常见曲线的切点弦方程
切点弦方程公式
切点弦方程公式
切点弦方程公式是一种广泛应用于数学分析中的概念，它的概念能够帮助我们更准确地研究几何形状的属性。
它的发明主要是为了解决在几何学中某些问题而发明的。
这个公式的发明者是古希腊的几何学家启发，他在研究几何形状的问题时发明了这个公式，以便更准确地研究几何形状的属性。
切点弦方程公式是由等式弦长与弦的两点的切点的距离的四次平方关系组成的，公式为：D=k^2+m^2+n^2，其中，D为两点切点的距离，k，m，n分别为弦的长短三边长度，用英文字母呈现出来就是：D=k^2+m^2+n^2。
该方程式与弦理论有着紧密的联系，用它来求取等腰三角形弦（Chord）长度可以更加准确，简单，有效地解决等腰三角形弦长度问题。
在将这个方程式应用到等腰三角形中时，只要将三角形其中两点的坐标求出，,然后将它们的绝对值相加即可得出弦的长度。
此外，这个公式也可以应用于圆形的情况，当今，它也被广泛应用在机器学习、计算机视觉等方面，用来检测物体形状和求取物体距离。
切点弦方程公式可以用来检测两个点之间的距离，也就是说，如果给定两个点的位置，那么就可以用切点弦方程求出它们之间的距离。
归纳起来，切点弦方程公式是一种比较简单的数学方程，它有着广泛的应用范围，可以用来求取几何形状的属性以及实现机器学习的检测等功能。
此外，它也可以帮助我们更好地理解距离的概
念。
从这些例子中我们可以看出，切点弦方程公式为几何学和机器学习等研究提供了极大的帮助。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
＝（ｎｌａ２ ４－ａ；Ｏｘ；＋（ｂｌｂ２＋ｂ Ａ）《＋
（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）ＸＯＹｏ一
［（ａｌｂ２＋ａ２ｂ１）Ｙｏ＋２ａｌａ２名ｏ］名。一
［（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）茗ｏ＋２ｂＩｂ２Ｙｏ］Ｙｏ，
且口Ａ麟。算＋Ａ ｂｙｏｙ＝Ａ似：＋Ａ ６＿《．
从而，Ｏ；Ｘｏ髫＋ｂｙｏｙ＝鲋ｊ＋６扼．
这说明，点Ｍ（戈。，Ｙ。）关于双直线ＡＣ、
＼ ∥～ｙ ／ａ。＋２
Ｏ／
－ｘ
／
都成等角．证明：这
图６
样的折线只能位于
抛物线对称轴的一侧．
（第２２届全苏数学奥林匹克）
讲解：不妨设抛物线为Ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）．
依次取折线上三个相邻的顶点Ａ；（并ｎａｘ；）
（ｉ＝ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２，ｎＥ Ｎ）．
由抛物线在点Ａ。＋。处的切线方程（或求
导数）可知其斜率
ｋ七 ｌ２ｊ２：｝２－ａｋ＝ｘ＾忌Ａ＋ｎｌ一， ＋ｌ一Ａｎ．＋＋２．－－＝鼎掣叫＝凸Ｘ（ｎＸ＋ｎ２＋４＂Ｘ石ｎｎ＋＋Ｉ１）？）．
即５菇一７ｙ－鲁：ｏ．
所以，Ｑ也是ＭＮ的中点，即定点Ｑ平分 线段ＭＮ．
注：从曲线的含变化参数的方程（实际
上就是曲线系方程）求出曲线上的定点，是
证明曲线过定点的常规方法．由于本题中的
切点弦ＭＮ只依赖点Ｊｐ的位置，因此，使用切
点弦方程正是时机．证明点Ｑ平分线段ＭＮ
实际上是使用了同一法，同时也发挥了中点
弦方程的作用．
２００９年第８期
７
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
（湖南省澧县一中，４１５５００）
（本讲适合高中） １知识简介
记Ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｋ＋Ｅ｜ｙ＋Ｆ １．１二次曲线中点弦的方程
切点弦方程
切点弦方程数学中有许多常见的概念之一是切点弦方程，也称曲线切点弦方程。
它是一种用来寻找曲线上两点之间的最短距离的方法。
该方法的基本原理是：在曲线上的任意两点之间，均存在一条叫做“切线”的线段，其两个端点分别在两个曲线上的点，而这一条线段的长度就是两点的最短距离。
切点弦方程的定义显示，这一方程可以用来求解以下问题：如果对某条曲线上的任意两点之间的距离，就可以根据切点弦方程求出它们之间的最短距离。
二、切点弦方程的原理为了证明切点弦方程的正确性，我们首先介绍一下几何中的基本定理：定理一：线上任意两点之间的最短距离即为它们所夹的切线的长度。
其中，它们所夹的切线恰好是这两个点之间所围成的三角形的一边。
根据定理一，我们可以进一步得出：定理二：两点之间的最短距离恰好是它们之间存在一条切线，而这一条切线的长度可以由它们所夹的切线的三个端点求得。
由于定理二中所提到的切线不是平凡的折线，因此它可以用更加复杂的方式来求得，这正是切点弦方程的基础。
三、切点弦方程的应用切点弦方程的应用在许多方面都得到了大量的运用，其中最常见的用途就是用来求解几何图形的实际面积，其次就是用来计算地图上某两点之间的距离，还有其他的应用，比如用切点弦方程求取曲线上两个点间的最佳切割点，检查曲线上的各个点是否符合某些规则等等。
