数值外插法求解K因子的插值基础及误差估计
数值分析 第一章 插值方法教材
注: n次插值多项式 pn(x) ，精确讲应该是次数 ≤n的插值多项式，如下图
y Pn(x) f (x)
0
x
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13
插值多项式的存在性、唯一性 [利用待定系数法求解并证明]
..,n 求 pn ( x) 已知 f ( xi ) yi , i 0,1,2,....
x2 x3 例如： e 1 x ...... 2! 3!
x
插值多项式：设 f 是区间[a, b]上的一个实函数， 且有n+1个相异点x0, x1,…,xn∈[a,b], f 在xi处的值yi =f (xi) (i=0,1,2,..,n),若存在一个简单函数p(x)，使 得 p(xi)=yi (i=0,1,2,..,n) ①
f " (100) p2 (115) p1 (115) (115 110) 2 2!
10.75 0.028125 10.721875
Байду номын сангаас
115 10.723805 ......
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有4位有效数字。
11
结论：利用f (x)的泰勒多项式研究 f (x)，需知f (x)在 某点x0的各阶导数，这不易做到。
( n 1 )! ——泰勒余项定理
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y0 , y ,......,y 泰勒插值 已知一组数据 多项式 pn(x), 使得pn(x)满足
(1) 0
( n) 0
，求n次
(k ) (k ) pn ( x0 ) y0 , k 0,1,2,...... n
(*)
(k ) 对某一函数 f (x)，已知一组数据 f ( k ) ( x0 ) y0 , (k ) (k ) p ( x ) f ( x0 ) 求 p ( x ), 使得 p ( x ) 满足 n 0 (k 0,1,2,, n), n n
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、高斯（Gauss）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系y f （x）在某些离散点上的函数值：P m (x)m m 1 a 0xa 1xam 1x插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x) 的一种简单的近似表达式， 以便于计算点 x x i ,i 0,1,L , n 的函数值 f ( x) ，或计算函数的一阶、二阶导数 值。
2、插值的几何意义3.1 基本概念假设 y f (x) 是定义在区间 a,b 上的未知或复杂函数，但一直该函数在 点a x 0 x 1 Lx n b 处的函数值 y 0, y 1,L y n 。
找一个简单的函数， 例如函数 P(x)，使之满足条件P(x) y i ,i 0,1,2,L ,n, (3.1)通常把上述 x 0 x 1 L x n 称为插值节点，把 P(x)称为 f ( x)的插值多项 式，条件( 3.1)称为插值条件，并把求 P(x) 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性如果插值函数是如下 m 次的多项式：那么插值函数的构造就是要确定P m (x)表达式中的 m+1 个系数 a0,a1,L am 1,am 。
数值分析3-插值方法
,n
泰勒插值余项
定理 1 假设 f（x）在含有点 x0的区间［a，b］内有直 到 n +1阶导数，则当 x∈［a，b］时，对于由式（1） 给出的 pn（x），成立
f n+1 ( ξ ) f ( x ) − pn ( x ) = ( x − x 0 )n + 1 ( n + 1 )!
式中 ξ界于 x0与 x之间，因而 ξ∈［a，b］.
f [ xi , x j ] = f ( xi ) − f ( x j ) xi − x j (i ≠ j , xi ≠ x j )
为f (x)在点xi , xi处的一阶差商，并记作f [xi , xj]，
插商及其性质
又称
f [ xi , x j , xk ] = f [ xi , x j ] − f [ x j , xk ] xi − xk (i ≠ k )
则
1 c= ( x 0 − x1 )( x 0 − x 2 )
( x0 − xn )
基函数的一般形式
即
( x − x 1 )( x − x 2 ) l0 ( x ) = ( x 0 − x 1 )( x 0 − x 2 )
x − xj ( x − xn ) = π ( x 0 − x n ) 1≤ j ≤ n x 0 − x j
抛物线插值
p2(x) ≈ f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
插值问题的可解性
设所求的插值多项式为
pn ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + + an x n
待定系数法
可建立关于系数 a0，a1，…，an的线性方程组
代数插值算法与误差估计
