曲面立体的截交线新
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《工程制图》第十章-曲面立体的截交线
三、 圆柱截交线例题
12
例题1 求圆柱截交线
1' 2'3'
4'5'
6'7'
8'
5
3
2
3" 5"
7"
1" 8"
解题步骤
2"
1 分析 截交线的水平投影为椭
圆，侧面投影为圆；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；
4" 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、
Ⅵ、Ⅶ；
4 光滑且顺次地连接各点，作
6"
出截交线，并且判别可见性；
2 转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分 曲线可见与不可见部分的分界点。
3 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端 点。
4 结合点 截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时 结合处的那些点。
对于特殊点，根据现有的知识凡是能求出来的都应求出来 。
7
五、 作图步骤
1 根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形 状和性质。
5 整理轮廓线。
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
13
例题2 求圆柱截交线
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆的一部分，侧面投影为圆的 一部分； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ 、 Ⅴ； 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ ； 4 光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
14
例题6 想象出物体及其侧面投影的形状
18
§ 10-3 平面与 圆锥相交
一、平面与圆锥相交所得截交线形状 二、 圆锥截交线的求法 三、 圆锥截交线例题
第6章 曲面立体及截交线
截平面位置 立 体 图 与V面平行 与H面平行 与V面垂直
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
s’
例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
e’
e”
s
a e
素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
s’
s”
a”
s a
纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
投 影 图
六、圆球体切割
例5-11 圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧 例5-11 求圆球被正垂面截切的截交线 面投影。 绘图步骤： (1)截交线的投影为椭圆，投 影椭圆上短轴的两个端点Ⅰ、 Ⅱ与长轴的两个端点Ⅲ 、 Ⅳ； (2)求截交线与轮廓线的交点 Ⅴ 、Ⅵ ； (3)求截交线与轮廓线的交点 Ⅶ 、Ⅷ ； (4)依次光滑连接各点； (5)检查并加粗可见轮廓线。 点击播放视频
c
a
例5-5 圆柱表面取点
a” (c”) b”
b
二、圆锥的投影及表面取点
圆锥的形成 圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。 圆锥面上所有素线相交于锥顶，所有纬圆平行。
锥顶 圆锥面 母线 底面 轴线 素线 纬圆
(a) 圆锥面的形成 点击图片播放视频
(b) 圆锥的结构特征 圆锥的特征
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例5-6 圆锥表面取点
s”
a”
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素线法
二、圆锥的投影及表面取点
2、表面取点
例5-6 圆锥表面取点
例5-6 如图所示，已知点 A在圆锥表面上，并知它 的正面投影a’，可采用下 列两种方法求出点A的水 平投影a和侧面投影a” 。
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a”
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纬圆法
三、圆球的投影及表面取点
圆球的形成 一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球， 形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。
(c) 圆锥面的结构特征
二、圆锥的投影及表面取点
1、投影分析 圆锥面的轮廓素线 圆锥的轴线垂直 SA、SB将圆柱面分成可 于H面。圆锥底圆为水 见的前半部分与不可见 平面，水平投影反映实 的后半部分。 形，其正面和侧面投影 轮廓素线SC、SD将 积聚为水平直线。 圆柱面分成可见的左半 圆锥面的水平投影 部分与不可见的右半部 为圆，其正面和侧面投 分。 影为三角形。
曲面立体的截交线、贯穿点、相贯线.
