3.4.3直线与圆锥曲线的交点
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交
||
1
=e= ,∴|MN|=2|MF|,
||
2
则
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得最小值,
此时
2
2
yM=yA=√3,代入 + =1,
16 12
得 xM=±2√3,
由题意知点 M 在第一象限,∴M(2√3, √3).
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
一题多解
弦长问题
【例 3】
2
已知椭圆 C: 2
+
2
2 =1(a>b>0),直线 l 1: − =1 被椭圆 C
截得的弦长为 2√2,过椭圆 C 的右焦点且斜率为 √3的直线 l2 被椭圆
2
5
思维点拨:由直线l1方程的特点,知直线l1恰好过椭圆的两个顶点,即有
3.4.2
圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)
的共同特征
3.4.3 直线与圆锥曲线(yuán zhuī qǔ
xiàn)的交点
第一页，共31页。
学 习 目 标
思
1.通过例子,归纳出圆锥曲线的共
同特征.
2.理解并掌握圆锥曲线的共同特
征,感受圆锥曲线在解决实际问题
中的作用,进一步体会数形结合的
(3)直线l与双曲线没有公共点.
思维点拨:在解决直线与双曲线位置关系时,对消元后的方程的二次项系
数是否为零应分类讨论,且要结合判别式讨论.
第十二页，共31页。
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修21
课堂小结 对直线与圆锥曲线位置关系的进一步理解 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相 切.相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个 公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线 的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线 的对称轴平行时)或两个. (2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直 线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相 交；一组解时，若化为x或y的方程，二次项系数非零，判别式为零时必 相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲 线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件
北师大版选修21
学习 目标
1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用. 2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.
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知识梳理
自主学习
知识点一 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点 的距离与它到一条定直线 的距离之比为定值e.
当 0<e<1 时，该圆锥曲线为椭圆；
4.3直线与圆锥曲线的交点
4.3直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标，会求与弦有关的简单问题（相交弦长、中点弦所在直线方程）.2.若已知直线与圆锥曲线的交点个数会求参数的取值范围学习重点：掌握利用对应方程解决直线与圆锥曲线交点的问题的方法.学习难点：理解解析几何中利用代数的方法解决几何问题的方法.自主学习1.两曲线的交点两条曲线C1 :f(x,y)=0, C2:g(x,y)=0.条件:若点M(x0,y0)是曲线C1与C2的一个交点.结论:点M(x0 ,y0)满足方程f(x,y)=0,也满足方程g(x,y)=0,从而,曲线C1与C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来,该方程组的任意一组实数解都对应着这两条曲线的坐标.2.如何判断直线与圆锥曲线的交点个数？合作探究探究一直线与圆锥曲线的公共点的坐标问题例1:给定椭圆方程22154x y+=，斜率为1的直线过其焦点F2(1,0)，直线与椭圆相交于A,B两点，求A与B的坐标. 延伸探究：（1)求AB的长度，AB的中点坐标(2)已知椭圆方程22154x y+=,求以点P(1,1) 为中点的弦所在的直线方程.探究二直线与圆锥曲线的公共点的个数问题例2 若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.变式训练：（1）若题目改为没有公共点，求a的取值范围（2）若题目改为有两个公共点，求a的取值范围探究三直线与圆锥曲线恒有公共点问题例3不论k为何值,直线y=kx+b 与椭圆22194y x+=总有公共点,求b的取值范围？课堂小结本节课你收获了什么？知识方面：思想方面：课后自测1.过点(0,1)的直线m与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则满足条件的直线m共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条2.直线l:y=kx+1与椭圆C:2215x ym+=恒有公共点,则实数m的取值范围是( )A.(0，1)B.[1，+∞）C.(5,+∞)D.[1,5)(5,)+∞3.已知双曲线221x y-=及直线y=kx-1,若双曲线与直线有交点，求k的取值范围.。
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题
圆锥曲线解题技巧之直线与圆锥曲线的交点如何通过直线与圆锥曲线的交点解决问题在解决与圆锥曲线相关的问题时，直线与圆锥曲线的交点是一个关键因素。
本文将介绍一些圆锥曲线解题的技巧，重点探讨如何通过直线与圆锥曲线的交点来解决问题。
一、直线与圆锥曲线的交点在解决圆锥曲线问题时，我们经常需要求解直线与圆锥曲线的交点。
求解这些交点能够帮助我们确定曲线的形状、性质以及其他重要参数。
接下来，我们将介绍两种常见的直线与圆锥曲线交点求解方法。
1. 利用代数方法求解交点一种常见的方法是通过代数方程求解直线与圆锥曲线的交点。
假设我们有一个圆锥曲线方程和一个直线方程，求解这两个方程的交点即可得到交点的坐标。
具体步骤如下：（1）将直线方程代入圆锥曲线方程，列出方程组。
（2）解方程组，求解交点坐标。
这种方法适用于各种类型的圆锥曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线等。
2. 利用几何方法求解交点除了代数方法，我们还可以利用几何方法快速求解直线与圆锥曲线的交点。
以下是一些常见的几何方法：（1）切线法：对于一条切线，它与圆锥曲线相切于一个交点。
通过构造一条切线，我们可以找到直线与圆锥曲线的一个交点。
这种方法适用于某些特定的圆锥曲线，例如抛物线。
（2）平行线法：对于一条平行于坐标轴的直线，它与圆锥曲线相交于两个交点。
通过确定直线与圆锥曲线的一个交点，并利用平行线性质，我们可以求解另外一个交点。
这些几何方法能够有效地求解直线与圆锥曲线的交点，帮助我们更好地理解曲线的特点和性质。
二、应用案例分析接下来，我们将通过一些应用案例来展示如何利用直线与圆锥曲线的交点解决问题。
案例一：求解椭圆的焦点坐标已知椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1，要求椭圆的焦点坐标。
解析：椭圆的焦点是直线与椭圆的交点。
我们可以选择一条经过椭圆顶点的切线，找到切点作为一个焦点。
