图论中的几个实际例子
将士渡河——最短路径问题的实际应用
将士渡河——最短路径问题的实际应用引言最短路径问题是图论中的经典问题之一，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将讨论一个实际应用场景——将士渡河问题，并探讨如何使用最短路径算法来解决该问题。
问题描述将士渡河是一个经典的智力游戏，游戏规则如下：有一条河，河岸上有若干士兵和一艘船。
游戏目标是将所有士兵从一岸安全地运送到另一岸，而且船每次只能运送一定数量的士兵。
同时，游戏规定在任何一侧的岸边，士兵的数量不能超过敌军的数量，否则士兵将会被敌军消灭。
现在的问题是，如何通过最短路径算法确定士兵的最佳运输方案，以确保所有士兵都能安全渡河。
解决方案为了解决将士渡河问题，我们可以使用最短路径算法来确定士兵的最佳运输方案。
以下是解决该问题的步骤：1. 建立图模型：将河岸、士兵和船分别表示为图的节点，将船的运输能力表示为图的边。
根据游戏规则，我们可以将每一种状态（即河岸上士兵的分布情况）作为图的一个节点，并根据船的运输能力建立相应的边。
2. 权重设定：根据题目要求，我们需要找到最短路径来确保士兵的安全渡河。
因此，我们需要为图的每条边设定一个权重，使得最短路径算法能够在搜索过程中优先选择权重较小的路径。
可以根据士兵的数量、敌军的数量等因素来设定权重。
3. 应用最短路径算法：使用最短路径算法（如Dijkstra算法或A*算法）来确定从起点到终点的最短路径。
算法将根据权重和图的拓扑结构来搜索最短路径，直到找到目标节点或者搜索完整个图。
4. 输出结果：根据最短路径算法的结果，我们可以得到士兵的最佳运输方案。
可以将路径中的边转化为实际操作，即哪些士兵应该上船、哪些士兵应该下船，以及船的运输方向等。
实际应用将士渡河问题在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 军事行动：在实际的军事行动中，士兵的运输和部署是非常重要的。
通过使用最短路径算法，可以确定最佳的运输方案，以确保士兵能够安全快速地到达目的地。
2. 物流管理：在物流管理中，货物的运输是一个重要的环节。
图论模型实例优秀课件
存在，考虑增环，增环后权值应减小 ▪ 换枝原则 环路上某顶点长出一条枝，该枝末梢和环路另
一顶点接近，可考虑换枝
问题1的分析与求解--最小生成树法
问题1的分析与求解 --TSP方法
公路边的数字为该路段的公里数.
问题分析：
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条 公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所 给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中 一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络 图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次 再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
图论模型实例
专题
❖ 图的表示与锁具问题 ❖ 最小生成树、TSP和灾区巡视问题 ❖ 最短路、网络流和运输问题 ❖ 作业
图的表示与锁具问题
不积硅步，无以至千里 --荀子·劝学
图的矩阵表示
邻接矩阵: (以下均假设图为简单图).
1) 对无向图 G，其邻接矩阵 A(aij)，其中：
1, aij 0,
若vi与vj相邻 , 若vi与vj不相.邻
i1
定义 称
为最大容许均衡度.
为该分组的实际均衡度.
显然0 0 1，0越小，说明分组的均衡性越 好. 取定一个 后，0与 满足条件 3）的分组是
一个均衡分组. 条件 4）表示总巡视路线最短.
此问题包含两方面：a)对顶点分组, b)在每组中求 (单个售货员)最佳旅行售货员回路.
因单个售货员的最佳旅行售货员回路问题不存在多 项式时间内的精确算法.因此多个售货员的最佳旅行售 货员回路问题也不存在多项式时间内的精确算法.
