刘占国《利息理论》第二章习题详解及提示
新编利息理论 刘波 课后答案
第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解:()n n-1t 11I A (n )A (t)I I I n (n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A (n )A (t) 22nn k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为:2a (t) at b=+。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)tA (t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45% (2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1)10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n==. 试计算A(7) 。
《利息理论》实验教学大纲
《利息理论》实验教学大纲课程代码：15340016 开课单位：保险系课程总学时：54 学分：3.0 实验学时：9 实验学分：3实验项目数：3课程类别：专业实验课程先修课程：微积分、概率论适用专业：保险（保险实务）一、教学目标金融、保险领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。
本课程的目的是学习如何通过数学模型刻画许多金融领域中遇到的有关利息的计算以及与利息有关的金融产品的定量分析方法，掌握金融数学中以货币时间价值为基础的金融定量分析方法，并为今后对现代金融业务作进一步研究或实务打下坚实的基础。
开设实验课的目的在于将理论与实际相结合，即将保险理论与保险实务紧密地结合在一起，使学生学以致用。
由于许多课程只有通过实验、或通过上机操作才能真正弄清楚，所以说，实验课的开设对培养学生的动手操作能力是必不可少的内容，是保险理论与实务教学的重要组成部分。
本实验课程通过计算机中的Excel或专门的精算软件，解决有关利息的度量、单一支付现值与终值、年金现值与终值的计算、投资决策（NPV、IIR的计算）、摊还表及偿债基金的设计与计算、债券价格的确定及风险的度量等内容，具有综合性的特点。
这些实验课的开设是为了使同学在理论学习的基础上通过计算机实际操作，加深对所学内容的理解，为以后工作和科研提供可以借鉴的实际经验。
二、教学要求课堂讲授：采用多媒体课件，在讲授过程中尽量运用启发式、参与式、情境教学、案例教学等方法与学生形成良性互动。
学生能够了解相关的英语术语，能够学会使用excel进行相关计算。
实验：学生能够在理论学习的基础上，熟练使用计算机中的Excel或专门的精算软件，解决有关利息理论的计算问题。
作业：中国精算师资格考试用书——利息理论中的例题和习题。
三、学时分配四、教学方法采用多媒体课件，在讲授过程中尽量运用启发式、参与式、情境教学、案例教学等方法。
(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案
第二章 年金 部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。
刘占国《利息理论》第一章、第三章习题答案与提示
第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1( 16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23）22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论24. 用公式（1-32） 25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴v d i e a δ，∴c)中，v ln -=δ， d)中，δ--=e d 128.⎰=tdx x e t a 0)()(δ 29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；h e j =+1 31.（1）902天39.t e t A dr +=⎰10δ )1ln(0t dr t A +=⎰∴δ，两边同时求导，t t A +=11)(δ，)(t B δ类似 46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x 第三章 收益率2.解：234000 1.120000.93382⨯-⨯=3.解：237000100040005500(0)v v v v v --++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时， 令(0)0v v i =⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000k k k dt dt dt t k t k t k ee e +-+-+-⎰⎰⎰+-= 解得：0.14117k = 10.解：560.0450.0461000 1.04550.04s i is -⎛⎫++ ⎪⎝⎭13.解：50000068000060000500055000A B I ===-=，，29.78%I i A B I=≈+- 14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i -⎛⎫⎡⎤⎛⎫=⨯++⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭15.解：1212121k t dt t e k ++⎰=⇒= 书后答案是1k =，不知我对它对。
2 利息理论
反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的 价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
