误差及处理
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
滴定分析中的误差及数据处理
滴定分析中的误差及数据处理引言概述：滴定分析是一种常见的定量分析方法，广泛应用于化学、生物化学、环境科学等领域。
然而，在滴定分析过程中，由于实验条件、仪器设备等因素的影响，往往会产生误差。
正确处理这些误差并进行数据处理，对于保证分析结果的准确性和可靠性至关重要。
本文将从五个方面详细阐述滴定分析中的误差及数据处理方法。
一、体积误差1.1 仪器误差：滴定分析中常用的仪器有分析天平、容量瓶、滴定管等。
在使用这些仪器时，应注意校准和使用规范，以减小仪器误差。
1.2 液面误差：滴定分析中，液面的读取对于结果的准确性有着重要影响。
因此，在读取液面时，应注意垂直读取、避免液面的折光等因素对读数的影响。
1.3 滴定管的容量误差：滴定管的容量误差是滴定分析中常见的误差来源。
为减小这一误差，可以使用一定体积的滴定管，或者采用称量法确定滴定管的容量。
二、滴定试剂误差2.1 试剂纯度误差：滴定试剂的纯度对于滴定分析结果的准确性有着重要影响。
因此，在滴定分析中，应选择高纯度的试剂，并进行纯度检验。
2.2 试剂滴定度误差：试剂滴定度是指滴定试剂与被滴定物质的化学反应当量比。
在实际操作中，试剂滴定度的确定是十分重要的，应根据实验条件和反应特性精确测定。
2.3 试剂保存误差：试剂的保存条件对于滴定分析结果的准确性也有着重要影响。
应将试剂保存在干燥、避光、低温的条件下，避免因试剂的降解或者氧化而引起误差。
三、指示剂误差3.1 选择合适的指示剂：指示剂的选择应根据被滴定物质的性质和滴定反应的特点来确定。
应选择颜色变化明显、与被滴定物质反应快速的指示剂。
3.2 指示剂的浓度误差：指示剂的浓度对于滴定分析结果的准确性有着重要影响。
应根据实际需要精确配制指示剂，并在使用前进行浓度检验。
3.3 指示剂的添加量误差：指示剂的添加量过多或者过少都会对滴定分析结果产生影响。
应根据滴定试剂的滴定度和指示剂的滴定反应比确定适当的添加量。
四、操作误差4.1 滴定速度误差：滴定速度的快慢会对滴定分析结果产生影响。
物理实验技术中常见的误差来源及处理方法
物理实验技术中常见的误差来源及处理方法物理实验是科学研究的重要一环，通过实验可以验证理论、探索新现象和提供可靠的数据。
然而，在物理实验中，由于各种原因，总会存在误差。
理解和处理这些误差对于获得准确的实验结果非常重要。
本文将针对物理实验中常见的误差来源及处理方法进行探讨。
一、仪器误差1. 粗大误差粗大误差通常是由于操作不当、仪器故障等引起的。
处理粗大误差的方法是重新进行实验，排除干扰因素，修复或更换故障仪器。
2. 系统误差系统误差是由于仪器固有的缺陷或标定不准确引起的。
减小系统误差的方法包括校准仪器、改进标定程序和提高测量精度。
3. 随机误差随机误差是实验结果的偶然变动，它受到很多随机因素的影响，如环境条件、操作者技术等。
减小随机误差的方法是重复实验多次，取平均值来减少偶然因素的影响。
二、环境误差1. 温度误差温度的变化会对物体的性质和测量结果产生影响。
为了减小温度误差，可以进行温度控制以保持稳定，在测量过程中注意温度的变化并进行修正。
2. 湿度误差湿度会导致物体的质量、长度等发生变化，从而影响测量结果。
在湿度变化大的实验室中，可以采取湿度控制措施或进行湿度修正。
三、人为误差1. 观察误差观察误差是由于人的主观因素引起的。
为了减小观察误差，可以多次进行观察并取平均值，或者使用辅助设备提高观察精度。
2. 操作误差操作误差是由于实验者的技术水平、操作不当等因素引起的。
提高实验者的技术水平、严格按照操作规程进行操作是减小操作误差的关键。
四、数据处理误差1. 数据读取误差数据读取误差是由于读数仪器的限度、读数规则等因素引起的。
为了减小数据读取误差，可以使用更高精度的仪器，采用准确的读数规则并进行数据校对。
2. 数据处理误差数据处理误差是由于使用错误的公式或算法、数据处理软件的误差、计算过程中的近似等因素引起的。
减小数据处理误差的方法包括使用正确的公式和算法、选择合适的数据处理软件，并注意算法和近似带来的误差。
实验中常见误差及处理方法
实验中常见误差及处理方法实验是科学研究的基础和重要手段，然而在实验过程中常常会出现一些误差，这些误差可能会影响到实验结果的准确性和可靠性。
因此，探究和解决实验中的误差是非常重要的。
