系数 ， 而
２ 去括 号 和 添括 号 法 则 ．
争
；
Ｉ ／
） ．
Ｄ＿ ２ 一 ｎ
（） １ 括号外的因式是 正数 ， 去括 号后式 子各 项 的 符 号与原括 号内式子相应各项 的 符号与原括号 内式子相应各项的
即 日＋ （ 一 ｆ ６ ＋ ） 一
项 式 中 的 是
④乘法公式 ： （Ｉ） 平方 差公 式 ：口 ）ｎ ） （ ＋６ （ 一６ 一 ； Ⅱ） （ 完全平 方公 式 ：口 ） 一 （ ±６ ．
的积 的式子 叫做
； 单
⑤单项式相除 ， 把
它 的
与同底数幂分别
叫做 这个 单 项 式 系数 ； 有 字 母 的 所
作为商 的因式 ， 于只在被 除式 里有 的字母 ， 连同 对 则 作为商的一个 因式． ⑥多项式除以单项式 ， 先把这个多项式 的
叫做这个单项式 的次数． 单独 的一个数或 字母也
．
— —
（） ３ 几个 做多项式 的 最 高的项 的 （） ４
（） 含 ５所
， 叫做多项式 ， 中每个单项式 叫 其 ， 不含 字母 的项 叫做 ， 就是这个多项式 的 与 统称整式．
2022年广西桂林中考数学复习课件：第2讲 整式、因式分解
幂的运算 【示范题 2】(2021·北部湾中考)下列运算正确的是(A ) A．a2·a3＝a5 B．(a2)3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2－2a＝a2
1．(2021·安徽中考)计算 x2·(－x)3 的结果是(D )
A．2 025 B．2 023 C．2 021 D．2 019
3．(2021·嘉兴中考)观察下列等式：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，…按此规 律，则第 n 个等式为 2n－1＝__n_2_－__(_n_－__1_)_2__．
4．(2021·江西中考)如表在我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》 中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第 四行空缺的数字是__3__．
(3)(2021·荆门中考)把多项式x3＋2x2－3x因式分解，结果为___x_(_x_＋__3_)(_x_－__1_)__．
3．(1)(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝__3_6____．
(2)(2021·苏州中考)若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为__3____．
3．(2021·金华中考)已知 x＝16 ，求(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x)的值． 【解析】(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x) ＝9x2－6x＋1＋1－9x2＝－6x＋2， 当 x＝61 时，原式＝－6×16 ＋2＝－1＋2＝1.
考点四 因式分解 【示范题4】(1)(2021·贺州中考)多项式2x3－4x2＋2x因式分解为(A ) A．2x(x－1)2 B．2x(x＋1)2 C．x(2x－1)2 D．x(2x＋1)2 (2)①(2021·衡阳中考)因式分解：3a2－9ab＝___3_a_(a_－__3_b_)___． ②(2021·北部湾中考)分解因式：a2－4b2＝__ _(a_＋__2_b_)_(a_－__2_b_)___． ③(2021·陕西中考)分解因式：x3＋6x2＋9x＝__x_(_x_＋__3_)_2 __．
初中数学《整式》课件PPT
a2 2
，b2
2
2
的和．(3)、(4)的分母中含字母，显然不符合
题意；(5)可看成 5ab 和 9 的和；(6)是单项式．
2018 2018
解：多项式有(1)(2)(5)．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
(1)利用定义判定多项式，其关键是看式子是否是单 项式的和，是哪几个单项式的和；
(2)多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含 单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系．
知识点
-15a2b,xy,
2 3
a2b2,-a,
1 ah.
2
解：
单项式 -15a2b xy 2a2b2
3
系数 -15 1
2
3
次数
3
24
-a 1ah
2
-1 1
2
12
知1－讲
（来自教材）
知1－讲
例3〈易错题〉指出下列各单项式的系数和次数．
知识点(1)x4；(2)－πa2b2；(3)－ 23 mn 2 .
(1) -2x + 1;
(2) x2 -xy +y2；
(3) 3x -4x2 + 1; (4)–mn-m+1.
（来自教材）
2 多项式－3x2＋2x的二次项系数、一次项系数和常数
项分别为（ ）
A.3，2，1
B.－3，2，0
C.－3，2，1
D.3，2，0
知2－练
3 如果一个多项式是五次多项式，那么这个多项式的 每一项的次数（ ）
关系可以用图表示．
单多 项项 式式
整式
区别：单项式的次数是把所有字母的指数加起来．
多项式的次数是指其中的特殊单项式的次数，这个
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
系数：取各项系数的最大公约数； 公因式的确定 字母：取各项相同的字母；
指数：取各项相同字母的最低次数. (2)公式法
○ ①平方差公式：a2－b2＝ 25 ((a＋b)(aa－－bb)) ；
○ ②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ 26 ((aa±±bb)2)2 ．
乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑯ a2－b2 完全平方公式：(a±b)2＝⑰ a2±2ab＋b2
3.整式的除法 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式
单项式除以单项式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 如：6a3b÷3a＝(6÷3)×(a3b÷a)＝2a2b
写出合并后的结果.