此外，切点弦方程在数值分析和物理学等领域也有着广泛的应用，其中最著名的一个应用就是计算数值积分，即使用切点弦方程来求取函数在某一区间上的实际积分量。
四、切点弦方程的解法一般情况在一般情况下，切点弦方程的解法是求解一个n阶方程的求根问题，该方程的形式如下：P(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + c = 0其中，a,b,c等系数是根据给定的曲线特征函数求得的。
在大多数情况下，这些方程通常可以通过迭代法、牛顿法等数值分析方法来求解。
殊情况在某些特殊情况下，比如曲线为直线或者圆的情况，就可以用数学的传统方法来解切点弦方程了。
0切线方程及切点弦
②切线方程及切点弦若曲线：022=++++F Ey Dx By Ax 上的点为()00,y x ，则该点外的切线方程为：()()0220000=++++++F y y E x x Dy By x Ax 如1、椭圆：12222=+b y a x 切点为()00,y x ，则切线方程为12020=+b yy a x x2、双曲线：12222=-b y a x 切点为()00,y x ，则切线方程为12020=-byy a x x3、抛物线：px y 22= 切点为()00,y x ，则切线方程为()x x p y y +=00椭圆上点()00,y x P 的切线的推导：12222=+b y a x Θ 02222='⋅+∴b y y a x()，由点斜式切0202,00y a x b y k y x -='=∴()002020:x x y a x b y y l --=-切整理得：02020220202=-+-x b x x b y a y y a 2022020202y a x b x x b y y a +=+∴12202202020=+=+∴b y a x b y y a x x ，12020=+∴b yy a x x P 处的切线方程为：点 例1、椭圆12:22=+y x E 过点()2,2P 引E 的两条切线，切点分别为B A ,，求AB l 解：设()11,y x A ，()22,y x B ，则E 的两条切线方程分别为：12:11=+y y xx l A ，12:22=+y y xx l B ，又P Θ点在切线A l ，B l 上12,122211=+=+∴y x y x 有 由此特征可得12:=+y x l AB 练习：（2018届茂名一模16）过抛物线y x E 42=：的准线上一点P 作抛物线E 的两条切线，切点分别为B A 、，若AB l 的倾斜角为6π，求P 点的横坐标③抛物线二级结论之相切过焦点的两直线QF l 和PF l 互相垂直，分别与准线抛物线的交点为P Q 、则PQ l 与抛物线相切 例、已知抛物线()02:2>=p px y E 的焦点为F ，准线为l ，A 使E 上一点，线段FA 的中点坐标为()22，. （1）求E 的方程（2）点M 为l 上一点，P 是E 上任意一点，若FP FM ⊥，试问直线MP 与E 是否有其他公共点？说明理由.解：（1）略x y 82=,（2）①取()42，P 易求得()42，P 点处的切线为2+=x y FP FM ⊥Θ，()02，-∴M 也在切线上②设E 上任意一点()y x P ,，由x y 82=两边取导数得yy 4=' P ∴点处的切线斜率为141y y y y ='=()x x y y l P +=∴114：切，则它与l 的交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1184x 2y N ，ΘFP FM ⊥，设()2y 2，-M ∴由0=⋅得()()0y 2y 4112=-⋅-，，x 11221184048y x y y y x -==+-∴即 ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1184x 2y M ，与N 点重合,综上，若FP FM ⊥时，MP l 与E 没有其他公共点 变式1、已知抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且x PF ⊥轴，过点P 且与抛物线相切的直线与x 轴相交于点Q ，若2=PQ ，则抛物线的标准方程为（ ）x y A 8.2= x y B 6.2= x y C 4.2= x y D 2.2=变式2、已知抛物线()02:2>=p py x C ，过点⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p M 引抛物线C 的两条切线，切点分别为B A ,且4=∆MAB S ，若抛物线C 与直线01:=+-y x l 交于Q P 、两点，则=PQ （ ）8.A 16.B 4.C 02.D。
(奥赛)圆锥曲线的切线及切点弦方程
1(a b 0上) ，
x0
a cos ,
y0
bsin ,
(0, )
2
O 直线
l2 与直线
l1 :
xx0 a2
yy0 b2
垂1 直，
为坐标原点，直线
直线 l2 的倾斜角为 .
