第一章 热电子发射 第3讲

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§ 5 热电子发射的初动量与能量
1、热电子发射的初能量
在金属内部处于px —px dpx，p y —p y dp y， ） pz —pz dpz中的电子在单位时间（dt 1 在x方向打到单位面积（dydz 1 ）上并能 逸出的电子数为： dN vx dn p
2 2 px py pz2 2 px EF D px , p y , pz 3 exp 1.44） dpx dp y dpz （ exp h m 2mKT KT
3
§ 4.1 能带的形成
薛定谔方程：
8 2 m E V r 0 2 h
2
(1.33)
V(r)不是常数，而是r的周期函数，（1.33）的解：
r u r exp i 2 k r

(1.34)
k的分量是（kx，ky，kz），r的分量是（x， y，z）；u(r)是与晶格常数有关的周期函数。 式（1.34）的分析：电子的运动也是一个平 面波，振幅是被晶格常数为周期的场所调整。
2 2 ND AT N C 1/ 2
1 exp E v EC EC E d / KT 2
2 ND (1.42) AT exp E 0 / KT N C 式中E 0 是T 0 K时的逸出功，将N c 代人式（ 1.42），可得
(1.47）
‘ 式（1.47）是真空中，单位体积 中处于 E ， — E x x 能量范围的电子数。
令D(Ex’)=1，积分上式得：
N
' EX ' Ex E 4 mKT exp exp 3 h KT 0 KT
' 4 mK 2T 2 E exp dE x 3 h KT
2
§ 4.1 能带的形成
固体中的电子是多体问题。 单电子近似： 认为按周期性排列的原子核是不动的，对电子 形成周期势场；而离子与离子之间相互作用函数 Vij=0，对N个电子，假设每个电子是在固定的原子 核周期势场及其（N-1）个电子的平均势场中运动，。 用单电子近似将一个多体问题简化为一个电子在 周期性势场中运动的问题。
（ 1.45）
电子流中动量为px’—px’+d px’ 中，py’，pz’为任意值的电子数： '2 ' px E px 2 ' ' ' exp dN x D px 3 exp dp x 2 h mKT m KT
'2 p 'y 2 pz ' ' exp dp y dpz 2mKT ' px ' 4 mKT '2 , D px exp / exp / 2 E KT p mKT dp x x h3 m
Chapter 1
热电子发射
Thermionic Emission
任课教师：张益军 E-mail：zhangyijun423@ Office：电光学院光电技术系A546 南京理工大学
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§ 4 半导体的热电子发射公式
前几节解释了自由电子论： 利用索末菲模型，求解薛定谔方程，得出金属中 自由电子的动量和能量是量子化的。较好地解释了金 属的导电和导热问题，推导了金属的热电子发射公式。 由于索末菲模型过于简化， 自由电子论不能解 释半导体和绝缘体的一些问题，需要由能带论来解决。
半导体材料EF是温度的函数，对N型半导体逸出功： 称
E A E v E c 为电子亲和势，
E E v E c E c E F
Ec E F 为 内逸出功。
Ec Ed kT N D 对N型半导体： EF 2 2 ln N C NC 可写为： Ec E F Ec Ed kT ln 2 2 ND
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§ 4.1 能带的形成
满带：价电子能级分裂成价带，而这个价带又被电子 完全填满，这个价带就称为满带。 导带：满带上面的能带称为导带。 禁带： 导带和满带被隔开，其间又不存在能级，称为 禁带。 禁带宽度：导带和满带之间的宽度用Eg表示，称为禁 带宽度。
6
§ 4.1 能带的形成
7
§ 4.1 能带的形成
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§ 4.3 半导体的热电子发射公式
很多人认为氧化物是含有施主杂质原子的N型半导体， 因此我们需要解释N型半导体的热电子发射公式。 半导体的热电子发射公式：
J AT 2 exp E / KT
其中逸出功： E E v E F
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§ 4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 半导体的热电子发射公式
N型半导体能级图
(1.48)
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§ 5 热电子发射的初动量与能量
1 ' 2 E mv 式（1.47）除以式（1.48），考虑 x ，得 2
' x
dN‘ EX N
’ Ex
‘ 2 ’ mv mv x x dv x exp KT 2 KT
(1.49)
热电子发射的初速度分布，是麦克斯韦分布。热电子 发射的初能量值在0.1eV附近。
1/ 2
J AF N D T 5 / 4 exp （ E 0 / KT）
1/ 2
（ 1.43）
式（1.43）为半导体的热电子发射公式，也称四分之五次方定律。
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§ 4.3 半导体的热电子发射公式
发射系数：
* AF 21 / 2 2me


