第一单元 第2讲 整式运算及因式分解
第一部分 第一章 第2讲 整式(3～8分)
2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单 项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝___m__a_＋__m__b_＋__m_c________________. (3)多项式与多项式相乘：(a＋b)(m＋n)＝___a_m_＋__a_n_＋__b_m__＋__b_n_________. (4)乘法公式 ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2___. ②完全平方公式：(a±b)2＝___a_2±__2_a_b_＋__b_2 ___.
4．(2018·洛阳二模)下列计算结果正确的是( D ) A．(－a3)2＝a9 B．a2·a3＝a6 C．(－12)－1－22＝－2 D．(cos 30°－12)0＝1
5．(2018·安阳二模)下列计算中，正确的是( D ) A．a2＋a2＝a4 B．(2a)3＝6a3 C．(a－b)2＝a2－b2 D．(－a2)3＝－a6
D．b＝22.1%×2a
【解析】 根据“现期量＝基期量＋增长量，增长量＝基期量×增长率”，可知 2017 年我省有效发明专利数为 a＋22.1%a＝(1＋22.1%)a(万件)，2018 年我省有效发 明专利数为(1＋22.1%)·(1＋22.1%)a(万件)，即 b＝(1＋22.1%)2a(万件)，故选 B．
第2讲 整式(3～8分)
考点一 整式的相关概念 1．单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也 是单项式． (1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． (2)一个单项式中，所有字母的指数的___和______叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项， 不 含 字 母 的 项 叫 做 __常__数__项___ ． 多 项 式 中 ， 次 数 最 高 项 的 次 数 叫 做 这 个 多 项 式 的 __次__数_____．
第一单元 第2课时 整式与因式分解
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3．整式的运算 整式的加减：整式的加减可以归结为去括号和合并同类项． 幂的运算：(1)同底数幂相乘 am·an＝___a_m_＋_n____(m，n 都是整数)； (2)幂的乘方(am)n＝___a_m_n_____(m，n 都是整数)； (3)积的乘方(ab)n＝__a_n_·b_n_____(n 为整数)； (4)同底数幂相除 am÷an＝__a_m_－_n_____(a≠0，m，n 都为整数)．
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思维升华 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或 其他方法继续分解；(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取； 注意符号的变换：y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2；(3)应用公式法因式分解时， 要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点；(4)因式分解要分解到每一个多项式 都不能再分解为止．
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6．因式分解的一般步骤 一提(提取公因式法)，二套(套公式法)，一直分解到不能再分解为止． 7．常用的变形技巧 当 n 是奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n，当 n 是偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
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2022年中考数学总复习第一部分考点指导 第2节整式与因式分解
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续表
幂运算
①同底数幂的乘法：am·an = am+n （m，n 都是整数）
②幂的乘方：(am)n = amn （m，n 都是整数） ③积的乘方：(ab)m= ambm （m，n 都是整数） ④同底数幂的除法：am÷an = am-n （a ≠ 0，m，n 都是整数）
⑤负指数幂：a-p= ⑥零指数幂：a0=
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考点
近5年考情
1. 代数式 2. 整式 3. 因式分解
2021年 / 第4题 / 3分 2020年 / 第 11、12、14、18题 / 16分 2019年 / 第4、14题 / 7分 2018年 / 第12题 / 4分 2017年 / 第 8、11、15 题 /11分
中考专家解读：整式与因式分解为中考必考内容，属于一般性轮换考点，一般以计 算为主，考查形式灵活多样
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阅读理解：已知 x3 - 8有一个因式 x - 2，我们可以用如下 方法对 x3 - 8进行因式分解 . 解：设 x3 - 8 =（x - 2）（x2 + ax + b）， 因为（x - 2）（x2 + ax + b）= x3 +（a - 2）x2+（b - 2a）x 2b，所以a - 2 = 0，且b - 2a = 0，且 -2b = -8， 所以 a = 2，且 b = 4，所以 x3 - 8 =（x - 2）（x2 + 2x + 4）. 这种分解因式的方法叫做待定系数法 .
公式法 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 . *十字相乘法： x2 +（p + q）x + pq = (x + p)(x + q) .
2020年浙江数学中考复习第一单元数与式之第2课时 代数式与整式(含因式分解)
第2课时 代数式与整式（含因式分解）
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了解整数指数幂的意义和基本性质； 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算； 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是 正整数）
）.
