圆的切点弦方程的求法探究
圆的切点弦方程公式推导过程

圆的切点弦方程公式推导过程圆的切点弦方程是描述圆的几何性质的重要公式之一。
它可以帮助我们求解圆与直线的交点,并进一步研究圆与直线的关系。
我们来看一下圆的切点的特点。
圆的切点是位于圆上的一个点,通过这个点可以画一条切线,这条切线与圆相切,也就是说切线只与圆的一个点相交。
假设圆的方程是(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a,b)是圆心的坐标,r是半径的长度。
我们要求解的是切点的坐标(x₀,y₀)。
现在,我们来推导切点弦方程。
首先,设切线的方程为y=kx+d,其中k是斜率,d是截距。
切线与圆相切,意味着切线与圆只有一个交点,也就是切点。
所以,我们可以将切线方程代入圆的方程,得到一个关于x的二次方程。
由于切点只有一个,所以这个二次方程的判别式(D=b²-4ac)应该为0。
将切线方程代入圆的方程,得到:(x-a)²+(kx+d-b)²=r²展开并化简上式,得到:(x²-2ax+a²) + (k²x²+2kdx+d²-2bky-2bkx+b²)=r²合并同类项,得到:(1+k²)x² + (2kd-2bk)x + (a²+d²-2bky+b²-r²)=0这是一个关于x的二次方程,判别式为0。
所以,我们可以得到:(2kd-2bk)²-4(1+k²)(a²+d²-2bky+b²-r²)=0化简上式,得到:(4k²+4)(b²-r²)+(4d²-8bky+4a²-4r²)=0再进行整理,得到:4k²b²-4k²r²+4b²-4r²+4d²-8bky+4a²=0上式中的k、b、r、d都是已知的数值,所以这是一个关于y的一元二次方程。
圆的切点弦方程公式推导过程

圆的切点弦方程公式推导过程圆的切点弦方程是解决圆与直线的交点问题的一个重要工具。
在数学中,我们经常遇到这样的问题:给定一个圆和一条直线,求直线与圆的交点。
圆的切点弦方程就是用来求解这个问题的。
我们来看一下圆与直线的交点特点。
当直线与圆相切时,直线与圆只有一个交点,这个交点就是圆的切点。
因此,我们只需求解直线与圆的交点个数即可确定直线与圆的位置关系。
设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,其中(a,b)为圆心坐标,r为圆的半径。
设直线的方程为y=kx+d,其中k为直线的斜率,d为直线的截距。
当直线与圆相切时,直线与圆只有一个交点。
我们可以通过判断直线与圆的切点个数来确定直线与圆的位置关系。
根据数学知识,直线与圆的切点个数可以通过直线与圆的判别式来计算。
直线与圆的判别式为:D=(k·a-b+d)²-(k²+1)(a²+b²-r²),当D=0时,直线与圆相切;当D>0时,直线与圆相交;当D<0时,直线与圆没有交点。
通过求解直线与圆的判别式,我们可以得到直线与圆的位置关系。
如果判别式D=0,那么直线与圆相切,此时直线的方程即为圆的切点弦方程。
求解圆的切点弦方程的步骤如下:1. 设定圆的方程和直线的方程;2. 计算直线与圆的判别式D;3. 判断判别式D的值,如果D=0,则直线与圆相切,此时直线的方程即为圆的切点弦方程。
通过使用圆的切点弦方程,我们可以方便地求解圆与直线的交点问题,进而解决一系列相关的几何问题。
这个方程的推导过程虽然有些复杂,但是通过理解和掌握它,我们可以更好地应用它来解决实际问题。
过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式

过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式在几何学中,我们经常需要求解过一点作圆的两条切线的切点所确定的弦的方程公式。
让我们来探讨一下这个问题。
设有一个圆,以O表示圆心,r表示半径。
选取圆上的一点P,且过P分别作圆的两条切线,与圆交于A和B两点。
我们的目标是求解弦AB的方程公式。
我们需要找到切点A和切点B的坐标。
由于A和B都是切点,所以AO和BO都是圆的半径,即长度为r。
设圆心O的坐标为(Ox, Oy),点P的坐标为(Px, Py)。
根据切线的定义,切线与半径的夹角是直角。
因此,我们可以利用斜率来求解切线的方程。
通过在线段OP上选择另一点Q,我们可以计算出斜率K1。
然后,根据切线的性质,我们可以得知切线的斜率K2等于-K1的倒数。
已知点A的坐标为(Ax, Ay),它位于切线的直线上,有斜率K2。
我们可以利用点斜式得到切线的方程:y - Ay = K2(x - Ax)同样地,点B的坐标为(Bx, By),我们可以得到切线的另一个方程:y - By = K2(x - Bx)现在,我们可以尝试求解AB弦的方程了。
弦AB的中点坐标为(Mx, My),它等于A和B坐标的平均值。
所以我们有:Mx = (Ax + Bx) / 2My = (Ay + By) / 2已知弦的中点坐标,我们可以得到弦的方程:y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式为:y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)希望以上内容能够满足任务名称描述的内容需求。
如有任何问题,请随时提问。
切线方程和切点弦所在直线方程

