北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理练习题(培优) PDF版 无答案
2019年北师大版八年级上册数学第1章《勾股定理》培优专题训练含答案
2019年北师大版八年级上册第1章《勾股定理》培优专题训练一．选择题1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（）A．5 B．6 C．8 D．102．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6 B．9 C．18 D．363．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c24．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为8cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）c m．A．8 B．9 C．10 D．125．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（）A．6 B．C． +2 D． +26．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S37．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（）A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A．AB＝5 B．∠C＝90°C．AC＝2D．∠A＝30°9．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（）A．8 B． 9.6 C．10 D．4 510．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，连结AD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为．12．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入元．13．如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为cm．14．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为cm．15．在△ABC中，如果AB＝5cm，AC＝4cm，BC边上的高线AD＝3cm，那么BC的长为cm．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则△ABD的面积为．17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为．18．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC＝°．三．解答题19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5．（1）求证：AD⊥BC；（2）求CD的长．20．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？21．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A、B、D三点在同一直线上，EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8．（1）试求点F到AD的距离．（2）试求BD的长．22．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B 出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？25．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．参考答案一．选择题1．解：∵在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，AB ＝10，AO ＝6，∴OB ＝，故选：C ．2．解：∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝∠ACB ，∠ACF ＝∠ACD ，即∠ECF ＝（∠ACB +∠ACD ）＝90°， 又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB ＝∠MEC ＝∠ECM ，∠DCF ＝∠CFM ＝∠MCF ， ∴CM ＝EM ＝MF ＝3，EF ＝6，由勾股定理可知CE 2+CF 2＝EF 2＝36， 故选：D ．3．解：A 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∴∠C ＝，所以不是直角三角形，正确；B 、∵（6x ）2+（8x ）2＝（10x ）2，∴是直角三角形，错误；C 、∵∠C ＝∠A ﹣∠B ， ∴∠C +∠B ＝∠A ，∴∠A ＝90°，是直角三角形，故本选项错误； D 、∵b 2＝a 2﹣c 2，∴是直角三角形，错误； 故选：A ．4．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、B 的最短距离为线段AB 的长． 在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8cm ，AC 为底面半圆弧长，AC ＝2π＝6cm ，所以AB ＝＝10cm ．故选：C ．5．解：在Rt △ACD 中，∠A ＝45°，CD ＝2， 则AD ＝CD ＝2，在Rt △CDB 中，∠B ＝30°，CD ＝2，则BD ＝2，故AB ＝AD +BD ＝2+2． 故选：D ．6．解：设直角三角形的三边从小到大是a ，b ，c ．则S 1＝b 2，S 2＝a 2，S 3＝c 2．又a 2+b 2＝c 2， 则S 1+S 2＝S 3． 故选：D ．7．解：∵AB ＝1.5，BC ＝0.9，AC ＝1.2，∴AB 2＝1.52＝2.25，BC 2+AC 2＝0.92+1.22＝2.25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠ACB ＝90°，∵CD 是AB 边上的高，∴S △ABC ＝，1.5CD ＝1.2×0.9， CD ＝0.72， 故选：A ．8．解：A 、由勾股定理得：AB ＝＝5，故此选项正确；B 、∵AC 2＝22+42＝20，BC 2＝12+22＝5，AB 2＝52＝25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠C ＝90°，故此选项正确；C 、AC ＝＝2，故此选项正确；D 、∵BC ＝，AB ＝5， ∴∠A ≠30°， 故此选项不正确； 本题选择错误的结论， 故选：D ．9．解：作AD ⊥BC 于D ，如图所示：则∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝6，由勾股定理得：AD ＝＝8，当BM ⊥AC 时，BM 最小， 此时，∠BMC ＝90°，∵△ABC 的面积＝AC •BM ＝BC •AD ，即×10×BM ＝×12×8，解得：BM ＝9.6， 故选：B ．10．解：设每个小直角三角形的面积为m ，则S 1＝4m +S 2，S 3＝S 2﹣4m ， 因为S 1+S 2+S 3＝60，所以4m +S 2+S 2+S 2﹣4m ＝60， 即3S 2＝60， 解得S 2＝20． 故选：C ．二．填空题（共8小题）11．解：∵DE 是AB 的中垂线，∴DA ＝DB ，设AD ＝x ，则DB ＝x ，CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣x ， 在Rt △ACD 中，∵AC 2+CD 2＝AD 2， ∴62+（8﹣x ）2＝x 2，解得x ＝，∴CD ＝8﹣x ＝，故答案为：．12．解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2+BC 2＝32+42＝52， ∴AC ＝5．在△DAC 中，CD 2＝132，AD 2＝122， 而122+52＝132， 即AC 2+AD 2＝CD 2， ∴∠DAC ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAC +S △DAC ＝•BC •AB +DC •AC ，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用：36×300＝10800（元）． 故答案为：10800．13．解：如图，将正方体展开， 则线段AB 即为最短的路线， 设这个正方体的棱长为xcm ，∴AB ＝＝x ＝20，∴x ＝4，∴这个正方体的棱长为4cm ，故答案为：4．14．解：如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4cm ，BC ＝4cm ，由勾股定理知，AC ＝＝＝4．设AC 边上的高的长度为hcm ，则AB •BC ＝AC •h ，∴h ＝＝＝2（cm ）．故答案是：2．15．解：（1）如图1，当点D 落在BC 上时，∵AB ＝5，AD ＝3，AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD +CD ＝4+；（2）如图2，当点D 落在BC 延长线上时，∵AB ＝5，AD ＝3， AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD ﹣CD ＝4﹣；综上，BC 的长的为（4+）或（4﹣）cm ．16．解：作DE ⊥AB 于E ，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB ＝＝13，由基本作图可知，AD 是∠CAB 的平分线， 在△ACD 和△AED 中，，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AC ＝12，DE ＝DC ，∴BE ＝AB ﹣AE ＝1，BD ＝5﹣CD ＝5﹣DE ，在Rt △DEB 中，DE 2+BE 2＝BD 2，即DE 2+12＝（5﹣DE ）2，解得，DE ＝，∴△ABD 的面积＝×AB ×DE ＝，故答案为：．17．解：由题意：S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形E ， S 正方形D ﹣S 正方形C ＝S 正方形E ，∴S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形D ﹣S 正方形C∵正方形B ，C ，D 的面积依次为4，3，9∴S 正方形A +4＝9﹣3，∴S 正方形A ＝2故答案为2．18．解：连接AC ．根据勾股定理可以得到：AB 2＝12+32＝10，AC 2＝BC 2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．故答案为：10，45．三．解答题（共7小题）19．