具体步骤如下：（1）求解椭圆的顶点坐标：将x=0代入椭圆方程，得到y=±3。
所以椭圆的顶点坐标为(0,3)和(0,-3)。
4.3直线与圆锥曲线的交点(教案 学案作业含答案)
4.3 直线与圆锥曲线的位置关系（两课时）教学目标：1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题;2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题;3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法;4．会用弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|求弦的长．题型1：交点个数问题例1. 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？ 解： 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=13122y x ax y ⇒ (3－a 2)x 2－2ax －2＝0 ① 显然a 2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．若交点A 、B 在双曲线同支上，则方程①满足：⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=∆0320)3(84222a a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-3366a a a 或⇒a ∈(－6，－3)∪(3，6) 若A 、B 分别在双曲线的两支上，则有：⎪⎩⎪⎨⎧<->-+0320)3(84222a a a ⇒a ∈(－3，3) 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法。
反思1：直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程02=++c bx ax ，讨论∆及判别式a 得关于x 的方程02=++c bx ax 解析的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：(1)注意0=a 与0≠a 两种情况，只有0≠a 时，才可用判别式确定解的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 .（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切． 题型2：与弦中点有关的问题例2已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜消去y 00a ≠⎧⎨∆=⎩0,0.a b =⎧⎨≠⎩率之积为－2.(Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程.【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设(,)M x y ， 因为2AM BM k k ⋅=-,:()22221x y x +=≠± (Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11((,22C D ,其中点不是N ,不合题意，设直线l 的方程为11()2y k x -=-将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y +=…………(1) 222222x y += (2)(1)-(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯ 直线l 的方程为111()22y x -=-- 即所求直线l 的方程为230x y +-=解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则11(,),(,2222C D -, 其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-,将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k kk x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-, 将1k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=反思2：通过将C 、D 的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ 的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁练习： 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，N 为弦AB 的中点.求直线ON （O 为坐标原点）的斜率ON K 。
4.3直线与圆锥曲线的交点
答案： 答案：D
1．弦长问题 ． 利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形， k不 利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不 不存在的情形 存在时，可直接求交点坐标再求弦长． 存在时，可直接求交点坐标再求弦长．
2．中点弦问题 ． 遇到中点弦问题常用“根与系数关系 或 点差法 点差法”求 遇到中点弦问题常用 根与系数关系”或“点差法 求 根与系数关系 解．在椭圆 直线的斜率k= 直线的斜率 中，以P(x0，y0)为中点的弦所在 为中点的弦所在 ；在双曲线 中，以 ；在抛物线
二、圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线 相交于 两点， 设直线 与圆锥曲线C相交于 、B两点，A(x1，y1)， 与圆锥曲线 相交于A、 两点 ， B(x2，y2)，则弦长 ，则弦长|AB|＝ ＝ .
1．过原点的直线l与双曲线 ．过原点的直线 与双曲线 线l 的斜率的取值范围是
有两个交点， 有两个交点，则直 ( )
易证. （1）联立方程消元利用 ）联立方程消元利用Δ>0易证 易证 （2）结合条件分析出 ） 易求. 易求
1．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线 ： ．已知直线 ＝ ＋ 与抛物线C： 与抛物线 y2＝8x相交于 、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2 相交于A、 两点 为 的焦点 两点， 的焦点． 相交于 ＝ |FB|，则k＝ ， ＝ ( )
等
∴ 答案： 答案：4a
= 4a.
5．若直线mx＋ny＝4和圆 ：x2＋y2＝4没有公共点，则过 ．若直线 ＋ ＝ 和圆 和圆O： 没有公共点， 没有公共点 点(m，n)的直线与椭圆 ， 的直线与椭圆 ________． ． 解析：由已知可得 点在椭圆内， 解析：由已知可得m2＋n2<4，又(m，n)点在椭圆内，故必 ， ， 点在椭圆内 个交点． 有2个交点． 个交点 答案： 答案：2 的交点个数为
4.3直线与圆锥曲线的交点
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法:
判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时,通常将直线 l 的方程
Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 r 的方程 F(x,y)=0.消去 y(也可
以消去
x)得到一个关于变量
x(或变量
y)的方程,即
������������
时,若 r 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平线的对称轴的位置关系是平行.
