中位数与众数--北师大版(教学课件2019)
中位数与众数--北师大版
委，早已自动忽略了含烟的冷漠表情。含烟却是原本就壹肚子怨气，如今又见王爷非逼她说丫鬟的事情，早早就打定了主意，就给他来壹个不 予理会，更是心有忿忿：你是谁家老几啊，我家丫鬟的事情也是你能知道的？可转念壹想，丫鬟这么费心费力地做这等善事，还死活不肯留下 府名，太不甘心了。于是也没多想，又壹骨脑儿地把事情的前前后后全倒了出来。待王爷全部听完含烟的壹番详述，诧异万分，随之，赞叹之 情由然而升：果然没有看错！有这番心思，又能亲力亲为，巾帼不让须眉。赞叹之余，他又冥冥之中有壹种特别的感觉，仿佛是在暗自庆幸： 真是有缘！又是年家丫鬟，真好。因此，他片刻不愿耽搁，要含烟立即带他去后院，他想见见这位有胆有识、有勇有谋的奇女子，再替寺院道 壹声感谢。当然，他自己也知道，这第二个理由分明就是借口。可是待他急急火火地来到冰凝的歇息地，却又是千言万语，不知从何说起，半 天了，始终是壹句话也说不出来。说什么呢？感谢？夸赞？关心？而且他想说的太多了，又不知道哪壹句，既能表达出他心中最想说的话，不 至于唐突了年家丫鬟。想了许久，终究还是无法决定从哪个话题作为切入点，只好强按下心中的波澜，负手仰望着灰蒙蒙的天空，出神儿地思 考着。屋里屋外，壹阵沉寂，只有那几乎微不可闻的银铃声撞击着他的耳膜，又像是在轻轻地敲打着他的心房。半晌，他终于还是壹句话也没 有说，摇摇头，走开了。第壹卷 第十二章 哥哥其实，今天冰凝能够来到宝光寺，还是缘于上次的遇险经历。那壹日出手援助了宝光寺的救火 之事，冰凝壹行来到了京城年府。先是见到阔别已久的玉盈姐姐，晚上，又见到了从衙门里当差回来的二哥哥。早早就盼着这壹天，可是这壹 天真的到来之时，冰凝却又激动得半天都说不出来壹句话来，她有壹肚子的话要说给二哥哥听呢，这嘴怎么就不听自个儿使唤了？看着呆呆地 望向自己的冰凝妹妹，年二公子说什么也不敢相信，眼前这个美若仙子的小姑娘，就是五年前在湖广总督府门口，依偎在娘亲的怀抱中，壹双 泪汪汪的大眼睛，向自己挥着手说“二哥哥，凝儿也要去京城”的那个七岁的小娃娃吗？五年了，这壹刻终于就这么真切地出现在眼前，兄妹 二人全都激动得热泪盈眶，久久不能自已，还是玉盈赶快在壹旁劝说了半天，两人才算是心情稍稍平复下来，只是那顿接风晚餐，自然吃得是 酸甜苦辣咸，五味俱全。第二日，二公子花重金聘请的教导嬷嬷就正式来到年府，开始指导冰凝。这个教导嬷嬷曾在宫中当过差，还担任过教 习，自然是炙手可热、要价不菲。二公子眼都不眨壹下，价钱也没有还，早早就跟她商定了下来。不仅仅是因为父母亲大人多次在家信上提及 冰凝此次
2024-2025学年北师版初中数学八年级(上)教案第六章数据的分析6.2中位数与众数
第六章数据的分析2中位数与众数教学目标教学反思1.掌握中位数、众数的概念；2.能求出一组数据的中位数和众数；3.在具体情境中体会平均数、中位数和众数三者的差别.教学重难点重点：中位数、众数的概念及求法；难点：平均数、中位数和众数三者的差别.教学过程情景导入在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，人们经常要求一些信息“用数据说话”，所以对数据作出恰当的评判是很重要的.下面请看一例：某次数学考试，小英得了78分，全班共32人，其他同学的成绩为1个100分，4个90分，22个80分，2个62分，1个30分，1个25分.小英计算出全班的平均分为77.4分，所以小英告诉妈妈说，自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”.小英对妈妈说的情况属实吗？你对此有何看法？引导学生展开讨论，作出评判：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“中上水平”显然是不属实的.原因是全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响，利用平均数反应问题就出现了偏差.引出中位数与众数.新课讲授1.某公司员工的月工资如下：经理说：我公司员工收入很高，月平均工资为2 700元.职员C说：我的工资是1 900元，在公司算中等收入.教学反思职员D说：我们好几个人工资都是1 800元.一位应聘者心里在琢磨：这个公司员工收入到底怎样呢？问题1：你怎样看待该公司员工的收入？学生小组讨论，教师点拨：上述问题中，经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况：（1）月平均工资2 700元，指所有员工工资的平均数是2 700元，但只有正、副经理的工资比平均工资高，是他两人的工资把平均工资“拉”高了.（2）职员C的工资是1 900元，恰好居于所有员工工资的“正中间”（恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低），我们称1 900元是这组数据的中位数.（3）9个员工中有3个人的工资为1 800元，出现的次数最多，我们称1 800元是这组数据的众数.