代数插值算法与误差估计1. 线性插值与抛物插值线性插值 当n=1时：已知 xk, xk+1；yk, y k+1， 求线性插值多项式 101()L x a a x =+ 使得：1()k k L x y =且111()k k L x y ++=.可见，1()L x 是过(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的一条直线。
()111()k kk k k ky y L x y x x x x ++-=+-- 点斜式11111()k kk k k k k kx x x x L x y y x x x x ++++--=+-- 两点式令()11k k k k x x l x x x ++-=-，()11kk k kx x l x x x ++-=-则：()()111()k k k k L x l x y l x y ++=+称()k l x 及()1k l x +为一次插值基函数，或线性插值基函数。
注意：基函数 ()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩抛物线插值 当n=2时：已知xk-1，xk, xk+1；yk-1, yk, y k+1， 求二次插值多项式 2()L x 使得：211()k k L x y --=，2()k k L x y =，211()k k L x y ++=。
可见，2()L x 是过11(,)k k x y --，(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的抛物线。
利用基函数法构造()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩ i , j = k-1, k, k+1 因此构造()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x +---+--=-- ()()()()()1111k k k k k k k x x x x l x x x x x -+-+--=--()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x -++-+--=-- 此时：()()()21111()k k k k k k L x l x y l x y l x y --++=++称()1k l x -，()k l x 及()1k l x +为二次插值基函数，或抛物插值基函数。
数值分析中的插值误差控制技巧
数值分析中的插值误差控制技巧数值分析是解决实际问题中涉及数值计算的方法和技术的学科。
在数值计算中，插值是一种常用的数值分析技术，用于在给定的有限数据点集合上估计函数在其他点上的值。
然而，插值过程中会产生误差，为了保证插值结果的准确性，需要掌握一些插值误差控制技巧。
本文将介绍数值分析中常用的插值误差控制技巧。
一、余项估计法余项估计法是一种常用的插值误差控制技巧。
在数值分析中，我们通常使用多项式插值方法进行插值计算。
多项式插值的基本思想是通过已知数据点构造一个多项式，然后利用该多项式在其他点上的值来估计函数的值。
余项估计法通过对多项式插值的余项进行估计来控制插值误差。
二、龙格现象与插值节点的选择在实际问题中，插值节点的选择对插值结果的准确性有重要影响。
龙格现象是指在某些特定的插值节点选择下，插值多项式在边界上会出现振荡现象。
为了避免龙格现象，需要选择合适的插值节点。
常用的插值节点选择方法有均匀节点、切比雪夫节点等。
三、样条插值与光滑插值除了多项式插值，样条插值也是一种常用的插值方法。
样条插值通过在每个小区间上构造一个低次多项式来实现插值。
样条插值不仅能够满足插值条件，还能够保证插值函数在节点处的光滑性。
光滑插值是为了减小插值误差而采用的一种技巧。
四、自适应插值与网格剖分自适应插值是一种根据插值误差大小来调整插值节点的方法。
通过不断调整插值节点，自适应插值能够有效控制插值误差，并使插值结果更加精确。
网格剖分是自适应插值的一种实现方式，通过将插值区域划分成多个小区间进行插值计算，以提高插值的准确性。
五、边界条件的选取在插值过程中，边界条件的选取也对插值结果的准确性有重要影响。
常用的边界条件有自然边界条件、固定边界条件等。
合理选择边界条件能够有效控制插值误差，并提高插值结果的准确性。
综上所述，数值分析中的插值误差控制技巧是保证插值结果准确性的重要手段。
通过合理选择插值节点、掌握余项估计法、利用样条插值和自适应插值等方法，可以有效控制插值误差，提高插值结果的准确性。
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
数值分析第六章插值法PPT学习教案
l0 (x) 9l1(x) 23l2 (x) 3l3 (x)
11 x3 45 x 2 1 x 1
4
4
2
为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(6.8)改写成
Ln (x)
n k 0
yk
n
i0 ik
x xi xk xi
第16页/共81页
例6.5 已知f(x)的观测数据 x 1234
1 3
3 1
2
f (1.5) p(1.5) 1.25
第13页/共81页
例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值,
7
用抛物插值公式, (x–x1)(x–x2)
(x–x0)(x–x2)
p2(x) =
y0
+
y1
求
(x0–x1)(x0–x2) (x–x0)(x–x1)