图论思想在生活中的运用
图论思想在生活中的运用
图论思想在生活中的应用很多，例如：
1、交通出行：在城市的出行，经常会用到从一个地点到另一地点的最短路径，而解决此问题最好的方法就是使用图论，用最短路径算法来找到最优路线，比如驾车、打车、乘地铁等都会使用图论来算出最短路径。
2、网络传输：现在的互联网系统都是使用图论的方法来进行网络传输。
当多台计算机连接到网络时，都会形成一个图，通过图论，可以找到最佳的传输路径，以优化路径走向，从而提高网络的传输速度。
3、调度系统：调度系统中的人员调度及运输路线调度，也是依靠图论思想。
人员调度时，可以建立一个移动关系图，找到每一步最短路径，从而得到最佳的调动方案；而运输路线则可通过最短路线算法，计算出从一个点到另一点最短的路径，从而达到节约时间，提高工作效率的效果。
4、信息检索：在海量数据的环境下检索合适的信息，也是利用图论来解决的。
例如搜索引擎，会建立一个链接关系图，根据各页面间的链接关系来确定最优的信息检索结果。
图论知识及运用举例
图论知识及运用举例1 概论图论中的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
图是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
下面将要讨论最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等。
2 图的基本概念2.1 无向图一个无向图(undirected graph)G 是由一个非空有限集合)(G V 和)(G V 中某些元素的无序对集合)(G E 构成的二元组，记为))(),((G E G V G =。
其中},,,{)(21n v v v G V =称为图G 的顶点集（vertex set ）或节点集（node set ）， )(G V 中的每一个元素),,2,1(n i v i =称为该图的一个顶点（vertex ）或节点（node ）；},,,{)(21m e e e G E =称为图G 的边集（edge set ），)(G E 中的每一个元素k e (即)(G V 中某两个元素j i v v ,的无序对) 记为),(j i k v v e =或i j j i k v v v v e == ),,2,1(m k =，被称为该图的一条从i v 到j v 的边（edge ）。
当边j i k v v e =时，称j i v v ,为边k e 的端点，并称j v 与i v 相邻（adjacent ）；边k e 称为与顶点j i v v ,关联（incident ）。
如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图G 中相邻。
边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network ）。
图论及其应用
图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。
数学建模——图论篇
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图论原理 一. 图的概念 一个图 G=<V(G),E(G)>, 其中结点集V(G):是G的结 点的非空集合.(V(G)≠Φ),简记成V;边集E(G):是 G的边的集合. 有时简记成E. 结点: 用 表示, 旁边标上该结点的名称. 边:有向边:带箭头的弧线.从u到v的边表示成(u,v) 无向边:不带箭头的弧线.u和v间的边表示成(u,v)
v3
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图论原理
回路:如果一条路的起点和终点是一个结点,则称此路 是一个回路. 如果一条路中所有边都不同,则称此路为迹或简单通路. 如果一条回路中所有边都不同,则称此回路为闭迹或简 单回路. 如果一条路中所有结点都不同,则称此路为基本通路. 如果一条回路中所有结点都不同,则称此路为基本回路. 一条基本通路一定是简单通路，但是一条简单通路不 一定是基本通路
图论原理
图的同构 设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是图,如果存在双射f:VV’ 且任何 vi,vj∈V,若边(vi,vj)∈E,当且仅当 边(f(vi),f(vj))∈E’, (则称G与G’同构,记作G≌G’. (同构图要保持边的“关联”关系) 例如:右边所示的两个图: a b 1 4 G=<V,E> G’=<V’,E’> c d 3 2 构造映射f:VV’ a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 d 4
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图论原理
2.汉密尔顿图的判定: 到目前为止并没有判定H图的充分必要条件. 定理1 (充分条件):G是完全图,则G是H图.