利息率=利息100元与本金1000元之比=10%
贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%
18
利率和贴现率的关系
a(1) 1 (1 i) 1 i d i a(1) 1 i 1 i
0.05884
4
0.05870
6
0.05855
12
0.05841
∞
0.05827
i
(m)
0.06000
26
名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。
以 d ( m ) 表示，m表示结算次数，
1 d [1
d
(m)
m
(m)
]
m
d m d 1 [1 ] m
27
名义贴现率和利率、名义利率的关系
五、利息力
利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。
(m) i 对于名义利率 ，当结算次数m趋于无穷大时便可 以表示确切时点上的利率水平。
定义利息力δ为，
lim i
m
( m)
d (1+i ) x |x 0 (1+i) ln(1 i) |x0 ln(1 i) dx 1 e . 故， e 1 i，
i(m) m 12% 12 i (1 ) 1 (1 ) 1 12.68% m 12
30
(2)实际贴现率为
d (m) m 10% 4 d 1 (1 ) 1 (1 ) 9.63% m 4
(3)由(1 i)1 1 d , 有
i(m) m d (n) n (1 ) (1 ) m n 12% 12 d (2) 2 (1 ) (1 ) 12 2
2011利息理论试题(A答案)
中国矿业大学 （2010~2011第二学期）《利息理论》试卷（A ）（理学院应用数学 2008级使用）考试时间： 100分钟 考试方式： 闭卷一、（每小题5分，共10分）1、求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及利息力。
(2)1118%2i i +=+=+答案：（）1(2)2[(18%)1]27.85%i=+-⨯= l n (1)l n (1.0i δ=+=2、已知利息力21t tδ=+，计算累计函数(2)()10a t d 及第年的 0221()(1)tdtt a t et +⎰==+答案：2102(10)(9)101(10)11a a d a -==-1(2)2(2)210101(1)2(110.18182d d d d -=-⇒=--=又（））二（10分）、某期末付永续年金中，各次付款额为123 ，，，，证明该年金的现值为211i i +。
1p a pv pv i ∞=+=+答案：1(1)p v i⇒-= 211111i p d i i i i i+===+三、（10分）某永续年金在第一年末支付1，第二年末支付3，第三年末支付5， ，证明该年金的现值为：22(1)v v v +-。
2212(1)v v v p i i i v +=+=-答案： （证明方法很多种，仅列一种最简单的方法）四、（10分）现有两个n 年期年金,一个现值为100元,另一个终值为100元,计算年金差额, i=10%100*10i -==n n100100答案： 年金支付差额=a s五、（10分）某年金每年初付款1000元，共8年，各付款利率为8%，各付款所得利息的再投资利率为6 %，计算第8年末的年金积累值及该投资的实际收益率i '(写出算式及计算说明即可)。
0.060.068(.0)11321.730.06⨯-⨯=N-1n 答案：累积值=8000+10000.08(IS)s =10008+088100011321.73i a '= 解出i '即可六、（10分）某总额1000元的债务，原定将分10年于每年年末等额偿付，合同规定年利率为5%，当第4次偿付完成时，年利率上调为6%，如果余下6次等额还款，则每次还款额是多少？P 答案：设原还款额为100.051000pa =129.5p = 440.05100010.05129.5657.34s =+-=第四次还款后的余额（） 6R 余下的次还款 60.06657.34R =133.67Ra =⇒七、（10分）某人以半年度转换利率12%借款10000元，期限5年，他以偿债基金的方式偿还本金，在未来的5年内每年末向偿债基金等额存款，假设偿债基金的年利率为8%，则他总共支付的金额是多少？R 答案：设偿债基金的存款额为50.08Rs 10000=R=1704.56解得.50.061014523⨯⨯⨯=支出总额=170465+10000八、（10分）面值1000元的10年期债券，票息率为每年计息两次的年名义利率8.4%，赎回值为1050元。
《利息理论》第四章 债务偿还 习题详解及提示
第四章债务偿还1.解：5510000 1.1220004917.72s ⨯-=2.解：()10100.081.081468.0510x x x a -=+⋅-3.解：设共需还款n 次415001200n a -=最初贷款额1500n a =4.解： 100.0810000100001.5100002X i P Ps X i P =+⎧⎪=⎨⎪=⨯+⎩5.解：过去法：()()()()7251051510524000300020001400013000a a a a a i s i s ⎡⎤+-+-+-+-⎣⎦ 未来法：33530002000a a v +7.解：()11481211 1.5i i +=+=月 80120100000i i a a 月月8.解:由于不知利率上调后偿还期的变化，因此用过去法比较简便()()121212120.03120.0352311510.0310.0351000 1.0351000s s ++-- 9.解：2012011k k v v -+-+=-10.解：()()()6126100011366.87110001i i i ---+++=⇒+= ()31366.871i -∴+= 11.