直线与圆锥曲线的交点个数问题
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法
过点的直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法作者：黄志宁来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期点、直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容，怎样才能学好这部分知识，我认为必须掌握好如何判别过点的直线与圆锥曲线的位置关系，以及直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的判别方法.通过本人多年的研究，总结出求过点作直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线方程的解法必须同时具备以下三个步骤：第一步是确定点与圆锥曲线的位置关系，确定直线的条数；第二步是判断直线与圆锥曲线的位置关系；第三步是确定直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况.以下针对三种不同类型的题型进行探讨一、直线与圆或椭圆直线与圆或椭圆有且仅有一个交点，只有相切时才成立.（注意利用判别式为零或斜率不存在的情况）针对点P（m,n）与椭圆＞b＞0)时，①点P在椭圆内，不存在；②点P在椭圆上，只有一条直线，即；③点P在椭圆外时，有两条直线且为切线，利用点斜式求出斜率即可，注意切线垂直于x 轴时的情况【例1】求过点P（0,4）与椭圆有且仅有一个交点的直线方程解：把点P代入椭圆方程的左边得016+169=169＞1，∴点P在椭圆外，有两条直线与椭圆相切设切线方程为：y-4=kx，即y=kx+4，代入椭圆方程得，(9+-∴即∴切线方程为y=±74x+4,所求的直线方程为二、直线与双曲线直线与双曲线有且仅有一个交点有两种可能，即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行且与双曲线相交针对点P（m，n）与双曲线-而言（1）当P点在双曲线内时，能作两条分别与渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点，此时，可以利用点斜式求出直线方程（2）当P点在双曲线上时，能作出三条直线，其中两条为与渐近线平行的交线，一条为双曲线的切线，此时，可以利用点斜式求出交线方程.切线方程利用点斜式求出或用公式-求出（注意当P点在双曲线顶点时切线方程x=a或x=-a）（3）当P点在双曲线外时：①点P只在一条渐近线上时，能作出两条，其中一条为切线（注意斜率不存在的切线），另一条为平行于另一条渐近线的交线②点P在两条渐近线的交点上时，不能作出直线与双曲线有且只有一个交点③点P不在渐近线上时，能作四条，其中两条是切线，两条是与渐近线平行的直线，此时切线可以利用点斜式求出直线方程（注意斜率不存在的切线）【例2】已知双曲线方程-，针对P（m，n）所在平面的位置，求出过点P引直线与双曲线有且只有一个交点的直线方程.①P(3,0)；②P(1,1)；③P(0,0)；④解：选②.把点P代入双曲线方程的左边得14-14=0＜1，则点P在双曲线外双曲线的渐近线方程为：y=±x，可知点P在双曲线的一条渐近线上,则能作出两条满足条件的直线，其中一条为切线，另一条为平行于另一条渐近线的交线交线为：y-1=-(x-1),即y=-设切线为：y-1=k(x-1)，即y=kx+(1-k)，代入双曲线方程得：-［kx+(1-k)］--2k(1-k)x--2k+5)=0.当(1-时,即k=1或k=-1，此时平行于渐近线的直线为y=x(不合题意舍去)或y=-x+2；当(1-时，则由［2k(1-k)］--2k+5)=0得-5=0，则k=-53,k=1(不合题意舍去切线方程为：y=-53x+83.综合所求直线方程为：y=-53x+83或y=-三、直线与抛物线直线与抛物线有且仅有一个交点的两种可能分别是相切和直线平行于抛物线的对称轴针对点Q(m,n)与抛物线而言：（1）当点Q（m,n）在抛物线内时，有且只有一条直线，即y=n，平行于对称轴；（2）当点Q(m,n)在抛物线上时，有两条，其中一条为切线，一条为交线，且交线为y=n.切线时，利用点斜式就可以求出切线方程，或利用公式即：，或利用求导数的方法求斜率；（3）当点Q(m,n)在抛物线外时，有三条.其中两条为切线，一条为交线，交线的方程为y=n，切线时，注意点Q是否在y轴上，利用点斜式就可以求出切线方程【例3】已知抛物线，过点Q（2，3）作一直线与抛物线有且只有一个交点，求这条直线的方程解：把点Q的坐标代入抛物线方程得：左边右边∴左边>右边,∴点Q在抛物线外∴过点Q可以作三条直线与抛物线有且只有一个交点，其中有两条是切线及一条是交线∵Q点不在y轴上，∴交线为y=3，与抛物线有且只有一个交点将切线设为：y-3=k(x-2)，则y=［kx+(3-2k)］，代入抛物线方程得:［kx+(3-2k)］，即--3k+1)x+(3-∵k≠0，∴Δ＝---即-6k+1=0,则k=34±54,故切线为y-3=(34±54)(x-2).综合所求直线方程为：y=3，y-3=(34±54)(x-综合上述过一点引直线与圆锥曲线有且仅有一个交点的情况，首先是判断点与圆锥曲线的位置关系，其次判断能引几条与圆锥曲线有且仅有一个交点的直线，最后利用点斜式设切线方程，解一元二次方程组，二次项系数为零或判别式为零求斜率，从而求出直线方程由于点、直线与圆锥曲线的位置关系与其他知识联系既多又广，因此，它的题型多而又活，常考常新.所以，掌握好点、直线与圆锥曲线的位置关系是很有必要的.希望同学们可以根据上述内容，寻找到适合自己的解决点、直线与圆锥曲线的位置关系的判别方法(责任编辑金铃）。