1
d
f
e
29
平面体与曲面立体相交 交线 （相贯线）
共性
交线为二表面所共有线 求交线的本质 求二表面的共有点
本节重点讨论：求交线的基本方法
30
求交线的基本方法
作图步骤看动画演示
31
求交线的基本方法
例
此段外形轮廓线消失
（直线）构成的封 交线投影分析 实质是求平面体 闭的空间折线 交线的投影作图 各表面与回转体 H、 W投影已知 求V投影 求截交 的交线
特殊点 外形轮廓线 中间点 终止点 光滑连接曲线 截交线投影 虚实分界点 交线可见性
11
例 圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。
3’
2’ 1’5”4” (4’)(5’)
3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
5 4 3 2 1 4 5
内、外交线分别求解 注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线
7
4、平面与圆锥体相交 平面P与圆锥面的交线
P
P
P轴线 交线为圆
P∠轴线 > 交线为椭圆
8
平面P与圆锥面的交线
P
P
P ∠轴线 = 交线为抛物线
P ∠轴线 0 < 交线为双曲线
9
平面P与圆锥面的交线
P
归纳
P轴线 交线为圆 P∠轴线 > 交线为椭圆 P∠ 轴线 = 交线为抛物线 P∠轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
10
P过锥顶 交线为直线
例 求截交线
椭圆短轴的投影 是什么点？
P
P
椭圆画法
4-2 曲面立体-截交线
例3 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
1'(4') 4” 1” 2”
2'(3')
3”
圆弧侧 面投影 可见 最前、最后的 素线被截切到， 已不完整 作图：
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4(3)
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影；
1(2)
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ
6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”
作图：
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
短轴
a'b' e'(f')
中点
a' PV f” d”
a” e” c” b” F D
A E C B
c'(d')
b'
作图：
d f a c e
§4-2 截交线
长轴
b
(1)特殊点：最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ； (2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F ； (3)一般点；
2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
2、平面切割圆锥体
平面与圆锥体表面的交线，因平面与圆锥轴线的相对位置 不同而有不同的形状，可能的情况有五种。
1'(4') 4” 1” 2”
2'(3')
3”
圆弧侧 面投影 可见 最前、最后的 素线被截切到， 已不完整 作图：
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4(3)
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影；
1(2)
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ
6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”
作图：
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
短轴
a'b' e'(f')
中点
a' PV f” d”
a” e” c” b” F D
A E C B
c'(d')
b'
作图：
d f a c e
§4-2 截交线
长轴
b
(1)特殊点：最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ； (2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F ； (3)一般点；
2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
2、平面切割圆锥体
平面与圆锥体表面的交线，因平面与圆锥轴线的相对位置 不同而有不同的形状，可能的情况有五种。
§4.2 平面与立体相交求截交线
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
第10章 曲面立体的截交线
第十章曲面立体的截交线基本要求§10-1 概述§10-2 平面与圆柱相交§10-3 平面与圆锥相交§10-4 平面与圆球相交§10-5 综合题基本要求§10-1 概述一、截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、截交线上的特殊点五、作图步骤一、曲面立体截交线的性质二、截交线的类型及形状三、求作截交线的方法四、特殊点五、作图步骤§10-2 平面与圆柱相交一、平面与圆柱相交所得截交线形状二、求圆柱截交线上点的方法三、例题一、平面与圆柱相交所得截交线形状圆矩形椭圆二、求圆柱截交线上点的方法三、例题11'1"5"4" 8' 8"83254ⅦⅢⅡ ⅣⅤⅠ4'5' 2'3' 2" 3" 解题步骤1．分析 截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
7 66'7'6"7"解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
3453'3"4'5'5' 4'1'2'2"1"122' 1'4'3'[例题3] 求圆柱截交线解题步骤1．分析 截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 4．整理轮廓线。
4-1 立体的截交线
平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。 平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线 。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点 。 曲面体截交线的性质： 曲面体截交线的性质： 截交线的性质 1、封闭的平面图形（曲、平线围成）。 封闭的平面图形（ 封闭的平面图形 平线围成）。 2、截交线为立体表面和截平面的共有线。 截交线为立体表面和截平面的共有线。 截交线为立体表面和截平面的共有线 3、截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 截交线上的点为立体表面和截平面的共有点 求曲面体的截交线的方法： 求曲面体的截交线的方法： 截交线的方法 依 找出立体表面和平面上的若干共有点， 找出立体表面和平面上的若干共有点，然后 次连线。 次连线。