第2课时 代数式与整式（含因式分解）
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考点精讲
代数式求值
非负数 单项式
非负数常见的非负数有：a2,|b|, c (a、b、c均大于或等于0)
非负数 性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为_0__，如：若 a2+|b|+ c =0，则有a2=0,|b|=0, c =0,则a=b=c=0
第2课时 代数式与整式（含因式分解）
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整式的相 关概念
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单项式：数与字母或字母与字母相乘组成的代数式.单独 的一个数或一个字母也是单项式.如3，a，3a2都是单项式
去括号法则：a+(b-c)=___a_＋__b_－__c___；a-(b-c)=_____a_－__b_＋__c_____
第2课时 代数式与整式（含因式分解）
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同底数幂相乘：底数不变，指数相加，am·an＝___a_m_＋__n
返回思维导图
幂的运算 同底数幂相除：__底__数__不__变__，__指__数__相__减___，am÷an=__a_m_－__n_（a≠0）
＝4x－1. ∵∴x原＝式32，＝4×32－1 ＝5.
第2课时 代数式与整式（含因式分解）
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13. (2014杭州19题8分)设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2－y2)(4x2－y2)＋
3x2(4x2－y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值，若不能，请说明
第一单元 第二讲 整式、因式分解++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
C.(a-3)(a+3)
D.a2(a-9)
( A)
2.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 ( D )
A.0
B.1
C.4
D.9
3.(2024·广元中考)分解因式:(a+1)2-4a=__________.
(a-1)2
21
考点4
整式的运算及乘法公式(一题多设问)
81
(7)化简:2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2=_________.
2ab
(8)一个长方形的面积是5xy+4y,宽为y,则长为__________.
5x+4
12
4.因式分解
几个整式的积
因式分解的概念 把一个多项式化成__________________的变形
提取公因
式法
如果一个多项式的各项含有____________,那么就可以把
±12
26
本课结束
C.-1
D.1
(2)若x-5y=7,则代数式3-2x+10y的值为_________.
-11
( C )
5
知识要点
2.整式及有关概念
6
对点练习
2.下列说法中,正确的是
2
A.
不是整式
4
3
B.的系数是-3,次数是3
2
C.3是单项式
D.多项式2x2y-xy是五次二项式
(C )
7
知识要点
3.整式的运算
D.(x3)2=x6
(3)化简-x(x-2)+4x的结果是 ( A )
A.-x2+6x
2022年广西桂林中考数学复习课件：第2讲 整式、因式分解
幂的运算 【示范题 2】(2021·北部湾中考)下列运算正确的是(A ) A．a2·a3＝a5 B．(a2)3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．3a2－2a＝a2
1．(2021·安徽中考)计算 x2·(－x)3 的结果是(D )
A．2 025 B．2 023 C．2 021 D．2 019
3．(2021·嘉兴中考)观察下列等式：1＝12－02，3＝22－12，5＝32－22，…按此规 律，则第 n 个等式为 2n－1＝__n_2_－__(_n_－__1_)_2__．
4．(2021·江西中考)如表在我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》 中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第 四行空缺的数字是__3__．
(3)(2021·荆门中考)把多项式x3＋2x2－3x因式分解，结果为___x_(_x_＋__3_)(_x_－__1_)__．
3．(1)(2021·十堰中考)已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝__3_6____．
(2)(2021·苏州中考)若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为__3____．
3．(2021·金华中考)已知 x＝16 ，求(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x)的值． 【解析】(3x－1)2＋(1＋3x)(1－3x) ＝9x2－6x＋1＋1－9x2＝－6x＋2， 当 x＝61 时，原式＝－6×16 ＋2＝－1＋2＝1.