o的p倾斜角为 ，
证明: 点 P 是椭圆与直线 l1的唯一交点；
复习：
1： 过圆x2 y2 r2上一点M (x0 , y0 )的切线方程:
Q
(2)设Q(t，0)，则直线AB的方程为tx-2(y-2)=1
直线MQ的方程为
x t
y 2
1,
B
交点N的坐标为（t2
t
4
,2tt2246
）,
NM A
点N的参数方程为
t
xt2 4
y
2t2 6 t2 4
Q
点N的轨迹方程为x2 y2 7 y 3 0 2
圆锥曲线的切点弦方程
◆ 设P(x0 , y0 )为圆x2 y2 r2外一点，则切点弦的方程为：
xx0 yy0 r2。
◆
设P(x0 ,
y0
)为椭圆
x2 a2
y2 b2
1外一点，过该点作椭圆的两条切线，
切点为A，B则弦AB的方程为：
xx0 yy0 1 a2 b2
◆
过P(x0 ,
切点为A，B，求证直线AB恒过定点
证：设A(x1, y1），B(x2 , y2 )
则过A点的切线方程l1：xa12x
y1 y b2
1
则过B点的切线方程l2：xa22x
二次曲线切点弦方程
二次曲线切点弦方程二次曲线和直线的切点是指直线与二次曲线在某一点上相切的现象。
直线与二次曲线在切点处有相同的斜率，也就是说它们在这一点上有相同的切线。
切点的存在与否取决于直线与二次曲线的位置和方向。
要求二次曲线和直线的切点的弦方程，首先要确定二次曲线和直线的方程，然后找到它们的切点坐标，最后建立切点的弦方程。
下面我将详细介绍如何求解二次曲线和直线的切点弦方程。
1. 求二次曲线和直线的方程假设给定的二次曲线方程为$y=ax^2+bx+c$，直线方程为$y=mx+n$。
我们首先要找到二次曲线和直线的交点坐标，即联立这两个方程求解$x$和$y$的值。
将直线方程代入二次曲线方程，得到：$ax^2+bx+c=mx+n$移项整理得到：$ax^2+ (b-m)x +(c-n)=0$这是一个二次方程，求解得到$x$的两个解，即二次曲线和直线的交点的横坐标。
将$x$的值代入直线方程或二次曲线方程，即可得到对应的纵坐标。
2. 计算切点的坐标找到二次曲线和直线的交点坐标后，我们需要进一步计算这个交点处的切点坐标。
切点是指直线与二次曲线在该点上相切的点，也就是说它们在这一点上有相同的切线。
切线的斜率是直线和曲线在切点处的斜率，我们可以通过导数的方法来求解。
求二次曲线$y=ax^2+bx+c$的导数得到$y'=2ax+b$，直线$y=mx+n$的斜率为$m$。
因为在切点处切线的斜率应该相等，所以我们有：$2ax+b=m$将切点坐标代入上式，可以解出切线的斜率。
然后代入切点坐标和切线斜率，求解出切点的坐标。
3. 建立切点的弦方程求解出切点的坐标后，我们可以建立切点的弦方程。
弦是连接两个点的直线，我们可以利用两点式来建立弦方程。
设切点坐标为$(x_1,y_1)$，且经过另一个点$(x_2,y_2)$，则弦方程为：$\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$将切点坐标和另一个点的坐标代入上式，即可得到切点的弦方程。
圆锥曲线的切线及切点弦方程
圆锥曲线的切线及切点弦方程近几年，切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题, 或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。
2 2 71点 Pg,儿诳椭圆 7+F=l（fl>fr>0）上r = °c。