解：2016120171201812019120201vv v v v -+-+-+-+-+++++ 5543211v v v v v v i -=++++=； 2031100Pv P -+=⇒；51v P i- 12.解：20817720(1)k s v a i a -++=+- （k 为剩余还款数）解得：k =12原利息：2020a -； 现利息：207x k a ++-∴节省利息 131********x k v v --=--=-13.解：()()358113522114144113511080.25P P v P v v -+-+=⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎩ 第29次 ()35291172P v-+-= 14.解：L 每次还款额为030B a ， N 每次还款本金为030B ，第t 次还款额为000030(1)3030B B B B t i a ⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦ 15.解：30121121121.0021 1.051250001.0510.002P ⨯⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭=-- 16.解：3108112i v --+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17.解：()31300012000n vn -+-=⇒613000n v -+ 18.解：418%(1i +=+季）()4050040i a -季19.解：每月还款额360100000i P a =月 120120325.40)(1)100000120i k i Pa P a i k -+++=⇒=月月月（∴利息支出为：120(325.40)12010000066261.2P P ⨯++⨯-=20.解：10444104410410 1.054 1.0520010 1.0520010 1.050.050.05a a B a a --⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯=+⨯-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第5次还款中的利息为4iB21.解：10101010a v Pa P i P i ⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解：1055510510510510(1)(1)10(1)(1)a v a v a i a i i i i ⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭23.解：（1） 331.041 1.12000400 1.11287.760.06⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）第二年末贷款余额为： 221.041 1.12000400 1.115640.06⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴第三次还款中本金为 1564-1287.76=276.2424.此题较麻烦25.解：10102555ln1.05 2.8658t t B dt a dt δ-==⎰⎰ 27.解：10.1t B t =-（1）510.150.5B =-⨯=前5年还款本金为：510.5B -=（2）55000.1(10.1)0.375t B dt t dt δ=-=⎰⎰28.解：120.04250.0410000100005%0.04355.69s s ⨯-= 第9年偿债基金增长额为80.04250.04250.0410000100000.04328.61s s s +=29.解：40.03100.0310******** 1.03100005%s s -+⨯ 30.解:(1)1000010%1000Li =⨯=(2)1500-1000=500(3)5000100050000.08600Li j -=-⨯=（4）5000(1)5005000900j ++-=（5）5000(1)5005900j ++=32.解：100.0710000Xs = 33．解: 100.04100.05220.0510002L Ds L xa L D x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩34.解：10100.04100.0412000(280 1.04400)s s -+ 35.解：310.0340000040000036000i s += 36.解：2020200.03200.0320 1.0350 1.031000000.03a Xa -⎡⎤-⨯+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
利息基本理论和利息度量
32
收益率曲线
收 益 率
（1）向上倾斜
益 率
（3）向下倾斜
期限
33
预期理论
最早的利率期限结构理论 1896年，埃文．费雪提出 假定： （1）投资者只关心收益率，是收益率最大化 （2）收益率相同的资产可以完全替代 长期利率等于该期限内人们预期出现的所有短 期利率的平均数
货币的时间价值
“时间就是金钱，效率就是生命” 1982年，最早在深圳出现的口号
货币的时间价值
课程介绍
1.北美精算师协会（Society of Actuaries，简称 SOA）的准精算师资格考试中的经济金融的主要 部分 2.中国精算师资格考试的第1门专业课程 3.金融学保险专业的基础课程 4.国内保险精算专业的核心基础课
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 利率概述 利息的基本概念 年金 收益率 债务偿还 债券和其他证券 利息理论的应用与金融分析 利息的随机处理
8
第1章 利率概述