本文将就实验中常见的误差及处理方法展开讨论。
一、系统误差及其处理方法系统误差是指实验观测值与真实值之间的差距，它会导致实验结果产生偏离。
系统误差通常由于仪器仪表的固有缺陷、实验条件的不恒定等因素造成。
为了减小系统误差，我们可以采取以下几个方法：1. 仪器校准：定期对仪器进行校准是减小系统误差的重要手段。
通过与标准物质进行对比，可以及时发现仪器的偏差并进行修正。
2. 精确控制实验条件：在进行实验过程中，保持实验条件的恒定性也可以减小系统误差。
例如，控制实验温度、湿度、压力等因素的变化，确保实验环境的稳定。
3. 重复实验：进行多组实验并取平均值可以有效减小系统误差。
通过重复实验，可以消除个别实验结果的偶然误差，提高结果的可靠性。
二、随机误差及其处理方法随机误差是指在相同的条件下，多次重复实验所得结果之间的差异，它是由于各种偶然因素引起的。
随机误差是不可避免的，但我们可以采用以下方法来减小其影响：1. 增加实验样本量：随机误差的大小与实验样本量有关，样本量越大，随机误差的影响越小。
因此，在进行实验时，应尽可能选择足够大的样本量。
2. 使用统计学方法：统计学有助于识别和分析随机误差。
通过运用均值、方差、标准差等统计指标，可以得出实验结果的信度范围，并用于判断结果的可靠性。
3. 建立模型：对一些复杂的实验系统，我们可以建立适当的数学模型来描述实验结果与影响因素之间的关系。
通过模型的拟合与分析，可以减小随机误差对结果的影响。
三、个人误差及其处理方法个人误差是指实验操作人员在实验过程中由于技术水平、经验等方面的差异造成的误差。
为了减小个人误差的影响，我们可以采取以下几个方法：1. 统一操作标准：制定统一的实验操作规程，明确实验操作的每个环节和细节，并对实验人员进行培训，提高其操作技能和纪律性。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
分析数据时常见的误差与处理方法
分析数据时常见的误差与处理方法数据分析在现代社会中起着至关重要的作用，它帮助人们更好地理解和解释现象，从而指导决策和行动。
然而，在数据分析过程中，常常会出现各种误差，对结果的准确性和可靠性产生负面影响。
本文将从以下六个方面展开详细论述常见的数据分析误差及其处理方法。
一、采样误差采样误差是由于抽样方法不当或样本代表性不足而引起的误差。
例如，在进行社会调查时，如果采样方法不具备随机性，会导致调查结果的偏差。
处理采样误差的方法可以是增加样本的大小，提高样本的代表性以及采用更合理的抽样方法，如随机抽样或分层抽样。
二、测量误差测量误差指的是由于测量仪器的不准确性或被测对象的个体差异而导致的误差。
在进行实验研究或数据收集时，使用的测量工具和方法可能存在不确定性，从而引入测量误差。
要处理这种误差，可以提高测量仪器的精确度和可靠性，对被测对象进行多次测量并取平均值，或者通过使用标准化方法来校正测量结果。
三、数据处理误差数据处理误差是在数据输入、转换和存储过程中产生的误差。
常见的数据处理误差包括数据录入错误、数据丢失和数据转换错误等。
为了减少这种误差，可以使用自动化的数据采集和处理工具，加强对数据的质量控制，以及定期进行数据的核对和修正。
四、样本偏倚误差样本偏倚误差指的是样本在统计特征上与总体存在显著差异所引起的误差。
当样本不具备代表性时，会导致研究结果的偏离真实情况。
为了纠正样本偏倚误差，可以使用加权抽样法或启发式抽样法，以确保样本更接近总体的特征。
五、缺失数据误差缺失数据误差是由于数据的丢失或缺失引起的误差。
在进行数据分析时，常常会遇到数据缺失的情况，如果不处理好这些缺失数据，会导致结果的不准确性。
处理缺失数据误差的方法可以是使用插补法，将缺失数据进行估计和补全，或者通过合理的数据筛选和清洗来剔除缺失数据影响。
六、模型假设误差模型假设误差指的是在建模过程中所做出的假设与真实情况之间存在偏差。
在进行数据分析时，所使用的模型和方法都基于一定的假设前提，如果这些假设与真实情况不符，结果可能会产生误差。
定量分析中误差及数据处理
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学习目的
原始测量数据如：m、V……
有效数字
测量误差 客观存在
测量结果:x1、x2、x3……
应记录几位数字？
计算公式
应保留几位数字？
误差的分类、特点及消除或减小
如何用测量值x1、x2、x3科学的表达样品真值