(x1–x0)(x1–x2)
+
第4页/共81页
这惟是一一性个说关明于，待不定论参用数何种a0方, a法1, 来构, a造n 的，n也+不1阶论线用性何方种 程组形,式其来系表数示矩插阵值行多列项式式为,只要满足插值条件(6.1)其结
果都是相互恒等的。
1 x0 x02 x0n
1 V
x1
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
P(x) l0 (x) y0 l1(x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x)(k 0,1,, n) 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
n
P(x) lk (x) yk k 0
（6.8）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（6.8）式的插
值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 Ln (x)
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
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I # K" i ri -
# K i # ri 2 2 I # r i -（# ri ）
"
（3）
— — 分别为插值点数 （一般取 4 点或 5 点） 及各插值点到裂尖的距离 I、 ri —
964
合肥工业大学学报 （自然科学版）
2000 年第 23 卷第 6 期
拟合精度取决于拟合区间的选择， 选择各数据与等直线吻合的区间作为外插区间， 通过检验线性 相关系数来决定拟合精度， 线性相关系数 r 越靠近 1 l， 则表明插值精度越高。 线性相关系数 rKr 的表达 式为 rKr = （ ri -（Ki -r） K ） t 2 2 （ ri -（Ki -r ）t K ） t （4）
3
结束语
采用基于蜕化奇异等参元的数值外插法计算平面和空间裂纹问题的 K 因子已经得到了很好的结 果， 本文从理论上对该法的插值基础进行了探讨， 并比较了该法与传统的蜕化奇异等参元法的误差， 结 果不难看出， 数值外插法的线性插值基础有理论根据， 精度比传统的蜕化奇异等参元法高一阶。 数值外插法的另一优点是可以通过检验线性相关系数决定裂尖单元的最优单元尺寸， 使得计算结 果的稳定性大大提高。由于该法仅涉及裂尖附近的位移场， 没有繁杂的后续处理或理论推导， 因而一切 能较精确求得断裂问题位移场的其它数值方法， 例如三次等参元法、 特殊裂尖元法、 边界元法都可以和 该法结合使用。 ［参 考 文 献］
数值外插法求解 ! 因子的插值基础及误差估计
李和平， 巫绪涛， 杨伯源
（合肥工业大学 土木建筑工程学院， 安徽 合肥 摘 230009） 的基本过程， 讨论了 要： 文章介绍了传统的蜕化奇异等参元法和一种新型数值外插法求解裂尖应力强度因子 （ ! 因子）
两种方法插值基础的显著区别。结合平面应力裂纹问题对数值外插法的线性插值基础进行了论证。在此基础上， 研究了两 种方法的理论误差， 发现该文提出的数值外插法比传统的蜕化奇异等参元法精度高一阶。并且数值外插法能以一定的方式 决定不同裂纹问题的最优的裂尖单元尺寸。 关键词： 数值外插法； 蜕化等参元； 应力强度因子 中图分类号： O346 . 1 文献标识码： A 文章编号： （2000） 1003-5060 06-0962-04
［1］ Barsoum R S. On the use of isoparametric finite elements in linear fracture mechanics ［ J］ （10） ： . Int J Num Meth Engng， 1976， 25 - 37 . ［2］ Ingraffea A R， ［ J］ （15） ： Manu C. Stress-intensity factor computation in three dimensions with guarter-point element . Int J Num Meth Engng， 1980， 1 427 - 1 447 . ［3］ 杨伯源， 巫绪涛， 牛忠荣 . 求裂尖应力强度因子的数值外插法的进一步研究 ［ A］ 吕国志， 童小燕 . 疲劳与断裂—第九届全国疲劳 . 见： 与断裂学术会议论文集 ［ C］ 航空工业出版社， . 北京： 1998 . 528 - 532 . ［4］ 巫绪涛， 杨伯源 . 数值外插法求解空间应力强度因子的研究 ［ J］ （自然科学版） ， （4） ： . 合肥工业大学学报 1999， 22 26 - 31 . ［5］ 巫绪涛 . 高精度求解三维应力强度因子方法的研究 ［ D］ 合肥工业大学应用数学力学系， . 合肥： 1999 . ［6］ 沈成康 . 断裂力学 ［M］ 同济大学出版社， . 上海： 1996 . 8 - 15 . ［7］ 黄维扬 . 工程断裂力学 ［M］ 航空工业出版社， . 北京： 1992 . 63 - 68 .
!
［6］ ， 数值外插法取蜕化奇异等参元及周围辐射单元在裂纹面上节点的位移， 计算各节点的表观 K "
K" !i = K" #i
E 2
（r ， ） 1 " 2r !
i i i
"
（2）
E = 2
!