(一)圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法:设圆心为C ,切点为),(00y x P ,根据CP ⊥切线,便可得到切线的斜率,再根据“点斜式”,即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ,求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法:设出切线方程,由“圆心到切线的距离等于半径”,可解出斜率.注:先考虑切线的斜率是否存在!【例2】求过点)32-(,A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程(二)圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”?如图,过圆C 外一点P 作圆C 的切线,切点为B A ,,则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程?以P 为圆心,PA (PB )为半径作圆P ,则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦,于是我们只需求出圆P 的方程,再将它与圆C 的方程相减,即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ,圆9)2()4(:22=-+-y x Q ,PB PA ,是圆Q 的切线,求直线AB 的方程.【例4】(山东高考)过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线,切点分别是B A ,,则直线AB 的方程是( )34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为,点)1,4(--P ,过点P 作圆的切线PB PA ,,求直线AB 的方程.。
切线方程和切点弦所在直线方程

(一)圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法:设圆心为C ,切点为),(00y x P ,根据CP ⊥切线,便可得到切线的斜率,再根据“点斜式”,即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ,求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法:设出切线方程,由“圆心到切线的距离等于半径”,可解出斜率.注:先考虑切线的斜率是否存在!【例2】求过点)32-(,A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程(二)圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”?如图,过圆C 外一点P 作圆C 的切线,切点为B A ,,则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程?以P 为圆心,PA (PB )为半径作圆P ,则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦,于是我们只需求出圆P 的方程,再将它与圆C 的方程相减,即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ,圆9)2()4(:22=-+-y x Q ,PB PA ,是圆Q 的切线,求直线AB 的方程.【例4】(山东高考)过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线,切点分别是B A ,,则直线AB 的方程是( )34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为,点)1,4(--P ,过点P 作圆的切线PB PA ,,求直线AB 的方程.。
圆的切点弦方程

圆的切点弦方程
上篇圆的切线方程的小公式讲的是过圆上一点的切线
问题,现在说说过圆外一点的切线问题. 以下面这道题为例. 显然,点M在圆外部.我们利用d=r来建立方程求解. 如何设直线方程呢?已知点M,当然设点斜式啊.可是,斜率一定存在吗?所以我们应该首先考虑斜率不存在的情况.
然后再考虑斜率存在的情况.
这道题不难,但是容易漏掉第一种斜率不存在的情况. 检查的方法就是记住这一点:过圆外一点作圆的切线有2条.如果你计算正确且只解出一条切线来,一定是漏掉了斜率不存在的情况.
观察上图,从M出发的切线有两条,设切点分别为A和B,连接AB,我们称AB为圆的切点弦.顾名思义,切点弦就是连接两切点得到的弦. 切点弦所在的直线的方程是什么呢?我们作一个一般化的推导.
研究过程中用到了圆的切线方程的小公式中的结论.
大家发现,这个结论和圆的切线方程的小公式中的结论有些类似. 区别在于:
当然,如果圆心不在原点,类比圆的切线方程的小公式,有这样的结论.
如果圆的方程为一般式,同样类比圆的切线方程的小公
式,也有这样的结论.
我们现学现卖,练下面一道题,体会一下这个公式好不好用?
审完题,判断求解的是切点弦所在直线的方程,可以用上述公式.
最后来看一道浙江省高中数学竞赛题.
分析:PQ为切点弦,考虑使用切点弦所在的直线方程.垂直关系可翻译为向量的数量积为零.
小结:1.点在圆上,小公式对应的是切线方程;2.点在圆外,小公式对应的是切点弦所在的直线方程;3.小公式如何记忆:对称原则,即把圆方程中的x和y保留一半,替换一半.。
怎样求圆的切点弦方程