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析 截交线投影分析: 投影分析
截平面
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线空间及投 截交线空间及投 影分析: 影分析
截交线的正面投影
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面， 截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线 截平面
截交线空间是三边形
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 2´ 1' a' a b' 1 Ⅲ s 2 b 3 c A Ⅰ Ⅱ B c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 确定各棱线的交点 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。 判断可见性。
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析 截交线投影分析: 投影分析
截平面
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线空间及投 截交线空间及投 影分析: 影分析
截交线的正面投影
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面， 截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线 截平面
截交线空间是三边形
例4-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 2´ 1' a' a b' 1 Ⅲ s 2 b 3 c A Ⅰ Ⅱ B c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 确定各棱线的交点 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。 判断可见性。
第4章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。
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3'' 5'' 7''
8
6
4
7
5
3
是什么立体？属于截切的 低点、最前点、最后点、最左点、最 那种情况？ 右点、转向轮廓线上的点（可见与不 截交线的水平投影 可见的分界点），椭圆长短轴上的点。 截交线的侧面投影 2、找一般点（至少一对） 3、将点的投影光滑连线 4、加粗可见的轮廓线
1、找截交线的特殊点：最高点、最 分析：截交线的正面投影
一、平面与圆柱相交
截交线的形状有几种？
矩形 圆 椭圆
一、平面与圆柱相交
5'
(6‘) (7‘) 4' 3' 2' 6 '' 7 '' 8 '' 5'' 4'' 3'' 1 '' 2 ''
(8‘) 1'
7 8 1
6
5
2 3
4
是什么立体？属于截切的 低点、最前点、最后点、最左点、最 那种情况？ 右点、转向轮廓线上的点（可见与不 截交线的水平投影 可见的分界点）。 截交线的侧面投影 2、找一般点（至少一对） 3、将点的投影光滑连线 4、加粗可见的轮廓线
§2-3 平面与回转体表面相交
曲面立体截交线的性质
1. 曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和 直线所围成的平面图形或多边形；
2. 曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的共有线； 3. 曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 4. 截交线的形状与立体的形状及截平面的相对位置有关。
1、找截交线的特殊点：最高点、最 分析：截交线的正面投影
一、平面与圆柱相交
1'( 2' ) 2 ''
1 ''
3 ''
3 ' (4')
4 ''
4 2
31
例1 完成立体被截切后投影
1' (2')
2 ''
1 ''
3 ' (4')
4 ''
3 ''
2 4
1 3
〔例2〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水 平投影
a' b'
a"( b" )
A
B
a
b
例3 已知空心缺口圆柱的正面投影和水平投影， 作出 空心圆柱被切后的侧面投影。
1 ' (2') 3 ' (4')
Ⅰ Ⅲ
Ⅱ Ⅳ
4
2
31
二、平面与圆锥相交
截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线
二、平面与圆锥相交
5 ' (4') (6') 7' (8')
3'
4'' 6'' 8''
判断 各截 平面 形状
截平 面为 圆或 者多 边形
找关 键点 用圆 规和 直尺 作图
判断 可见 性并 补全 投影
检查 结果
曲面立体截切部分结束
P
4 3 2 5 6
7 8
Q
1 10
9
〔例8 〕 完成组合立体被截切后的投影
(5')2' (3') 1' 4' 3" 5" 4" 2"
1"
3
5 1 4 2
求曲面立体截交线的步骤
求曲面立体截交线的步骤：
截平 面为 曲线 图形
找若 干特 殊点 和一 般点 光滑 连接
确定 截切 前基 本体 形状
判断 截平 面数 量及 位置
1' 2' 5' (4') 7' (6') (8') 3'
r' q '
P
8
6
4
1 7 5
2 3
〔例7 〕 求作圆锥被Q与P平面截切以后，所截交线的 四、立体组合截切 投影
有两个以上的基本体便可构成组合体，平面与组 8 8' 合体截切一般会产生几段不同的交线，相邻两段交线 9' 7" 9" 10' 1' 3' " 2' 的分界点必在组合体的分界线上。因此，作组合截切 (7' 5" 1" (4') (5')(6') ) (6") 4" 3" 2" (10") 时应先确定各立体的形状，及确定相邻立体间的分界 线，然后分别作出各自的截交线。
〔例4〕求作圆锥被Q与P平面截切以后，所截交线的投影
p
7' 6"
7"
q
5' 3' (6') (4') 1' (2')
Hale Waihona Puke 4"2"
5" 3"
1"
Q
Ⅺ
Ⅻ Ⅹ Ⅲ Ⅰ
2 4
P
6 7
Ⅳ
Ⅱ
1 3
5
三、平面与球相交
圆
〔例5〕 作出半圆球被切口以后交线的投影
〔例6〕 完成圆球被正垂面截切以后的水平投影
p '