高二数学(人教B版)选修1-1阶段性测试题5
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案
q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
高中数学选修1-1考试题及答案
高中数学选修1-1考试题一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A ，B ，C ，D 四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分。
）1．抛物线24yx 的焦点坐标是A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(0,)16D ．1(,0)162．设,aR 则1a是11a的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“若220ab，则,a b 都为零”的逆否命题是A ．若220a b ，则,a b 都不为零B ．若220ab，则,a b 不都为零C ．若,a b 都不为零，则220abD ．若,a b 不都为零，则22a b4．曲线32153yxx在1x 处的切线的倾斜角为A ．34B ．3C ．4D ．65．一动圆P 与圆22:(1)1A x y外切，而与圆22:(1)64B x y内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．双曲线的一支6．函数()ln f x x x 的单调递增区间是A ．(,1)B ．(0,1)C ．(0,)D ．(1,)21世纪教育网7．已知1F 、2F 分别是椭圆22143xy的左、右焦点，点M 在椭圆上且2MF x轴，则1||MF 等于21世纪教育网A ．12B ．32C ．52D ．38．函数2()xf x x e 在[1,3]上的最大值为A ．1B ．1eC ．24eD ．39e9. 设双曲线12222by ax 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.45 B. 5C.25 D.510. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)yax a的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24yx B.28yx C.24yx D.28y x11. 已知直线1:4360l x y 和直线2:1l x，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A.2B.3C. 4D. 112. 已知函数()f x 在R 上可导，且2'()2(2)f x xxf ，则(1)f 与(1)f 的大小(1)(1)(1)(1)(1)(1).Af f Bf f Cf f D不确定二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）13．已知命题:,sin 1p x R x ，则p 为________。
高二数学(人教B版)选修1-1同步练习1、2章末
选修1-2 2章末总结一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆[答案] C[解析] sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．2．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 [答案] B[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62. 3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)[答案] B[解析] ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)． 4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54) B ．(1,1)C ．(32，94) D ．(2,4)[答案] B[解析] 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，所以当x ＝1时，d 取最小值355，此时P 为(1,1)． 5．(2009·山东)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52 D. 5[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，所以b a ＝2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5，故选D.二、填空题6．已知点A (0,1)是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是________．[答案] (±433，－13) [解析] ∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ，sin θ)，则|AP |＝4cos 2θ＋(sin θ－1)2＝－3(sin θ＋13)2＋163.当sin θ＝－13时，|AP |最大，此时点P 的坐标为(±433，－13)． 7．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．[答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0.三、解答题8．已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程． [解析] 椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133.所以所求双曲线的方程为y 29－x 24＝1.9．如图所示，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．[解析] 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又k 1＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1，消去x ，整理得25y 2－187y －81＝0，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(18725)2＋4×8125＝7225 2.∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×27×7225 2＝722514.。
2020版数学人教B版选修2-1：阶段训练五 Word版含解析
(1)求向量 b 的坐标；
( )1
(2)若向量 b 与向量 d＝ 1，－ ，1 共线，求向量 a－b 与 2b＋3c 夹角的余弦值． 2
考点 空间向量运算的坐标表示
题点 空间向量的坐标运算
解 (1)设 b＝(x，y，z)，则由题意可知Error!解得Error!或Error!
∴b＝(2，－1,2)或 b＝(－2，－1，－2)．
考点 空间向量数量积的应用
题点 空间向量数量积的综合应用
10 答案
2
1
3
解析 如图，过 B，D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M，N，可求得 AM＝ ，BM＝ ，CN＝
2
2
1
3
→→→→ → →→→ → → →
，DN＝ ，MN＝1.∵BD＝BM＋MN＋ND，∴|BD|2＝(BM＋MN＋ND)2＝|BM|2＋|MN|2＋|ND|2
a2
a2
4
AB a 2 所以 ＝ ＝ .
BC b 2
→ 段 BC，AD 的中点，则EF的坐标为( )
A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1) 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B 解析 如图，取 AC 的中点 M，连接 ME，MF，
( ) → 1→ 3 5
则ME＝ AB＝ － ， ，1 ，
设棱长为 1，则 D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
( )1
M 1， ，0 ， 2
( ) →
→
1
∴DB1＝(1,1,1)，CM＝ 1，－ ，0 .
