超高密度电法有限单元法正演与广义最小二乘反演_冯德山

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广义Petersen图的最小点覆盖集

广义Petersen图的最小点覆盖集郑文萍;郭炳;杨贵【摘要】点覆盖问题是一个著名的NP完全问题.本文对广义Petersen图P(n,2)的精确最小点覆盖数进行研究,讨论并证明了广义Petersen图P(n,2)的最小点覆盖数,给出了最小点覆盖集的构造方法.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(028)001【总页数】6页(P1-6)【关键词】最小点覆盖集;点覆盖数;广义Petersen图【作者】郑文萍;郭炳;杨贵【作者单位】山西大学计算机与信息技术学院山西太原030006;山西大学智能信息处理研究所山西太原030006;山西大学计算机与信息技术学院山西太原030006;山西大学智能信息处理研究所山西太原030006;山西大学计算机与信息技术学院山西太原030006;山西大学智能信息处理研究所山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】TP301点覆盖问题是最早几个NP完全问题之一[1]，是参数化算法中的核心问题[2，3]，在实际中有大量的现实应用，尤其是在生物学、计算科学和运筹学领域[4，5].另外，在定量特征分析[6]、微阵列数据分析[7]方面也有重要作用.对无向图G=(V,E)，顶点集为V，边集为E，如果存在一个集合C ( C⊆V ) 和一个正整数k，使得|C|≤k并且E中的每一条边至少有一个端点属于C，则称集合C为图G的一个点覆盖集[8～10].元素个数最小的点覆盖集称为G的最小点覆盖集，其元素个数称为最小点覆盖数，记作τ(G).本文对广义Petersen图P(n,2)的点覆盖数问题进行研究，并得到以下结论：1 预备知识在图的基本知识基础上，本文约定：对于图G=(V,E)，v∈V，记G-v为图G删除顶点v以及与v关联的所有边后剩余的点和边组成的图，N[v]表示顶点v的邻域，δv表示顶点v的度，G[X]表示由图G的点集或边集X生成的子图.本文仅讨论简单图.广义Petersen图P(n,k)[11]：对正整数n和k (2≤2k<n)，顶点集V(P(n,k))={a0,a1,…,an-1,b0,b1,…,bn-1}边集E(P(n,k))由外部边集Ω，弦边集Ψ和内部边集I组成，其中Ω、Ψ、I定义如下：Ω={aiai+1|0≤i≤n-1}Ψ={aibi|0≤i≤n-1}I={bibi+k|0≤i≤n-1}(除非特别指明，本文所有顶点下标均对n取模).为方便，由Ω生成的n-圈称作外圈；由I生成的d个(n/d)-圈称作内圈，d为n和k的最大公约数.根据最小点覆盖集的定义，可以得到以下引理.引理1 令Pn=(v0v1…vn-1)表示含有n个顶点的路径，则τ(Pn)=⎣n/2」.且当n为奇数时，Pn的任意最小点覆盖集中不存在相邻顶点.证明容易验证，顶点集合{v2j+1|0≤j≤⎣n/2」-1}是Pn的一个点覆盖集，因而最小点覆盖数τ(Pn)≤⎣n/2」；另一方面，观察到Pn上有⎣n/2」对两两互不相邻的边{v0v1,v2v3,…,v2⎣n/2」-2,v2⎣n/2」-1}，故在其点覆盖集中至少包含⎣n/2」个点，即τ(Pn)≥⎣n/2」.因此可得，τ(Pn)=⎣n/2」.设S为Pn的任意最小点覆盖集，即|S|=⎣n/2」.路径Pn中，每个顶点的度都不大于2.假设n为奇数，若S中存在相邻顶点，则S中的⎣n/2」个顶点至多覆盖2⎣n/2」-1=n-2条边,与S是点覆盖集矛盾.故，当n为奇数时，Pn的任意最小点覆盖集中不存在相邻顶点.引理2 令Cn=(v0v1…vn-1v0)表示一个含有n个点的圈，则τ(Cn)=「n/2⎣.