1/ 4
h 3 / 2 K 5 / 4 e(1 R )



(1.46）
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§ 5 热电子发射的初动量与能量
‘ ’ 用能量表示，将 E P 1.46）得 X X / 2 m 代人是式（

2

dN
' Ex
D E

' x
E 'x E 4 mKT exp exp 3 h KT KT
, dEx
§ 4.2 半导体中电子的统计分布
4.2.2 杂质半导体的电子和空穴的统计分布 （1）N型半导体 NA=0，即受主原子浓度为零
EF
Nd施主原子浓度。 NA0，但NA<< Nd时，
Nd E F Ed kT ln NA
Ed Ec kT N d ln Nc 2 2
（1.40）
N型半导体费米能级与温度的关系
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§ 4.1 能带的形成
半导体：低温下导带 是空的，禁带较窄，通 常Eg≤2eV。 绝缘体：禁带宽度 Eg>2eV，常温下导带中 没有电子去占据。 金属：价带没有被电 子填满，常温下是热和 电的良导体。
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§ 4.1 能带的形成
晶体中的电子是处于所谓能带状态，能带是由许多 能级组成的，能带与能带之间隔离着禁带，电子就分 布在能带中的能级上，禁带是不存在共有化运动状态 的能量范围。 半导体最高能量的、也是最重要的能带就是价带和 导带。导带底与价带顶之间的能量差即称为禁带宽度 （或者称为带隙、能隙）。 禁带宽度是半导体的一个重要特征参量，其大小 主要决定于半导体的能带结构，即与晶体结构和原子 的结合性质等有关。对于不同的半导体其值肯定是不 同的。
p p 2 KT
2 ' 2 y ' 2 z
(1.52)
热电子发射会使阴极温度降低，即发射电子具 有冷却效应。 要稳定发射电子，必须不断给阴极热能。如热 阴极发射电流为I，维持其稳定发射的功率：
I P E 2 KT e (1.53)
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(1.41)
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§ 4.3 半导体的热电子发射公式
将（1.41）代人 J AT 2 exp E / KT 得：
EC E d KT N C ln / KT J AT exp E v EC N 2 2 D
这里考虑了只有势垒高于Eτ的电子才能逸出， 即满足 E-EF>>KT条件。
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§ 5 热电子发射的初动量与能量
令固体外真空中电子的动量为px’，py’，pz’，有：
1 ' p p y , p pz , px 2m
' y ' z

2
1 2 p x E 2m
代人式（1.44），得到按动量分布的热电子发射数： '2 '2 '2 ' ' ' ' p p p p E E 2 x y z ' ' x F dN D px 3 exp exp dpxdpydpz h m 2mKT KT
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§ 5 热电子发射的初动量与能量
2、热发射电子的能量 发射电子流中，每个电子在x方向带走的平均能量为：
1 ' E px 2m
' x

2


p dN
' x 2
，
式(1.45)代入，令D(px )=常数， 积分上式得：
' Ex
2m ' dN
50 1.
1 ' px 2m
半导体热电子发射电流密度与金属有所不同，除了 温度T 的关系有差别外，还与杂质浓度ND有关。 N型半导体的逸出功Eφ比金属小，在同样温度下， 半导体有更大的电流发射密度。
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§ 5 热电子发射的初动量与能量
凡是逸出金属的电子，其能量至少比费米能级EF高出逸 出功Eφ，所以满足麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布。