多组均数间比较的方差分析
多个样本均数比较的方差分析
Variance — average variation of data
s2
X i X 2
n 1
X
2
i
X i 2
n
n 1
各种符号的意义
❖Xij第i 个组第j 个观察值 ❖ i =1,2,…g （列数） ❖ j =1,2,…ni （行数）
❖
❖ =第i组均数 ❖ =总均数
∑ni=N
方差分析基本思想
4/14/2020
例4-3
如何按随机区组设计，分配5个区组15只小白鼠接
受甲、乙、丙三种抗癌药物实验？
将小白鼠按体重编号，体重相近3只小白鼠配成一 个区组，然后在随机数字表中任选一行一列开始 的两位数作为一个随机数，如从第8行第3列开始 记录，在每个区组内将随机数字按大小排序，各 区组序号为1接受甲组、序号为2接受乙组、序号 为3接受丙组。
第二节 完全随机设计资料方差分析
例4-1
某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按 统一纳入标准选择120名患者，采用完全随机设 计方法将患者等分为4组进行双盲试验。问如何 进行分组？
编号：120名高血脂患者从1开始到120，见表4-2 第1行（P57）
随机数字：从附表15中的任一行任一列开始，如 第5行第7列开始，依次读取三位数作为一个随机 数录于编号下，见表4-2 第2行；
编序号：将全部随机数字从小到大 (数据相同 则按先后顺序）编序号
事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号 61-90为丙组，序号91-120为丁组，见表4-2第四行。
例4-2
某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按 统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随 机设计方法将患者等分为4组（具体分组方法见例 4-1），进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白 作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低 密度脂蛋白含量总体均数有无差别?
多组均数比较中方差分析的应用条件探讨
各做 ５次试验 ， 得到该 药的得 率如 下表 。试 问不 同的催 化剂是否对该药的得 率有显著影 响？ （ ＝ ．５ ａ０ ） ０
某 药在 ４种 不 同催 化 剂 下 的得 率 （ 为 ： ％）
催 化剂
田
８５
（－）（－）…＋５ １ （．） ＝ ６ ５１＋５１ ＋ （．） ５１ｘ ４ １ ＝
本思想 ？笔者从一个实例作分析。 例： 考察催 化剂对某 药的得率 的影 响。现用 ４种不 同的催化剂独立地在相 同条件 下进平方和 Ｓ ＝（５ ８ ）＋８－８ ） …＋ ｗ ８ ８２ ‘ ［ — ． ‘（８ ． ‘ ８２ ＋
（０８ ． ＋ （９８ ）＋… ＋８ －３‘＋ ＋［ ５８ ）＋ ＋ ９ －８ ） 】［ —３ ２ ７ （８８ ）】 … （ —０‘ … ７ （４８ ）］１ ８ ８ ．Ｏ ＝ ４ ． ８ 组 内 自由度
下 降 ， 达 不 到 常 规 的 ９ ％。 在 ， 们 在 作 多 个 均 数 比 远 ５ 现 人
解决这 个 问题 的思路通 常是算 一算样 品的不均 匀 性与 随机 误差 等会产生 多大的“ 差别 ” 我们将这 种“ ， 差 别” 简称 为“ 内差别 ” 按常规 的统计学 处理数值 型数 组 ， 据 的办法 ， 总是假定 各组试验 数据服从 正态分布 ， 另外 为 了方便 估算“ 内差别 ” 组 我们还得 假设各 组具有 同一
＝ ６． ８ ３ ８ ２ ９６ ７ ８
组 内离 均 差 平 方和 ｓ ＝ ×（ ． ８． ＋ ： ５ ８ ２ ６ ）‘ ５ ８． ３ ｘ
（３８ ． …＋ （０８ ＿ ５ ７ ８ —６３ ）＋ ５ ８－６３ ６ ． ）＝ ４ 组 间 自由度 Ｖ－ ．＝ Ｂ４ １３
—
８７
计 两 之 粤 ．． 算者 比 ＝ 罟 ２４ ０ ３
第四章 多个样本均数比较的方差分析(研究生)1
MS
10.72
F
24.93
P
<0.01
组间（处理组间） 32.16
组内（误差）
总变异
49.94
82.10
116
119
0.430
18
3）确定P值并作出推断结论
以分子的自由度ν 分母的自由度ν
组间