"，儿"sin0,0e（O,亍）直线I与直线人：牛+学=i垂直,O为坐标原点，直线op的倾斜角为4 cT b°直线12的倾斜角为/.证明：点P是椭圆与直线人的唯一交点；复习：1:过圆X2 + y2 = r2_t 一点M（x0, y0）fi\J 切线方程：“）+啊=八x2V22：设P（q,儿）为椭圆—+—= I上的点，则过该点的切线Jj程为：cr b°3：设P（入，儿）为双Ml线丄--二=1上的点，则过该点的切线方程为：0. Zb24：设P（A0,y0）为抛物线V2 = 2 px±.的点，则过该点的切线Jj程为： y 儿=P（X + %）圆锥曲线切线的几个性质抛物线）的准线弓其氏（实）轴所在iT •线 抛物线）的两条切线，则切点弦氏等于该 的通径.性质2过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F|的直线交椭圆 （双曲线，抛物线）丁认，B 两点，过A, B 两点作椭圆（双曲 性质1过椭圆（双曲线,的交点作椭圆（双曲线,椭圆（双曲线,抛物线）所以 = -3y G +市点P 在直线/1：运动.从而得到亟心G 的轨迹方程为:X_ (―3y + 4x 2)- 2 = 0•即 y =丄(4于-x + 2). 3例題1： 如图。
瑕扼汤绳、：¥=/的魚点为F,动点P 在直线/: x - y - 2 = 0上运动，过P 作拋杨线C 的两条切线PA 、PB, 且与拋场线C 分别相切于A 、B 两5•求2XAPB 的重心（3的轨迹方程.解：设切点A 、B 坐标分别为（匕兀）和（"，*）（（"工％） .・.切线AP 的方程为： 2x u x 一 y — X ： = 0;切线BP 的方程为： 2X]X - y - x ； = 0;x + x 解得P 点的坐标为： x p = ----- • y P = x o x lX 。
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结
切点弦方程知识点归纳及应用技巧总结谢吉【摘要】切点弦方程是平面解析几何中的热点问题，求常见曲线的切点弦方程也成了近年来高考的热门题型。
随着导数的引入, 它的内涵更加深刻、题型更加丰富。
熟练掌握切点弦方程的基本知识点，熟记圆锥曲线切点弦的基本性质，巧妙的应用切点弦的几个定理，能够非常灵活的求出常见曲线的切点弦方程。
本文将会总结出常见曲线切点弦方程相关的知识点，探究圆锥曲线的基本性质，并对切点弦方程的相关定理及应用技巧做简要介绍，其目的在于说明运用此定理可以有效简化解题过程，提高解题速度，启迪思维开阔视野。
【关键词】：切点弦 圆锥曲线 1、常见曲线的切点弦知识点归纳 （1）圆的切点弦方程命题 1 过圆 C: x2+ y2= r2外一点M ( x0 , y0 ) 作圆的两条切线 MA 、MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为 x0x + y0 y = r2证明: 因为 OA ⊥ MA , O B ⊥ MB, 所以,O 、 A 、 M 、 B 四点落在以 O M 为直径的圆x ( x - x0 ) + y ( y - y0 ) = 0上, 它与圆 C 的公共弦即为 AB 。
两圆方程相减, 得切点弦 AB 所在的直线方程为x0 x + y0y = r2 (2) 椭圆的切点弦方程命题 2 过椭圆 C:12222=+b y a x 外一点M ( x0 , y0 ) 作椭圆的两条切线 MA 、 MB ，则切点弦 AB 所在的直线方程为12020=+b yy a x x 。
证明: 设 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，将方程12222=+b y a x 两边对 x 求导得122'22=+y b y a x 。
于是, 切线 MA 的方程为y - y1 =)(11212x x y a x b --,即0)()(121121=-+-y y b y x x a x 化简得：1:2121=+b y y a x x L MA ，特别地, 当 y1 = 0 时, 上式也成立。