《信号与系统》第七章 北京理工大学

例
推广
11 时域乘积
1 1 x1 (t ) x2 (t ) [ X 1 ( s) X 2 ( s)] 2j 2j

j
j
X 1 ( p) X 2 ( s p)dp
12 初值定理
用途
注意
13 终值定理
2
表7-1
7.4
常用函数的拉氏变换
1 单边右向信号的拉氏变换
v (s) I R (s) R R v L ( s ) i L (0 ) I L (s) sL s I C ( s ) sCvC ( s ) CvC (0 )
v R ( s) RIR ( s) v L ( s) Ls I L ( s) LiL (0 ) 1 1 vC ( s) I C ( s) vC (0 ) sC s
e at u (t ) 1 Re{s} a sa u (t ) 1 Re{s} 0 s
B根据S域的微分性质 C冲激信号
t n1 1 u (t ) n Re{s} 0 (n 1)! s
(t ) 1 ROC 为s平面 (t ) s ROC 为s平面
P284 表7-1
习题
1．
的拉氏变换及其收敛域为（ ）
）
2. x(t)=tu(t-1) 的拉氏变换为（
3. x(t)=(t+1)u(t+1) 的单边拉氏变换为（ ） 4. x(t ) (3t ) u(3t ) 的拉氏变换及其收敛域为（ ）
7.5
拉普拉斯反变换
u (t ) x(t ) 2j
第七章 拉普拉斯变换 复频域分析
7.1 引言
连续时间系统的
1）应用傅氏变换，信号要绝对可积；
2）拉氏变化是另一种求解系统响应的办法，运算简单， 能同时求出系统的零输入响应和零状态响应； 3）能直观表示出系统具有的复频域特性。
7.2 拉普拉斯变换
引入衰减因子 e t ，定义 s j 则

j
j
X ( s )e st ds
拉氏反变换共有三种方法:
1 根据性质直接查表计算法 2 部分分式展开法 3 留数定理
1 围线积分法 (留数法)
以最右极点画出一条直线A,B，以原 点为圆心R为半径，构成一闭合曲线， 它包含全部的极点。
st 则x(t) 为曲线中被积函数 X ( s)e 所有极点的函数之和
1 Re{ s} a A 指数信号 sa 1 u (t ) Re{s} 0 B阶跃信号 s s cos 0t u (t ) 2 Re{s} 0 C余弦信号 2 s 0 sin 0t u (t ) 2 0 2 Re{s} 0 D正弦信号 s 0 sa e at cos 0t u (t ) Re{ s} a 2 E指数调制的余弦和正弦信号 ( s a ) 2 0 e at u (t )
的拉氏变换
y(t ) [6(e 1/ 2t e t ) e 3t ]u(t )
7.6系统函数
定义：一个连续时间LTI系统的系统函数定义为系统的零状态响应的拉 氏变换与激励的拉氏变换之比，是该系统单位冲激响应的拉氏变换。
H ( s) Y ( s) / X ( s)
H(s)是系统的时域模型h(t)对s域的映射，与输入无关。 H(s)是系统的基本特征，LTI系统的许多性质，如因果性、稳定性、系 统的频率响应等，与H(s)的零极点分布和收敛域有关。
2）如果x(t)是一个右边信号，则X(s) 的收敛域求法：
Re[s] 0 左
t
lim x(t )e t 0, 左为收敛域左边界
3）如果x(t)是一个左边信号，则X(s) 的收敛域求法：
t
lim x(t )e t 0, 右为收敛域右边界
R, SL,
1 SC
例：求如图所示的RC电路的S域模型。已知输入为阶跃电压u(t), 电容的断电压v（0）
v R (s) SRC v( s) SRC 1
7.6.2 零状态系统的S域分析
例：设某因果性LTI系统的微分方程描述为 d2 d y (t ) 3 y (t ) 2 y (t ) e t u (t ), y (0) y (0) 0 2 dt dt
e at sin 0t u (t )
F根据S域的微分性质
t n1 at 1 e u (t ) Re{s} a (n 1)! ( s a) n
2 ( s a ) 2 0
0
Re{ s} a
7.4常用函数的拉氏变换
2 单边左向信号的拉氏变换 A 指数信号
得
X ( s)