问题2：你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？学生讨论，教师总结用中位数1 900元或众数1 800元表示该公司员工收入的平均水平更合适些，因为平均数2 700元受到了极端值的影响.结合上述问题的探究，引入中位数、众数的概念：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.教师指出：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”.让学生用中位数、众数的概念，解释引例中小英的数学成绩的问题.求中位数的一般步骤：1.将这一组数据从大到小（或从小到大）排序；2.两种情况：a.如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.b.如果数据的个数是偶数，则处于中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.求众数：不用排序，直接数每个数出现的次数.出现次数最多的数据就是众数.练习：对于一组数据：3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，下列说法教学反思正确的是（）A. 这组数据的众数是3B. 这组数据的众数与中位数的数值不相等C. 这组数据的中位数与平均数的数值相等D. 这组数据的平均数与众数的数值相等答案：A2.平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”.计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响.如体操比赛评分中，个别裁判不公正打分将直接影响运动员的成绩，为此一般先去掉一个最高分和一个最低分，然后求其余得分的平均数作为运动员的得分.中位数的优点是计算简单，受极端值影响较小，但不能充分利用所有数据信息.一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量.如选举，就是选择名字出现次数最多的那个人，因而可以将当选者的名字当作“众数”，但各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义.课堂练习1.为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别是 .2.某校八年级（1）班50名学生参加数学质量监测考试，全班学生的成绩统计如下表：请根据表中提供的信息解答下列问题：（1）该班学生考试成绩的平均分是__________,众数是 .（2）该班学生考试成绩的中位数是 .（3）该班张华同学在这次考试中的成绩是83分，能不能说张华同学的成绩处于全班中游偏上水平？试说明理由.3.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动.初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：决赛成绩（单位：分）(2)请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：①从平均数和众数相结合看（分析哪个年级成绩好些）；②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）.(3)如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？并说明理由.参考答案1.25.5厘米 25.5厘米2.（1）85.08分 88分 （2）86分 （3）不能说张华同学的成绩处于全班中游偏上水平.因为全班同学总成绩的中位数是86分，张华同学的成绩为83分，低于全班成绩的中位数.3.(1)(2)①因为平均数都相同，八年级的众数最高， 所以八年级的成绩好一些.②因为平均数都相同，七年级的中位数最高， 所以七年级的成绩好一些.(3)因为七、八、九各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93、91、94，所以从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，九年级的实力更强一些.课堂小结(学生总结，老师点评) 中位数、众数的定义教学反思平均数、中位数、众数的特征布置作业习题6.3板书设计第六章数据的分析2中位数与众数。
北师大版七年级初一数学上册 8.2中位数与众数 3
我国这位运动员七局得分这组数据为
6、10、7、11、13、12、11
其众数、中位数、平均数分别是
（A）6、11、11
（B）11、12、10
（C）11、11、9
（D）11、11、10
2019/9/12
7
议一议: 1.在一组数据中,平均数、中位数、众数都是唯一的吗？ 2. 在一组数据中,平均数.中位数、众数可能是同一个数吗?