解：（1）在△ABD 中，∵AD 2+BD 2＝122+52＝169，AB 2＝132＝169，∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，其中∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ；（2）∵AD⊥BC，∴∠AD C＝90°，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，即122+CD2＝152，解得：CD＝9或CD＝﹣9（舍）．20．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，梯子距离地面的高度AE＝＝24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝DE＝＝＝15，∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．21．解：（1）如图，过点F作FM⊥AD于点M，在△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°，DE＝8，则∠DFE＝30°，故EF＝2DE＝16，DF＝＝＝8，∵AB∥EF，∴∠FDM＝∠DFE＝30°，在Rt△FMD中，MF＝DF＝8×＝4，即点F与AD之间的距离为：4；（2）在Rt△FMD中，DM＝＝＝12，∵∠C＝45°，∠CAB＝90°，∴∠CBA＝45°，又∵∠FMB＝90°，△FMB是等腰直角三角形，∴MB＝FM＝4，∴BD＝MD﹣FM＝12﹣4．22．解：根据题意得；AC ＝30海里，AB ＝40海里，BC ＝50海里；∵302+402＝502，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴180°﹣90°﹣35°＝55°，∴乙船的航行方向为南偏东55°．23．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC ＝CA ．设AC 为x ，则OC ＝9﹣x ，由勾股定理得：OB 2+OC 2＝BC 2，又∵OA ＝9，OB ＝3，∴32+（9﹣x ）2＝x 2，解方程得出x ＝5．∴机器人行走的路程BC 是5cm ．24．解：设运动x 秒时，它们相距15cm ，则CP ＝xcm ，CQ ＝（21﹣x ）cm ，依题意有x 2+（21﹣x ）2＝152，解得x 1＝9，x 2＝12．故运动9秒或12秒时，它们相距15cm ．25．定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．证明：∵S 四边形ABCD ＝S △ABE +S △AED +S △CDE ，＝×2+，又∵S 四边形ABCD ＝＝，∴＝×2+， ∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+2ab +b 2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．。
专题一 勾股定理(解析版)
八年级北师大版上册第一章勾股定理培优专题一、勾股定理的应用（最短路径）1．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18，BC=12，BF=10，点M在棱AB上，且AM=6，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程的平方为（）A．400B．424C．136D．324【答案】A【解析】【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：如图1，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵BM=18-6=12，BN=10+6=16，∵MN2=122+162=400如图2，∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，∵PM=18-6+6=18，NP=10，∵MN2=182+102=424．∵因为400<424，所以蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N的最短距离的平方为400.故选：A．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．【答案】15.【分析】过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ∵EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∵AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt∵A′QC中，由勾股定理得：，故答案为15．3．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；(2)试求小虫爬行的最短路程．【答案】(1)如图所示见解析，AQ→QG为最短路线；(2)小虫爬行的最短路程为100 cm.【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.【详解】(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,所以小虫爬行的最短路程为100cm.【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.勾股定理的实际应用4．有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米.（1）这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.（2）为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？【答案】(1)能通过，理由见解析；(2) 桥洞的宽至少应增加到2.6米.【分析】（1）如图①，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得方程2220.81x +=，解出x 的值，再用x +2.3与卡车的高2.5作比较即可；（2）如图②，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由此可求OA 的长，即桥洞的半径，再乘以2即得结果.【详解】解：（1）能通过.理由如下：如图①所示，当桥洞中心线两边各为0.8米时，由勾股定理得2220.81x +=，解得0.6x =，∵2.5 2.30.6<+，∵卡车能通过.（2）如图②所示，在直角三角形AOB 中，已知OB =1.2，AB =2.8－2.3=0.5，由勾股定理得：22221.20.5 1.3OA =+=，∵ 1.3OA =，∵桥洞的宽至少应增加到1.32 2.6⨯=（米）.① ②【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，画出图形，弄清相关线段所表示的实际数据. 5．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，公路PQ 上点A 处有学校，点A 到公路MN 的距离为80m ，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？【答案】24s.【解析】试题分析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt∵ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．试题解析：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA=DA=100m，在Rt∵ABC中，CB60(m)，∵CD=2CB=120m，∵18km/h=18000m/3600s=5m/s，∵该校受影响的时间为：120÷5=24（s）．答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．6.如图是某体育广场上的秋千，秋千静止时，其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2 m，此时秋千与静止位置时的水平距离为1.5 m，请你根据以上数据计算秋千摆绳的长度．【答案】2.5m ．【分析】根据题意画出图形，表示出图形中相关线段的长，再利用勾股定理得出答案．【详解】解：如图，作BE∵OA ，垂足为E ，由题意得，0.7m AC =， 1.2m BD =， 1.5m BE =，∵ 1.2m CE BD ==， 1.20.70.5(m)AE =-=．设m OA OB x ==，则(0.5)m OE x =-．在Rt OBE 中，由勾股定理得，222OE O E B B -=，即222(0.5) 1.5x x --=，解得 2.5x =．答：秋千摆绳的长度为2.5m ．二、勾股定理与几何问题的应用7．如图，把长方形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则长方形ABCD 的边BC 的长为( )A ．20B ．22C ．24D ．30【答案】C【详解】 由折叠得： ,,FP BF CH PH ==在Rt PHF ∆ 中，∵FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则10.FH == 故BC=BF+FH+HC=6+8+10=24. 故选C.8．如图，在四边形ABCD 中，AD∵BC ，∵ABC+∵DCB=90°，且BC=2AD ，分别以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3．若S 2=48，S 3=9，则S 1的值为（ ）A．18B．12C．9D．3【答案】D【分析】过A作AH∵CD交BC于H，根据题意得到∵BAE=90°，根据勾股定理计算即可．【详解】∵S2=48，∵BC A作AH∵CD交BC于H，则∵AHB=∵DCB．∵AD∵BC，∵四边形AHCD是平行四边形，∵CH=BH=AD AH=CD=3．∵∵ABC+∵DCB=90°，∵∵AHB+∵ABC=90°，∵∵BAH=90°，∵AB2=BH2﹣AH2=3，∵S1=3．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．如图，在∵ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A．m2B．m2+1C．2m2D．（m+1）2【答案】A【分析】如图，作AD∵BC交BC于D，根据勾股定理得AB2=BD2+AD2，AP2=PD2+AD2，再根据D是BC的中点，整理得到AB2﹣AP2=PB•PC，再把AB=m代入求解即可.【详解】解：如图，作AD∵BC交BC于D，AB2=BD2+AD2 ①，AP2=PD2+AD2 ②，①﹣②得：AB2﹣AP2=BD2﹣PD2，∵AB2﹣AP2=（BD+PD）（BD﹣PD），∵AB=AC，∵D是BC中点，∵BD+PD=PC，BD﹣PD=PB，∵AB2﹣AP2=PB•PC，∵PA2+PB•PC=AB2=m2．故选A.10．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBE '∆的位置，若1,2,3AE BE CE ===，求BE C '∠的度数．