概率论与数理统计试题及答案

考试时间 120 分钟
班级 姓名 学号
一. 填空题（每题3分，共24分）
1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，
P(B A)=0.8.则P(B )A U
.
2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= .
3. 设随机变量2
(,)X μσN :，X
Y e =，则Y 的分布密度函数为 .
4. 设随机变量2(,)X μσN :，且二次方程2
40y y X ++=无实根的概率等于， 则μ= . 5.
设()16,()25D X D Y ==，
0.3
X Y ρ=，则
()D X Y += .
6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.
8. 设125,,X X X L 是来自总体(0,1)X N :的简单随机样本，统计量
12()/~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = . 二 计算题
1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r
次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？
2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为
/5
(1/5)0
()0
x e x f x -⎧>=⎨
⎩其它
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥.
3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f
x y .
. 4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从
2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿
命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X L 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它
其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x L 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）假设ˆθ
是θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>试证2ˆθ2ˆ()θ=不是2θ
的无偏估计.
五. （8分）设112,,,n X X X L 是来自总体2
11~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y L 是来自总体2
22~(,)Y N μσ的
一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为2212,S S ，且设22
1212,,,μμσσ均
为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22
112:H σσ<，显着性水平α事先给
定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
评分标准
一：填空题:(每小题3分)
1. 0.7;
2. ;
3. 22
).exp{).[ln ]}
0y y y μ->; 4.
4; 5. 53; 6. n/2; 7. (2)Φ 二：计算题
1. 解：记 A:取得正品硬币； B ：投掷r 次，每次都得到国徽； 取{,}A A 作为样本空间的划分.
(|)(|)()/[(|)()(|)()P A B P B A P A P B A P A P B A P A =+
1
.212.2r
r
r m m m n m n m n m n m n
+==++
++ 2. 解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P ，
(/5)210(1/5)x P e dx e +∞
--==⎰
注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试
验得不到服务的概率为2
e -. 所以2
~(5,)Y B e -，即
2255{}()(1)0,1,,5k k k
P Y k C e e k ---==-=L
25{1}1{0}1(1)P Y P y e -≥=-==--
3. 解：
(1)
||2
2
||21/(/||)||()(,)0
a x a x X a dy a x x a f x f x y dy a
+∞
--∞
⎧=≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰
其它
由对称性
||2
2
||21/(/||)||/()(,)0
a y a y Y a dx a y y a f y f x y dx a
+∞
--∞
⎧=≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰
其它
(2)
当||y a
<
|
||/
(,)
(|)
()
X Y
Y
x a y
f x y
f x y
f y
≤
==
⎩其它
4.解：记取出的四只电子管寿命分别为
1234
,,,
X X X X，所求概率为P，则
1234
{min(,,,)180}
P P X X X X
=≥
44
{180}[1{180}]1,2,3,4
i i
P X P X i
=≥=-≤=
4
[1(1)]0.00063
=-Φ=
5.解：记圆盘面积为S，圆盘直径为R，则2
(1/4)
S R
π
=，
由随机变量函数的数学期望的计算方法有
2
()(1/4)(1/)
b
a
E S r b a dr
π
=-
⎰
22
(/12)()
b ab a
π
=++
三：解：
（1）矩法估计量
()()|
|
x x x
x
x
E X xf x dx e dx xe e dx
e
μμμ
θθθ
μ
μμ
μ
θ
μ
θ
μθμθ
---
---
+∞+∞+∞
∞
-∞
-
-
+∞
===-+
=-=+
⎰⎰⎰
2
222
222
()()|2
2()()
x x x
x
E X x f x dx e dx x e xe dx
μμμ
θθθ
μ
μμ
θ
μθμθμθθ
---
---
+∞+∞+∞
∞
-∞
===-+
=++=++
⎰⎰⎰
令
222
2
()()
()()
E X X
E X A
μθ
μθθ
⎧=+=
⎨
=++=
⎩
解之得,μθ的矩法估计量:
ˆX μ=
ˆθ= （2） 极大似然估计
11
1
1
(,)exp{()}min{,,}n
i n n
i L x n x x μθμμθθ
==
--<∑L
11
1
ln ln ()min{,,}n
i n i L n x n x x θμμθ
==--
-<∑L
ln L n
μθ
∂=∂>0, 故ln L 是μ的递增函数，故1ˆmin{,}n x x μ
=L 由
ln 0L θ
∂=∂得 1ˆmin{,,}n x x x θ=-L ， 所以极大似然估计量为1ˆmin{,}n X X μ=L ，1ˆmin{,,}n
X X X θ=-L 四：证明：
由方差的计算公式有：2ˆ()E θ
2ˆ[()]E θ==ˆ()D θ+2ˆ[()]E θ， 再由ˆθ
是θ的无偏估计可得： 2ˆ()E θ
=2ˆ()D θθ+ 易见当ˆ()0D θ
>时，2ˆθ2ˆ()θ=不是2θ的无偏估计. 五：构造检验统计量2
122S F S =，
当0H 为真时，2
11222~(1,1)S F F n n S =--,
当0H 不真而1H 为真时，由2222
1111222
22222
/./S S F S S σσσσ==，即一个12(1,1)F n n --的统计量乘以一个小于1的数，2122S F S =有偏小的趋势. 所以当2
122
S F S =偏
小时我们拒绝0H 而接受1H ，拒绝域的形式是:2
122S F K S =<.
由0H 为真时2
11222
~(1,1)S F F n n S =--确定常数K ，得拒绝域为：
2
111222
(1,1)S F F n n S α-=<--.。