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题在解决与圆锥曲线相关的问题时，直线与圆锥曲线的交点是一个关键因素。
本文将介绍一些圆锥曲线解题的技巧，重点探讨如何通过直线与圆锥曲线的交点来解决问题。
一、直线与圆锥曲线的交点在解决圆锥曲线问题时，我们经常需要求解直线与圆锥曲线的交点。
求解这些交点能够帮助我们确定曲线的形状、性质以及其他重要参数。
接下来，我们将介绍两种常见的直线与圆锥曲线交点求解方法。
1. 利用代数方法求解交点一种常见的方法是通过代数方程求解直线与圆锥曲线的交点。
假设我们有一个圆锥曲线方程和一个直线方程，求解这两个方程的交点即可得到交点的坐标。
具体步骤如下：（1）将直线方程代入圆锥曲线方程，列出方程组。
（2）解方程组，求解交点坐标。
这种方法适用于各种类型的圆锥曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线等。
2. 利用几何方法求解交点除了代数方法，我们还可以利用几何方法快速求解直线与圆锥曲线的交点。
以下是一些常见的几何方法：（1）切线法：对于一条切线，它与圆锥曲线相切于一个交点。
通过构造一条切线，我们可以找到直线与圆锥曲线的一个交点。
这种方法适用于某些特定的圆锥曲线，例如抛物线。
（2）平行线法：对于一条平行于坐标轴的直线，它与圆锥曲线相交于两个交点。
通过确定直线与圆锥曲线的一个交点，并利用平行线性质，我们可以求解另外一个交点。
这些几何方法能够有效地求解直线与圆锥曲线的交点，帮助我们更好地理解曲线的特点和性质。
二、应用案例分析接下来，我们将通过一些应用案例来展示如何利用直线与圆锥曲线的交点解决问题。
案例一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，要求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点是直线与椭圆的交点。
我们可以选择一条经过椭圆顶点的切线，找到切点作为一个焦点。
具体步骤如下：（1）求解椭圆的顶点坐标：将x=0代入椭圆方程，得到y=±3。
所以椭圆的顶点坐标为(0,3)和(0,-3)。
圆锥曲线与直线相交问题的求法
个 或２ 个． 总结 ： 在 数 学 中数 与 形 作 为 基 本 的 研 究 对 象 在 很 多 时 候 是 密不 可分 的 ．那 么 我们 常 用 数 形 结 合 的 方 法 解 决 数 学 中 的 些问题 ， 它 不 仅 可 以 减 少 计 算量 ， 而 且 是解 题 的一 条 捷 径 ． 三、 判 别 式 法
２５
｛ ｘ ＋ 喾 ０ ， 消 元 （ ｘ 或 ｙ ） ， 若 消 去 ｙ 得 ａ 。 ｘ ＋ ｂ 。 ｘ ＋ ｃ ， ＝ ｏ ．
（ １ ） 若ａ ． ＝ ０ ， 此 时 圆 锥 曲线 不 是 椭 圆． 当 圆锥 曲 线 为 双 曲 线 时， 直线ｌ 与 双 曲 线 渐进 线 平 行或 重 合 ； 当 圆 锥 曲线 是 抛 物 线 时， 直线 ｌ 与 抛 物 线 的 对 称 轴平 行 或 重 合 ．
一
＼ ／
，
例３ ： 求 经 过 点 Ｍ（ ０ ， ２ ） 并 且 与抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交 点
的直线方程． 解： 设 直 线 的斜 率 为 ｋ 当ｋ ＝ ０ 时， 直 线 方 程 为ｖ ＝ ２； 当ｋ ≠０ 时， 设 直 线 方 程 是ｘ ＝ ｍ（ ｙ 一 ２ ）
一
０ ６ ５ ０ ０ ０ ）
联立 ｛２
【 Ｙ＝ ８ ｘ
得： ｖ ＿ ＿ ８ ｍ ｙ ＋ ｌ ６ ｍ ： ０ 。
’
＇
、
Ｃ： ＋ 一 －＝ Ｙ ｌ 和直 线 ｌ ： ２ ｘ — ｙ ＋ ４ ＝ ０ 的 交 点 坐 标 为
解： 联 立直 线 方 程 与 椭 圆 方 程得
Ｙ ． ） ， Ｂ （ Ｘ ， ， Ｙ ， ） ， 则 弦长
高中数学 同步教学 直线与圆锥曲线的交点
[练一练]
2．已知动点 P(x，y)满足|3x－54y－1|＝13· x－12＋y－52，则动点 P 的轨迹是(
(2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|＝5，得 d＝4. 即156－x＝4，解得 x＝356或 x＝－45. 由于|x|≥4，故 x＝－45不合题意，舍去． 由 x＝356得 y＝±65 14. ∴点 P 的坐标为356，±6 514.