且：(1)当n为偶数时，Cn的任意最小点覆盖集中不存在相邻顶点；(2)当n为奇数时，Cn的任意最小点覆盖集中有且仅有一对相邻顶点.证明 Cn上有⎣n/2」对两两互不相邻的边{v0v1,v2v3,…,v2⎣n/2」-2,v2⎣n/2」-1}，故在其点覆盖集中至少包含⎣n/2」个点，即τ(Cn)≥⎣n/2」.情形1 假设n为偶数，则有τ(Cn)≥n/2=「n/2⎣.容易验证，{v2j|0≤j<n/2}是Cn的一个点覆盖集，所以有τ(Cn)≤n/2.因此，对偶数n,有τ(C n)=「n/2⎣.设S是Cn的任一最小点覆盖集，那么S中的n/2个点必须覆盖Cn的n条边.而Cn中每个顶点的度均为2，因此Cn中的每条边关联且仅关联S的一个顶点，即S中不存在相邻顶点.情形2 假设n为奇数，考虑到Cn中每个顶点的度均为2，任意顶点覆盖集中至少应有(n+1)/2个顶点才能确保覆盖Cn的所有n条边，即τ(Cn)≥「n/2⎣.容易验证{v2j|0≤j≤(n-1)/2}是Cn的一个点覆盖集，故有τ(Cn)≤「n/2⎣.因此，当n为奇数时，τ(Cn)=「n/2⎣.设S是Cn的任一最小点覆盖集，则S=「n/2⎣=(n+1)/2.若S中不存在相邻顶点，则S会覆盖n+1条不同的边，而Cn中仅有n条边，因此，S中至少存在一对相邻顶点.若S中至少存在两对相邻的点，那么「n/2⎣个顶点至多可覆盖n-1条边，与S是点覆盖集的定义矛盾.因此，对奇数n，任意最小点覆盖集中有且仅有一对相邻顶点.综合情形1和情形2，引理得证.对于非负整数t(0<t≤n)和i(0≤i<n)，记Ft(i)为广义Petersen图P(n,k)中t个顶点对构成的集合：Ft(i)={aj,bj|j=i+j0,j0∈Z且0≤j0≤t-1}称之为t元组.2 P(n,2)的最小覆盖集对0≤i<n，考虑5元组F5(i)={aj,bj|j=i+j0,j0∈Z,0≤j0≤4}有以下引理成立.引理3 设S是P(n,2)的任意点覆盖集，P(n,2)的任意五元组F5(i)中至少有6个顶点在S中.即对0≤i<n，|S∩F5(i)|≥6.证明反证法.假设存在P(n,2)的一个点覆盖集S，在S中存在一个5元组F5(i0)(0≤i0<n)使得|S∩F5(i0)|≤5.考虑F5(i0)在P(n,2)中的导出子图G[F5(i0)]，要使S覆盖其中5条顶点不相交的弦{ajbj|j=i0+j0,j0∈Z,0≤j0≤4}，必有|S∩F5(i0)|≥5.故有|S∩F5(i0)|=5.记A5(i0)={ai0+j|0≤j<5}和B5(i0)={bi0+j|0≤j<5}分别为F5(i0)在外圈Ω和内圈I 的顶点子集.因为G[A5(i0)]≌P5，由引理1，|S∩A5(i0)|≥2.又子图G[B5(i0)]中存在两条顶点互不相交的边({bi0bi0+2,bi0+1bi0+3}或{bi0+1bi0+3,bi0+2bi0+4})，因此|S∩B5(i0)|≥2.进而由|S∩F5(i0)|=5，可得|S∩A5(i0)|=2或|S∩A5(i0)|=3对此分两种情形讨论.情形1 如果|S∩A5(i0)|=2，由引理1可得，S∩A5(i0={ai0+1,ai0+3}.要使S覆盖G[F5(i0)]的5条弦，必有|S∩B5(i0)|=3且S∩B5(i0)={bi0,bi0+2,bi0+4}.但此时边bi0+1,bi0+3仍未被覆盖(图1)，矛盾，故|S∩A5(i0)|≠2.Fig.1 |S∩F5(i0)|=5and |S∩A5(i0)|=2情形2 如果|S∩A5(i0)|=3，那么|S∩B5(i0)|=2.要覆盖顶点不相交的路径bi0bi0+2bi0+4和bi0+1bi0+3，必有bi0+2∈S、bi0∉S且bi0+4∉S，同时bi0+1∈S或bi0+3∈S.不失一般性，假设S∩B5(i0)={bi0+2,bi0+3}，要使S覆盖G[F5(i0)]的5条弦，必有S∩A5(i0)={ai0,ai0+1,ai0+4}.