=3为ν 1，
组内
=116为ν 2， ，P ＜0.01。
查方差分析用F界值表，F0.0计的方差分析基本相同， 主要区别在于：F值计算的方差分析表 （ANOVA table）不同。变异来源从组内 变异中分解出单位组变异与误差变异。
25
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5 个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三 种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，实验结果见表4-9。问 三种不同药物的抑瘤效果有无差别？
编号 1 2 随机数 22 17 秩次 5 4 分配组 A A A组 B组 C组 D组 1 7 3 5 2 9 4 6 3 68 15 C 11 13 12 8 4 65 14 C 15 16 14 10 5 81 16 D 17 19 18 20
21
6 7 95 23 20 6 D B
8 9 92 35 19 8 D B
i 1 j 1 g ni
7
三种“变异”之间的关系
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内：随机误差 组间变异 SS 组间：随机误差+处理因素
均方(mean square，MS)
6 多样本均数比较_方差分析
(3) 区组间变异：由不同区组作用和随机误差产生的变异， 记为SS区组. (4) 误差变异：完全由随机误差产生变异，记为SS误差。 对总离均差平方和及其自由度的分解，有:
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
45
表 随机区组设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 处理间 区组间 误 自由度
31
常用的多重比较的方法:
LSD DUNNETT (‘a1’) DUNCAN BON SNK REGWQ
LSD –t 检验 (最小显著差法)
Dunnett- t 检验 Duncan检验 (新复极差法) Bonferroni法 SNK法
REGWQ法
32
SAS示例
6.1 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，
16
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组间变 异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起作用。根 据计算出的检验统计量F值, 查界值表得到相应的P 值, 按所取检验水准α作出统计推断结论。 检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
34
SAS示例
35
SAS示例
36
SAS示例
37
SAS示例
38
SAS示例
39
SAS示例
40
ANOVA过程
过程格式
Proc
anova 选项; Class 变量表; Model 依变量＝效应表/选项; Means 效应表/选项; Run;
41
三 二因素随机区组试验资料的 方差分析
2. 双因素及多因素试验方差分析
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿一、引言方差分析是统计学中一种重要的分析方法，用于比较两个或多个样本均数之间的差异。
在实际应用中，我们常常需要比较多组数据的均数，这时就需要运用多组均数间比较的方差分析方法。
本文将详细介绍多组均数间比较的方差分析方法及其应用。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较因素（例如不同的处理组）对应的样本均数的差异来判断这些因素是否具有统计学上的显著性差异。
方差分析的核心概念是组内变异和组间变异。
组内变异是指同一处理组内观测值之间的差异，反映了同一处理组内个体间的差异。
组间变异是指不同处理组之间的观测值之间的差异，反映了不同处理组之间的差异。
方差分析的目标是确定组间变异相对于组内变异的大小，以便评估处理组间的差异是否具有统计学上的显著性。
三、多组均数间比较的方差分析步骤多组均数间比较的方差分析步骤如下：1.明确研究目的：确定需要比较的多个处理组以及需要比较的指标。