【答案】135︒【分析】连接EE`,如图,根据旋转的性质得BE=B E'=2,AE=C E'=1,∵EBE`=90°,则可判断∵BEE`为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得在∵CE E'中,由于CE`2 +E E'2=CE 2,根据勾股定理的逆定理得到∵CEE`为直角三角形,即∵EE`C=90°,然后利用∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E 求解【详解】连接EE`,如图,∵∵ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到∵CBE`∵BE=BE'=2,AE=CE'=1,∵EB E'=90°∵∵BE E'为等腰直角三角形在∵CEE`中∵122=32∵CE 2+E E'2= CE 2∵∵CE E'为直角三角形∵∵E E'C=90°∵∵B E'C=∵B E'E+∵C E'E=135°【点睛】此题考查了等腰直角三角形，勾股定理的逆定理，正方形的性质和旋转的性质，利用勾股定理证明三角形是直角三角形是解题关键11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12315S S S ++=，则2S 的值是__________．【答案】5【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，得出答案即可．【详解】解：将四边形M TKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x ，24S y x ，3S x =， 12331215S S S x y ，故31215x y， 154=53x y ， 所以245S x y ， 故答案为：5．【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出1S ，2S ，3S ，再利用12315S S S ++=求出是解决问题的关键．12．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作60PBQ ∠=︒，且BQ=BP ，连接CQ.若::3:4:5PA PB PC =，连接PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由.【答案】PQC △是直角三角形,理由详见解析【解析】【分析】先利用SAS 证明∵ABP ∵∵CBQ ，得到AP=CQ ；设PA =3a ，PB =4a ，PC =5a ，由已知可判定∵PBQ 为正三角形，从而可得PQ =4a ，再根据勾股定理的逆定理即可判定∵PQC 是直角三角形．【详解】解：PQC △是直角三角形. 理由如下：在ABP △与CBQ △中，∵AB CB =，BP BQ =，60ABC PBQ ∠=∠=︒，∵ABP ABC PBC PBQ PBC CBQ ∠=∠-∠=∠-∠=∠.∵ABP CBQ ≌△△.∵AP CQ =.∵::3:4:5PA PB PC =，∵设3PA a =，4PB a =，5.PC a =在PBQ △中，由于4PB BQ a ==，且60PBQ ∠=︒，∵PBQ △为等边三角形.∵4PQ a =.在PQC △中，∵22222216925PQ QC a a a PC +=+==，∵PQC △为直角三角形.【点睛】此题考查了等边三角形的性质、勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证明ABP CBQ≌△△得出AP=CQ.13．已知：如图，∵ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA∵CA于A．求：BD的长．【答案】7 2【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt∵ADE和Rt∵ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．【详解】如图,过点A作AE∵BC于点E，∵AB=AC=10，BC=16，∵BE=CE=8，在Rt∵ACE中，利用勾股定理可知：AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x，又DA∵CA，在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，代入为：62+（8﹣x）2=（16﹣x）2﹣102，解得：x=72．即BD=72．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt∵ADE和Rt∵ADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2．14．已知：AB=AC，且AB∵AC，D在BC上，求证：2222BD CD AD+=．【答案】证明见解析【分析】作AE∵BC于E，由于∵BAC=90°，AB=AC，得到∵BAC是等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质得到BE=AE=EC，进而得到BD= AE－DE，DC= AE+DE，代入BD2+CD2计算，结合勾股定理，即可得到结论．【详解】作AE∵BC于E，如图所示．∵AB=AC，且AB∵AC，∵∵BAC是等腰直角三角形．∵AE∵BC，∵BE=AE=EC，∵BD=BE －DE=AE－DE，DC=EC+DE= AE+DE，∵BD2+CD2= （AE－DE）2+（AE+DE）2= AE2+DE2-2AE•DE+ AE2+DE2+2AE•DE= 2AE2+2DE2= 2（AE2+DE2）=2AD2．【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质，关键在于得出BD= AE－DE，DC= AE+DE．三、动点问题15．已知，如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)t为______时，∵PBQ是等边三角形？(2)P，Q在运动过程中，∵PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，∵PBQ是直角三角形？说明理由．【答案】(1)12；(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由见解析.【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．【详解】(1)要使，∵PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ，∵在Rt∵ABC中，∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm．∵AB=36cm，可得：PB=36-2t，BQ=t，解得：t=12故答案为；12(2)当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形，理由如下：∵∵C=90°，∵A=30°，BC=18cm∵AB=2BC=18×2=36(cm)∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发∵BP=AB-AP=36-2t，BQ=t∵∵PBQ是直角三角形∵BP=2BQ或BQ=2BP当BP=2BQ时，36-2t=2t解得t=9当BQ=2BP时，t=2(36-2t)解得t=72 5所以，当t为9或725时，∵PBQ是直角三角形．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质，关键是含30°角的直角三角形的性质的逆定16．如图1，Rt∵ABC 中，∵ACB =90．，直角边AC 在射线OP 上，直角顶点C 与射线端点0重合，AC =b ，BC =a ，30a -=．（1）求a ，b 的值；（2）如图2，向右匀速移动Rt∵ABC ，在移动的过程中Rt∵ABC 的直角边AC 在射线OP 上匀速向右运动，移动的速度为1个单位／秒，移动的时间为t 秒，连接OB ．①若∵OAB 为等腰三角形，求t 的值；②Rt∵ABC 在移动的过程中，能否使∵OAB 为直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说明理由．【答案】（1）a =3，b =4（2）①t =4或t =1；②能．t =94． 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则每一个数都为零，得出b -4=0 ,a -3=0 ,求解即可得出a ,b 的值；（2） ①首先根据勾股定理算出AB 的长及用含t 的式子表示出OA ,OB 2 ，然后分三类讨论：当OB =AB 时；当AB =OA 时 ；当OB =OA 时 ；一一列出方程求解即可得出t 的值； ②能．由于t ＞0，点C 在OP 上，∵ACB = 90，故只能是∵OBA =90°，根据勾股定理得出关于t 的方程求出t 的值即可. 【详解】（1）解0≥,30a -≥， 30a -=，0=， 30a -=∵a=3，b=4（2）解:①∵AC=4，BC=3，∵AB，∵OC=t∵OB2=t2+32=t2+9，OA=t+4，当OB=AB时，t2+9=25，解得t=4或t=﹣4（舍去）；当AB=OA时，5=t+4，解得t=1；当OB=OA时，t2+9=（t+4）2，解得t=-78（舍去）．综上所述，t=4或t=1；②能．∵t＞0，点C在OP上，∵ACB ∵只能是∵OBA=90°，∵OB2+AB2=OA2，即t2+9+25=（t+4）2，解得t=94．∵Rt∵ABC在移动的过程中，能使∵OAB为直角三角形，此时t=94．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的定义及分类讨论的数学思想.掌握非负数的性质是解（1）的关键，掌握勾股定理及分类讨论的数学思想是解（2）的关键.四、分类讨论的思想17．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【详解】试题分析：由n=1，得到a= （m 2﹣1）①，b=m②，c=（m 2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，分情况，列方程即可得到结论．试题解析：当n=1，a=12（m 2﹣1）①，b=m②，c=12（m 2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5，∵∵、当a=5时，12（m 2﹣1）=5，解得：（舍去）， ∵、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，∵、当c=5时，12（m 2+1）=5，解得：m=±3， ∵m ＞0，∵m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．18．∵ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则∵ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或33 【答案】C【分析】存在2种情况，∵ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在∵ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，∵ABC是锐角三角形∵AD是高，∵AD∵BC∵AB=15，AD=12∵在Rt∵ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∵在Rt∵ACD中，DC=5∵∵ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，∵ABC是钝角三角形在Rt∵ADC中，AD=12，AC=13，∵DC=5在Rt∵ABD中，AD=12，AB=15，∵DB=9∵BC=4∵∵ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.18．如图是某商品的商标，由七个形状、大小完全相同的正六边形组成．我们称正六边形的顶点为格点，已知∵ABC的顶点都在格点上，且AB边位置如图所示，则∵ABC是直角三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】C【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．【详解】如图所示：AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，综上所述，∵ABC是直角三角形的个数有6+4=10个.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是正多边形和圆, 勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆, 勾股定理的逆定理.。