但此时边ai0+2ai0+3仍未被覆盖(图2)，矛盾，故|S∩A5(i0)|≠3.Fig.2 |S∩F5(i0)|=5and |S∩A5(i0)|=3综合情形1与情形2，假设有误，命题得证.引理4 对n>5，设S是P(n,2)的任意点覆盖集，则必存在一条弦aibi(0≤i≤n-1)，其两个端点都在S中.即对n>5，必存在一个一元组F1(i)使得|S∩F1(i)|=2.证明用反证法.假设不存在一元组F1(i)，使得{ai,bi}⊆S，则必有|S|≤n.而要覆盖P(n,2)的n条弦，又必有|S|≥n.因此，|S|=n.根据n的奇偶性分情形讨论：情形1 当n为奇数时，外部边集Ω和内部边集I都分别构成一个包含n个顶点的圈，由引理2得，|S∩V([Ω])|≥「n/2⎣和|S∩V([I])|≥「n/2⎣，所以有|S|=|S∩V([Ω])|+|S∩V([I])|≥2「n/2⎣=n+1与|S|=n相矛盾，即对奇数n假设不成立.情形2 当n为偶数时，外部边集Ω构成一个n-顶点的圈，而内部边集I则由两个(n/2)顶点的圈组成，令m=n/2.由引理2可得，|S∩V([Ω])|≥m和|S∩V([I])|≥2「m/2⎣.如果m是奇数|S| =|S∩V([Ω])|+|S∩V([I])|≥m+2×(m+1)/2=n+1与|S|=n相矛盾.如果m是偶数，因为有|S|=n，所以可以得出|S∩V([Ω])|=n/2和|S∩V([I])|=n/2.由引理2，S∩V([Ω])是导出子图G[Ω]的最小点覆盖集,且S∩V([Ω])中不存在相邻顶点，因此必有S∩V([Ω])={ai|i=0,2,4,…,n-2}或S∩V([Ω])={ai|i=1,3,5,…,n-1}若S∩V([Ω])={ai|i=0,2,4,…,n-2}，则S∩V([I])={bi|i=1,3,5,…,n-1}此时，边b0b2仍未被覆盖，矛盾.若S∩V([Ω])={ai|i=1,3,5,…,n-1}，则S∩V([I])={bi|i=0,2,4,…,n-2}，此时，边b1b3仍未被覆盖，矛盾.综合情形1与情形2，假设有误，命题得证.引理5 设S是P(n,2)的任意点覆盖集，则必存在t(0<t≤n)元组Ft(i)，满足|S∩Ft(i)|≥t+1(0≤i≤n-1)证明由引理4，必存在一个一元组F1(i0)(0≤i0<n)满足|S∩F1(i0)|≥2，即{ai0,bi0}⊆S.要使S覆盖Ft(i0)的弦{ai0+jbi0+j|1≤j<t}，至少还需Ft(i0)的t-1个端点在S中，故有|S∩Ft(i0)|=|S∩F1(i0)|+t-1≥t+1证毕.定理证明设n=5m+t，m=⎣n/5」，t=n-5⎣n/5」.对0≤j<m，令(1)则有由引理3，当0≤j≤m-1有|S∩Vj|≥6.因此有⎣n/5」(2)对t=0, 根据公式(1)和公式(2),可得⎣n/5」(3)对t≠0，由引理5，存在一个i(0≤i≤n-1),使得t元组Ft(i)满足|S∩Ft(i)|≥t+1，不失一般性，可令i=5m.因此，对t≠0有⎣n/5」+t+1(4)由公式(3)～(4)，可得证毕.定理证明令n=5m+t，m=⎣n/5」，t=n-5⎣n/5」.对0≤j<m，令顶点集Sj={a5j,b5j,b5j+1,a5j+2,a5j+3,b5j+4}对j=m，令顶点集令容易验证S是P(n,2)的一个点覆盖集且因此，τ(P(n,2))≤|S|.又由定理1有，τ(P(n,2))≥|S|.进而得τ(P(n,2))=|S|.定理得证.图3～图7给出了P(n,2)(10≤n≤14)的一种最小点覆盖集.Fig.3 τ(P(10,2))=12Fig.4 τ(P(11,2))=14Fi g.5 τ(P(12,2))=15Fig.6 τ(P(13,2))=16Fig.7 τ(P(14,2))=173 结语本文对广义Petersen图P(n,2)的最小点覆盖问题进行研究，并得到其最小点覆盖数为【相关文献】[1] Garey M, Johnson D. Computers and intractability: A guide to the theory of NP-completeness[M].San Francisco: Freeman, 1979.