量子力学习题课2

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)
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l=F l + + iF l− ， （2）证明任何一个算符均可分解为 F l+ = 1 F l+F l† l− = 1 F l−F l† ， 其中 F ，F 2 2i l l F + 与 F − 均为厄米算符.
l† F − =
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−1 l † l l− F −F = F 2i
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因此,这样利用上述方法,任意一个算符都可以表示为:
R > 0 是一个给定的半径，
2 2 2 ˆ ψ = − = ∇ 2ψ = = π ψ H 2μ 2 μR 2
,
0 ≤ r ≤ R, r > R.
ˆ 的本征函数,本征值是 这表明 ψ 是 H
= 2π 2 2 μR 2
.
（注：这个问题叫做球形无限深势阱，在核物理中有用.） 【讨论题 2】一条长度为 l 的细杆（它的质量不计）两端各有一个质 量为 μ 的粒子，绕着杆的固定中点在一个平面内转动，这个系统的 哈密顿算符是
2
2 ˆ = − = ∇ 2 .归一化常数 C 的值不影 只需要考虑 0 ≤ r ≤ R 的区间和 H 2μ
响答案，不必算出.
体系的哈密顿算符为 2 ˆ2 ˆ = L =−= H 2I 2I
⎡ 1 ∂ ⎛ 1 ∂ ⎞ ∂2 ⎤ sin θ + ⎟ ⎢ sin θ ∂θ ⎜ . ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎥ ⎝ ⎣ ⎦
2
,
其中 ϕ 为杆的转动角.
求它的能级和对应的归一化能量本征函数.各能级的简并度都是多 大？ 【解答】 转动惯量为 I = μ l 2 的刚性转子，它的能量的经典表示式是
H= L2 ， （ L 是角动量） ， 2I
1 2
在球坐标中，有
1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∇ = 2 ⎜ r2 ⎟ + 2 ( sin θ ) + 2 2 ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ
（10）
l 为 Hermite（厄米）算符.即若 F l 为厄米算符. l+ = F l ，则称 F 则称 F
【证明】 l 1 ll ll l= 1 l l−B ll A ) ，有 （1）令 C = AB + B A ， D ( AB 2 2i † 1 l† † l† l† l+B ll l† = 1 l l AB A = (B C A +A B ) 2 2 1 ll ll l = B A + AB = C 2
ii
i
对于定轴转动， 即转子被约束在某个平面内的圆周上运动， 可以设 θ = π .
2
由上式可得到平面转子的哈密顿算符：
2 2 ˆ =−= d H 2 I dϕ 2
.
波函数也与 θ 无关，只取决于 Ylm = Pl m (θ ) Φ (ϕ ) 中的 Φ m (ϕ ) ，即
ψ (ϕ ) = Φ m (ϕ ) =
（7） （8）
众所周知，自由振子的能级 1⎞ ( 0) ⎛ En = ⎜ n + ⎟ =ω ， n = 0,1, 2," 2⎠ ⎝ 因此
iv
（9）
iii
1⎞ 1 1⎞ q 2ε 2 ⎛ ⎛ 2 En = ⎜ n + ⎟ =ω − mω 2 x0 = ⎜ n + ⎟ =ω − 2⎠ 2 2⎠ 2mω 2 ⎝ ⎝ ϕn ( x ) = ψ n ( x − x0 )
†
=
1 2 l 2 l + pr r2
l (b) pr = −i= ⎜
r, l p ⎤ = i=; (c) ⎡ ⎣ r⎦
2 2 2 l (d) pr = −= ⎜ ∂r 2 + r ∂r ⎟ = −= r 2 ∂r r ∂r ; ⎝ ⎠ 2
⎛ ∂2
2 ∂ ⎞
1 ∂
∂
2 1 2 l2 l p = l + pr . (e) r2
(m = 0, ±1, ±2,")
1 imϕ e . 2π
或者， ψ 0 (ϕ ) =
1 2π
， ψ m (ϕ ) =
1 2π
1
π
sin mϕ 或
1
π
cos mϕ (m = 1, 2, ") .
所以 E0 不简并， Em (m ≠ 0) 二重简并. 基态波函数是 ψ 0 = .