一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程舒云水下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题:已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒⑴画出以PQ 为直径,Q '为圆心的圆,再求出它的方程;⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ,B ﹒直线PA ,PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗?为什么?⑶求直线AB 的方程﹒本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法:问题:过⊙Q 外一点P ,作⊙Q 的两条切线PA ,PB ,A ,B 为切点﹒求过两切点A ,B 的直线方程﹒(本文将两切点的连线段称为切点弦,求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程)思路方法:1. 第一步,求出以线段PQ 为直径的圆的方程;2. 第二步,将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒让学生解决上面第5问题时,不少学生都这样做:先求出两切线方程,再求出两切点坐标,最后求出直线方程﹒这样做,运算很复杂,不可取,上面课本上求出的方法很简便,我们应该掌握好,会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题:(2013年山东高考题)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为(A )032=-+y x(B )032=--y x (C )034=--y x(D )034=-+y x解法1:用上面方法﹒ 以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为:45)21()2(22=-+-y x ﹒ 将两圆标准方程化为一般方程得:0222=-+x y x ,03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为:032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2:易知点)1,1(为其中一切点,不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为21,所求直线AB 的斜率为-2,直线AB 的方程为:)1(21--=-x y ,即032=-+y x ﹒选A ﹒下面给出一个结论,用它做更简单﹒结论 过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线,则经过两切点的直线的方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地,当时0==b a ,直线方程为200r y y x x =+﹒证:以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为:()()[]202020204122y b x a y b y x a x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-﹒ 展开得:0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①将222)()(r b y a x =-+-展开得:2222222r b by y a ax x =+-++- ②②-①得:2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--,200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒所以经过两切点的直线的方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地,当时0==b a ,直线方程为200r y y x x =+﹒解法3:根据上面结论可直接得所求直线方程为:y x ⨯+--1)1)(13(=1,即即032=-+y x ﹒选A ﹒点评:上面结论不需记忆,作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置,观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊,用这种解法行不通,可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时,一方面要重点扎实掌握通性通法,对一些问题作深入探究,得出一般性结论;另一方面,要具体问题具体分析,根据题目特点灵活运用不同的方法求解,方法越简单越好,可为考试赢得宝贵的时间!Welcome To Download !!!欢迎您的下载,资料仅供参考!。
关于圆的切点弦所在直线的方程问题