考点四 因式分解 【示范题4】(1)(2021·贺州中考)多项式2x3－4x2＋2x因式分解为(A ) A．2x(x－1)2 B．2x(x＋1)2 C．x(2x－1)2 D．x(2x＋1)2 (2)①(2021·衡阳中考)因式分解：3a2－9ab＝___3_a_(a_－__3_b_)___． ②(2021·北部湾中考)分解因式：a2－4b2＝__ _(a_＋__2_b_)_(a_－__2_b_)___． ③(2021·陕西中考)分解因式：x3＋6x2＋9x＝__x_(_x_＋__3_)_2 __．
整式及因式分解-概述说明以及解释
整式及因式分解-概述说明以及解释1.引言概述部分内容可以包括整式及因式分解的基本概念和意义，以及本文将要介绍的内容和目的。
【1.1 概述】整式及因式分解是代数学中重要的概念和方法。
整式是由常数和变量以及它们的乘积与幂次相加相减而成的代数表达式，它在代数运算中扮演着重要的角色。
因式分解则是将一个整式分解为若干个较简单的整式乘积的过程，它不仅有助于我们理解整式的结构，还能帮助我们解决复杂的问题。
整式与因式分解在数学的各个领域都有广泛的应用。
在代数学中，整式是多项式的基本组成单位，而多项式又是方程求解和函数分析的基础。
因此，掌握整式及其性质对于深入学习代数学是至关重要的。
因式分解是一种重要的代数操作，它能够将一个复杂的整式转化为简单的因子形式。
这种分解不仅有助于我们对整式的理解，还能够简化计算和求解过程。
此外，因式分解还在数论、概率论、微积分等领域有着广泛的应用，例如在因式分解多项式方程、求解方程组、计算极限值等问题中。
本文将分为引言、正文、因式分解和结论四个部分来介绍整式及因式分解。
在引言部分，我们将对整式及因式分解的概念和意义进行阐述。
接着，在正文部分，我们将详细介绍整式的定义和性质，以及整式的运算规则、化简和展开方法。
然后，我们将专门介绍因式分解的概念、方法和步骤，并探讨因式分解在实际问题中的应用。
最后，在结论部分，我们将总结整式与因式分解的重要性和应用，并展望它们未来的发展。
通过阅读本文，读者将能够全面了解整式及因式分解的基本概念和运算规则，掌握整式的化简和展开方法，以及掌握因式分解的方法和应用。
同时，读者也将意识到整式及因式分解在数学中的重要性，并能够将它们应用于解决实际问题中。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述整个文章的组成部分，以及每个部分的主题和目标。
具体内容可以参考以下示例：文章结构：本文将分为四个主要部分：引言、正文、因式分解和结论。
下面对每个部分的主题和目标进行介绍。
1. 引言：1.1 概述：在本节中，我们将简要介绍整式及因式分解的概念和重要性。
第2课 整式及其运算 因式分解(2)
解析：a3－ab2＝a(a2－b2)＝a(a＋b)(a－b)．
4．(2011·金华)下列各式能用完全平方公式进行分解因 式的是( D A．x2＋1 C．x2＋x＋1 ) B．x2＋2x－1 D．x2＋4x＋4
解析：只有x2＋4x＋4＝x2＋2·2x＋22＝(x＋2)2是完全
平方式．
5．(2011·天津)若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)
＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)
(3)(2011·芜湖)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝ x(x－y)2 ；
解析：原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2
(4)在实数范围内分解因式：x4－4.
解：原式＝(x2＋2)(x2－2)
＝(x2＋2)(x＋ 2 )(x－ 2 )．
题型五
2 ①－4x3y2＋28x2y－2xy＝ －2xy(2x y－14x＋1) ；
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝ 3a(x－y)2(2a＋x－y) . 解析：①－4x3y2＋28x2y－2xy ＝－(4x3y2－28x2y＋2xy)
＝－2xy(2x2y－14x＋1)．
②6a2(x－y)2－3a(y－x)3 ＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3 ＝3a(x－y)2·[2a＋(x－y)] ＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．
1 代入原式，可求得k. 2
知能迁移5
(1)(2011·衡阳)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2
．
的值为 10
解析：m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10. (2)若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断 △ABC的形状．
解：∵a＋2ab＝c＋2bc，
浙江专版2023中考数学第一章数与式第2讲整式与因式分解精讲本pptx课件
1．(2021·温州)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不
超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元
．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为( D)
A．20a元
B．(20a＋24)元
C．(17a＋3.6)元
D．(20a＋3.6)元
2．(2021·杭州二模)已知a＝1，则a2＋4a＋4＝__9__．
1．(2021·湖州)计算：x(x＋2)＋(1＋x)(1－x).
解：原式＝x2＋2x＋1－x2 ＝2x＋1.
2．(2021·长沙)先化简，再求值：(x－3)2＋(x＋3)(x－3)＋ 2x(2－x)，其中 x＝－12 .
解：原式＝x2－6x＋9＋x2－9＋4x－2x2＝－2x， 当 x＝－12 时，原式＝－2×(－12 )＝1.
11．(2021·常州)计算：2a2－(a2＋2)＝ a2－2 ．
12．(2021·宁波)计算：(1＋a)(1－a)＋(a＋3)2. 解：原式＝1－a2＋a2＋6a＋9
＝6a＋10.
考 点 四 因式分解
13．(2021·温州)分解因式： 2m2－18＝ 2(m＋3)(m－3)．
14．(2021·菏泽)因式分解： －a3＋2a2－a＝ －a(a－1)2 ．
第一章 数与式
第2讲 整式与因式分解
考点扫描
考 点 一 代数式及代数式求值
1．列代数式 (1)定义：一般地，用含有数、① 字母 及运算符号的式子把问 题中的数量关系表示出来，就是列代数式．
(2)列代数式常见模型
问题描述 原价a的x折
质量a的n倍多(少)m
列代数式
a·1x0
an±m
质量a增长(减少)x%
(2)100x2－4＝2＝ (2a＋3b)(2a－3b) ；
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。