2.样本数据收集：收集每个处理组的样本数据。
3.建立假设：建立零假设（处理组均数之间没有显著差异）和备择假设（处理组均数之间存在显著差异）。
4.计算总变异度：计算总平方和（总变异度），表示总的数据变异情况。
5.计算组间变异度：计算组间平方和（组间变异度），表示不同处理组之间的差异情况。
6.计算组内变异度：计算组内平方和（组内变异度），表示同一处理组内个体间的差异情况。
7.计算F值：计算F值，用于检验处理组均数之间的差异是否具有统计学上的显著性。
8.判断显著性：根据计算得到的F值和相应的显著性水平，判断处理组均数之间的差异是否显著。
9.进行多重比较：如果处理组均数之间的差异显著，进一步进行多重比较。
四、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，例如医学、生物学、经济学等。
在医学领域，方差分析可以用于比较不同药物对疾病治疗效果的影响；在生物学领域，方差分析可以用于比较不同肥料对植物生长的影响；在经济学领域，方差分析可以用于比较不同市场策略对销售额的影响等。
多组均数间比较的方差分析
多组均数间比较的方差分析方差分析是一种统计方法，用于比较三个或更多组均数之间的差异，并确定这些差异是否显著。
这种分析可以帮助我们确定是否存在着不同组之间的显著差异，以及这些差异是否由于实验组之间的差异而产生。
在这篇文章中，我们将介绍多组均数的方差分析，并提供一个详细的步骤来进行此分析。
首先，让我们了解一下方差分析所使用的假设。
在多组均数间比较的方差分析中，有三个假设需要满足。
首先，我们假设所有组的样本是独立的。
其次，我们假设每个组中的样本是来自一个正态分布总体。
最后，我们假设所有组的方差是相等的，即群组间方差和组内方差相等。
下面是进行多组均数间比较的方差分析的详细步骤。
步骤1：计算均数和总体均数首先，计算每个组的均数，然后计算所有数据的总体均数。
步骤2：计算组间和组内平方和计算组间平方和(SSB)和组内平方和(SSW)。
组间平方和是每个组均数与总体均数之间的差异的平方和，而组内平方和是每个组内个体与组均数之间的差异的平方和。
步骤3：计算平均平方(SSM)和平均平方误差(SSE)计算组间平均平方(SSM)，通过将组间平方和除以组间自由度来获得。
计算组内平均平方误差(SSE)，通过将组内平方和除以组内自由度来获得。
步骤4：计算F值计算F值，通过将平均平方(SSM)除以平均平方误差(SSE)来获得。
步骤5：查找临界值和P值在进行方差分析之前，我们需要确定临界值和P值以进行假设检验。
通过查找方差分析表格，我们可以找到与给定自由度相关的临界值。
然后，比较计算得到的F值与临界值，以确定差异是否显著。
同时，我们还可以计算P值来验证这种差异是否显著。
步骤6：进行假设检验根据计算得到的F值和临界值进行假设检验。
如果计算得到的F值大于临界值，我们可以得出结论，即这些组之间的差异是显著的。
步骤7：进行事后比较如果方差分析表明组之间存在显著差异，我们可以进行事后比较来确定哪些组之间的显著差异最大。
事后比较可以使用多种方法，例如Tukey的HSD方法或Scheffe方法。
多组均数间比较的方差分析
多组均数间比较的方差分析方差分析是统计学中一种常用的分析方法，用于比较不同组之间的均值差异是否显著。
在多组均数间比较的方差分析中，我们可以比较多个组别的均值之间是否存在显著差异。
本文将介绍多组均数间比较的方差分析的基本原理、假设检验和实施步骤，并举例说明其应用。
多组均数间比较的方差分析基本原理如下：假设我们有k个不同组别的样本，在每个组别中有n个观测值，我们希望比较k个组别的均值是否存在显著差异。
方差分析的思想是将总的方差分解为组内变异和组间变异两部分，然后通过比较组间变异与组内变异来判断均值是否存在显著差异。
在多组均数间比较的方差分析中，我们需要对假设进行检验。
假设检验的原假设为各组均值相等，备择假设为至少有一对组别的均值不相等。
我们可以使用方差分析表来计算组间变异、组内变异和总变异的平方和，进而计算均方和（组间均方和和组内均方和）。
通过计算均方和的比值，我们可以得到F统计量，进而对原假设进行假设检验。
实施多组均数间比较的方差分析可以按照以下步骤进行。
1.收集数据：收集不同组别的样本数据，确保每个组别的样本数量一致。
2.建立假设：提出原假设和备择假设。
原假设为各组均值相等，备择假设为至少有一对组别的均值不相等。