K2
K3
K4
K5
定理2(充分条件)设G是有n(n>2)个结点的简单图,若对G中每 对结点度数之和大于等于n,则G有一条H路(H回路)。
图论的基本概念和应用
图论的基本概念和应用图论是数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。
图的定义图是由节点（顶点）和边组成的一种数据结构。
节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中，边是有方向的，表示从一个节点到另一个节点的关系。
如果从节点A到节点B存在一条边，那么我们称节点A指向节点B。
无向图无向图中，边是没有方向的，表示两个节点之间的关系。
如果两个节点之间存在一条边，那么我们称这两个节点是相邻的。
图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
邻接矩阵邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列分别表示图中的节点，数组元素表示节点之间是否存在边。
如果节点i和节点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，否则为0。
邻接表邻接表是一种链表的形式，其中每个节点都有一个链表，链表中存储了与该节点相邻的节点。
邻接表更加节省空间，适用于稀疏图。
图的遍历图的遍历是指从图中的某个节点出发，按照一定规则依次访问图中的所有节点。
常见的图遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种递归的遍历算法，从起始节点开始，沿着一条路径尽可能深入地访问图中的节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续访问其他未被访问过的节点。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种非递归的遍历算法，从起始节点开始，按照距离起始节点的距离逐层访问图中的节点。
首先访问起始节点，然后访问与起始节点相邻的所有节点，再访问与这些相邻节点相邻的所有未被访问过的节点，以此类推。
图的应用图论在许多领域都有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
社交网络分析社交网络是一个典型的图结构，其中节点表示用户，边表示用户之间的关系。
通过对社交网络进行图论分析，可以研究用户之间的关系、社区发现、信息传播等问题。
面试中图论基本知识
面试中图论基本知识1. 引言在计算机科学中，图论是一门研究图的性质和图的应用的学科。
图由节点（顶点）和边组成，这些节点和边可以表示各种复杂的现实世界问题。
图论在计算机科学中有着广泛的应用，如网络路由算法、社交网络分析等。
本文将介绍面试中常见的图论基本知识。
2. 图的定义和术语图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
以下是图的一些基本术语：•节点（或顶点）：表示图中的对象，可以是任何东西，如人、地点、事件等。
•边：表示节点之间的关系，可以是有向的（箭头指向某个方向）或无向的。
•有向图：图中的边有方向，表示关系具有方向性。
•无向图：图中的边没有方向，表示关系是双向的。
•权重：边可以带有权重，表示关系的强度或代价。
•路径：节点之间的序列，沿着边从一个节点到达另一个节点。
•循环：路径的起点和终点相同，形成一个环。
•连通图：图中任意两个节点之间都存在路径。
•子图：图的一部分，由图的节点和边的子集组成。
3. 常见的图算法在图论中，有许多用于解决不同问题的算法。
以下是一些常见的图算法：3.1 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用于图的遍历和搜索的算法。
它从一个节点开始，依次访问它的邻居节点，然后再访问邻居节点的邻居节点，以此类推。
广度优先搜索通常用于寻找最短路径或找到两个节点之间的最短距离。
3.2 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索也是一种用于图的遍历和搜索的算法。
它从一个节点开始，访问它的邻居节点，然后再访问邻居节点的邻居节点，一直深入到没有未访问节点为止。
深度优先搜索通常用于查找连通分量或判断图是否有环。
3.3 最小生成树（MST）最小生成树是一个连通图的子图，它包含了图中所有的节点，并且边的权重之和最小。
最小生成树通常用于在一个有权图中找到一个最小的连接子图，即把所有节点连接起来的代价最小的方式。
3.4 最短路径算法最短路径算法用于寻找两个节点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra）和贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford）。
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汽车导航是近年兴起的一种汽车驾驶辅助设备， 汽车导航是近年兴起的一种汽车驾驶辅助设备， 驾车者只要将目的地输入汽车导航系统， 驾车者只要将目的地输入汽车导航系统，系统就 根据电子地图自动计算出最合适的路线， 会根据电子地图自动计算出最合适的路线，并在 车辆行驶过程中(例如转弯前 例如转弯前)提醒驾驶员按照计算 车辆行驶过程中 例如转弯前 提醒驾驶员按照计算 的路线行驶。在整个行驶过程中， 的路线行驶。在整个行驶过程中，驾车者根本不 用考虑该走哪条路线就能快捷地到达目的地。 用考虑该走哪条路线就能快捷地到达目的地。