专题01 勾股定理的证明(专项培优训练)(教师版)
专题01 勾股定理的证明（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.57一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023•南康区一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A．4B．4.5C．4.8D．5解：∵S正方形ABCD＝24，∴AB2＝24，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝24，∴，根据题意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN ＝2S△CGN，∵S△AEM ＝S△CGN，∴S△FGN ＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：＝＝＝＝2x2＝＝4.8．故选：C．2．（2分）（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）A．128B．64C．32D．144解：∵AE＝5，BE＝13，∴AB＝＝＝，∴小正方形的面积为：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，∴EF2的值是64×2＝128，故选：A．3．（2分）（2021秋•卢龙县期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．76B．72C．68D．52解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．4．（2分）（2022秋•衡东县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）A．12B．11C．10D．9解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵ab＝24，a2+b2＝129，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，而a﹣b＞0，∴a﹣b＝9，故选：D．5．（2分）（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．6．（2分）（2023春•涧西区期中）在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）A．甲B．乙C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以解：甲同学的方案：∵大正方形的面积＝小正方形的面积+直角三角形的面积×4，∴（a+b）2＝c2+ab×4，∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，因此甲同学的方案可以证明勾股定理；乙同学的方案：∵大正方形的面积＝矩形的面积×2+两个小正方形的面积，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴得不到a2+b2＝c2，因此乙同学的方案不可以证明勾股定理．故选：A．7．（2分）（2023春•樊城区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为（ ）A．9B．10C．11D．12解：由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：a2+b2＝129，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，∴a﹣b＝9（a＞b），∴小正方形的边长为9．故选：A．8．（2分）（2022秋•榕城区期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．解：A．根据图形可知：＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，∵，∴a2+b2＝c2；故A选项不符合题意；B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；C．根据图形可知：S＝4×ab+c2＝2ab+c2，大正方形S＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，大正方形∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C选项不符合题意；D．根据图形可知：S＝c2，大正方形S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D选项不符合题意，故选：B．9．（2分）（2021秋•新绛县期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式正确的是（ ）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+abC．S2＝c2D．S2＝c2+ab解：观察图形可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，故选：B．10．（2分）（2022春•南浔区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（ ）A．B．C．D．解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S 2＝CD 2＝32＝9，又∵小正方形EFGH 的面积为S 1，S 2＝5S 1，∴S 1＝，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝，∵将EG 延长交CD 于点I ，∴∠HGE ＝45°，在Rt △EHG 中，由勾股定理得：EG ＝＝，设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，则AF ＝BG ＝CH ＝DE ＝x +，在Rt △CDH 中，由勾股定理得：CD 2＝DH 2+CH 2，即9＝x 2+（x +）2，解得：x 1＝，x 2＝﹣（不合题意，舍去），即AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ＝，∴DH ＝EH ＝，∴CH 垂直平分ED ，∴DG ＝EG ＝，∴∠DGH ＝∠HGE ＝45°，∴∠DGE ＝45°+45°＝90°，∴∠DGI ＝90°，在Rt △DGI 中，由勾股定理得：GI ＝＝＝，故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023春•路北区期中）如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分也是一个小正方形，若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则ab 的值为 20 ．解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，∴直角三角形的面积＝（大正方形面积﹣小正方形面积）÷4＝（72﹣32）÷4＝10，即ab ＝10，∴ab ＝20，故答案为：20．12．（2分）（2022秋•巴州区期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNPQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3＝45，则S 2的值是 15 ．解：设全等的直角三角形的两条直角边为a 、b 且a ＞b ，由题意可知：，因为S 1+S 2+S 3＝45，即（a +b ）2+a 2+b 2+（a ﹣b ）2＝45，3（a 2+b 2）＝45，所以3S 2＝45，∴S 2的值是15．故答案为：15．13．（2分）（2020秋•温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC ＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD 的周长是15，则这个风车的外围周长是 38 ．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案为：38．14．（2分）（2018•遵义一模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 76 ．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5＝30则x＝13，y＝6．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．故答案为：76．15．（2分）（2018春•越秀区校级期中）如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积＝大正方形面积，即 4×ab + （b﹣a）2 ＝ c2 化简得：a2+b2＝c2．解：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积＝大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2＝c2故答案为：4×ab、（b﹣a）2、c2．16．（2分）（2023春•无棣县期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中说法正确的结论有 ①③ （填序号）．解：∵大正方形面积为49，∴大正方形边长为7，在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，故说法①正确；∵小正方形面积为4，∴小正方形边长为2，∴x﹣y＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49﹣2xy＝4，∴xy＝，故说法②错误；∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，∴4×xy+4＝49，∴2xy+4＝49，故说法③正确；∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝，故说法④错误；故答案为：①③．