置信区间
可疑数值判断
=真值
和分别决定了正态曲线的位置与形状
描述了测量值x出现在某一位置的概率密度或出现在某一区域内的概率（如：出现在+内的概率为1）
反映数据集中趋势
反映数据分散趋势
3-4 随机误差的分布规律（2）
测量平均值 的分布规律
即一系列测定的平均值 （m）的分布规律（其中任一平均值均是n（有限）次测定平均结果）
01
系统误差（Systematic Error）
02
具有单向性、重现性、为可测误差，理论上可消除
03
随机误差（Random Error），亦称偶然误差
04
由不确定因素引起—服从统计规律（见3-4）
05
过失误差（mistake）
06
由粗心大意引起，可以避免，通常不算入误差范畴
误差的分类
3-1 误差的基本概念（4）
0.01 mL
0.02 mL
解：
常量滴定分析时，通常要求由滴定管读数引起的误差在0.1%以内，同时要求节约试剂，因此滴定体积一般应控制在2030 mL范围内（25 mL）
例5：滴定分析中称样质量的控制 万分之一分析天平的精度？ 称取一份试样的绝对误差？ 计算称样质量分别为20.0和200.0 mg时相对误差。
0.1 mg
测量误差及数据处理
x0
x
相对误差ε是一个无量纲的数据，通常以百分数的形式表
示。相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。例如，
在上面的例子中，ε1＝0.002/20×100%＝0.01%，ε2＝ 0.02/250×100%＝0.008%，可以看出，后者的测量精度更高。
1.2 测量误差的来源
计量器具 误差
计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造和使用
（2）随机误差的评定指标
① 算术平均值 。对同一被测量进行n次等精度测量，测
量结果为x1、x2、…、xn，则算术平均值x 为：
x
x1 x2 xn n
1 n
n i1
xi
测量次数n越大，算术平均值 越趋近于真值x0。因此，用
算术平均值 x 作为最后测量结果是可靠的、合理的。
② 标准偏差σ。
用算术平均值 x 表示测量结果虽然可靠，但不能全面反
映测量精度。例如，有两组测得值： 第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002； 第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。
两组测得值的算术平均值 x1＝ x2＝12，但第一组测得
值比较集中，第二组测得值比较分散，也就是说，第一组的 每一个测得值比第二组的更接近于算术平均值，第一组测得 值的测量精度比第二组高。此时，算术平均值就不能准确地 反映测量精度了，而常用标准偏差σ来反映测量精度的高低。
源
误差
所引起的误差。环境条件主要包括温度、湿度、气压、振
动和灰尘等，其中，温度对测量结果的影响最大。
测量人员 误差
测量人员误差是指由测量人员的主观因素所引起的误
差。例如，测量人员技术不熟练、测量瞄准不准确、估读 判断错误和测量习惯等引起的误差。
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第一节 分析化学中的误差
第二节 有效数字及其运算规则
第三节 有限数据的统计处理
第四节 回归分析法
第五节 提高分析结果准确度的方法
第一节 分析化学中的误差
一、 误差和偏差 绝对误差: 测量值与真值间的差值, 用 E表示 E = x - xT 误差 误差越小，准确度越高。误差为正，结果 偏高，误差为负，结果偏低。
例 下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851 0.324 7 0.324 8 0.324 8 0.324 8 0.324 9
禁止分次修约
0.57 0.5749
×
0.575
0.58
运算时可多保留一位有效数字进行
三、运算规则
系统误差
随机误差
固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在
方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主 误差、主观误差 观的变化因素等 重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、 期性）、可测性 不可测性 准确度 校正 精密度 增加测定的次数