3.方差分析表计算：根据数据计算方差分析表中的各项数值，包括总平方和、组间平方和、组内平方和、总自由度、组间自由度、组内自由度、组间均方和和组内均方和。
4.计算F统计量：通过计算组间均方和与组内均方和的比值，得到F统计量。
5.假设检验：根据计算得到的F统计量和显著性水平，判断是否拒绝原假设。
6.结果解释：根据假设检验的结果，解释各组别均值之间的差异情况。
以下是一个用于说明多组均数间比较的方差分析的示例。
假设我们研究了三个不同地区的气温（A地区、B地区和C地区），每个地区测量了10个样本观测值。
我们希望比较这三个地区的气温均值是否存在显著差异。
针对这个例子，我们首先提出原假设H0：A地区、B地区和C地区的气温均值相等，备择假设H1：至少有一对地区的气温均值不相等。
第三章多组均数间比较的方差分析
第三章多组均数间比较的方差分析在统计学中，方差分析是一种用来比较两个或更多组之间均数差异的方法之一、它可以用于分析实验设计或观察研究中的多组数据，并确定这些组之间的差异是否显著。
本文将重点介绍第三章多组均数间的方差分析。
方差分析有两种类型：单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（自变量）在不同组之间的均数差异，而多因素方差分析则用于比较多个因素对组间均数的影响。
在多组均数间的方差分析中，我们首先要确定所要比较的多个组是否具有显著的差异，这可以通过计算组间差异的方差来实现。
如果组间差异显著，则说明这些组有明显的均数差异，可以进一步进行事后的比较。
进行多组均数间的方差分析时，首先需要建立一个原假设和备择假设。
原假设通常是假定多个组之间没有均数差异，而备择假设则认为至少有一组与其他组有显著的均数差异。
在进行方差分析之前，还需要进行一些前提检验，如正态性检验和方差齐性检验，以确保数据符合进行方差分析的假设。
接下来，可以使用各种统计软件进行方差分析的计算。
常见的方差分析方法包括单因素方差分析、双因素方差分析和重复测量方差分析等。
这些方法的具体计算过程和统计指标略有不同，但都可以提供组间差异的显著性水平。
在进行多组均数间的方差分析时，还需要注意事后比较的问题。
如果方差分析结果显示组之间有显著差异，那么需要进一步比较各个组之间的均数差异。
常用的事后比较方法包括Tukey HSD法、Duncan法和Bonferroni法等。
这些方法可以提供详细的组间均数差异情况，帮助研究者更好地理解结果。
总之，多组均数间的方差分析是一种常用的统计方法，可以用于比较多个组之间的均数差异。
通过进行方差分析，我们可以确定这些组之间是否存在显著差异，并进行事后的比较分析。
研究者在进行多组均数间分析时，需要注意数据的前提检验以及使用合适的方法和指标进行分析。
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
多组均数间比较的方差分析
方差分析的适用条件
条件
方差分析要求数据满足正态分布、独立性和方差齐性。如 果数据不满足这些条件，可能需要采用其他统计方法。
正态分布
各组数据应来自正态分布的总体，这是方差分析的前提假 设。
独立性
各组数据应相互独立，即不同组的观测值之间没有关联性 。
方差齐性
各组内部的变异应相似，即各组的方差应无显著差异。
目的和意义
目的
确定多个独立样本的均数是否存在显 著差异，从而判断不同处理或分组对 结果的影响。
意义
为科学研究提供了一种有效的统计分 析方法，有助于揭示不同处理或分组 间的差异，为进一步的研究提供依据 。
02
方差分析的基本概念
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组均数的差异，同时考虑各组内部的变异。
数据分组
根据实验分组情况，将数据整理成 各个组别的表格或图表，以便后续 分析。
方差分析过程与结果解读
方差分析的前提条
件
满足独立性、正态性和方差齐性 等前提条件，以保证分析结果的 准确性和可靠性。
方差分析过程
使用统计软件进行方差分析，包 括计算自由度、F值、P值等，并 判断各组间是否存在显著差异。
结果解读
方差齐性检验方法
采用Levene检验、Bartlett检验等方法对数据 进行方差齐性检验。
方差齐性检验结果解读
根据检验结果判断数据是否满足方差分析的前提条件。
方差分析的统计方法
方差分析的基本思想
通过比较不同组数据的均值差异，判断各因素对实验结果的影响 程度。