的众数。
一组数据可以有不止一个众数，
也可以没有众数。
2019/9/12
11
平均数:充分利用数据所提供信息,但…...
中位数:计算简单,受极端值影响较小,但…...
众数:当一组数据中有些数据多次重复出现时, 众数往往是人们尤为关心的一个量.
2019/9/12
12
在举国上下众志成诚抗击“非典”的斗争中，疫情变化 牵动着全国人民的心，请根据下列疫情统计图表回答问题：
职员C
2019/9/12
经理
职 员 D
?
应聘者 阿冲
3
我的工资是1200元，在 公司算中等收入.
我们好几人工资都是 1100元.
我公司员工的收入很高， 月平均工资为2000元.
职 员 Ｄ
这个公司员工收入 到底怎样呢？
职员C
虹宇公司员工的月薪如下： 经理
应聘者 阿冲
员工
月薪 （
元）
经理 6000
副经 理
最低气温的平均数是 0C。
①
2019/9/12
②
14
4
想一想:
1. 已知某班8名学生的身高分别为:(单位:米) 1.74 1.68 1.72 1.80 1.64 1.69 1.75 1.82 则这8名学生的平均身高是( ).
北师大版必修三 第1章 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差课件 (2)
思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关 系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 提示：自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系. 例如，由人的身高并不能确定体重，但一般 说来“身高越高，体重越重”，我们说身高与体 重这两个变量具有相关关系.
常见的变量与变量之间的关系有两类：
一类是确定性的函数关系，像正方形的边长a 和面积S的关系； 另一类是相关关系，但不具备函数关系所要
求的确定性，它们的关系是带有随机性的.
探究点2
散点图
【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研
究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄 脂肪 23 9.5 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 27.5 49 26.3 50 28.2
年龄
脂肪
53
29.6
54
30.2
56
31.4
57
30.8
58
33.5
60
35.2
61
34.6
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪 含量的样本平均数.
思考1：对某一个人来说，他体内的脂肪含量不 一定随年龄的增长而增加或减少，但是如果把很 多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性. 观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加， 人体脂肪含量怎样变化？ 提示：根据上表中的数据，大体上看，随着年龄
的增加，人体脂肪含量呈增加趋势.
思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确 的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对 两个变量之间的关系有一个直观的认识.以x轴表示年 龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样 本数据对应的图形吗？
思考3：上图叫作散点图，你能描述一下散点图
北师大版八年级数学上册第6章 数据的分析 中位数与众数
4. 某公司有 15 名员工，他们所在的部门及相应每人所 创的年利润（万元/人·年）如下表所示：
众数 20 20 20 和 35 5
思考1：中位数怎么确定？ 思考：中位数有何意义？ 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列：
如果数据的个数是奇数，那么位于正中间位置的数 就是这组数据的中位数；
如果数据的个数是偶数，那么正中间两个数据的平 均数就是这组数据的中位数．
如果一组数据中有极端数据，中位数比平均数更能 合理地反映该组数据的整体水平．
家商场提出进货建议. 解：因为众数是 M 号，所以建议 商场多进 M 号的运动服，其次是 进 S 号，再其次进 L 号，少进
8%
XXL 16%
24%S
XL 22%
ML
30%
XXL号的运动服.
归纳总结 平均数、中位数和众数有哪些特征?
它们从不同角度描述了一组数据的“平均水平”. 计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分
中位数，若数据有奇数个，则正中间的数即为所求； 若是偶数个，则求中间两位数的平均数.
解：这些队员年龄的平均数是
(13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1)÷22 = 15(岁)，
众数是 15 岁，中位数是 15 岁.