2
→→
DB1·CM
→→
∴cos〈DB1，CM〉＝ →
高二数学(人教B版)选修1-1同步练习1、1-2-2“非”(否定)
选修1-1 1.2.2“非”（否定）一、选择题1．命题p “∃x∈M，p(x)”的否定是()A．∀x∈M，p(x)B．∀x∈M，¬p(x)C．∀x∉M，p(x)D．∀x∉M，¬p(x)[答案] B2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真的一组为()A．p：2∈Q，q ∅ AB．p：π<3，q 5>3C．p：a∈{a，b}，q {a} {a，b}D．p：QR，q N＝Z[答案] B[解析]若¬p为真，则p为假，又p∨q为真，p∧q为假，所以q真．故选B.3．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p 2∈(A∪B)，则命题“¬p”是()A.2∉AB.2∈∁S BC.2∉(A∪B)D.2∈(∁S A)∩(∁S B)[答案] D[解析]因为p 2∈(A∪B)，所以¬p 2∉(A∪B)，即2∈∁S(A∪B)，所以2∈(∁S A)∩(∁B)．故选D.S4．若命题“¬p∨¬q”是假命题，则下列各结论中，正确的是()①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．A．①③B．②④C．②③D．①④[答案] A[解析]¬p∨¬q为假，故¬p与¬q均为假，所以p、q均为真，所以①③正确．5．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不一定是锐角D．以上都不对[答案] B[解析]“都”的否定为“不都”，故选B.6．已知命题p、q，且“¬p且¬q”为真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真[答案] B[解析]由“¬p且¬q”为真命题，则p假q假．7．“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0[答案] C[解析]对“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．8．对命题p：A∩∅＝∅，命题q：A∪∅＝A，下列说法正确的是()A．p且q为假B．p或q为假C．非p为真D．非p为假[答案] D[解析]命题p真，命题q真，故p且q真，p或q真，非p假，非q假，故选D.9．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：①p或¬q是真命题；②p且¬q是真命题；③¬p且¬q是假命题；④¬p或q是假命题．其中真命题是()A．①②B．③④C．①③D．②④[答案] C[解析]若p且q为真命题，则p真，q真，¬p假，¬q假，所以p或¬q真，¬p或¬q 假，故选C.10．已知平面p 若平面α⊥β，平面γ⊥β，则有a∥γ.命题q 若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是() A．p∧q为真B．p∨q为假C ．p ∨q 为真D ．(¬p )∨(¬q )为假[答案] B [解析] 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两个平面α，β也可能相交．故选B.二、填空题11．“三个数a ，b ，c 不全为0”的否定是________．[答案] a ，b ，c 全都为012．已知p (x ) x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．[答案] [3,8)[解析] ∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤0，8－m >0，解得3≤m <8. 13．命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．[答案] “¬p ”14．已知命题p ：不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ，命题q ：不等式x －2x －1≤0的解集为{x |1<x ≤2}，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”“¬q ”中正确的命题是________．[答案] p ∨q ，¬p[解析] ∵∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，∴命题p 为假，¬p 为真；∵x －2x －1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≤0x －1≠0⇔1<x ≤2. ∴命题q 为真，p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬q 为假．三、解答题15．已知命题p ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并指出其真假．[解析] “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0无实根．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有相等的实根，故p 真，q 假．∴p 或q 真，p 且q 假，非p 假．16．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p∨q”“p∧q”“¬p”的真假(1)p：梯形有一组对边平行q：梯形有一组对边相等(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为Rq：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅[解析](1)p真、q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为假．(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为{x|x≠1}，∴p假；不等式x2－2x＋2≤1，即x2－2x＋1≤0的解集为{x|x＝1}，∴q假．故“p∨q”为假，“p∧q”为假，“¬p”为真．17．对于下述命题p，写出“¬p”形式的命题，并判断“p”与“¬p”的真假：(1)p 91∈(A∩B)(其中A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；(2)p 有一个素数是偶数；(3)p 任意正整数都是质数或合数；(4)p 三角形有且仅有一个外接圆．[解析](1)¬p 91∉A或91∉B；p真，¬p假；(2)¬p 每一个素数都不是偶数；p真，¬p假；(3)¬p 存在一个正整数不是质数也不是合数；p假，¬p真；(4)¬p 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆；p真，¬p假．。
高二数学(人教B版)选修1-1同步练习1、3章末
选修1-2 2章末总结1．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－12] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[12，1] [答案] A[解析] 设点P 横坐标为x 0，由导数的定义，知y ′＝2x ＋2，则由题意，知k p ＝2x 0＋2，又曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，∴0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12.故选A.2．(2009·广东)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13 [答案] B[解析] y ′＝ae ax ＋3，令y ′＝0得x ＝ln(－3a )a ，即为极值点．由题意得ln(－3a )a>0，所以a <－3，故选B.3．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋8在区间(－5,5)上是减函数，则a 的取值范围为________．[答案] (－∞，－75][解析] f ′(x )＝3x 2＋a ，由f (x )在(－5,5)上是减函数，由x ∈(－5,5)时，f ′(x )＝3x 2＋a ≤0恒成立，即a ≤－3x 2，对x ∈(－5,5)恒成立，当x ∈(－5,5)时，－3x 2>－75，∴a ≤－75.4．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则实数b ＝____. [答案] ln2－1[解析] 设切点为(x 0，y 0)，由题意，得(ln x 0)′＝1x 0＝12，所以x 0＝2，y 0＝ln2，代入直线方程y ＝12x ＋b ，得b ＝ln2－1. 