方差分析的常用统计量
包括自由度、离均差的平方和、均方等。
03
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= = = == = ==
k ni
k ni
SS总
（Xij-X）2
（
X
ij
-
X
）2
i
i1 j1
i1 j 1
k ni
k ni
(
Xij )2
2 X ij N i1 j1
i1 j1
10616- 4802/24
SS组内（ SS误差）
ni
k ni
(
k
Xij )2
2 X ij n i1 j1
组内=N-k
4.三种变异的关系：
k ni
k ni
2
SS总 （Xij-X） 2
（ Xij-Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
k
k ni
k ni
n（ i Xi-X） 2 （Xij-Xi） 2 2 （Xi-X）（Xij-Xi）
i1
i1 j1
i1 j1
=
=SS组间SS组内
0
总=N-1=（k-1）+（N-k）= 组间+组内 H0：1= 2 = ···= k
4
8 12 21 19 14 15 6
89
14.8 1431.0
合计
24 480 20.0 10616.0
（1）建立检验假设，确定检验水准 。 H0：各组大白鼠血中胆碱酯酶含量的总体均数相等 H1：各组大白鼠血中胆碱酯酶含量的总体均数不全相等 =0.05 （2）选定检验方法，计算检验统计量。
F=MS组间/ MS组内
F服从自由度组间=k-1， 组内=N-k 的F分布， 表示为F~F（ 组间， 组内） 若F F （ 组间， 组内） ，P> ，不拒绝H0； 若F F （ 组间， 组内） ，P ，拒绝H0，接受H1。
注1： H0：1= 2 = ···= k H1： 1，2， ···， k不全相等， 不能用12 ··· k表示。
SS 568.33 447.67 1016.00
MS
3
189.44
20
22.38
23
组内=N-k=24-4=20
F
P
8.46
<0.05
（3）确定P值和作出推断结论： F0.05（3，20）=3.10， F=8.46 > F0.05（3，20），P<0.05。 在=0.05水准上拒绝H0，接受H1，可以认为各组大白鼠血中胆碱酯酶含 量的总体均数不全相等.
三、 多个样本均数间的 多重比较
（一）LSD-t检验
最小显著差异t检验（least significant difference t test）
适合于某几个特定的总体均数间的比较。
t XA XB S
XAXB
S XAXB
MS误差 （n1A
1) nB
按算得的t值，以及误差和检验水准查t界值表，作出推断结论。 如tt /2，则在水准上拒绝H0。
处理 区组 误差
2.分析计算步骤
（1）建立检验假设和确定检验水准
H0：三种营养素喂养的小鼠体重增量相等 H1：三种营养素喂养的小鼠体重增量不全相等 =0.05
（2）计算F值
( X i j) 2
S S 总
( X i j X ) 2
X 2 i i j
ij
ij
j 1 1 0 4 4 7 .5 1 1 5 9 1 .1 2 /2 4 4 9 6 4 .2 1 N
Xij
j1
N 1 i k1ni Xi
1.总变异
k ni
SS总 （Xij-X）2， i1 j1
2.组间变异
总=N-1
SS组间 k n（ i Xi-X）2 ， 组间=k-1 i1
均方 MS组间= SS组间/ 组间
3.组内变异
， k ni
SS组内 （Xij-Xi）2
i1 j1
MS组内= SS组内/ 组内
ij
(Xi X)2
(Xj X)2
(Xij Xi Xj X)2
ij
ij
ij
SS处理
SS区组
SS误差
=
=
=
= =
=
其中：X(
Xij)/N ，N = n a
ij
Xi ( Xij )/ n ， i=1，2， ···，a
j
Xj ( Xij)/ a ， j=1，2， ···，n
i
总=N-1=（a-1）+（n-1）+(a-1)(n-1)
注2：优点 （1）不受比较的组数限制； （2）可以同时比较多个因素的作用，以及因素间的 交互作用。
注3：条件 （1）各组样本是互相独立的； （2）各样本来自于正态总体； （3）方差齐性。
例8.1 有3种解毒药:A,B,C, 同时设一个空白对照D.受试大白 鼠共24只,用完全随机化方法将它们等分成4组,每组接受一种 药物.试比较不同解毒药的解毒效果.