高中数学 网上答疑 王新敞
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
问题:过点(2,3)M 的直线与圆221x y +=相切于A,B 两点,求直线AB 的方程 解法一:设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,则经过1122(,),(,)x y x y 的圆的切线分别为:111x x y y +=与 221xx yy +=,并且相交于点(2,3)M 所以,11231x y +=且22231x y +=
从而得直线AB 的方程:23x y +=
解法二:由题意O,A,M,B 四点共圆,且是以OM 为直径的圆C , 由O(0,0),M(2,3)得这个圆C 的方程为:(2)(3)0x x y y -+-= 即 22230x y x y +--=
则直线AB 就是圆22230x y x y +--=与圆221x y +=的公共弦所在直线, 其方程为:
2222(1)(23)0x y x y x y +--+--=
即 231x y +-=
解法三:用已知公式(结论):
点00(,)A x y ,由圆C 的方程220x y Dx Ey F ++++= 得, 直线方程:0000022
x x y y x x y y D E F ++++++= ① 当点00(,)A x y 是圆C 上的点时,①表示圆C 在点00(,)A x y 处的切线; 当点00(,)A x y 是圆C 外的点时,①表示从点00(,)A x y 向圆C 所引切线的两个切点所在的直线(切点弦所在直线)
根据以上结论,过点(2,3)M 的直线与圆22
1x y +=相切于A,B 两点,直线AB 的方程为:231x y +=
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圆的切点弦方程的解法探究
在理解概念熟记公式的基础上,如何正确地多角度观察、分析问题,再运用所学知识解决问题,是解题的关键所在。
本文仅通过一个例题,圆的部分的基本题型之一,分别从不同角度进行观察,用不同的知识点和九种不同的解法,以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。
一、预备知识:
1、在标准方程
2
22)()r b y a x =-+-(下过圆上一点),00y x P (的切线方程为:
200))(())r b y b y a x a x =--+--(( ; 在一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x (042
2>-+F E D ) 下过圆上
一点),00y x P (的切线方程为:
02
20
000=++++++F y y E x x D
yy xx 。
2、两相交圆01112
2=++++F y E x D y x (0412
12
1>-+F E D )与
022222=++++F y E x D y x (0422
222>-+F E D ) 的公共弦所在的直线
方程为:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。
3、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x (042
2>-+F E D )外一点
),11y x P (作圆的切线,其切线长公式为:F Ey Dx y x PA ++++=112121||。
4、过圆02
2
=++++F Ey Dx y x (042
2>-+F E D )外一点
),11y x P (作圆的切线,切点弦AB 所在直线的方程为:
211))(())r b y b y a x a x =--+--(((在圆的标准方程下的形式);
02
21
111=++++++F y y E x x D
yy xx (在圆的一般方程下的形式)。
二、题目 已知圆04422
2=---+y x y x 外一点P (-4,-1),过点P 作
圆的切线PA 、PB ,求过切点A 、B 的直线方程。
三、解法
解法一:用判别式法求切线的斜率 如图示1,设要求的切线的斜率为k (当切线的斜率存在时),那么过点P (-4,-1)的切线方程为:)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx
由 ⎩
⎨⎧=---+=-+-04420142
2y x y x k y kx 消去y 并整理得
0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ①
令 0)12416)(1(4)268(2
2
2
2
=+-+---=∆k k k k k ② 解②得 0=k 或8
15=k 将0=k 或815=
k 分别代入①解得 1=x 、1728-=x 从而可得 A(1728-,17
58
)、B(1,-1),
再根据两点式方程得直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法二:用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率
如图示1,设要求的切线的斜率为k (当切线的斜率存在时),那么过点P (-4,-1)的切线方程为: )]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx
由圆心C(1,2)到切线014=-+-k y kx 的距离等于圆的半径3,得
3)
1(|
1421|2
2
=-+-+-∙k k k ③
解③得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为:052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-
,17
58)、B(1,-1), 再根据两点式方程得直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法三:用夹角公式求切线的斜率
如图示1,设要求的切线的斜率为k ,根据已知条件可得 |PC|=34)]1(2[)]4(1[2
2
=
--+-- ,3=r ,5
3
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中,|PA|=5,5
3=
∠CPA tg 由夹角公式,得
5353153
=+-
k k ④ 解④得 0=k 或8
15
=k
所以切线PA 、PB 的方程分别为:052815=+-y x 和1-=y
从而可得切点 A(1728-,17
58
)、B(1,-1),
再根据两点式方程得直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法四:用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1,根据已知条件可得
|PC|=34)]1(2[)]4(1[22=
--+-- ,3=r ,53
)4(1)1(2=----=
PC k
在PAC Rt ∆中,|PA|=5,AH ⊥PC ,从而可得 9
25
=
=HC PH λ 由定比分点公式,得 H(3411-,3441
)
又因为 3
51-=-=PC AB k k 再根据点斜式方程得直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法五:将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一
如图示2,因为|PA|=|PB|,所以直线AB 就是经过以P 为圆心|PA|为半径的圆C`与圆04422
2=---+y x y x 的交点的直线,由切线长公式得
|PA|=54)1(4)4(2)1()422=--∙--∙--+-(
所以圆C`的方程为 08282
2=-+++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程,得 0235=-+y x 即 直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法六:将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二 如图示3,因为PA ⊥CA ,PB ⊥CB ,所以P 、A 、C 、B 四点共圆,根据圆的直径式方程,以P (-4,-1)、C (1,2)为直径端点的圆的方程为
0)2()]1([)1()]4([=-∙--+-∙--y y x x
即 0632
2
=--++y x y x
根据两圆的公共弦所在的直线方程,得 0235=-+y x 即 直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法七:运用圆的切线公式及直线方程的意义
设切点A 、B 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,根据过圆上一点的切线方程,得切线PA 、PB 的方程分别为
0424221111=-+-+∙-+y y x x yy xx 和
042
4222
222=-+-+∙-+y y x x yy xx
因为P (-4,-1)是以上两条切线的交点,将点P 的坐标代入并整理,得
⎩⎨
⎧=-+=-+02350
23522
11y x y x ⑤ 由式⑤知,直线 0235=-+y x 经过两点A ),(11y x 、B ),(22y x , 所以,直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法八:直接运用圆的切点弦方程
因为P (-4,-1)是圆04422
2
=---+y x y x 外一点,根据切点弦所在直线的
方程02
21111=++++++F y y E x x D yy xx 得
042
1424214=--+∙--+∙-∙-+∙-)
()()(y x y x
整理得,直线AB 的方程为:0235=-+y x 。
解法九:运用参数方程的有关知识
如图4,将圆的普通方程04422
2
=---+y x y x 化为参数方程:
⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 32cos 31y x (其中θ为参数) 设切点A 的坐标为(θcos 31+,θsin 32+),由PA ⊥CA 得 11)cos 31(2
)sin 32()4()cos 31()1()sin 32(-=-+-+∙--+--+θθθθ化简,整理得
03sin 3cos 5=++θθ ⑥
又因为5
3
)4(1)1(2=----=
PC k 3
51-=-=PC AB k k 可设直线AB 的方程为035=++c y x ,将点A (θcos 31+,θsin 32+)代入并整理,得
03
11sin 3cos 5=+++c
θθ ⑦
由式⑥和⑦知,33
11=+c
,从而得 2-=c 所以,直线AB 的方程为:0235=-+y x。