系统误差的校正
• • • • 方法系统误差——方法校正 主观系统误差——对照实验校正（外检） 仪器系统误差——对照实验校正 试剂系统误差——空白实验校正
36.00 测量点 36.50 37.00 平均值 37.50 38.00
表观准确度高，精密度低 （不可靠） 准确度高，精密度高 准确度低，精密度高 准确度低，精密度低
真值
• 结论： • 精密度是保证准确度的前提 • 精密度好，准确度不一定好，可能有系统 误差存在 • 精密度不好，衡量准确度无意义。 • 在确定消除了系统误差的前提下，精密度 可表达准确度。 • 准确度及精密度都高－结果可靠
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最 大的数。 (与小数点后位数最少的数一致) 0.112+12.1+0.3214=12.5 乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大 的数相适应 (与有效数字位数最少的一致) 0.0121×25.66×1.0578＝0.328432
第三节 分析化学中的数据处理
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = x - xT /xT×100％ 相对误差反映误差在真值中所占的比例
误差以真值为标准 真值：某一物理量本身具有的客观存在的真实值。真值是
未知的、客观存在的量。在特定情况下认为 是已知的：
理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的
s
x x
n i 1 i
2
n 1
标准偏差它能将较大的偏差更显著地表示出来，能 更好地反映测定值的精密度。 相对标准偏差：RSD
s RSD 100% x
• 全距（极差）R：一组测量数据中最大值与 最小值之差。 R = xmax - xmin • 简单直观，便于计算。
• 没有利用全部实验数据。
10.00 8.00
10.00 8.00
µ Ê Ü È Ö ¼ ¼ Æ Â Ã ¶ ·² Í
µ Ê Ü È Æ Â Ã ¶
µ Ê Ü È Æ Â Ã ¶
15 .9 0 15 .9 6 16 .0 2 16 .0 9 16 .1 5 16 .2 1
6.00 4.00 2.00 0.00
15 .8 3
6.00 4.00 2.00 0.00
如何判断是否存在系统误差？
随机误差: 又称偶然误差
不可校正，无法避免，服从统计规律
不存在系统误差的情况下，测定次数越多其 平均值越接近真值。一般平行测定4-6次
过失误差
由粗心大意引起，可以避免的
四、公差
公差：
生产部门对分析结果误差允许的一种限量。 公差范围的确定： 分析结果准确度的要求； 试样组成及待测组分含量； 分析方法所能达到的准确度。
概率密度
15.0 10.0 5.0 0.0 15.80 15.85 15.90 15.95 16.00 16.05 16.10 16.15 16.20
1=0.047
y 概率密度 x 个别测量值 x-m 随机误差
m
0
x-m
x
测量值的正态分布
随机误差的正态分布
10 8 6 2 0 15.80 15.90 16.00 16.10 16.20
15.8 15.9 16.0 16.1 16.2 16.3
â ¿ µ ² Á Ö
² Á Ö â ¿ µ
问题
测量次数趋近于无穷大时的频率分布？ 测量次数少时的频率分布？ 某段频率分布曲线下的面积具有什么意义？
2.测量值与随机误差的正态分布
测量值正态分布N (m, 2) 的概率密度函数 m 总体平均值，表 ( xm )2 示无限次测量值集 1 2 2 中的趋势。 y f ( x) e 总体标准偏差， 2 25.0 表示无限次测量分 20.0 散的程度。 2=0.023
第二节 有效数字及运算规则
一、有效数字: 分析工作中实际能测得的数字， 包括全部可靠数字及一位不确定数字在内。
a 数字前0不计,数字后计入 : 0.03400 b 数字后的0含义不清楚时, 最好用指数形式表示 : 1000 (1.0×103, 1.00×103, 1.000 ×103) c 自然数和常数可看成具有无限多位数(如倍数、分数关系) d 数据的第一位数大于等于8的,可多计一位有效数字，如 9.45×104, 95.2%, 8.65 e 对数与指数的有效数字位数按尾数计,如 pH=10.28, 则 [H+]=5.2×10-11 f 误差只需保留1～2位