17．（2分）（2021秋•成华区期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案为：318．（2分）（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若＝，则的值为 ．解：∵＝，大正方形面积为m2，∴．设图2中AB＝x，依题意则有：，即4××x2＝，解得：（负值舍去）．在Rt△ABC中，AB2+CB2＝AC2，∴，解得：（负值舍去）．∴．故答案为：．19．（2分）（2020春•济南期末）如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是 ．解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．20．（2分）（2019秋•秦都区校级月考）在如图的弦图中，已知正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的边长＝ ．解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△AEF中，EF＝＝＝，故正方形EFGH的边长是．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023•滕州市校级开学）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴a2+b2＝c2＝100，（a﹣b）2＝4，∴a2+b2﹣2ab＝4，即100﹣2ab＝4，∴2ab＝96，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．22．（6分）（2022秋•屯留区期末）阅读与思考阅读下列材料，完成后面的任务：赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a ，b ，斜边长为c 的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD 的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN 的面积．任务：（1）在图2中，正方形ABCD 的面积可表示为 （a +b ）2 ，正方形PQMN 的面积可表示为 （a ﹣b ）2 ．（用含a ，b 的式子表示）（2）根据S 正方形ABCD ＝8S 直角三角形+S 正方形PQMN ，可得（a +b ）2，ab ，（a ﹣b ）2之间的关系为 （a +b ）2＝4ab +（a ﹣b ）2 ．（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a +b ＝5，ab ＝4，求（a ﹣b ）2的值．解：（1）∵大正方形边长为（a +b ），小正方形边长为（a ﹣b ），∴大正方形面积为（a +b ）2，小正方形面积为（a ﹣b ）2；故答案为：（a +b ）2；（a ﹣b ）2．（2）根据S 正方形ABCD ＝8S 直角三角形+S 正方形PQMN ，可得，故答案为：（a +b ）2＝4ab +（a ﹣b ）2．（3）∵a +b ＝5，ab ＝4，∴52＝4×4+（a ﹣b ）2，∴（a ﹣b ）2＝9，∴（a ﹣b ）2的值为9．23．（8分）（2023春•前郭县期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC +S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．24．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB ＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．25．（8分）（2022秋•凌海市期中）我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．根据此图证明勾股定理．（如图每个直角三角形斜边为c两个直角边分别为a、b）证明：∵，，∴，整理得a2+b2＝c2．26．（8分）（2022春•广汉市期中）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是 直角 三角形，结论是 a2+b2＝c2 （三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；解：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案为：直角；a2+b2＝c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°．∵S梯形ABCD ＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2＝c2．27．（8分）（2022秋•宝丰县期中）在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），即（a+b）2＝c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2．解：（1）由图可得：大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2，四个直角三角形面积和为：4×ab，由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，则有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2，即：c2＝a2+b2．（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，因为它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2，所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立．28．（8分）（2022秋•南海区校级月考）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，直角三角形ADE 与直角三角形AGE 全等，直角三角形BFE 与直角三角形BGE 全等，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形DEFC 中，DE ＝EF ＝CF ＝CD ＝x ．小明发明了一种求正方形边长的方法：由题意可得BF ＝BG ＝a ﹣x ，AD ＝AG ＝b ﹣x ，因为AB ＝BG +AG ，所以a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得x ＝．（1）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC ＝S △AEB +S △AEC +S △BEC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（2）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（1）解：连接EC ，如图，∵Rt △BEF ≌Rt △BEG ，Rt △AED ≌Rt △AEG ，∴ED ＝EG ＝EF ＝x ，∴S △AEC ＝bx ，S △BEC ＝ax ，S △AEB ＝cx ，S △ABC ＝ab ，∵S △ABC ＝S △AEB +S △AEC +S △BEC ，∴bx +ax +cx ＝ab ，即（a +b +c ）x ＝ab ，∴x ＝；（2）证明：∵x ＝，x ＝，∴＝，∴（a +b +c ）（a +b ﹣c ）＝2ab ，∴（a +b ）2﹣c 2＝2ab ，∴（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，∴a 2+b 2+2ab ﹣2ab ＝c 2，故a2+b2＝c2．。
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】work Information Technology Company.2020YEAR第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.1.1、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.1.2、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.1.3、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米1.4、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高？1.5、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2 m、1 m、0.8 m的箱子能放进储藏室吗？题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.2.1【综合Ⅱ】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC的高度.2.2、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.3【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．2.4【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长是______ ．类型三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.4.1、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.4.2、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.4.3 、【综合题】如右上图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】 如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD的面积.9.1、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.9.2、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD中，4＝DF，图中有几个直角三角AE，1＝＝AB，2形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，34 （D）9，40，4110.1、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题（带解析） 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 分卷I 分卷I 注释 一、单选题(注释) 1、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 A ．