5．(2009·江苏)函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．[答案] (－1,11)[解析] f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0得单调递减区间为(－1,11)．6．设函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)已知21x>x a 对任意x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝－ln x ＋1x 2ln 2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝1e ；令f ′(x )>0，则0<x <1e；令f ′(x )<0，则1e <x <1或x >1.故函数f (x )的单调递增区间是(0，1e )，单调递减区间是(1e，1)和(1，＋∞)． (2)在21x >x a 的两边取自然对数，1xln2>a ln x . 由于0<x <1，所以a ln2>1x ln x① 由(1)的结果可知，当x ∈(0,1)时，f (x )≤f (1e)＝－e . 所以a 的取值范围为a >－e ln2.7．(2009·北京)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和与极值点．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8. 解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．8．(2009·山东)函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点． (1)求a 和b 的值；(2)讨论f (x )的单调性；(3)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解析] (1)因为f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝xe x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )． 又x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0.因此⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0.解方程组得a ＝－13，b ＝－1. (2)因为a ＝－13，b ＝－1， 所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．(3)由(1)知，f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2，故f (x )－g (x )＝x 2e x －1－x 3＝x 2(e x －1－x )．令h (x )＝e x －1－x ，则h ′(x )＝e x －1－1，令h ′(x )＝0得x ＝1.因为x ∈(－∞，1]时，h ′(x )≤0，所以h (x )在(－∞，1]上单调递减，故x ∈(－∞，1]时，h (x )≥h (1)＝0；因为x ∈[1，＋∞)时，h ′(x )≥0，所以h (x )在x ∈[1，＋∞)时单调递增，故x ∈[1，＋∞)时，h (x )≥h (1)＝0，所以对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有h (x )≥0，又x 2≥0，因此f (x )－g (x )≥0，故对任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f (x )≥g (x )．。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：1.2充分条件与必要条件 Word版含答案
►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件． 一般地，假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．明显，假如p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p(x)}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0相互垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．2．(2022·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：由于当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。
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阶段性测试题五(选修1－1综合能力检测)时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0，则¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 [答案] C[解析] p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个是假命题即可，不一定p ，q 都是假命题． 2．设p ：大于90°的角叫钝角，q ：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p 与q 的复合命题的真假是( )A ．“p ∨q ”假B ．“p ∧q ”真C ．“¬q ”真D ．“p ∨q ”真[答案] D[解析] p 假，q 真，故“p ∨q ”真．3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且抛物线y ＝x 2＋x －1的顶点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A.58 B ．－58C.74D ．－74[答案] A[解析] 抛物线y ＝x 2＋x －1的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－54＝(b ，c )，∴⎩⎨⎧b ＝－12，c ＝－54.∵a ，b ，c ，d 成等比数列，则有ad ＝bc ＝58，故选A.4．平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P ，若满足|P A |＋|PB |＝6，则|P A |的取值范围是( )A ．[1,4]B ．[1,6]C ．[2,6]D ．[2,4][答案] D[解析] 因为|PA |＋|PB |＝6>2，所以P 点的轨迹为椭圆，所以3－1≤PA ≤3＋1，即|PA |∈[2,4]．5．已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)<f (1) C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定[答案] C[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，因此f (x )＝x 2－4x ，f (－1)＝5，f (1)＝－3，即f (－1)>f (1)．6．若曲线C y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于( )A ．－2B ．0C ．－1D ．1[答案] D[解析] 曲线C 上任意点处切线的倾斜角都是锐角，所以y ′>0恒成立，即3x 2－4ax ＋2a >0恒成立，Δ＝16a 2－24a <0，解得0<a <32，因为a 为整数，所以a ＝1.7．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 5D ．2[答案] C[解析] x 2－λy 2＝1的渐近线方程为y ＝±1λx ，所以1λ＝2，所以λ＝14，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋4＝ 5.8．命题“∃x 0∈R ，12x 0－3>1”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，12x 0－3≤1B ．∀x 0∈R ，12x 0－3>1 C ．∀x 0∈R ，12x 0－3≤1 D ．∃x 0∈R ，120－3<1 [答案] C[解析] 特称命题的否定为全称命题，故选C.9．