2019年朝阳区理科一模及答案

2019北京市朝阳区高三一模

数 学（理）

2019．3

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A

B =

A ．{|2}x x >-

B ．{|12}x x <<

C ．{|12}x x ≤<

D ．R

2．在复平面内，复数12i

i

z +=

对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．41

()x x

-的展开式中的常数项为

A ．12-

B ．6-

C ．6

D ． 12

4．若函数22,1,

()log ,1x x f x x x ?<=?-≥?,

则函数()f x 的值域是

A ．(,2)-∞

B ．(,2]-∞

C ．[0,)+∞

D ．(,0)(0,2)-∞

5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是

A ．()sin(2)3

f x x π

=+

π

1

y

7π

C ．()cos(2)3

f x x π

=+

D ．()cos(4)6

f x x π

=+

6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥??

≤+??≤?

所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4

B ．2

C ．83

D ．43

8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．双曲线2

214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．

10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为

正（主）视图

俯视图

侧（左）视图

11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．

12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ?>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．

13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．

14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ?=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在ABC △

中，a 120A ∠=?，ABC △

b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos2B 的值． 图

1

图

2

某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频

率分布直方图：

假设乘客乘车等待时间相互独立．

（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；

（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望.

时间（分钟）

乙站

甲站

时间（分钟）

如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，

90BAD ∠=?，1AB AD ==，3BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；

（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求

BM

BD

的值；若不存在，请说明理由．

E

D

C

B

A F

已知函数ln()

()ax f x x

=

(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．

已知点00(,)M x y 为椭圆2

2:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，

点F 为椭圆C 的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；

（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．

在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*． （Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；

（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1．

数学试题答案

一、选择题：（本题满分40分）

二、填空题：（本题满分30分）

三、解答题：（本题满分80分） 15．

(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ?

?

??+-??

整理得22

=4,

=17.

bc b c ??

+? 解得=1,=4b c ??

?，或=4,

=1.

b c ??? 因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分

（Ⅱ）由正弦定理

sin sin a b

A B

=， 即sin B =．

所以2

213

cos 2=12sin 12(

)1414

B B -=-= ……………………………….13分 16．(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．

由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为

0.0120.0400.048)50.5(++?=，故()P M 的估计值为0.5．

乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为

0.0160.0280.036)50.4(++?=，故()P N 的估计值为0.4．

又121()()()()255

P C P MN P M P N ==?=

?=. 故事件C 的概率为

1

5

．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，

所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为

25

. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5

~X B .

所以0

3

3327(0)()5

125P X C ===

；1232354(1)()55125

P X C ==?=； 2

2

32

336(2)()5

5125P X C ==?

=；33328(3)()5125

P X C ===. 故随机变量X 的分布列为

26

355

EX =?

= .……………….13分 17．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，

所以AF AD ⊥．

且平面ADEF 平面ABCD AD =，

所以AF ⊥平面ABCD ．

所以AF CD ⊥．………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=?，所以,,AB AD AF 两两垂直．

分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，

所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,

x =n 则0,0.

DC DE ??=???=??n n 即20,0. x y z +=??=?令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．

设直线BF 与平面CDE 所成角为θ则sin |cos ,|BF θ=??=

=n （Ⅲ）设

( (01])BM

BD

λλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．

设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,

0.

AM AF ??=???=??m m

因为()0,0,1AF =，所以000

(1)0,

0. x y z λλ-+=??=?

在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ?=m ． 因为()1,2,1CE =--，由0CE ?=m ， 所以2(1)0λλ---=， 解得2

[0,1]3

λ=

∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且2

3

BM BD =．……………….14分 18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =

．所以21ln ()x

f x x

-'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，

所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分

（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x

-=

． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞．

不等式()1f x x ≥+成立?

ln()

1x x x

-≥+成立?2ln()0x x x ---≤成立. 设2

()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，

则2121(21)(1)

()21x x x x g x x x x x

--+-++'=--==．

当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：

所以()(1)g x g ≤-．

因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，

所以

ln()

1x x x

-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得2

1ln()()ax f x x -'=

. 令()0f x '=，因为0a ≠可得e

x a

=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：

此时()f x 有极大值e ()e

a

f a =

，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：

此时()f x

有极小值e ()e

a

f a =

，无极大值．……………………………………………….13分 19． (本小题满分14分)

解：（Ⅰ）由题意a =1b =，1c ==

所以离心率c e a =

=，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分 （Ⅱ）当00y =时直线l 方程为x x =l 与椭圆C 相切．

当00y ≠时，由2

20

01,222

x y x x y y ?+=???+=?得2222

000(2)4440y x x x x y +-+-=， 由题知，2

2

00

12

x y +=，即220022x y +=，

22

0016[2(1)]x y =-- =22

016(22)0x y +-=． 故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分

（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

当00y =时，12x x =，12y y =-

，1x =

22

11

(1)FA FB x y ?=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=， 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．

当00y ≠时，由2200(1)6,22

x y x x y y ?-+=??+=?? 得2222

000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则2

001220

2(2)1y x x x y ++=+，20

122

02101y x x y -=+， 2001212122220001

()42x x y y x x x x y y y =-++2

002

54422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ?=+?+ 1212121x x x x y y =++++

2222

00000022

004208422544

2222y y x y x x y y -++++--+=+++ 22

002

5(2)10

022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．

故AFB ∠为定值90． ………………………………………………………….14分

20． (本小题满分13分)

解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ?,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-， 记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤.

则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,

54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，，

则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N 当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾. 故存在i ，使=0.i a

所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，

假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a (3)m ≥，令1m a p -=，

1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，

于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数.

依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必有“1”项． 其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.

假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *

， 则111k k k a a a q +-=-=-，

若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环， 故有无穷多项为1；

若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=， 若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；

若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……， 必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分