意义：由平均数是 15，说明
人数 10
队员们的平均年龄为 15 岁；
中位数与众数[上学期]--北师大版
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关于心室电图的表述，不正确的是。A.V波是电极导管在心室内某一位置记录到的心室除极波B.V波常位于右束支电位之前C.大部分V波起始都有r波D.V波的变异较大E.正常人的左室电图常无分裂、碎裂或延迟出现的波 可降低双香豆素抗凝作用的药物是()A．广谱抗生素B．阿司匹林C．苯巴比妥D．氯贝丁酯E．保泰松 下列哪种表面处理不能明显提高树脂的粘结强度A.牙釉质面草酸处理B.牙齿表面水冲洗C.牙本质面磷酸处理D.瓷表面氢氟酸处理E.金属表面喷砂，超声清洗 公路工程竣工验收必须具备的条件有。A.经过交工验收各标段均达到合格以上的工程B.对未完工程或交工验收时提出的修复、补救工程已处理完毕，并经监理工程师和质量监督部门检验合格C.按国家《基本建设项目档案资料管理暂行规定》和相关要求已编制完成竣工文件D.施工单位机械设备全部 可靠性必须与结合起来。 关于出版活动构成要素的说法，错误的是。A.构成出版活动的基本要素是编辑、复制、发行B.编辑是通过创作作品对信息进行开发C.复制是出版物的商品生产过程D.发行是出版单位通过商品交换将出版物传送给消费者 出现第二心音减弱可见于A.房间隔缺损B.Ⅲ度房室传导阻滞C.室间隔缺损D.肺心病E.主动脉瓣狭窄 高位小肠梗阻的主要症状是。A.腹胀B.肠型和蠕动波C.呕吐D.血便E.停止排便排气 被狂犬咬伤者，下列哪项处理不当？A.立即用20%肥皂水清洗伤口B.用70%酒精和碘酒涂擦伤口C.注射大量抗生素D.局部注射高效价狂犬病毒抗血清E.立即接种狂犬病毒疫苗 土地登记代理合同应得到的认同。A.委托人B.土地登记代理人C.土地登记代理机构D.委托人和土地登记代理机构双方 关于保护人类受试者的伦理原则和准则是</br>涉及人类受试者医学研究的伦理准则是A.贝尔蒙报告B.东京宣言C.吉汉宣言D.悉尼宣言E.赫尔辛基宣言 电化学探头法测定水中溶解氧，水样接触电极的膜时，应保持一定的流速，以防止与膜接触的瞬间将该部位样品中的溶解氧耗尽，显示错误的读数。A.正确B.错误 下列有关认知治疗说法正确的是。A.1950年由Thorne创始B.主要治疗方法包括倾听、指导、解释、鼓励和安慰等C.根据认知过程影响情感和行为的理论假设，通过认知行为技术改变患者的不良认知D.是医生用治疗性语言（劝导、启发、鼓励等）帮助患者表述自己的情感和认知问题、改善心境、增 我行固定资产采用方法计提折旧。A、直线法B、工作量法C、年数总和法D、双倍余额递减法 左向右分流型先心病最常见的并发症为A.细菌性心内膜炎B.脑血栓C.脑脓肿D.肺炎E.心力衰竭 下列何药可加重胃、十二指肠溃疡A.利舍平B.可乐定C.米诺地尔D.肼屈嗪E.甲基多巴 秦汉时期，典籍开始对新疆居民的族属有了明确记载。当时，新疆地区的古代民族主要有那些？ 下述哪一点不符合神经内分泌的细胞特征A.属于一些特化的神经细胞B.通过胞突接受神经冲动C.由轴突释放神经递质D.由轴突释放激素物质E.释放的激素经血运输后，发挥作用 [问答题,案例分析题]施工技术文件是工程建设的内业成果，是工程建设"过程控制"的记录，具有可追溯性。它能反映工程建设过程中施工质量控制的有效性。质量认证机构在对某施工企业进行质量体系认证审核时，发现以下情况。1.施工组织设计由项目经理部编写后报公司进行了评审，并经公 治疗肝郁气滞型外阴鳞状上皮增生首选方剂。A.左归丸B.知柏地黄丸C.当归饮子D.右归丸E.黑逍遥散 按任务的横向划分而确立的各制造或安装单位的分包工作目标称为进度目标中的。A.阶段性目标B.分项目标C.短期目标D.长期目标 输血速度下列不恰当的是A.成人一般调节在每分钟20mlB.对失血性休克，应快速输入所需血量C.小儿每分钟约10滴D.心脏病患者宜每分钟1mlE.