2.直线与双曲线有一个公共点时,应注意区分是交点还是切点;直线与 双曲线有两个公共点时,应注意是在一支上有两个交点,还是在两支上各有 一个交点.主要是运用数形结合,判断直线的斜率 k 存在与否及找出 k 与渐
+ ������������ + ������ = ������(������,������) = 0,
0,消去
y 得 ax2+bx+c=0.
(1)当 a≠0 时,则有 Δ>0,直线 l 与曲线 r 相交;Δ=0,直线 l 与曲线 r 相
切;Δ<0,直线 l 与曲线 r 相离.
(2)当 a=0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 r 相交,且只有一个交点,此
思考 3 如何解决弦长问题?
提示:连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,设弦 AB 两端 点的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为 k,则|AB|= 1 + ������2|x1-x2|=
1 + ������2· (������1 + ������2)2-4������1������2 = 1 + ���1���2|y1-y2|.
3.4.3直线和圆锥曲线的交点(1)
小结：
1 判别式法求直线和椭圆的关系， 将两个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0 算 △＞０：相交于两点； 判 △＝０：相切； 别 △＜０：相离． 式
2
2 弦长公式：| AB |
1 k | x1 x2 |
2
作业：
P89 习题3-4 第3,7题
25 x 32mx 16m 144 0
2 2
576 25 m 2
所以：m 5 或 m 5 时，l 与 c 相离；
m 5
时，l 与 c 相切；
5 m 5 时，l 与 c 相交；
归纳：
判别式法求直线和椭圆的关系，将两 个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0
8 3 两交点坐标为A0， 1，B ， 5 5
8 3 8 2 AB 0 1 5 5 5
2
2
总结：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦 AB两端 点坐标为（x1, y1 ）、（x2, y2），则有弦长公式：
Байду номын сангаас
| AB | ( x1 x2 ) ＋( y1 y2 )
2
2
y1 y2 2 ( x1 x2 ) [1 ( ) ] x1 x2
2
( x1 x2 ) (1 k ) 1 k |x1 x2|
2 2 2
1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 2
练习2 给定椭圆方程
x2 y2 1 5 4
，斜率
2
算 判 别 式
△＞０：相交于两点； △＝０：相切；
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k 0 △ 16(2k2 k 1) 0
1 k 0, 或0 k 1 2
⑶没有公共点
k 0 △ 16(2k 2
k
1)
0综上所述
当k 1,或k 0,或k 1 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2
当1 k 0或0 k 1 时,直线与抛物线有两个公共点; 2
y
将x0
y02 64
代入得：
d
y02 16
3y0 46 5
y02
48
y0 16 80
46
,
(
y0
R)
.
OF x
当y0 24时, dmin 2 此时P(9,24)
另解：设直线4x 3y m 0与抛物线相切
y2 4x
64x 3y
m
0
y2 16
3
y
m
0
由 0得 : m 36
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实 数k的取值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点;
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?
解：直线l的方程为y 1 k(x 2).
由方程组
y
1 y2
k
(x 4x
2)
•
可得 ky2 4 y 4(2k 1) 0
⑴只有一个公共点
k 0,或
k 0 △ 16(2k2 k 1) 0
k 1,或 k 0,或 k= 1
2
⑵有两个公共点
通法
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
O
X
相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点
当k 1或k 1 时,直线与抛物线没有公共点。 2
2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线 Ｌ:4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.
解：直线与抛物线无交点设抛物线上一点P(x0.y0 )，
则y02 64x0
d | 4x0 3y0 46 | 4x0 3y0 46
16 9
5
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
= 1消去y，得:(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
通法
题型一：直线与椭圆的位置关系
例1：直线y=kx+1与椭圆 x2 y2 1
5m
求m的取值范围。
恒有公共点,
解法一：
y kx 1
解
:
x2
5
y2 m
1
(m 5k 2 )x2 10kx 5 5m 0
△ （10k）2 4(m 5k 2（) 5 5m） 0 m2 (5k 2 1)m 0
m 0,5k 2 1 m恒成立， 1- m 0m 1,且m 5
例1：直线y=kx+1与椭圆 x2 y2 1
5m
求m的取值范围。
恒有公共点,
解法二直线y kx1恒过定点（0,1）， 且与椭圆总有公共点， 定点必在椭圆上或或者椭圆内 0 1 1,m 1且m 5
m
例 6 已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定点 P(2,1) , 斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y2 4x :⑴只有一个公
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
练习1.过点P(1,1)与双曲线
x2 y2 1 9 16
交点的 直线 共有_______4条.
只有
一个
Y
（1，1）
变式:将点P(1,1)改为 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0).答案又是怎样的?
。
O
X
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
知识点1.直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
3.4.3直线与圆锥曲线的交点
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
通法
直线与椭圆的位置关系