易错提醒 1．注意运算顺序和符号的变化． 2．不要混淆同底数幂的乘法和幂的乘方． 3．积的乘方运算不要忘记给系数乘方． 4．同底数幂相除时，一定不能把指数相除．
教材链接 1．(人教八上 P105 习题 8)计算： (1)(x－3)(x－3)－6(x2＋x－1)． 解：(x－3)(x－3)－6(x2＋x－1)＝x2－6x＋9－6x2－6x＋6＝－5x2－12x＋15.
相关概念
定义
表示数或字母的① 积
的式子叫做单项式．单独的一个数或一个
单项式
字母也是单项式. (1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. (2)一个单项式中，所有字母指数的② 和 叫做这个单项式的次数
相关概念
定义
几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不
多项式 含字母的项叫做③ 常数项 ，次数最高项的次数叫做这个多项
D．3 2－ 2＝2 2
【解析】 选项 A 中，2a＋3a＝5a，故选项 A 错误；选项 B 中，(－3a)2＝9a2，故 选项 B 错误；选项 C 中，(x－y)2＝x2－2xy＋y2，故选项 C 错误；选项 D 中，3 2－ 2＝ (3－1)× 2＝2 2，故选项 D 正确，故选 D．
满分技巧 1．熟练掌握整式的运算法则、幂的运算法则、合并同类项法则，完全平方公式、 平方差公式是解题的关键． 2．二次根式的加减法则：把每一个二次根式都化成最简二次根式，再把被开方数 相同的最简二次根式进行合并． 3．合并同类项的方法准 把确系找数出相同加类，项字；母和字母的指数不变；
(am)n＝⑳ aammnn (m，n 为整数，a≠0)
○ (ab)n＝ 21 aannbbnn (n 为整数，a≠0)
○ b n
a ＝ 22
bn
an (n 为正整数，a≠0)
因式分解(常在化简求值题中涉及)
1．定义：把一个多项式化成几个整式的○23 积积 的形式，叫做把这个多项式因式
分解．
2．因式分解的基本方法
(2)(2x＋1)2－(x＋3)2－(x－1)2＋1.
解：(2x＋1)2－(x＋3)2－(x－1)2＋1＝4x2＋4x＋1－x2－6x－9－x2＋2x－1＋1 ＝2x2－8.
【变式训练】 1．下列运算正确的是( C ) A．(－x2)3＝－x5 C．x3·x4＝x7
B．x2＋x3＝x5 D．2x3－x3＝1
＝(4＋1－5)x2＋(4＋5)xy＋(1－1)y2 ＝9xy. 当 x＝ 2＋1，y＝ 2－1 时， 原式＝9( 2＋1)( 2－1)＝9×1＝9.
满分技巧 熟练掌握(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2，m(a＋b)＝ma＋mb 和合并同 类项法则是解题的关键．
教材链接 2．(人教八上 P112 习题 4)先化简，再求值：(2x＋3y)2－(2x＋y)(2x－y)，其中 x＝13， y＝－12. 解：原式＝4x2＋12xy＋9y2－4x2＋y2
本讲练习题见精练册 P3－P4
谢谢观看！
(3)去括号法则：a＋(b＋c)＝a＋⑨ bb＋＋cc ，a－(b＋c)＝⑩ aa－－bb－－cc ． (4)添括号法则：a＋b＋c＝a＋⑪ (b(b＋＋cc)) ，a－b－c＝a－⑫ (b(b＋＋cc)) ． (5)整式加减法的运算法则：几个整式相加减，如果有括号，就先去括号，然后再⑬ 合合并并同同类类项项 ．
A．(x＋y)2＝x2＋y2 C．x6÷x3＝x2
B．－12xy23＝－18x3y6 D． （－2）2＝±2
4．(2019·省实验三模)下列计算正确的是( D )
A．(a－b)2＝a2－b2
B．2a－1＝21a(a≠0)
C．(－a2)3÷a4＝－a
D．2a2·3a3＝6a5
5．下面是一位同学做的四道题：①(a＋b)2＝a2＋b2，②(－2a2)2＝－4a4，③a5÷a3
第一章 数与式
第2讲 整式(3～8分)
【版本导航】人教：七上第二章 P53—P76 八上第十四章 P94—P125； 北师：七上第三章 P77—P104 七下第一章 P1—P36 八下第四章 P91—P106； 华师：七上第三章 P81—P118 八上第十二章 P17—P52.