"U （ r ，） 2 ri i i "
裂尖的 K 因子由上述值， 使用最小二乘法的线性插值得到 K 裂尖 = c = 式中 l （ （ K " - c # ri ） I # i
为具体说明这一问题， 现以无限大板中心裂纹受单向
两者的主要区别。 拉伸问题 （见图 2 所示） 为例， 进行讨论。
［7］ 裂纹面上距裂纹右顶点 r 处的张开位移有精确解 为
2 （ ）= ! \ （ （6） 1 r， r 2 a - r） ! E 使用 （2） 式计算裂纹附近的表观 K 因子， 并代入 （6） 式， 得 K" = （7） 式整理改写 K" = ! \ !a 式中 l2a \ r K" =l2a \ r （8）
式中 — — 插值点距裂尖距离的平均值 r— — —用各插值点计算的表观 K 因子的平均值 K —
2
插值基础及误差估计
现比较两种方法的插值基础。将 （l） 式改写成 K - KL /4 \L / 4
=
K - KL
L \
（5）
式中
— — 裂尖 K 因子 K— — — 使用 （2） 式计算的表观 K 因子 K — 可见， 传统的蜕化奇异等参元法采用平方根线性插值， 本文提出的数值外插法采用线性插值， 这是
图2 无限大板中心裂纹受单向拉伸问题
E 2
（ ）= ! （2 a - r ） 1 r， ! 2r 2 \ \
!
!
（7）
— — 裂尖 K 因子的精确值， K "— K" = ! \ !a 将 （8） 式在裂尖 （ r = 0） 处采用幂级数展开
K" = K" l -
[
l r l r 2 2a 8 2a
第6期
李和平， 等： 数值外插法求解 K 因子的插值基础及误差估计
963
承了蜕化奇异等参元法的优点， 并有效地解决了上述问题， 计算精度和稳定性都得到提高， 对于平面问
［3 ~ 5］ 题， 误差仅 O . 5% ， 对于空间问题， 整体误差在 3% 左右， 完全能满足工程问题的需要 。
l
方法简介
由于蜕化奇异等参元在裂尖具有线弹性断裂问题的 l / ! 在有限元构模中围绕裂尖采用 r 奇异性， 一层蜕化奇异等参元， 之外是两到三层辐射式普通等参元， 见图 l 所示， 平面问题采用 8 节点等参元， 空 间问题采用 2O 节点等参元， 为简单起见， 本文只讨论平面应力问题。
/4
- 1 ）= 4 K $ （ !
/ 4） -
K$ （ !
）
（16） （17）
按上述同样方法由 （16） 式得到 2 3 " ［1 + 0 . 125 （ / a ）+ 0 . 0273 （ / a） （ （ / a） ） ］ K! = K ! + 0
由 （15） 和 （17） 可以发现， 本文提出的外插公式要比常用的由蜕化奇异单元直接计算 K 因子公式高 2 一阶精度， 两者误差阶次分别为 0 . 0252 （ / a） 和 0 . 125 （ / a） 。
(
ri 2a
)
l/2
（l0）
[
(
ri 2a
) ]
l/2
（ll）
第6期
李和平， 等： 数值外插法求解 K 因子的插值基础及误差估计 Iri - ! ri 1 1r 2! i I （! ri ） I ! r2 i -
965
ci =
[
]
)
1/2
（12）
此时 以两层单元 （沿裂纹面尺寸相同， 均为 ） 4 点插值为例， I = 4， r1 = 4 / ， r2 = ， r3 = 1 . 5 ， r4 = 2 （13） （12） 、 式代入 （11） 式得到 K! = " K! 98 [ 107 ( 1 - 8a )
图l
断裂问题采用蜕化奇异等参元的有限元构模 （b） 裂尖蜕化奇异等参元的节点编号
（ a） 总体网格划分
用有限元计算获得各节点位移后， 传统的蜕化奇异等参元法是利用沿裂纹面裂尖单元的 2、 3 节点
［l］ 位移计算 K 因子 ， 即
K! =
E 2
（4 1 2L !
"
2
- 13） （l）
式中 即
E " （4 U 2 - U 3） K# = 2 2L — — 分别为弹性模量、 垂直于裂纹面位移及平行于裂纹面位移 E、 1i 、 Ui —
The theoretical basis and error evaluation of the numerical extrapolated method for calculating SIF
LI He-ping， WU Xu-tao， YAN Bo-yuan
（SchooI of CiviI Engineering，Hefei University of TechnoIogy，Hefei 230009，China）
1/2
（13） 35 1107 a
+
41 1107 2a
(
)
1/2
+
3 3 1107 4a
(
-
(
) ]
1/2
（14） （15）
（14） 式按幂级数展开有
2 3 ［1 + 0 . 0252 （ / a） （ （ / a） ） ］ K! = " K! + 0
直接用蜕化奇异等参元求 K 因子的公式可以写成 K! = E 2 （4 1 2 # "
( )
2