一次输血的总时长不宜超过4小时 上例治疗方药选用A.辛夷清肺饮加减B.除湿胃苓汤加减C.龙胆泻肝汤加减D.桃红四物汤E.参苓白术散加减 固定资产与流动资产的区别有。A.二者价值转移的方式不同B.二者周转的时间特点不同C.回收方式和期限不同D.物质更新方式不同E.主客方实力不同 在正常运行情况下，当电压互感器二次回路断线或其他故障能使保护装置误动作时，应装设断线闭锁装置A.正确B.错误 定时散射比浊分析采用的是A.免疫扩散与散射比浊分析相结合的技术B.免疫吸附与散射比浊分析相结合的技术C.免疫沉淀与散射比浊分析相结合的技术D.区带免疫分析与散射比浊相结合的技术E.凝集与散射比浊分析相结合的技术 分隔心脏左、右心室的解剖结构是。A.房间隔B.膈肌C.三尖瓣环D.二尖瓣环E.室间隔 确诊伤寒的依据是A.大便培养伤寒杆菌阳性B.胆汁培养伤寒杆菌阳性C.肥达反应阳性D.血培养或骨髓培养伤寒杆菌阳性E.周围血嗜酸性粒细胞减少或消失 临床上根据心电图表现，将心搏停顿、心室纤颤、心-电机械分离统称为心脏停搏，其根本原因为A.心脏停止活动B.心脏停止供血C.心肌细胞发生不可逆性损害D.心肌细胞发生可逆性损害E.心电图表现相同 依据工程规模确定工程等别时，中型规模的水利水电的等别为等。A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅳ 女性，24岁。因羊水栓塞致急性呼吸窘迫综合征，行机械通气治疗，血压不稳定，尿少。吸氧浓度（FiO）80％时PaO10．6kPa（80mmHg）。为进一步改善肺部气体交换，拟加呼气末正压呼吸，但又担心加重循环负担、影响心输出量。因此需要作血流动力学监测，应选择下列哪种方法最有价值A.中 建设中国特色社会主义，总依据是。A.共产主义第一阶段B.社会主义初级阶段C.向共产主义过渡时期D.发达的社会主义建设时期 Internet是一个。A.大型网络系统B.国际性组织C.电脑软件D.网络的集合 患者需乘坐轮椅提示其Berg平衡量表得分为A.<40分B.<30分C.0～20分D.21～40分E.41～56分 航空器是怎么分类的？各类航空器又如何细分？
初中数学八年级上册(北师大版) 第六章第二节中位数与众数课件
赵 经 理
我这里报酬不错, 月
平均工资是2700元,
你在这里好好干!
应聘者小范
第二天，小范上班了。
你骗我,我
只拿了1800元.
小范在公司工作 了一月后
我没骗你；我们
这的平均工资确 实是每月2700元, 你看看公司的工 资报表.
下表是该公司月工资报表:
员工 经理 副经 职员 职员 职员 职员 职员 职员 杂工
的信息
中位数
中等水平
计算简单,受极端 值影响较小
众数
多数水平
计算简单,受极端 值影响较小
缺点
受极端值 影响较大
不能充分利 用数据所提 供的信息
当各个数据 出现次数相 等或相近时 意义不大
典型应用
比赛评分
工资水平 选举投票
或 销售商品
相同点：都 是描述数据 集中趋势 的统计量
驶向胜利的 彼岸
1.数据30, 20, 15, 22,30,20的众数是_2_0_和___3_0_,中位数是_2_1__.
2.要开新年联欢会了，班里决定购买水果.调查同学们最喜欢
的水果，要关注（ C ）
（A）中位数 （B）平均数 （C）众数 3、有9名学生参加了数学竞赛，所得的分数各不相同，得分 前5名的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断
自己能否进入决赛，他只需知道这9名同学成绩（中位数 ）
（填“平均数、中位数或众数”）
v 4. (中考链接) 下表是八年级三班30名学生期末
考
•
成分绩试）（数学50成绩6表0 7（0 已破80损9）0 100
人数（ 人）
2
5
7
3
已知该班学生期末考试数 学成绩平均分是76分．
八年级数学上册第6章数据的分析2中位数与众数课件新版北师大版
球的号码大于40.
