圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳

1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22

221x y a b

+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相

切的切线L 方程为：12020=+b

y

y a x x 。

122

22=+b

y a x

'2'2()()1x y +=

推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率

分别为1k ，2k ，0

01000

0y ay b k x bx a

-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴0210

1bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx x

y x b ay a -

=--，又'',x y

x y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a

-=--，即

为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅

，000022()

()y y y x x x b a --=-，22

00002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴22

00221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y y

a b

+=1；

易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。综上，推导完毕。

2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程122

22=+b

y a x （a>b>0），一直线L 方程为：

0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离

⇔2222A a B b +<2C 。

122

22=+b

y a x '2'2()()1x y +=

推导：如图所示，在右图中根据点到直线的距离公式，易求得圆心O （0，0）到直线

'

'

'

:0L Aax Bby C ++= 的 距 离 d =

=

。

直线L 与椭圆C 相交⇔直线'

L 与单位圆相交⇔d =

<1⇔2222A a B b +>2C

直线L 与椭圆C 相切⇔直线'

L 与单位圆相切⇔d =

=1⇔2222A a B b +=2C

直线L 与椭圆C 相离⇔直线'

L 与单位圆相离⇔d =

>1⇔2222A a B b +<2C

推导完毕。

3、椭圆切点弦推论：已知椭圆C 方程122

22=+b

y a x （a>b>0），C 外一点P （00,y x ），过点P 作与C

的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：12020=+b

y

y a x x

122

22=+b

y a x

'2'2()()1x y +=

推导：如图所示，设椭圆切点1,122(),(,)A x y B x y ，转换后为圆上切点''1122(

,(,x y x y

A B a b a b

。 当直线'OP 斜率存在且不为0，设直线'OP 、''A B 的斜率分别为1k ，2k ，

易知'''OP A B ⊥，即121k k ⋅=-，1k =∴02101bx k k ay -==-，又切点弦经过点'11(,x y A a b ''A B 所在直线方程为：''0110()bx y x

y x b ay a

-

=--，

又'',x y

x y a b

=

=，

∴椭圆切点弦AB 所在直线方程为：01

10(bx y x y x b b ay a a

-=--，化简得：0001012222x x y y x x y y a b a b +=+；又'00(,x y OP a b =，'11(,)x y OA a b =，

'

'

0011x y x y OP OA a a b b ⋅=⋅+⋅=010122x x y y a b +；又易知'

OA =1，在''AOP Rt ∆中，''''

cos OA A OP OP ∠=

='1OP ，∴''''''

cos OP OA OP OA AOP

⋅=⋅⋅∠='1OP ⋅⋅'

1OP =1，即''OP OA ⋅=

010122x x y y a b +=1。∴ 000101

2222x x y y x x y y a b a b

+=+=1。

当直线'OP 斜率1k =0，即'P 在'x 轴上时（即P 在x 轴上，00y =），P 0(,0)x ，转换后'0

(

,0)x P a

，如下左图所示，设切点弦''A B 交'x 轴于点N ，在'AON Rt ∆与''AOP Rt ∆中，易知'

'''

cos ON OA A ON

OA OP ∠=

=

，

又易知'1OA =，'0x OP a =

，故0

a

ON x =，易知''A B ⊥'x 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0a x ON x ==

又'x

x a =，∴椭圆的切点弦AB 所在直线方程0

x a a x =，

整理得021x x a =，00y =，∴满

足推论；

同理，当直线'OP 斜率不存在，即'P 在'y 轴上时（即P 在y 轴上，00x =），0(0,)P y ，转换后'0

(0,

)y P b

，如上右图所示，设切点弦''A B 交'y 轴于点E ，在'AOE Rt ∆与''AOP Rt

∆中，易知'

'''

cos OE OA A OE OA OP ∠=

=

，又

易知'1OA =，'0y OP b =

，故0

b OE y =，易知''A B ⊥'y 轴，∴圆的切点弦''A B 所在直线方程为：'0

b y OE y ==

又'y

y b =，∴椭圆的切点弦AB 所在直线方程：0y b b y =，整理得021y y b =，00x =，∴也

满足推论。

综上，推导完毕。