本章学习目标…… 1.利率的含义 2.均衡利率的形成 3.为什么期限越长，利率越高？ 4.不同金融工具的利率计算方法、表现 形式
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０
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∫ 39.解： n (1− kt ) vtdt = f − g − h 0
1− vn 1
f = lim a = lim =
δ n→∞ n n→∞
δ
g = (1− kn) 1 ⋅ vn δ
40.解： a(t)
=
t 1 dr
e∫0 1+r
=1+t
∫ ∫ a = n a−1(t)dt = n 1 dt = ln(1+ n)
i 4i 6i 8
iii
i − vd
45.解：
K&s& 25
1.022
−1
=
5
+
Ka&& 30
0.015
1 46.解： a
1 a+ a 120 i月
a
1.03−10 + x a
1.03−10 = 1
180 i月新
100000 180i月新
300 i月
300 i月
47.解： a(t)
=
t 1 dr
e∫0 1+r
1 Ra
2n
=
R
⎛ ⎜ ⎝
1 i
−
a n
⎞ ⎟ ⎠
17.解：1500a = 100000 解得 m ≈ 95.6 即正常还款次数为 95 次 m 0.008
1500a + f (1+ 0.008)−95 = 100000 95 0.008
19.解：
解得 f = 965.74
⎛
⎞
1000
⎜⎜⎝
s
10
i( 2 2
20
i
37.解：
1 1 1… 0 1 2 3…
∴95.36
=
a 20
(1 +
i)
−
n (1+
)i −20
i
1
该永续年金现值为
i
1
1
1…
0 1 2 3 4 5 6…
该永续年金现值为： (1+ )i −2 + (1+ )i −4 +L = 1
(2 + i)i
11
i+3
∴所求年金现值为： +
=
i (2 + i)i (2 + i)i
=
⎛ ⎜⎝
i
i
(12)
+
i 12
⎞ ⎟⎠
a n
( ) 32.解：
500
lim
n→∞
a&& n
i半
1+ i半
−t
= 10000
( ) 1+ i = 1
1− d
=
1+ i半
2
⇒1+
i半
=
(1 −
d
)−1 2
，
i半
=
(1 −
d
)−1 2
−1
( ) ∴ 1+ i半 1−t = 20
i半
a&& − nvn
36.解： ( Ia) = n
n−a n
= 1 × 4 = 40 10%
n
n a&& − tvt
∑ ( ) ∑ 49.解：1）
Ia = t
t =1
t =1tin00 1+t
42.解：后五年等比
( ) 1000 &s& − &s& 10 5
+ 1050
×
1
−
⎛ ⎜ ⎝
1+ k 1+ i
5
⎞ ⎟ ⎠
(1
+
i
)
(1
+
i
)5
i−k
43.解：
1
12
2
3
3…
0 … 4 5 6 7 8 9 10 …
1 − a + 1 − a + 1 − a +L = v4 + v6 + v8 +L = v4
=1+t
∫ ∫ v(0) = 14 (t2 −1)a−1(t)dt = 14 (t2 −1) 1 dt = 84.5
1
1
1+ t
48.解： a = 1− vt ，
a
1− vn =
t
δ
n
δ
∫ ∫ ( ) n a dt =
0t
n 1− vt 0δ
dt
=
1 δ
⎛ ⎜n ⎝
1− vn −
δ
⎞ ⎟ ⎠
=
1 δ
a =y=
=
(*)
2n
i
i
将 i = d 代入（*） 1− d
7.解：
1000 1000
1000
0 1 … 17 18
1000&s& 18
(1 +
) 0.08
−5 12
=
39169.84
8.解：5000&s&10
0.1
=
Ra&& 10
0.1
9.解：5000&s&10
0.1
=
Ra&& 10
0.15
14.解：永续年金每年支付 R
类似地， v11 = 1− ia = 1− iL， v18 = 1− ia = 1− iM
11
18
Q v7v11 = v18
∴(1− iK )(1− iL) = 1− iM 从而 i = L + K − M KL
31.解：
a(2) n
=
1− vn i(2)
，
a&&(12) n
1− vn =
d (12)
f (1.032) = −0.003186
23.解：
a 6
0.04
+
1
−
(1+
i
i
)−4
1.04−6
，1
+
i
=
⎛⎜⎝1 +
0.04 4
4
⎞ ⎟⎠
24.解：
R 1.1025R 1.205R
0 123 4
R ×1.054 +1.1025R1.053 +1.1025R1.052 +1.205R1.05 = 11000 得 R = 2212.147
1− (1+ i)−n
25.解： a =
n
i
∂a ∴n
∂i
n (1+ i)−n−1 i −1+ (1+ i)−n
=
i2
∂a
a −a
∴n ∂i
n=16.867 = L =
i = 0.1
n 0.102 n 0.1
0.002
其中 n 通过公式（2-76）得到
29.解:
a
1− v7 =
7
i
∴v7 = 1− i a = 1− iK 7
)
− s5 i(2) 2
⎟⎟⎠
+
2000s
5
i
(2
2
)
= 17000
∴(1+ i)10 + (1+ i)5 −17 (1+ i) +15 = 0
令 f (t) = t10 + t5 −17t +15
0 − f (1.03) = f (1.035) − f (1.03)
i −1.03
1.035 −1.03
第二章 年金
4.解：16000
=
A
1− +1000 ⋅
⎛⎜1 ⎝
+
0.087 12
0.087
−120
⎞ ⎟ ⎠
⎛⎜1 + ⎝
0.087 12
⎞ ⎟
⎛⎜1 +
⎠⎝
0.087 12
−1
⎞ ⎟ ⎠
12
a n
5.解：
=
1− (1+ i)−n
x= i
⇒ (1+ i)−n
= 1− xi
1− (1+ i)−2n 1− (1− xi)2