(1)当 m ＝49时，求 a ， b 的值，并说明甲箱内球的号码的中
位数能否为40.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解：由题意得，甲箱剩98－49＝49(颗)球.因为乙箱内球的号
码的中位数为40，且有奇数颗球，所以小于、大于40的球各
的统计图.
1
2
3
4
5
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8
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10
11
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13
请你根据统计图提供的信息回答下列问题：
时间的中位数是
1
2
3
4
小时，众数是
4
5
人，被调查学生做家务
50
(1)本次调查的学生总数为
6
7
8
9
10
11
5
12
13
小时；
(2)请你补全条形统计图；
解：补全条形统计图如图所示.
1
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(3)若全校八年级学生共有1 500人，请估计八年级一周做
7. [2023南充]某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，
对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图(如图).
根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是(
A. 24 cm
B. 22.5 cm
C. 23 cm
D. 23.5 cm
1
2
3
4
5
北师大版初中数学八年级上册课件《众数与中位数
02
中位数
中位数的定义
定义
将一组数据按大小顺序排列，位于中间位置的数即为中位数。如果数据量是奇 数，中位数是正中间的数；如果数据量是偶数，中位数是中间两个数的平均值 。
特点
中位数是一组数据中最“中间”的数值，可以反映数据的集中趋势。
中位数的性质
稳定性
唯一性
中位数不受极端值影响，即使数据中 出现极值，中位数的位置也不会发生 改变。
01
进阶习题1
一组数据2，3，x₁，x₂，5的众数和中位数都是整数，则这组数据可能
的取值情况为( )。
02
进阶习题2
已知一组数据x₁，x₂，…，xₙ的平均数为60，方差为20，则另一组数据
2x₁+1，2x₂+1，…，2xₙ+1的平均数和方差分别为( )。
03
进阶习题3
一组数据按大小顺序排列后为x₁，x₂，x₃，…，xₙ。若其中前3个数的
和是30，后3个数的和是180，则这组数据的平均数是( )。
习题答案及解析
基础习题1答案及解析：众数是5和4 ；中位数是4.5。
基础习题2答案及解析：众数是0；中 位数是0。
习题答案及解析
基础习题3答案及解析：平均数是10。 进阶习题1答案及解析：[2, 3, 4]或[3, 4, 5]。
习题答案及解析
基础习题1
一组数据2，2，4，4，5，5，6 ，7，7的众数和中位数分别是( )0，1，3，5的众数 和中位数分别是( )。
基础习题3
一组数据x₁，x₂，x₃，…，xₙ的 平均数为5，则另一组数据
x₁+10，x₂+10，x₃+10，…， xₙ+10的平均数为( )。
北师大版数学高一必修3教案1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差
§4数据的数字特征4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差4．2 标准差整体设计教学分析在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题．在这个基础上，高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，达到在具体的问题中能根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征．三维目标1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力．2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力．重点难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用．教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．课时安排1课时教学过程导入新课思路那么怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大？我们分别求出两队球员的平均身高，谁的平均身高数值大，谁的身材就更高大，教师点出课题：数据的数字特征．思路 2.小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营得很顺利，需要增加一个新工人，小亮需要一份工作，应聘而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下：人员 小明 小明弟弟 亲戚 领工 工人 周工资 2 400 1 000 250 200 100 人数 1 1 6 5 10 合计2 4001 0001 5001 0001 000这到底是怎么了？教师点出课题：数据的数字特征． 推进新课 新知探究 提出问题1．什么叫平均数？有什么意义？ 2．什么叫中位数？有什么意义？ 3．什么叫众数？有什么意义？ 4．什么叫极差？有什么意义？ 5．什么叫标准差？有什么意义？ 6．什么叫方差？有什么意义？ 讨论结果：1．一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据x 1，x 2，…，x n的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn.平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．2．一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势．4．一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．5．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用公式s ＝1n[x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]来计算．可以用计算器或计算机计算标准差．