探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题 [典例 2] 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭 圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
的交点，就是求方程组fgxx00，，yy00＝＝00 的实数解．
三、方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 几个不同交点 ；方程组没有实数解，两条 曲线就 无交点 ．
[想一想] 1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点 时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
一、圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到 一个定点 的距离与它到 一条定直线 的距离之比为定值 e. 当 0<e<1 时，圆锥曲线是 椭圆 ；当 e>1 时，圆锥曲线是 双曲线 ；当 e＝1 时，圆 锥曲线是 抛物线 ．
二、曲线的交点
由曲线方程的定义可知，对于曲线 C1：f(x，y)＝0 和曲线 C2：g(x，y)＝0，由于 M(x0， y0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔ f(x0，y0)＝0 且 g(x0，y0)＝0 ，椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m ①
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。
高三数学—选修2-1直线与圆锥曲线交点问题—刘剑敏-古城中学
直线与圆锥曲线交点问题北京市古城中学 刘剑敏【案例描述】直线与圆锥曲线相交问题是高考的重要问题，C 级要求。
下面，通过例题进行描述。
例题：求过定点P(0,1)且与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线的方程。
错解1、设所求直线方程为y =kx +1由方程组{y =kx +1y 2=2x,消元得 k 2x 2+2(k −1)x +1=0若直线与抛物线只有一个公共点，则∆=4(k −1)2−4k 2=0所以k =12 即所求直线的方程为y =12x +1错解2、(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x =0 由{x =0y 2=2x 得{x =0y =0即直线x =0与抛物线只有一个交点。
(2)若直线斜率存在，设为k ，则直线方程是y =kx +1,由方程组{y =kx +1y 2=2x消元得k 2x 2+2(k −1)x +1=0因为直线与抛物线只有一个公共点所以∆=4(k −1)2−4k 2,即k =12,即直线方程为y =12x +1。
综上(1)、(2)可知，所求直线方程为y =12x +1和x =0.【诊断分析】从上面的解法的分析中，我们会发现错解一有两处错误：○1是遗漏直线斜率不存在的情况，仅考虑存在斜率的直线。
○2方程组消元后的方程k 2x 2+2(k −1)x +1=0被认定为二次方程，因而由直线与抛物线只有一个公共点得出∆=0.事实上，方程的二次项系数为含字母的参数k 2,方程不一定为二次方程。
当k=0时，方程式一次方程，此时方程组只有一解。
错解二注意了直线斜率不存在的情况，但与错解一一样，没有注意到方程k 2x 2+2(k −1)x +1=0中当k =0时方程为一次方程。
【策略步骤】实际上，上面两种解法都有错误：(1) 若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x =0，且直线斜率不存在的情况要在设方程之前就要讨论，此时直线x =0与抛物线只有一个公共点(0,0).(2) 若直线斜率存在，设为k ，则过点P(0,1)的直线方程为y =kx +1由方程组{y =kx +1y 2=2x消元得 k 2x 2+2(k −1)x +1=0 当k=0时，解得x =12,y =1,直线与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则∆=4(k−1)2−4k2=0.所以k=12x+1。
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直线与圆锥曲线的交点个数问题
直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。
一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求
设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:()0C f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩
，，，，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表：
注意：(1)对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；(2)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。
例1、讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数．
解：联立方程2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩
，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x =．
当1k ≠±时，22248(1)84k k k ∆=+-=-，
若0∆>，则22k -<<；若0∆=，则2k =±；若0∆<，则2k <-或2k >． 综上所述，当2k =±时，直线与双曲线相切于一点；1k =±时，直线与双曲线相交
于一
点；k<
或k>时，直线与双曲线没有公共点
；1k
<<或11
k
-<<
或1
k
<<-时，直线与双曲线有两个公共点．
点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程
例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y1，即k AB=
2
1
2
1
x
x
y
y
-
-
=2
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
点评：解答利用了“点差法”，但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。
三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数
例3、若直线1
y kx
=+与焦点在x轴上的椭圆
22
1
5
x y
m
+=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05
m
<<．
由22
1
1
5
y kx
x y
m
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
，
，
得22
(5)105(1)0
m k x kx m
+++-=．
又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0
∆≥对一切实数k成立，
即22
(10)4(5)5(1)0
k n k m
-⨯+⨯-=，亦即2
51
k m
-
≥对一切实数k成立．10
m
-
∴≤，即1
m≥．故m的取值范围为[)
15
m∈，．
解法二：由于直线过定点(01)
，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01)
，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．
解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知05
m
<<．
又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)
，必在椭圆内部或边界上．22
01
1
5m
+
∴≤，即1
m≥．故m的取值范围为[)
15
m∈，．
点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷．
总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法
的运用。
练一练：
1．直线与双曲线的右支交于不同的两点A 、B ，求实数k 的取
值范围。
解：将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程后，整理得。
①
依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故 ，解得k 的取值范围为
2．已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =恰有一个公共点，求实数a 的值．
解：联立方程2(1)1y a x y ax =+-⎧⎨=⎩
，， （1）当0a =时，此方程组恰有一解为10.x y =⎧⎨=⎩
， （2）当0a ≠时，消去x ，整理得2110a y y a
+--=． 若1a =-，则方程组恰有一解为11.x y =-⎧⎨=-⎩
， 若1a ≠-，令0∆=，可解得45
a =-． 所以，当4015
a =--，，时，原直线与曲线恰有一个公共点． 3．试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称.
解:设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是椭圆内的点.从而有.
由
(1)-(2)得:
∴
由
由在直线上
从而有.。