b 2=c 2－a 2…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○……………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○学校：___________姓名：___________班级：___________考号：_________…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○A ．b 2=c 2－a 2 B ．a∶b∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A－∠B D ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 更多功能介绍/zt/ 6、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm ，则可知最长边上的高是 A ．48cm B ．4.8cm C ．0.48cm D ．5cm 分卷II 分卷II 注释 评卷人 得分 二、填空题(注释) 7、如图：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA="50" m,CB="40" m ，那么A 、B 两点间的距离是_________.8、有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.9、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取________米.10、阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC 的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC 的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状. 12、若△ABC 的三边长为a,b,c ，根据下列条件判断△ABC 的形状. （1）a 2+b 2+c 2+200=12a+16b+20c （2）a 3－a 2b+ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0 13、等边三角形ABC 内一点P ，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数. 14、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 15、设三角形的三边分别等于下列各组数： ①7，8，10 ②7，24，25 ③12，…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………35，37 ④13，11，10 请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？ 16、作一个三角形，使三边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，哪条边所对的角是直角？为什么？ 17、如图：△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且满足关系：a 2+b 2=c 2. 请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b. （1）△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？ （2）∠C′是否等于∠C？ （3）由以上你能判定△ABC 是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………cm,BC="10" cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 19、如图：要修建一个育苗棚，棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 20、在△ABC 中，∠C="90°,AC=2.1" cm,BC="2.8" cm （1）求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长； （2）求斜边被分成的两部分AD 和BD 的长. 21、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积. 22、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………两条直角边的边长分别为a 、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a+b 的正方形内. ①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 23、请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………于42+72？ 24、如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离. 25、如下图所示，△ABC 中，AB="15" cm ，AC="24" cm ，∠A=60°，求BC 的长.试卷答案1.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 2.【解析】∵（m2-1）2+（2 m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，故选A.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 3.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42-32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．4.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………A 、，B 、，D 、，均不能组成直角三角形； C 、，能组成直角三角形，本选项正确. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 5.【解析】 试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可. A 、由b 2=c 2-a 2得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B 、由a ：b ：c=3：4：5得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C 、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A -∠B 解得∠A=90°，故是故是直角三角形； D 、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形． 故选D ．…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………形的内角和定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 6.【解析】 试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解． ： ∵AB 2+AC 2=62+82=100，BC 2=102=100， ∴三角形是直角三角形． 根据面积法求解： 即 解得 故选B. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………7.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可求得结果. 由题意得 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 8.【解析】 试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果. 因为东南和东北方向互相垂直， 根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18， 根据勾股定理得，两船相距海里. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 9.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可得到结果。
北师大版八年级数学上 第一章 勾股定理.docx
初中数学试卷桑水出品北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理 同步测试题 11．在△ABC 中，∠C=90°，（1）若BC =5，AC =12，则AB = ； （2）若BC =3，AB =5，则AC = ；（3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = . （4) 若AB=8.5，AC=7.5，则BC= 。
2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .3．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。
4．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。
6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2. 7.一个直角三角形的三边长为3、4和a ，则以a 为半径的圆的面积是 。
8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。
9．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为 ．第4题BCA10．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长。
北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理 同步测试题 21、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，2、如图，阴影部分的面积3、一个直角三角形的三边分别为3，4，x ，则2x4、若等腰三角形的腰为10cm ，底边长为16cm ，则它的面积为 ；5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
2022-2023学年八年级数学上学期课后分级练(北师大版)1-1 探索勾股定理(解析版)