[2] Cai L, Juedes D. On the existence of swbexponential parameterizedalgorithms[J].Journal of Computer and System Sciences, 2003,67:789～807.[3] Impagliazzo R, Paturi R. Which problems have strongly exponentialcomplexity[J].Journal of Computer and System Sciences,2001,63:512～530.[4] Tourlakis I.New lower bounds for vertex cover in the Lovász-Schrijver hierarchy[C].21Annual IEEE Conference on IEEE, 2006.[5] Bodlaender H L. Kernelization: new upper and lower boundtechniques[A].Parameterized and Exact Computation[C].Berlin Heidelberg: Springer, 2009.17～37.[6] Chesler E J, Lu L, Shou S, et al. Complex trait analysis of gene expression uncovers polygenic and pleiotropic networks that modulate nervous system function[J].Nature Genetics, 2005, 37:233～242.[7] Baldwin N E, Chesler E J, Kirov S, et al. Computational, integrative and compara- tive methods for the elucidation of genetic co-expression networks[J].Journal of Biomedicine and Biotechnology, 2004, 2:172～180.[8] Chandran L, Grandoni F. Refined memorisation for vertex cover[J].Information Processing Letters, 2005,93(2):125～131.[9] Chen J, Kanj I, Jia W. Vertex Cover: further observations and further improvements[J]. Journal of Algorithms, 2001, 41:280～301.[10] Niedermeier R, Rossmanith P. On efficient fixed-parameter algorithms for weighted vertex cover[J].Journal of Algorithms, 2003, 47:63～77.[11] Roberto F, Jack E, Mark E W.The groups of the generalized Petersengraphs[J].Mathematical Proceedings of the Cambridge PhilosophicalSociety,1971,70:211～218.。