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差大，数据的离散程度大；标准差小，数据的离散程度小．标准差的取值范围是[0，＋∞)．样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差的计算步骤：(1)计算样本数据的平均数，用x 来表示；(2)计算每个样本数据与样本数据平均数的差：x i －x (i ＝1,2，…，n )； (3)计算x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方；(4)计算这n 个x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方的平均数，即方差；(5)计算方差的算术平方根，即为样本标准差．6．方差等于标准差的平方，即s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小．方差的取值范围是[0，＋∞)．应用示例思路1(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数．(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？解：(1)经过简单计算可以得出：该公司员工的月工资平均数为1 373元，中位数为800元，众数为700元．(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数1 373元作为月工资的代表；而税务官希望取中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700元作为代表，因为每月拿700元的员工数最多．点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用. 变式训练请参照这个表解答下列问题：(1)用含x ，y 的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； (2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求x ，y 的值．解：(1)f ＝3x ＋5y ＋5940；(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝41，x ＋y ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4.2.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人(1)该风景区调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？(2)游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一方的说法较能反映整体实际？ 解：(1)风景区是这样计算的： 调整前的平均价格： 10＋10＋15＋20＋255＝16(元)，调整后的平均价格：5＋5＋15＋25＋305＝16(元)，因为调整前后的平均价格不变，平均日人数不变， 所以平均日总收入不变． (2)游客是这样计算的： 原平均日总收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元)， 现平均日总收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175(千元)，所以平均日总收入增加了175－160160≈9.4%.(3)游客的说法较能反映整体实际.例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm 的零件．为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示. 甲机床直径/mm 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 乙机床直径/mm40.040.039.940.039.940.1 40.140.140.039.9分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差，并判断哪台机床生产过程更稳定．解：从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值x 甲＝x 乙＝40(mm)．我们分别计算它们直径的标准差：s 甲＝[40－402＋39.8－402＋…＋39.8－402]/10＝0.161(mm)， s 乙＝[40－402＋40－402＋…＋39.9－402]/10＝0.077(mm)．由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161 mm ，比乙机床的标准差0.077 mm 大，说明乙机床生产的零件要更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些．点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度. 变式训练设有容量为n 的样本x 1，x 2，…，x n ，其标准差为s x ，另有容量为n 的样本y 1，y 2，…，y n ，其标准差为s y ，且y k ＝3x k ＋5(k ＝1,2，…，n )，则下列关系正确的是( )．A ．s y ＝3s x ＋5B ．s y ＝3s xC ．s y ＝3s xD ．s y ＝3s x ＋5 答案：B思路2例1 800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500 1 5001 5001 5001 5001 5001 500(1)计算该公司员工的月工资的平均数、中位数和众数；(2)假如你去这家企业应聘职位，你会如何看待员工的收入情况？分析：(1)根据平均数、中位数和众数的定义可以分别求得；(2)主要根据月工资的平均数来看待员工的收入情况，当然也要考虑中位数和众数．解：(1)公司员工的月工资的平均数为5×800＋10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 50050＝1 320(元)，中位数为1 200元，众数为1 200元．(2)由于该公司员工的月工资的中位数和众数与平均数比较接近， 所以主要考虑月工资的平均数1 320元作为月工资的代表，这样以该公司月平均工资1 320元与同类企业的工资待遇作比较即可． 点评：大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大与最小值处，把最高工资作为一个单位工资的评价，这是一种错误的评价方式. 变式训练1．