x(t )e st dt
拉普拉斯正变换
所以，
1 x(t ) 2j

j
j
X ( s)e st ds
拉普拉斯 反变换
拉普拉斯变换对
1 正变换公式
象函数
X ( s)
2 反变换公式



x(t )e st dt
一对拉氏变换对
原函数
1 x (t ) 2j
罗斯判据

j
j
X ( s )e st ds
单边拉氏变换公式
X ( s) x(t )e st dt
0

u (t ) j x(t ) X ( s)e st ds 2j j
拉氏变换和傅氏变换的区别：
1) 分解为 e
j t
和 e 的和；
st
2) 傅氏是从 ，而拉氏是从 j j
2 由输入的拉氏变换和系统的S域模型，进行简单的代数运算， 得到输出的拉氏变换式；
3取输出的拉氏变换式的反变换，得到系统的输出。 系统的S域模型： 可通过将时域微分模型两边拉氏变化获得 可通过电路元件的S域特性获得。
7.6.1 电路的S域模型
将电路的时域模型转换为S域模型，并运用计算电阻电路所用的全部定 律、方法和计算公式于S域电路模型，经过简单的代数运算，便可得到 输出的拉氏变换。 对于R,L,C,它们的S域表达式为：
2 例： d y (t ) 3 d y (t ) 1 y (t ) 5e 3t u (t ), y (0) 1, y ' (0) 0 2 dt 2 dt 2 求响应y(t)。
解： 微分方程各项进行单边拉氏变换，有 3 1 5 2 ' [s Y (s) sy(0) y (0)] [sY (s) y(0)] y(s) 2 2 s 3 5 3 初始条件 s s3 2 零输入响应 Y ( s) 3 1 3 1 的拉氏变换 s2 s s s2 2 2 2 2 零状态响应 反变换
例7－1 设 x(t ) e t u (t ) 求其拉氏变换的收敛域
解
L[ x(t )] e
0

t
e dt e ( s )t dt
st 0

e ( s )t 1 |0 s s
极点为s , Re[s]
例7－2 设 x(t ) e t u (t ) 求其拉氏变换的收敛域
1
线性性质
ax1 (t ) bx2 (t ) aX1 (s) bX 2 (s), ROC R1 R2
2
时域平移
x(t t0 ) est 0 X (s) ROC R
3 S域平移
e s0t x(t ) X (s s0 ) ROC R Re(s0 )
解
L[ x(t )] e


t
u (t )e dt e ( s )t dt
st
0
e ( s )t 0 1 | s s
极点为s , Re[s]
见 p275, 例7-3
7.3
拉氏变换的性质
求响应y(t)。
解：
1 s Y (s) 3sY (s) 2Y (s) Re{s} 1 s 1 分解 1 1 1 Y ( s) s 2 s 1 ( s 1) 2
2
反变换
y(t ) (e t e 2t tet )u(t )
7.6.3 非零状态系统的S域分析
求反变换的运算 转换为被积函数各 极点上的函数
P286
例7－10
2 部分分式法
由拉氏变换的性质或直接查表得到
讨论：
其中
P287 例 7-12
长除法
7.6连续时间系统的复频域分析法
系统的复频域分析法的步骤： 1 取输入信号和系统时域模型的拉氏变换，得到输入的拉氏 变换式和系统的S域模型；
Re[s] 0 右
拉氏变换的收敛域
4）当f(t)是一个双边信号时， 左 Re[s] 右 ，当ROC边界不满 足 左 右，则信号不存在双边拉氏变换。
5）X(s)的收敛域内不含极点，收敛域的边界由极点决定。
注意： 1 同一个象函数，如收敛域不一样，则对应的时间函数不一 样。 2 当象函数为有理函数，收敛域的边界是由系统的极点所决 定的。
4
时间尺度变换
1 s x(at) X ( ) ROC aR a a
例
5
时域卷积定理
x1 (t ) x2 (t ) X 1 (s) X 2 (s), ROC包括R1 R2
6 时域微分性质
7 单边拉氏变换的时域微分性质
8 时域积分性质
9 单边拉氏变换的时域积分性质
10 S域微分
指数阶函数：对于 x (t ) ，若能找到实数 , ，并满足
t
lim e t x(t ) 0,