对海水中的卤素进行测定， 得到
5
6 7 8 9 10 11
15.96
15.99 16.02 16.06 16.09 16.12 16.15
18
34 55 40 20 11 5
0.091
0.172 0.278 0.202 0.101 0.056 0.025
3.03
5.72 9.26 6.73 3.37 1.85 0.84
-2
-1
0
1
2
3
68.3% 95.5% 99.7%
u
0.40 0.30 0.20 0.10 0.00
概率 （u ) du
-3 -2 -1 0 1 2 3
1 2
y
e
0
u
u 2 / 2
du
面积
u
正态分布概率积分表（部分数值） | u | 面积 | u 面积 | u 面积 | u 面积
x
d=x-
平均偏差： 各单个偏差绝对值的平均值
d
i 1
n
xi x n
平均偏差代表一组测量值中任何一个数据的偏差， 没有正负号，它最能表示一组数据间的重现性。
相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值
d 相对平均偏差 100% % x
x
i 1
n
i
x 100%
nx
标准偏差：s
含量）
计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质 量、物质的量单位等等） 相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精 度的测量值）（例如，标准样品的标准值）
偏差: 测量值与平均值的差值，用 d表示
偏差以平均值为标准
一般对试样要进行多次平行测定，每一次
测量值的偏差有正有负或为零，因此
∑ di = 0
总体标准偏差 相同， 总体平均值m不同
y4
x
25.0 20.0
原因： 1、总体不同 2、同一总体，存在系统 误差
总体平均值m相同，总 体标准偏差不同 原因： 同一总体，精密度不同
y
15.0 10.0 5.0 0.0 15.80 15.90 16.00 16.10 16.20
x
3.随机误差的概率统计规律
☆容量瓶:100.0mL(4),250.0mL (4) ☆移液管:25.00mL(4); ☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL(2), 4.0mL(2)
二、有效数字运算中的修约规则
四舍六入五成双
尾数≤4时舍; 尾数≥6时入 尾数＝5时, 若后面数为0, 舍5成双;若5后 面还有不是0的任何数皆入
3、x = m 时，y 值最大，体现了测量值的集中趋势。集中的 程度与 有关。
4.标准正态分布曲线 N (0,1)
令：
u
xm
y
0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 -3
（ u )du 1
正态分布函数转换成 标准正态分布函数：
y (u ) 1 u 2 / 2 e 2
三 、系统误差和随机误差
• 系统误差： • 由某种固定原因造成，使测定结果系统地偏高或偏 低。可用校正地方法加以消除。 • 特点：单向性：要么偏高，要么偏低，即正负、大 小有一定地规律性； • 重复性：同一条件下，重复测定中，重复地出现； • 可测性：误差大小基本不变。 • 来源：方法误差；仪器试剂误差；操作误差；主观 误差
s
x x
n i 1 i 2
n 1
一.随机误差的正态分布
No 分组 频数 （ni) 频率 （ni/nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 频率密度 （ni/ns)
1.频率分布
1
2 3 4
15.84
15.87 15.90 15.93
1
1 3 8
0.005
0.005 0.015 0.040
0.17
0.17 0.51 1.35
总体:所研究(考察)对象的全部，也称母体 个体：总体中的每个单元 样本:总体中随机抽出的一组测量值，也称子样 样本容量 n:样本中所含测量值的数目 自由度 f＝n-1：指独立变量的个数（可供选择的机会） 样本平均值 x: 总体平均值 m :当测量次数无限多时，所得平均值 真值 xT :某一物理量本身具有的客观存在的真实值 标准偏差 s: