七年级数学角及其表示

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七年级下册几何初步角

角
教学目标
理解角的定义和相关概念，用运动的观点理解角、平角、周角等概念，掌握角的表示方法．掌握角的静态定义和动态定义．
了解角度制，通过与时间单位相类比，理解和掌握角的度分秒及其换算．
教学重点角的概念及其表示方法．角的度量单位及其换算．
教学难点角的度量单位及其换算．
知识回顾
直线、射线、线段的概念
∠A （）
练习下面表示∠DEF的图是(
（) 1）（3 ）
练习
把图中的角表示成下列形式：
①∠APO ②∠AOP ③∠OPC
④∠O
⑤∠COP ⑥∠P
其中正确的有_____①__③__⑥____________．
练习如图，能把∠α 记作∠O 吗？ ∠α 还可以怎么表示？
答案：不能；∠AOC．
练习
∵25.12°=25°7.2′ ∴25.12°＜25°12′
角的测量工具你知道角有哪些测量工具吗？
量角器
经纬仪
用量角器测量角度如图，已知∠AOB，用量角器量出它的度数．
55°
读数：读出角的另一边所对的度
数
重合：角的一边
与量角器的零线
重合
对中：顶点对准量角器的中心
课本练习 1．6时整，钟表的线绕着它的端点旋转而成的图形．
思考如图，射线OA绕点O 旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？
平角
继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？
周角
周角的度数周角
你知道为什么这么规定吗？数学上规定，一个周角是360度，记作360°，把一个周角360等分，每一份就是1°．
分钟：150°；时针：12.5°．
钟面角 3时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？4时呢？3时30分呢？提示：一大格是30°．

新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =．答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分．故分针速度是时针速度的12倍．举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40．答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

七年级数学培优训练(线段、射线、直线、角)

七年级数学培优训练(线段、射线、直线、角)专题一线段、射线、直线一、知识要点1．线段、射线及直线的定义及其表示方法将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

直线没有端点 2.直线的性质（1）经过一点可以画无数条直线（2）性质：经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”体现“惟一性” 3.点和直线的位置关系（1）点在直线上，或者说直线经过这个点（2）点在直线外，也可以说直线不经过这个点 BlA二、例题和练习例1 如图共有条线段，条射线，条直线. lA B C D课堂练习：1、如图，图中共有6个点，共有多少条线段？2、如图，图中共有n 个点，共有多少条线段？例2、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④ 课堂练习：1.往返于甲、乙两地的客车，中途停靠四个站，问（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？2.已知平面内的四个点A 、B 、C 、D ，过其中每两个点画直线可以画几条.专题二比较线段的长短将线段向一个方向无限延长就形成了A 1 • A 2 • ……A 3 • A 4 • A n • A 1 • A 2 • A 5 • A 3 • A 4 • A 6 •一、知识要点1.线段性质（公理）：两点之间，线段最短2.两点之间的距离：连结两点之间线段的长度3.线段的大小的比较方法（1）叠合法A B CDAB CD ABCD (2)度量法AB=CD AB ＞CD AB ＜CD图4-2-14.线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． AB M点M 是线段AB 中点 AC=BC=21AB 图4-2-2二、例题和练习例1 如图所示，AB=16cm ，C 是AB 上一点，且AC=10 cm ，D 是AC 中点，E 是BC 中点，求线段DE 的长.AB C DE例2 如图，AB:BC:CD =2:3:4，AB 的中点M 与CD 中点N 的距离是3cm ，求BC 的长ABCD NM例3 已知线段AB=30mm, 直线AB 上画一条线段BC=10mm,点D 是线段AC 的中点，求CD 的长度.课堂练习1.如图，点C 是线段AC 上一点，点N 是线段BC 的中点，M 是AC 中点（1）若AB=10cm AM=3cm 求NC 的长。

人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．破疑点角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案：C【例1－2】如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”．解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ，所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

角与角的度量(50张PPT)数学

第6章图形的初步知识
6.5 角与角的度量
学习目标 1.进一步认识角的有关概念.2.会用符号字母表示角.3.掌握度、分、秒单位及其换算.掌握重点角的概念和表示法.突破难点度、分、秒的换算.
内容索引
新知学习
典例精析
课时作业
新知学习
角是由两条有公共端点的所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的 .角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的，终止位置的射线叫做角的 .
角的表示
答案
解析
解析 A.因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；B.因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠O，∠α及∠AOB表示，故本选项正确；C.因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；D.因为∠O与∠α表示的不是同一个角，故本选项错误.故选B.
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图中共有12个小于平角的角，即∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠DAE，∠DAC，∠EAC，∠B，∠C，∠ADB，∠ADE，∠AEB，∠AEC，故说法⑤错误.故答案为①③④.
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2.如图，钟表上时针与分针所成角的度数是( )A.90° B.100°C.110° D.120°

数学中的角的概念-概念解析以及定义

数学中的角的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数学中的角是几何学中的重要概念之一，它在几何图形的研究和解决实际问题中起着重要作用。

角的概念贯穿于整个数学学科，并且在许多实际应用中都具有重要意义。

本文将对角的定义、角的种类以及角在实际生活中的应用进行深入探讨，以期帮助读者全面了解角的概念及其重要性。

通过学习角的知识，读者不仅可以丰富数学知识，还可以更好地应用数学解决实际生活中的问题。

1.2 文章结构文章结构部分：本文将从引言开始，首先概述本篇文章要讨论的内容，接着介绍文章的结构，说明各个部分的内容安排和逻辑，最后说明本文的目的和意义。

接下来将进入正文部分，分别讨论角的定义、角的种类以及角的应用。

最后，结论部分将对角的重要性进行总结，并具体阐释角在实际生活中的应用和对数学学习的启示。

通过这样的结构安排，可以使读者清晰地了解本文要讨论的内容和各部分之间的联系，也能更好地理解数学中的角的概念。

1.3 目的目的部分:本文旨在深入探讨数学中角的概念，通过对角的定义、种类和应用进行系统的介绍和分析，旨在帮助读者更好地理解和掌握角的概念，进而拓展数学知识，提高数学应用能力。

同时，通过对角在实际生活中的应用和对数学学习的启示进行讨论，旨在激发读者对数学学习的兴趣，以及更深层次的思考和学习方式。

通过本文的阅读，读者可以更好地认识到角在数学中的重要性，以及在生活和学习中的实际应用价值，进而促进对数学学科的全面发展。

2.正文2.1 角的定义:角是由两条射线以一个公共端点相交而形成的图形部分。

这个公共端点被称为角的顶点，而两条射线分别被称为角的边。

角可以用符号表示为∠ABC，其中A是角的顶点，B和C分别是角的两边的端点。

角的大小通常用角的度数来表示，通常以度（）为单位。

角的大小也可以用弧度来表示，在数学中，一个完整的圆的周长为360度或2π弧度。

角度可以用度数或弧度数进行测量，这取决于具体的问题和需求。

在数学中，角是一种重要的概念，它在几何学和三角学中有着广泛的应用。

人教版七年级数学上册教师用书配套课件课时作业 (6)

A．1°
B．5° C．10° D．180°
解析：题中量角器的最小刻度是 5°，因而能精确地读出的最
小度数是 5°.
3．用度、分、秒表示 52.36°＝ 52°21′36″ ；用度表示 49°31′21″＝ 49．5225° . 4．(1)将 41.27°用度、分、秒表示； (2)将 56°25′12″用度表示．
题组 B 角的度、分、秒的换算
1．把 10.26°用度、分、秒表示为( A )
A．10°15′36″
B．10°20′6″
C．10°14′6″
D．10°26″
解析：∵0.26°×60＝15.6′，0.6′×60＝36″，∴10.26°用度、分、秒表示为 10°15′36″.故选 A.
2．小芳给你一个如图所示的量角器，如果你用它来测量角的度数，那么能精确地读出的最小度数是( B )
解：巴黎：30°；伦敦：0°；北京：30°×4＝120°；东京时间： 30°×3＝90°.
感谢观映
二、角的表示
方法
图形
用三Hale Waihona Puke 大写字母用一个大写字母
用数字或希腊字母
表示
适用范围
注意点
∠AOB 所有角
顶点字母在中间
顶点处只有
∠O
一个角
∠1 所有角 ∠α
用顶点字母表示角的内部弧线加相应数字或希腊字母
三、角的度量 1．角的度量单位：度、分、秒． 2．度、分、秒的换算：1°＝ 60′ ，1′＝60″ . 3．1周角＝ 360° ，1平角＝ 180° .
【议一议】时钟在2：25时，时针和分针所形成的夹角是多少？
因为“3”与“5”之间的夹角为 30°×2＝60°，时针偏离“3”的度数为 30°×(1－2650)＝17.5°，所以时针与分针的夹角应为 60°＋17.5° ＝77.5°.

人教版数学七年级上册第16讲角的证明与相关计算

第16讲角知识导航1．角的有关概念及表示法； 2．角的比较与运算； 3．余角与补角【板块一】角的有关概念及表示法方法技巧1．角的定义有静态和动态定义两种．2．角的顶点处有多个角时一般采用三个字母表示或数字表示法或希腊字母表示法．3．度，分，秒的换算是60进制，高级向低级转化，每级变化乘60，低级向高级单位转化每级除以60． 4．钟表中时针的速度为每分钟0.5°，分针速度为每分钟6°．题型一角的定义及其表示法【例1】下列说法中，正确的是( )A ．两条射线组成的图形叫做角B ．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C ．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形D ．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【例2】如图，下列关于角的说法中，错误的是( )A ．∠1与∠AOB 表示同一个角 B ．∠AOC 也可以用∠O 来表示 C ．∠β表示的是∠BOCD ．图中共有三个角：∠AOB ，∠AOC ，∠BOC题型二角的计数问题【例3】如图所示，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有多少个角?画2条射线，图中共有多少个角?画3条射线，图中共有多少个角?画n 条射线，图中共有多少个角?题型三角的单位及其换算【例4】度,分，秒的计算①56°18′＋72°48′＝； ②131°28′－51°32′15″＝ ; ③12°30′20″ 2＝ ;④12°31′21″ 3＝题型四钟面上角的特征【例5】钟表上在2时和3时之间(包括2时,3时)分针和时针有多少次夹角为90°的机会?求出此时对应的时间.β1OC BA针对练习11.如图所示，下列说法情误的是( )A .∠DAO 就是∠DACB .∠COB 就是∠OC .∠2就是∠OBCD .∠CDB 就是∠1第1题图第3题图第6题图 2.下列语句正确的是( )A .一条直线可以看成一个平角B .周角是一条射线C .角是由条射线旋转而成的D .角是由公共端点的两条射线组成的图形 3.如图，以O 为顶点且小于180”的角有( )A .7个B .8个C .9个D .10个4.下列式子中错误的是( )A .38.78°＝38°46′48″B .50°42′＝ 50.7°C .98°45′＋2°35′＝101°20′D .108°18′－57°23′＝51°55′ 5.钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是( )A .65°B .75°C .85°D .90°6.如图，∠1还可以用什么方法表示?若∠1＝62°9′36″，那么62°9′35″等于多少度?7.计算:（1）48°39′＋67°31′－21°17′；（2）23°53′ 3－107°43′ 5.8.钟面角是指时钟的时针与分针所成的角。

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顶点来表示这个角.
做一做
中国地图简图
⑴请用字母表示图中的每个城市. ⑵请用字母分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角. ⑶请用量角器测量出上述夹角的度数.
.
O
A
.
C
D
.
. .
B
1°的 1′的
1 即1°=60′. 60 为1分, 记作“1′”， 1 即1′=60″. 60 为1秒, 记作“1″”，
back
例1 计算:
⑴1.45°等于多少分? 等于多少秒? ⑵1800″等于多少分? 等于多少度?
解: ⑴ 60′×1.45
=87′, 60″×87 =5220″,
即 1.45°=87′=5220″. ⑵( (
1
60 1 60
) ′× 1800=
30′,
) ° × 30 = 0.5°,
即 1800″=30′=0.5°.
)5 °.
3
开动脑筋
确定相应钟表上时针与分针所成的角度
120°
试试看
E F
G
H
Next
E
30°
Back
F
120°
Back
G
90°
Back
H
0°
Back
将图中的角用不同方法表示出来并填写下表
∠1 ∠BCE ∠2 ∠BCA ∠3 ∠4 ∠5
∠BAC ∠BAD ∠ABC B 5
4 D A
3
4.8角及其与表示
picture
Football
church
watch
dinosaur
Next
football
Back
church
back
watch
back
A
.
. B
dinosaur
.C
Next
想一想
角是由两条具有公共端点的射线组成的. 两条射线的公共端点是这个角的顶点. A 两条射线是这个角的两条边. 角的表示方法:
练一练
A B
C
D
Next
A
0.25°等于多少分? 等于多少秒?
解：60′× 0.25 = 15′
60″× 15 = 900″ 即0.25°= 15′= 900″.
B
2700″等于多少分? 等于多少度?
解: ( (
1
60
1 60
) ″×2700=45′ ) °× 45 =0.75°
即2700″=45′=0.75°.
1.用三个字母及符号“∠”来表示. 中间的字母表示顶点,其它两个字母分别表示角的两边上的点. 2.用一个数字或字母表示一个角. α
1
B ∠ABC C
∠1 或∠α
Next
试一试
用适当方法分别表示下图中的每个角
B B C
A
⑴
C
∠BAC 或 ∠A
D ∠BAC , ∠CAD ,∠BAD
A
⑵
在不引起混淆的情况下,也可以用角的
2 C
1
E
归纳小结
1.角的组成及角的表示方法 2.用量角器度量一个角 3.度、分、秒单位间的换算
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敢咯那那时候别早咯奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意壹听到她那那后半句话气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后壹直在搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别既别能太伤她の心又能够安然脱身结果还别等他想出法子来呢那各可恶の菊香竟然是哪壶别开提哪壶直接就要来服侍他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷第899章清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒也睡别着咯打算回去看看书您家主子还病着爷看书会影响她养病那爷那就走咯服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏最终还是没能将他留下淑清本就是在病中再见他竟是那般绝情别禁悲从心来壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话只是用壹双眼睛泪汪汪地望向他见病中の淑清如此楚楚可怜の样子就那么走开实在是太过残忍于是狠别下心来の他只好又坐回床侧替她掖咯掖被角好言相劝道：“别哭咯那还病着呢又得哭坏咯身子！就是有些风寒没什么啥啊大碍好好养着按时喝药另外现在天凉咯别总去院子里有啥啊事情让菊香去做爷要是过来自会让秦顺儿传话您那么去等能等来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷妾身就是忍别住想去看看都快壹各月没什么见到您咯那心里实在是别踏实 ”“您の心思爷自然晓得只是……”只是啥啊呢？他别想让淑清更伤心没什么说出口于是他就那么靠在床边陪着淑清而淑清因为本身就在病中又喝咯药经过壹晚上の折腾终于体力渐渐别支耗咯将近壹各时辰也就渐渐地睡咯下去见淑清终于睡安稳咯他才如释重负般地悄悄起身出咯烟雨园他犹豫咯壹下回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠她の睡眠壹直很差睡眠别好就导致精神差所以身子才会那么赢弱形成咯壹各恶性循环の老大难问题可是回朗吟阁の话他是跳进黄河也洗别清咯他可以指天发誓秦顺儿可以亲口作证但是水清完全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道她有の时候极明事理以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群可是有些时候她竟然也会蛮别讲理与壹般妇人别无两样特别是对待他の那些诸人们の时候在他用“燕子诗”向她真情告白时候她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他让他陷入百口莫辩の被动局面虽然事后他别停地向她解释啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会最后将她逼急咯竟然给他来咯壹各“息燕归檐静飞花落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗终是没什么挽回她の心那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名就敢蛮别讲理胡搅蛮缠而现在已经有咯菊香那各确凿の人证物证他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷第900章温暖在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下他终于选择咯回怡然居他怕她又从他の掌心逃跑咯以前她の每壹次逃跑都是他姑息纵容の结果也是担心将她逼得太紧咯原本他在水清心目中の形象就别佳若是追她追得太紧再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名更是要弄巧成拙导致两各人关系更加恶化无可奈何之下每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走任由她绝决地离去却是壹丁点儿都别敢对她用强当然除咯在香山那壹次他是真真地被她气着咯第壹次对她动用咯武力而现在当他品尝到如此甜美の爱情之后再也别想将风筝の线放得太长他怕自己手中の那根线禁别住狂风暴雨の袭击而折断徒留追悔莫及虽然只是短短の十三天却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉从前诸人对他而言只是诸人而现在他既将水清当作自己の诸人更将
C
( 1 ) °等于多少分? 等于多少秒? 8 1 解: 60′× 8 =7.5′ 60″×7.5 =450″ 1 即( ) °=7.5′=450″. 8
D
6000″等ห้องสมุดไป่ตู้多少分? 等于多少度?
1
解: ( (
60
1 60
) ′×6000=100′ ) °× 100 = (
5 3
)°
即6000″=45′=(