高密度电阻率法比值参数基于阻尼最小二乘反演

高密度电阻率法比值参数基于阻尼最小二乘
反演
高密度电阻率法比值参数基于阻尼最小二乘反演是一种电法勘探方法，通过对地下的电阻率进行观测和分析，得出地下结构和岩土体的信息。

该方法的基本原理是利用电阻率物理特性，通过电极组成的电路向地下发送电流，测量地下电位差，再根据采集到的数据来研究地下结构和岩土体的电性质。

高密度电阻率法比值参数基于阻尼最小二乘反演是该方法的一种反演技术，它可以通过自动调整反演参数的数值，得到更符合实际地质情况的结果。

这种反演技术使用了阻尼最小二乘法，通过对反演模型的阻尼系数进行修正，使反演过程更加迅速和稳定。

同时，该方法也能够自动进行模型约束和数据滤波等处理，提高了反演结果的可靠性和精度。

总之，高密度电阻率法比值参数基于阻尼最小二乘反演是一种优秀的电法勘探技术，具有较高的应用价值和发展潜力。

三维高密度电法高分辨数值模拟与分析

ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｈｉｇｈｄｅｎｓｉｔｙｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙｍｅｔｈｏｄｈａｓｂｅｅｎｐｏｐｕｌａｒｉｚｅｄａｎｄｗｉｄｅｌｙａｐｐｌｉｅｄｉｎ
三维－＿＿一， ■ ‘ －高Ｉ ‘ 密度电法高分辨数值模拟与分析
：｝＝
黄真萍吴伟达张义胡晓娟
（福州大学环境与资源学院福州
３５０１０８）
摘
要
随着三维高密度电阻率法在工程中的推广与应用，提高资料的处理与解译的分辨率的研究显得十分重要。本文基
三维高密度资料要经过正反演反复模拟与处理
才能获得探测结果。本文在模拟过程中采用了有限差分法和最小二乘法进行资料的正反演模拟。
空间更丰富的电性信息，采集的三维电性资料要进行三维资料的处理和解译，可运用空间显示和切片
ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｒｅｅ — ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｈｉｇｈｄｅｎｓｉｔｙｒｅｓｉｓｔｉｖｉｔｙｍｅｔｈｏｄａｎｄｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｓｅｔｕｐｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｇｅｏｅｌｅｃｔｉｃｆｍｏｄｅｌｓ．Ｉｔｕｔｉｌｉｚｅｓｔｈｅｉｎｆｉｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｌｅａｓｔ — ｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄｔｏｐｒｏｃｅｓｓｔｈｅｄａｔａ．Ａｎｄｔｈｅｎ，ｔｈｅｐａｐｅｒｕｓｅｓｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｔｏａｎａｌｙｚｅｓｐａｔｉａｌｏｉｅｒｎｔａｔｉｏｎａｎｄｍｏｐｈｒｏｌｏｇｉｃａｌｅｆｆｅｃｔｉｎｏｒｄｅｒｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｃｈａｎｇｅｒｕｌｅｓｏｆｔｈｅａｂｎｏｒｍａｌｂｏｄｙ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｎｄａｎａｌｙｓｉｓｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｔｈｒｅｅ — ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

高密度电法的发展与应用

董浩斌，王传雷 O 地学前缘（F041- +,(.6,. ’4261(.4;） $&&! ， #&（# ）
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接触可靠性；继电器式主要展
高密度电法是在常规电法基础上发展起来的，高
新型分布式智能化高密度电法样存在此问题）。（$）
［A］仪结构示意如图 ! 。主要由笔记本式计算机（或工
第 ’# 卷第 ’ 期 +##" 年 " 月
地学前缘（中国地质大学，北京）
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机处理后还可以自动绘制和打印各种成果图件。（*）
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高密度电法发展概况
这里的高密度电法指的是直流高密度电阻率法，
与传统的电阻率法相比，成本低、效率高，信息丰富，解释方便，勘探能力显著提高。关于阵列电探的思想在 +# 世纪 $# 年代末期就有人开始考虑实施，英国学者所设计的电测深偏置系
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高密度电阻率最小二乘反演的分布式改进方法