整式的相关概念
命题点
整式的运算
整式的化简求值
加法运算、积的乘方、完全平
方公式(4)
加法运算、减法运算、同底数
幂的乘法、幂的乘方(4)
x，y 的值为给定值(16) 完
全平方公式、平方差公式
序号 4 5
6 7
中考年份 2016 年 2014 年
2013 年 2011 年
命题点
整式的运算
整式的化简求值
减法运算、幂的乘方(4)
当 x＝2 3时，原式＝(2 3)2－3＝9.
11．(2019·开封二模)先化简，再求值：(x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－2x(x－y)，其中 x＝ 5 ＋1，y＝ 5－1.
解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2＋2xy ＝4xy.
当 x＝ 5＋1，y＝ 5－1 时， 原式＝4( 5＋1)( 5－1)＝16.
＝a2，④a3·a4＝a12.其中做对的一道题的序号是( C )
A．①
B．②
C．③
D．④
6．下列计算正确的是( B ) A．2a＋3b＝5ab C．(a－b)2＝a2－b2
B．(a3)－2＝a－6 D．2a6÷a3＝2a2
7．下列几道题目，是小明同学在黑板上完成的作业：①a3÷a－1＝a2，②(2a3)2＝4a5，
(3)十字相乘法(选学内容) 利用公式 x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)分解因式． 多项式 x2＋(p＋q)x＋pq 的特点： ①二次项系数是 1； ②常数项是两个因数的乘积； ③一次项系数是常数项的两个因数的和．
3．因式分解的一般步骤
序号 1 2 3
中考年份 2019 年 2018 年 2017 年
命题点一 代数式及其求值 1．(2009·河南)下图是一个简单的运算程序．若输入 x 的值为－2，则输出的数值为
66 ．
2．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是( B )
A．4π－16 C．16π－32
B．8π－16 D．32π－16
命题点二 整式的运算
3．(2019·洛阳一模)下列运算正确的是( B )
③12ab23＝16a3b6，④2－5＝312，⑤(a＋b)2＝a2＋b2，他做错的题目有( C )
A．2 道
B．3 道
C．4 道
D．5 道
命题点三 因式分解
8．把多项式 1－x2y4 分解因式后为( D )
A．(1－xy)(1＋xy)
B．(1－xy)2
C．(1＋xy2)2
D．(1＋xy2)(1－xy2)
2．整式的乘法
把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一
个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一 单项式与单项式相乘
个因式.
如：2ab·3a2＝(2×3)(a·a2)·b＝6a3b
单项式与多项式相乘 m(a＋b＋c)＝⑭ ma＋mb＋mc
多项式与多项式相乘 (a＋b)(m＋n)＝⑮ am＋an＋bm＋bn
整式的化简求值(10 年 2 考) 例 2 (2017·河南 16 题)先化简，再求值： (2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中 x＝ 2＋1，y＝ 2－1. 【解析】 利用完全平方公式、平方差公式将整式化为最简式，再将 x，y 的值代 入最简式求值即可． 解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy
＝12xy＋10y2. 当 x＝13，y＝－12时， 原式＝12×13×－12＋10×－122＝12.
【变式训练】 2．先化简，再求值：(a＋3)2－(a＋1)(a－1)－2(2a＋4)，其中 a＝－12. 解：原式＝a2＋6a＋9－(a2－1)－4a－8
＝a2＋6a＋9－a2＋1－4a－8 ＝2a＋2. 当 a＝－12时，原式＝2×－12＋2＝1.
式的④ 次数
整式 单项式与多项式统称为整式
所含字母⑤ 相同 ，并且⑥ 相同 字母的指数也相同的
同类项 项叫做同类项；
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项
整式的运算(10 年 7 考)
1．整式的加减法
(1)整式加减法的本质就是合并同类项．
(2)合并同类项的法则：只把系数⑦ 相加
⑧ 不变
．
，所含字母及字母的指数
9．多项式 a2(a＋b)－2a(a＋b)＋(a＋b)可分解因式为 (a(a＋＋bb)()a(a－－11)2)2 ．
命题点四 整式的化简求值 10．(2019·三门峡二模)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋(2x－1)2－4x(x－1)，其中 x ＝2 3.
解：原式＝x2－4＋4x2－4x＋1－4x2＋4x ＝x2－3.
12．(2019·周口二模)先化简，再求值：[x2＋y2－(x－y)2＋2y(x－y)]÷4y，其中 x＝－ 4，y＝－6.