1.1 探索勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2.培优第一阶——基础过关练1．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是（ ） A ．36B ．64C ．100D ．100或28【答案】C【解析】解：直角三角形的两条直角边长分别为6和8，由勾股定理得，第三边平方为62+82＝100， 故选：C ．2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）A ．10B ．13C ．7D ．14 【答案】A【解析】解：由题意得， 直角三角形的斜边为：2268=10+故选：A ．3．如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A 与点B 的距离，小亮在点C 处立一标杆，使ABC ∠是直角，测得AC 的长为85m ，BC 的长为75m ，则点A 与点B 的距离是（ ） A ．20m B ．40m C ．30m D ．50m【答案】B 【解析】根据勾股定理得，AB =22228575AC BC -=-课后培优练课堂知识梳理=40(m )，故选B ．4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A ．4 cmB ．4.75 cmC ．6 cmD ．5cm【答案】D【解析】解：∵AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，在△ABC 中，由勾股定理可知：222268AB AC BC =+=+=10，∵将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，故E 为AB 的中点，∴AE =BE =5，故选：D ．5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m 的路，却踩伤了花草．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】根据题意，得：长方形花圃的四个角为90︒∴花圃内的一条“路”长2251213m +∴仅仅少走了512134m +-= 故选：B ．6．在Rt ABC △中，斜边5BC =，则22AB AC +等于（ ）A ．5B ．25C ．50D ．100【答案】B【解析】解：∵Rt ABC △中，斜边5BC =，∴22AB AC +225BC ==．故选：B ．7．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为1S 、2S 、3S ，已知136S =，264S =，3S =（ ）．A ．90B ．100C ．110D ．120【答案】B【解析】解：∵ABC ∆中，90ACB ∠=︒，∴222AC BC AB +=,∵1S =2AC ，2S =2BC ，3S =2AB ，∴1S +2S =3S ，∵136S =，264S =，∴3S =36+64=100．故选：B ．8．在Rt ABC ∆中，C 90︒∠=，（1）如果a=3，b=4，则c=____；（2）如果a=6，b=8，则c=____；（3）如果a=5，b=12，则c=____；（4）如果a=15，b=20，则c=____【答案】 5 10 13 25【解析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到结果．（1），；（2），；（3），；（4），．9．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为_________________．【答案】5【解析】根据题意，利用勾股定理有22215AB=+=，故答案为：5．10．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为______2cm【答案】30【解析】解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边= 221312-=5(cm)，∴面积=12×5×12=30 (cm2)．故答案为：30．11．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是__m．【答案】170【解析】解：∵正南方向和正东方向成90°，学校与书店距离构成直角三角形的斜边，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为2215080+＝170m．故答案为：170．12．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________【答案】4【解析】解：Rt △ABF 中，AB =10，AF =8，由勾股定理得：BF =22108-=6，∴FG =8-6=2，∴小正方形EFGH 的面积=22=4，故答案为：4．13．设直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ．（1）已知6,10a c ==，求b ；（2）已知5,12a b ==，求c ；（3）已知25,15c b ==，求a ．【答案】（1）8；（2）13；（3）20【解析】解：（1）直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ，6a =，10c =，22221068b c a ∴=-=-=；（2）直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ，5a =，12b =，222251213c a b ∴=+=+=；（3）直角三角形的两条直角边长分别为a 和b ，斜边长为c ，25c =，15b =，2222021255a c b ∴=-=-=．14．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，AD 是△ABC 的高，求AD 的长．【答案】AD 2a ． 【解析】解：∵在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，∴BC 22222AB AC a a a ++，∵AD 是△ABC 的高，∴S △ABC =12×AB ×AC =12×BC ×AD ，即12×a ×a =12×2a ×AD ， 解得AD =22a ． 故AD 的长为22a ． 15．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield ）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．【答案】能，见解析【解析】解：能，理由如下：∵直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，∴12 (a +b )(a +b )＝2×12ab +12c 2， ∴（a +b ）（a +b ）=2ab +c 2，∴a 2+2ab +b 2=2ab +c 2，∴a 2+b 2=c 2．16．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度0.6m =DE ，将他往前推送2.4m （水平距离2.4m =BC ）时，秋千的踏板离地的垂直高度 1.2m =BF ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度．【答案】5.1m【解析】解：设秋千的绳索长为m x ，则m ==AB AD x ，0.6 1.2(0.6)m =+-=+-=-AC AD DE CE x x ，在Rt ACB 中，222AC BC AB +=，即222(0.6) 2.4-+=x x ，解得 5.1x =，答：绳索AD 的长度是5.1m ．培优第二阶——拓展培优练17．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为__________．【答案】49【解析】 如图对所给图形进行标注：因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，所以正方形A 的面积2a =，正方形B 的面积2b =，正方形C 的面积2c =，正方形D 的面积2d =． 因为222a b x +=，222c d y +=，所以正方形A ，B ，C ，D 的面积和()()2222222749a b c d x y =+++=+==．故答案为：49．18．根据勾股定理知识迁移，完成下列应用．(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积1S ，2S ，3S 之间满足的等量关系是________；(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，分别以三边为直径作半圆，若3a =，5c =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)S 1+S 2＝S 3；(2)阴影部分的面积为6.【解析】(1)如图，设直角三角形的三边长分别为,,a b c ，则22221231111,,22888b S b S a S c ππππ⎛⎫=⋅=== ⎪⎝⎭ 222a b c +=123S S S ∴+=故答案为：123S S S +=(2)设直角三角形为S 4，直角三角形三边为直径的半圆的面积1S ，2S ，3S∵直角边a =3，斜边c =5∴2222534b c a --，则41134622S ab ==⨯⨯= ∴阴影部分的面积S=S 1+S 2+S 4-S 3=S 4=6【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．19．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，3OC =，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，若12340S S S ++=，求2S ．【答案】(1)见解析;(2)24;(3)403【解析】(1)法一：222–2()S a b a ab b ==-+小正方形， 另一方面，2221422S c ab c ab =-⨯=-小正方形， 即22222b ab a c ab -+=-，则222+=a b c ．法二：2S c =大正方形 另一方面，()2142S a b a b =-+⋅⋅⋅大正方形 ∴()22142c a b a b =-+⋅⋅⋅ 整理得：222c a b =+(2)2446÷=，设AC x =，依题意有()()222336x x ++=-解得1x =()1131344342422S =⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯=飞镖． 故该飞镖状图案的面积是24．(3)将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，且12340S S S ++=， ∴12384S y x S y x S x =+=+=，，，∴1238431240S S S y x y x x x y ++=++++=+=，∴4043x y +=， ∴24043S x y =+=． 培优第三阶——中考沙场点兵20．（2021·山东滨州·中考真题） 在Rt ABC 中，若90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．2.4 【答案】D【解析】解：作CD ⊥AB 于点D ，如右图所示， ∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴AB 22AC BC +，∵22AC BC AB CD ⋅⋅=， ∴34522CD ⨯=， 解得CD =2.4，故选：D ．