高密度电阻率最小二乘反演的分布式改进方
法
为了进一步提高高密度电阻率最小二乘反演的反演精度和效率，我们提出了一种分布式改进方法。

该方法的核心思想是将计算任务分配给多个计算节点，在每个节点上执行反演算法，并通过网络协议进行通信，共同完成反演过程。

具体而言，该方法主要包括以下步骤：
1. 将反演区域划分为多个子区域，并将每个子区域分配给不同的计算节点进行计算。

2. 在每个节点上，使用高密度电阻率最小二乘反演算法对所负责的子区域进行反演。

3. 在每次迭代中，每个节点将本地计算结果与邻居节点的计算结果进行同步，以调整反演模型。

4. 在所有计算节点完成计算后，将各个子区域的反演结果合并，得到最终反演模型。

通过这种分布式改进方法，可以大大提高高密度电阻率最小二乘反演的计算效率和反演精度，使得反演过程更加快速和稳定。

超高密度电法有限单元法正演与广义最小二乘反演_冯德山

1 基本原理
与常规电法类似，超高密度电法也是一种以岩石和矿石电性差异为物性基础的阵列加密型勘探方法。通过用供电电极 AB 向地下输入电流为 I 的供电电流，再测量所有电极 MN 上电流 I 在介质中产生的电位差 ΔU。根据 ρ=KΔU/I，求出相应的电阻率 ρ。其中，K 是与 A、B、M 和 N 的排列及间距有关的电极系系数。超高密度电法采用多条多芯电缆，当采用四电极组合时，对所有测量电极 MN 进行数据采集，不再区分观测装置方式，一次采集可兼含偶极排列、温纳排列和施伦贝谢尔排列等，故称为“全四极装置观测方式”。在全四极装置中，以 64 根电极为例[14]，将每个排列的 64 根电极分为奇数组 32 个(1，3，5，…，61， 63)和偶数组 32 个(2，4，6，…，62，64)的 2 组电缆，则电极变换步骤如下：1) 确定供电电极 AB，选定 A 为奇数组，B 为偶数组；2) 采用供电电极奇偶配对的采集方式，先固定 A 电极为 1 号电极，然后依次变换偶数组电极 B，即此时供电电极 AB 变化规律分别为 1−2， 1−4， …， 1−64，当 B 电极选定后，在 AB 附近(最好在 AB 间的中部)选定一接地条件良好电极作为 M 极，剩余电极作为 N 极，组成多个 MN 测量电极同时
高密度电法具有快速、便捷、准确等优点，几十年来，被广泛地应用于岩溶探测、断层破碎带追索和管线探测等领域，解决了很多工程实际问题，成为浅
部勘探的主要地球物理方法[1−3]。但伴随着工程勘探复杂化的情况，传统高密度电法的一些自身缺陷也逐渐显露出来，如同一地点因采用不同数据采集方式产生
Finite element forward simulation and least square generalized inversion of ultra-high density resistivity method

高密度电法探测煤火的正演模拟研究

⑥
２１ＳｉＴｃ．ｎｒ．０２ｃｅｈＥｇｇ．
地球科学
高密度电法探测煤火的正演模拟研究
邵振鲁王雁鸣王德明
（国矿业大学安全工程学院，州２１１）中徐２１６
摘
要
通过建立煤火的地电模型，采用有限差分法分别对温纳装置进行正演模拟，得到模型的视电阻率断面数据。在对数
ＭｅｈｄｉｔｃｉａｒｔｏｎＤｅｅｔｎｇＣｏｌＦｉｅ
ＳＨＡＯｅ１Ｚｈｎ．ｕ，ＷＡＮＧｎｍｉｇ，ＷＡＮＧ — ｎＹａ－ｎＤｅｗｉｇ
于探测结果的对比分析解释，分发挥直流电勘探充
的分布规律，为高密度电法探测煤火提供理论依据。
方法的优势。
目前，高密度电法的装置类型已经从最初的３
１高密度电法的工作原理
高密度电法也叫电阻率层析成像或简 ห้องสมุดไป่ตู้ 电成像，２是０世纪７０年代末由Ｊｈｎｓｎ博士首先提ｏａｓｏ出，０年代从美国和日本发展起来，８目前已被广泛
法、法、质雷达法、变电磁法等均存在缺陷，磁地瞬不能精确的定位火源位置。近年来，密度电法以高
其高精度、大信息量、多样化布极方式的优势，在物
探各领域中取得了较快发展。本文采用有限差分法建立煤火的地电模型，进行高密度电法的正演并模拟和反演解释，证高密度电法探测煤火的有效验性，时分析火区燃烧中心在视电阻率拟断面图上同

用边界单元法求解大地电磁异常的正演问题

用边界单元法求解大地电磁异常的正演问题
张献民
【期刊名称】《河北地质学院学报》
【年(卷),期】1992(015)001
【摘要】本文建立了在一维及二维地电断面上大地电磁场问题的边界积分方程。