由线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22[答案] D[解析]因为y′＝e x，所以k＝e2，故切线方程为y－e2＝e2(x－2)，因此，切线与两标轴围成的三角形的面积为S＝12×e2×1＝e22D.10．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3C．4 D．5[答案] D[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.53B.43C．2 D.7 3[答案] A[解析]e＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|≤|PF1|＋|PF2||PF1|－|PF2|5|PF2|3|PF2|＝53.12．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析]二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．[答案]a＋b＋1<0[解析]实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a＋b＋1<0.14．△ABC 的三边，a ，b ，c ，已知a >c >b ，且成等差数列，若A (－1,0)，B (1,0)，则动点C 的轨迹方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1(y ≠0，且x <0)[解析] 由题意得a ＋b ＝2c ＝4，根据椭圆的定义可知，其轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，因为a >c >b ，所以是椭圆的一部分．15．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，则－1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴a ＝－3，b ＝－9.16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为______________(写出所有真命题的序号)． [答案] ③④[解析] ①中当k ＝|AB |时，点P 的轨迹是一条射线．②中点P 的轨迹是以AC 中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知p 5x 2－4x －1>0，q 1x 2＋4x －5>0，试判断¬p 是¬q 的什么条件？[解析] 由5x 2－4x －1>0，得x <－15或x >1，即p x <－15或x >1；由1x 2＋4x －5>0，得x <－5或x >1，即q x <－5或x >1，容易判断p 是q 的必要不充分条件，从而¬p 是¬q 的充分不必要条件．18．(本题满分12分)已知x ∈R ，求证：cos x ≥1－12x 2.[解析] 令F (x )＝cos x －1＋12x 2，则F ′(x )＝－sin x ＋x ， 当x ≥0时F ′(x )≥0，∴F (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又F (0)＝0，即x ∈[0，＋∞)时，恒有F (x )≥0， 即cos x ≥1－x22.又F (－x )＝cos(－x )－1＋(－x )22＝cos x －1＋x 22＝F (x )，∴F (x )是R 上的偶函数， ∴当x <0时，恒有F (x )≥0， 即cos x ≥1－x 22，综上所述，对一切x ∈R ，都有cos x ≥1－x22.19．(本题满分12分)设f (x )＝e x(ax 2＋x ＋1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与x 轴平行． 求a 的值，并讨论f (x )的单调性． [解析] f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1＋2ax ＋1)， 由条件知，f ′(1)＝0，故a ＋3＋2a ＝0⇒a ＝－1. 于是f ′(x )＝e x (－x 2－x ＋2) ＝－e x (x ＋2)(x －1)，故当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )>0，从而f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减， 在(－2,1)上单调递增．20．(本题满分12分)(2009·全国Ⅱ文，21)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解析] 本题考查函数、导数、不等式等基础知识，以及利用导数求函数的最值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )． 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2<x <2a 时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值． f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ，f (0)＝24a .由假设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f (2a )>0，f (0)>0，即⎩⎨⎧a >1，－43(a ＋3)(a －6)>0，24a >0.解得1<a <6.故a 的取值范围是(1,6)．21．(本题满分12分)一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2＝y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP →·OQ →＝－3，PQ →＝4RQ →，求直线与双曲线的方程．[解析] 由e ＝3，所以c 2＝3a 2，所以b 2＝2a 2，所以双曲线方程为2x 2－y 2＝2a 2，设直线l y ＝x ＋m ，R (0，m )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2，⇒x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.①又因为OP →·OQ →＝－3，PQ →＝4RQ →，则有x 1x 2＋y 1y 2＝－3，所以2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＋3＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x 1＝4x 2，y 2－y 1＝4(y 2－m )，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2，3y 2＋y 1＝4m .③ 由①，③得x 2＝－m ，x 1＝3m ，m 2＝a 2，代入②得m 2＝1，a 2＝1，所以m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2，所以所求的直线与双曲线方程分别是y ＝x ±1，x 2－y 22＝1.22．(本题满分14分)已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )的图象有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围．(2)若f (x )在x ＝1时取得极值，且x ∈(－1,2)，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，由已知f ′(x )＝0有实数解，即3x 2－x ＋b ＝0有实数解， ∴Δ＝1－12b ≥0.故b ≤112.(2)由题意x ＝1是方程3x 2－x ＋b ＝0的一个根，设另一根为x 0，则⎩⎨⎧x 0＋1＝13，x 0×1＝b 3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－x －2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝－23时，f (x )有极大值2227＋c .又f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，即当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值为f (2)＝2＋c . ∵对x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立， ∴c 2>2＋c ，c <－1或c >2.故c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。