2 l p' 1 1 2 l H= + mω 2 x '2 − mω 2 x0 （6） 2m 2 2 l 和H m 的差别在于变量由 x 换成 x ' ，并 比较式（1）和（6） ，易见 H 0
(
)
† † † l l) A −l A B
(
)
(
)
（2）对于一个给定的算符 F ，可以将其分成两部分
l
1 l l† 1 l l† l l F−F 其中 F + = F + F ， F − = 2i 2 有 1 l† l l+ l† F +F =F F + = ，
2
(
)
l=F l + + iF l− F
∫ψ
∗
∗ lφ )dτ = ( F (F ∫ lψ ) φ dτ ,
l x ( x ) = e − i x0 p = = e D 【说明】如引入坐标平移算符 0 l D x ( x )ψ ( x ) = ψ ( x − x ) 它对波函数的作用是
0 0
− x0
d dx
(
)
则 H 和 H 0 的本征函数可用平移算符联系起来： l x ( x )ψ ( x ) ϕ ( x) =ψ ( x − x ) = D
并利用单值条件，也能得到波函数及能量的本征值. 因而平面转子的能级及波函数分别为：
Em
( 0)
（3） （4） （5）
如作坐标平移，令
m2 =2 , = 2I
( 0) ψm (ϕ ) =
ห้องสมุดไป่ตู้
x ' = x − x0
由于
d d l p = −i = = − i = =l p' dx dx ' H 可以表示成
习题讨论课二
第一部分 波函数与薛定鄂方程
重点掌握的模型: [1] [2] [3] [4] 自由粒子模型 无限深势阱模型 定点转动模型及定轴转动模型 线性谐振子模型 所以
∇ 2ψ = =
1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ ⎧C ⎛ π r ⎞⎫ ⎜r ⎟ ⎨ sin ⎜ ⎟⎬ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⎩ r ⎝ R ⎠⎭
【证明】
G G ∂ G 1 ∂ G r 2 1 ∂ ∇ ⋅ = ∇ = + + e e e r θ ϕ (注: ; ) ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r r
r, l p ⎤ = rl pr − l p r r = −i = ⎜ r （c） ⎡ ⎣ r⎦ ∂ ∂ ∂r ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ + 1 − r − 1 ⎟ = −i = ⎜ r − r − ⎟ = i = ∂r ∂r ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r
G G + G + G + + † 1 ⎡⎛ r G ⎞ ⎛ G r ⎞ ⎤ 1 ⎡ G + ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ G ⎤ l p p p p = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⎢⎜ ⎢ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ p⎥ （a） r r r 2⎢ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G G 1⎛ G r r G⎞ l = ⎜ p ⋅ + ⋅ p ⎟ = pr 2⎝ r r ⎠
2 2 ˆ =− = ∂ H 2 μ l ∂ϕ 2
c 是归一化因子.势能函数是
(0 ≤ r ≤ R) ⎧0, U (r ) = ⎨ +∞ , (r > R) ⎩ ˆ 的本征函数？如果是，对应的 问：这个波函数是不是哈密顿算符 H
本征值是多大？ 【解答】 单粒子的哈密顿算符：
ˆ = − = ∇2 + U ， H 2μ
C ∂ ⎛ 2⎧π ⎛πr ⎞ 1 ⎛ π r ⎞⎫ ⎞ ⎜ r ⎨ cos ⎜ ⎟ − 2 sin ⎜ ⎟⎬ ⎟ r 2 ∂r ⎝ ⎩ Rr ⎝ R ⎠ r ⎝ R ⎠⎭ ⎠ C ∂ ⎡π r ⎛πr ⎞ ⎛ π r ⎞⎤ = 2 ⎢ cos ⎜ ⎟ − sin ⎜ ⎟⎥ r ∂r ⎣ R ⎝ R⎠ ⎝ R ⎠⎦
1 imϕ e ， 2π
将哈密顿算符作用于波函数，得能量的本征值：
Em = m2 =2 , 2I (m = 0, ±1, ±2,")
能量本征函数记为ψ n ( x ) ，能级记为 En ，外加均匀电场 ε 使振子额外受力 f = qε ，总能量算符变成 2 l p 1 l + mω 2 x 2 − qε x H= （2） 2m 2 新的能级记为 En ，本征函数记为 ϕn ( x ) .
∫
+∞
−∞
C 2 e −α | x| dx = 2 C 2 ∫ e −2α x dx =
0
2
+∞
C2
α
,
C= α
.
⎛ i G G⎞ exp ⎜ p ⋅ r ⎟ ⎝= ⎠
（2）动量的本征函数
G (r ) = ψp
G
1
( 2π = )
3/ 2
将粒子的波函数按动量的本征函数展开，有 ψ ( x ) = ∫ c ( p )ψ p ( x ) d p . 动量测量的概率振幅是
l=F l + + iF l− F
【讨论题 5】定义径向动量算符
l 满足下述关系 定义：对于任意波函数ψ , φ ,若算符 F