讨论了用边界单元法计算大地电磁异常的基本原理与方法技术,给出了边界剖分随不同频率电磁场的变化规律。

计算结果及其与理论值对比表明,边界单元法可以成为计算大地电磁异常的实用方法。

【总页数】12页(P69-80)
【作者】张献民
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】P631.22
【相关文献】
1.有限单元法求解水中二维体问题正演研究 [J], 林文东;张志勇;刘庆成;汤洪志;周峰
2.基于有限单元法的二维/三维大地电磁正演模拟策略 [J], 徐凌华;童孝忠;柳建新;郭荣文;王浩
3.二维重力异常正演问题的边界单元解法 [J], 樊捷;王小明
4.用边界单元法解复杂地电断面的电测深曲线正演问题 [J], 陈文华;张献民
5.无单元Galerkin法大地电磁三维正演模拟 [J], 李俊杰;严家斌;皇祥宇
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基金项目：国家自然科学基金资助项目(41074085)；教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-12-0551)；湖湘青年创新创业平台培养对象；中南大学升华育英计划项目资助收稿日期：2013-03-20；修订日期：2013-10-28 通信作者：冯德山，副教授，博士；电话：0731-88836145；E-mail：fengdeshan@
(1)
式中：Ω 为模拟区域；Γ∞为边界条件；δ 为狄拉克函数； σ 为电导率； I 为供电电极的电流； rA 是电源点(xA， zA)至积分点的距离；k 是傅氏变换波数；n 边界处法线向量； K 0 (krA ) 和 K1 (krA ) 分别为零阶和一阶修正贝塞尔函数。 2.1 网格剖分为了更精确地拟合地形和复杂地电体，并注意到岩矿石的物性参数变化特性，有限元网格剖分方式采用三角形单元，如图 1 所示。 2.2 三角单元线性插值在三角形单元上，如图 1 所示记三角形 3 个顶点按逆时针方向分别为 1、2 和 3。每个顶点坐标分别为 (x1，z1)、(x2，z2)和(x3，z3)，顶点的电位为 U1、U2 和 U3，电导率为 σ1、σ2 和 σ3。则三角单元中电位和电导率函数为
1 基本原理
与常规电法类似，超高密度电法也是一种以岩石和矿石电性差异为物性基础的阵列加密型勘探方法。通过用供电电极 AB 向地下输入电流为 I 的供电电流，再测量所有电极 MN 上电流 I 在介质中产生的电位差 ΔU。根据 ρ=KΔU/I，求出相应的电阻率 ρ。其中，K 是与 A、B、M 和 N 的排列及间距有关的电极系系数。超高密度电法采用多条多芯电缆，当采用四电极组合时，对所有测量电极 MN 进行数据采集，不再区分观测装置方式，一次采集可兼含偶极排列、温纳排列和施伦贝谢尔排列等，故称为“全四极装置观测方式”。在全四极装置中，以 64 根电极为例[14]，将每个排列的 64 根电极分为奇数组 32 个(1，3，5，…，61， 63)和偶数组 32 个(2，4，6，…，62，64)的 2 组电缆，则电极变换步骤如下：1) 确定供电电极 AB，选定 A 为奇数组，B 为偶数组；2) 采用供电电极奇偶配对的采集方式，先固定 A 电极为 1 号电极，然后依次变换偶数组电极 B，即此时供电电极 AB 变化规律分别为 1−2， 1−4， …， 1−64，当 B 电极选定后，在 AB 附近(最好在 AB 间的中部)选定一接地条件良好电极作为 M 极，剩余电极作为 N 极，组成多个 MN 测量电极同时
第 24 卷第 3 期 Volume 24 Number 3
中国有色金属学报 The Chinese Journal of Nonferrous Metals
2014 年 3 月 March 2014
文章编号：1004-0609(2014)03-0793-08
超高密度电法有限单元法正演与广义最小二乘反演
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[6−能充分利用电极阵造成有限数据不同反演结果[4−5]，信息量，不利于后期反演等率法勘探方法
[8−9]
进行数据采集；3) 依次变换奇数组电极 A，直到奇数组最大，每次移动完电极 A 后，供电电极 B 和测量电极 MN 选定方式与步骤 2)相同。在一次通电过程中同时测量其他电极所能组成的 MN 的电位差，这样可以得到最多 61 个电位(MN1，MN2，MN3，…，MN60， MN61)数据信息。而奇数组 32 个电极和偶数组 32 个电极互相配对作为供电电极，即有 32×32=1024 (次) 供断电过程，若在保证所有电极接触良好的条件下，每次供电可最多同时采集 61 个电位差数据，故总的数据量大约最多为 32×32×61=62464，采集数据量超过常规方法 40 倍以上。
[11] [10]
将超高密度电法应用
于土洞、煤窑采空区和岩溶的勘探中，有效地提高了采用跨孔超高密度电法对花岗岩进行球状风化勘探实验，结果表明，此方法能准确地定位孤石发育位置；孙林[12]将超高密度电法应用于煤矿砂体探测，可有效地指导露天矿体机械化开采；黄杰[13]等将超高密度电法应用于破碎带追踪。目前超高密度电法的相关研究大多数都局限于工程应用，采用该方法进行正演、反演计算的研究有关报道不多。为此，本文作者针对超高密度电法的全四极装置开展了正演模拟和反演效果分析，可为超高密度电法的进一步研究、应用与推广奠定理论基础。
2 超高密度电法有限单元正演模拟