21．（2021·四川凉山·中考真题） 如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．74【答案】D【解析】解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB =22AC BC +=10，∵△ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，∴AE =BE ，AD =BD =12AB =5，设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254， ∴CE =2584-=74， 故选：D ．22．（2021·四川成都·中考真题）如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为_________．【答案】100．【解析】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．故答案为：100．23．（2021·湖南常德·中考真题） 如图．在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，若3,5CD BD ==，则BE 的长为________．【答案】4【解析】解：由题意：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ,CAD EAD ∴∠=∠，90AED ∠=︒，又AD 为公共边，()ACD AED AAS ≌，3CD DE ∴==，在Rt DEB 中，5BD =，由勾股定理得： 2222534BE BD DE =-=-=，故答案是：4．24．（2021·湖南岳阳·中考真题） 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为________．【答案】()2226.810x x +-= 【解析】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=()6.8x -尺，∴可列方程为：()2226.810x x +-=，故答案为：()2226.810x x +-=．。
(2021年整理)八年级数学上册_第一章勾股定理练习题_北师大版
八年级数学上册_第一章勾股定理练习题_北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册_第一章勾股定理练习题_北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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八年级数学练习题一．选择题（12×3′=36′）1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )A、25B、14C、7D、7或252．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5,b=2，c=3B、a=7,b=24，c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=53．若线段a,b,c组成Rt△，则它们的比为( )A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶74．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为( ）A、60∶13B、5∶12C、12∶13D、60∶1696．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1,2n（n〉1)，那么它的斜边长是（）A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+17．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm,则Rt△ABC的面积是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm28．等腰三角形底边上的高为8,周长为32，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、329．三角形的三边长为(a+b)2=c 2+2ab ，则这个三角形是（ ）A. 等边三角形； B 。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
北师大初二上数学第一章勾股定理培优练习题(含答案解析)
勾股定理培优练习题一、单选题1. 如图, 正方形ABCD的边长为4，M 在DC 上，且DM=1 ，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（）．A、3B、4C、5D、4 22. 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠D=90°,AD ＝CD＝4,AB=1,F 为AD 的中点,则F 到BC 的距离是（）A、1B、2C、4D、83. 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD ＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）A、60B、30C、24D、124. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8 ，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB 的长为（）A、3B、4C、5D、65. △ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）2﹣b2=a2 A、若∠C﹣∠B=∠A，则∠C=90°B、若∠C=90°，则c2C、若（a+b）（a﹣b）=c ，则∠C=90°D、若∠A=30°∠B=60°，则AB=2BC6. 下列结沦中，错误的有（）①Rt△ABC 中，已知两边分别为 3 和4，则第三边的长为5；②三角形的三边分别为a、b、c ，若a2+b2=c2 ，则∠A=90°；③若△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；④若（x﹣y）2+M= （x+y）2 成立，则M=4xy ．A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个7. △ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A、如果∠C﹣∠B= ∠A ，那么∠C=90°B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC二、填空题8. 若a,b,c 是直角三角形的三条边长，斜边 c 上的高的长是h ，给出下列结论：2 ①以 a2， b2， c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b ，c+h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以, , 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为．9. 如图，正方形ABCD ，AC 、BD 交于点O，点E、F 分别在AB 、BC 上，且∠EOF=90°，则下列结论①AE=BF ，②OE=OF ，③BE+BF=AD ，④AE 2+CF2=2OE2 中正确的有（只写序号）．三、综合题10. 根据直角三角形的判定的知识解决下列问题(1). 如图①所示，P 是等边△ABC 内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCQ ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2 ，证明∠PQC=9°0 ；(2). 如图②所示，P 是等腰直角△ABC （∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC 满足什么条件时，∠PQC=9°0 ？请说明．11. 请完成下列题目：(1). 如图①所示，P 是等边△ABC 内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCQ ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2 ，证明∠PQC=9°0 .(2). 如图②所示，P 是等腰直角△ABC （∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B 点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC 满足什么条件时，∠PQC=9°0 ？请说明12. 如图，△ABC 中，∠C=Rt∠，AB=5cm ，BC=3cm ，若动点P 从点 C 开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t 秒．(1). 出发 2 秒后，求△ABP 的周长．(2). 问t 满足什么条件时，△BCP 为直角三角形？(3). 另有一点Q,从点 C 开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q 两点同时出发,当P、 Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动．当t 为何值时,直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？13. 完成题目：(1). 如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2). 如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD，BE 与CD有什么数量关系？简单说明理由；(3). 运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E 的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100 米，AC=AE ，求BE 的长．14. 如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，四边形ADEF 是正方形，点B、C 分别在AD 、AF 上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．(1). 如图②，i）当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD 与线段CF 的数量关系是；直线BD 与直线CF 的位置关系是．ii）请利用图②证明上述结论．(2). 如图③，当△ABC 绕点 A 逆时针旋转45°时，延长DB 交CF 于点H，若AB= ，AD=3 时，求线段FC 的长．参考答案1 C2、B3、C4、D5、C6、C7、C 8、9、10、11、12、13、14。