第三章 多组均数间比较的方差分析
第一节 方差分析（一）： 单向方差分析
一、 方差分析(analysis of variance,ANOVA)的基本思想
把全部数据关于总均数的离均差平方和分解成 几个部分，每一部分表示某一影响因素或诸影 响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部 分均方与误差均方相比较，依据F分布作出统 计推断，从而确认或否认某些因素或交互作用 的重要性。
F0.05（7，14）=2.77，F0.01（7，14）=4.28，
F=11.56 > F0.01（7，14），P<0.01。
在=0.05水准上拒绝H0，接受H1，可以认为8个区组 的小白鼠体重增量不全相等。
SPSS演示
随机区组设计资料的方差分析:例9.1 View Variable:
54.4 8 567.0 70.9 42205.0
按区组求和
nj
nj
X ij
i1
3
197.8
3
196.1
3
208.1
3
222.2
3
273.2
3
137.0
3
202.2
3
154.5
24
1591.1
66.3
110447.5
1.变异的分解
SS总
(Xij X)2
ij
(Xij Xi Xj XXi XXj X)2
j1
i1SS组间
k ni
(Xi X )2 i1 j1
= ==
SS组间（ SS处理）
k
n（i X i - X）2
i 1
ni
k ni
(
k
Xij )2 (
Xij )2
j1
i1
ni
i1 j1 N
1016.0-568.33
1112 /6+1682 /6+1122 /6+892 /6- 4802/24
ij
ji
j
i
i
a
j
N
=（197.82+196.1+ ···+154.52 )/3- 1591.12/24=3990.31
SS误差= SS总- SS处理 - SS区组 =4964.21-283.83-3990.31=690.07
总=N-1=24-1=23 处理=a-1=3-1=2 区组=n-1=8-1=7 误差=(a-1)(n-1)=2 7=14 MS处理= SS处理/ 处理=283.83/2=141.92 MS误差= SS误差/ 误差=690.07/14=49.29 F=MS处理/ MS误差=141.92/49.29=2.88 （3）确定P值和作出推断结论：
Test of Homogeneity of V ariances
X
Lev ene Stat ist ic
.5 47
d f1 3
d f2 20
S ig. .6 56
第二节 方差分析（二）： 双向方差分析
一、 随机区组设计的两因素方 差分析
随机化区组设计(randomized block design)： –将全部受试对象按某一个重要的属性（即区 组因素）分组，把条件最接近的a个受试对 象分在同一个区组内，然后用完全随机的方 法，将每个区组中的全部受试对象分配到a 个组中去。
( X ij)2 (
X ij)2
SS处 理 (X iX)2= ni(X iX)2
ij
i
i
j
i j
n
N
(500.72523 .42567.02)/81591 .12/24283 .83
( X ij)2 ( X ij)2
S S 区 组 (X j X )2 = (X j X )2
Analyze Compare Means One-Way ANOVA… Dependent list: x Factor: g Post Hoc … Equal Variances Assumed: S-N-K Continue Options … Statistics: Homogeneity of variances test Continue OK
二、 完全随机设计的单因素方 差分析
完全随机化设计(completely random design)： –在实验研究中，将全部观察对象随机分入k 个组，每个组给予不同的处理，然后观察实 验效应。 –在调查研究中，按某个因素的不同水平分组， 比较该因素的效应。
第1组
X11 X12
第2组···
X21 X22
第k组
Xk1 Xk2
··· ··· ···
X1 n1
X2 n2
Xk nk
X
X1
X2
n1
n2
Xk
X
nk
N
X ij为第i个处理组的第j个观察值，i=1，2， ···，g，j= 1，2， ···， nk ；