超高密度电法也是在基于人工直流电场的作用下，以岩石和矿石的电性差异为基础观测地下电场分布规律的勘探方法。假设地下介质的导电性沿走向无变化，则点电流源场各节点电位的计算所满足的变分问题为[15]
U 2 U 2 1 2 2 F (U ) { k U 2 x Z 2 I ( x A ) ( z A )U }d k K1 (krA ) cos(rA , n) 2 1 U d 2 K 0 (krA ) F (U ) 0
。而超高密度电法是澳
大利亚 ZZ 电阻率成像研发中心提出的一种全新电阻。与传统高密度电法相比，它不受传统电极装置和数据采集方式的限制，在相同时间内，可采集该剖面电极间所有可能组合的电位信息。一次性布极所获得的信息量是传统高密度电法的数十倍以上，保证了后期数据处理及反演结果的精度。鉴于超高密度电法诸多优点，它刚出现就受到工程界的广泛关注，如雷旭友等勘探精度；李红立等
冯德山 1, 2，王鹏飞 1, 2，杨炳坤 1, 2
(1. 中南大学地球科学与信息物理学院，长沙 410083； 2. 中南大学有色金属成矿预测教育部重点实验室，长沙 410083) 摘要：针对超高密度电法的全四极装置，采用三角形网格剖分和线性插值的有限单元法进行正演模拟，然后对
该模拟结果开展广义最小二乘正则化反演，反演过程中对模型参数同时施加光滑模型和背景模型约束以提高反演稳定性。以一个低阻双层结构模型为例，与 5 种常规电法进行对比，发现超高密度电法具有数据信息量大、反演精度高的优点。对一个山谷地形下正方体低阻模型的超高密度电法数据进行正演和反演模拟，反演结果表明：该方法在较复杂地形条件下也能较好地刻画出异常体的形态及地下电性的分布，提高物探解释精度。关键词：超高密度电法；全四极装置；有限单元法；正演模拟；广义最小二乘反演中图分类号：P631 文献标志码：A
Finite element forward simulation and least square generalized inversion of ultra-high density resistivity method
FENG De-shan1, 2, WANG Peng-fei1, 2, YANG Bing-kun1, 2 (1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China; 2. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals, Ministry of Education, Central South University, Changsha 410083, China) Abstract: According to the full-four-pole array of ultra-high density resistivity method, the triangle mesh subdivision and the finite element method of linear interpolation were used for forward simulation, and then generalized least square regularization for inversion was used for the simulation results. At the same time, the smooth model and background model constraints were imposed in model parameters to improve the stability of inversion. Taking a low resistivity double-layer structure model as an example, ultra-high density resistivity method possesses the advantages of large volume data and high inversion accuracy compared with 5 kinds of conventional resistivity methods. The forward and inversion simulations were carried out on data of low resistance cube under valley terrain model using ultra-high density electrical method. The inversion results show that even under complex terrain conditions this method can portray the shape of abnormal body and underground electrical distribution well, thus, effectively improving the precision of geophysical interpretation. Key words: ultra-high density resistivity method; full-four-pole array; finite element method; forward simulation; generalized least square inversion