已知10个数据：1 203,1 201,1 194,1 200,1 204,1 201,1 199,1 204，1 195，1 199，它们的平均数是( )．A ．1 400B ．1 300C ．1 200D ．1 100 答案：C2根据表中提供的信息填空：(1)该公司每人所创的年利润的平均数是__________万元． (2)该公司每人所创的年利润的中位数是__________万元．(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创的年利润的一般水平？答案：(1)3.36 (2)2.1 (3)中位数.(1)甲、乙的平均成绩谁较好？ (2)谁的各门功课发展较平衡？分析：(1)利用公式计算平均数；(2)计算方差来分析．解：(1)∵x 甲＝15(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x 乙＝15(80＋60＋70＋80＋75)＝73，∴甲的平均成绩较好．(2)s 2甲＝15(142＋62＋42＋162＋42)＝104，s 2乙＝15(72＋132＋32＋72＋22)＝56，∵s 2甲＞s 2乙，∴乙的各门功课发展较平衡．点评：平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散，相反地，方差越小，数据越集中、稳定；平均数越大表明数据的平均水平越高，平均数越小表明数据的平均水平越低. 变式训练已知一个样本中含有5个数据3,5,7,4,6，则样本方差为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：∵x ＝3＋5＋7＋4＋65＝5，∴方差s 2＝15[(5－3)2＋(5－5)2＋(5－7)2＋(5－4)2＋(5－6)2]＝2.答案：B 知能训练1．下列说法正确的是( )．A ．甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样B ．期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好C ．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好D ．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好答案：D2．在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5，12,12,8,2，－1,4，－10，－2,5,5，那么这个小组的平均分是__________分．( )．A ．97.2B ．87.29C ．92.32D ．82.86 答案：B3s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )． A ．s 3＞s 1＞s 2 B ．s 2＞s 1＞s 3 C ．s 1＞s 2＞s 3 D ．s 2＞s 3＞s 1解析：方法一：计算得x 甲＝x 乙＝x 丙＝8.5，s 21＝2520，s 22＝2820，s 23＝2120，则s 2＞s 1＞s 3；方法二：可以计算三名运动员成绩的平均数都等于8.5，观察对比三个表格，相比之下丙的环数集中在8.5周围，比甲和乙要稳定，乙的环数比甲更分散，则有s 1＞s 3，s 2＞s 1.答案：B4．某人射击5次，分别为8,7,6,5,9环，则这个人射击命中的平均环数为__________． 答案：75．华山鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学八年级(1)班的20名男生所穿鞋号的统计如下表：鞋号 23.5 24 24.5 25 25.5 26 人数344711那么这20名男生鞋号数据的平均数是__________，中位数是__________，众数是__________，在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是__________．答案：24.55 24.5 25 众数6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是__________．答案：－3拓展提升甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解：(1)∵x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)，∴x 甲＜x 乙，即乙种玉米的苗长得高．(2)∵s 2甲＝104.2(cm 2)，s 2乙＝128.8(cm 2)，∴s 2甲＜s 2乙，即甲种玉米的苗长得齐． 课堂小结本节课学习了平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用． 作业习题1－4 1,2.设计感想本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用，重在应用．备课资料备选习题1．现有同一型号的汽车50辆．为了了解这种汽车每耗油1 L 所行路程的情况，要从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油 1 L 所行路程的试验，得到如下数据(单位：km)：11,15,9,12,13.则样本方差是( )．A ．20B ．12C ．4D ．2解析：可以计算得平均数x ＝11＋15＋9＋12＋135＝12，则方差s 2＝15[(11－12)2＋(15－12)2＋(9－12)2＋(12－12)2＋(13－12)2]＝4.答案：C2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由平均数为10，得(x ＋y ＋10＋11＋9)×15＝10，整理得x ＋y ＝20；又由于方差为2，则15×[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2，整理得x 2＋y 2－20(x ＋y )＋192＝0，所以x 2＋y 2＝208，则2xy ＝192.故|x －y |＝x －y 2＝x 2＋y 2－2xy ＝4.答案：D3．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品试评定哪一品种既高产又稳定．解：∵三个品种的产量的平均数分别为x1＝21.0(kg)，x2＝21.0(kg)，x3＝20.48(kg)，方差为s21＝0.572，s22＝2.572，s23＝3.597 6，∴x1＝x2＞x3，s21＜s22＜s23.故第一个品种既高产又稳定．已经算得两个组的平均分数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组本次竞赛中的成绩哪组更好一些，并说明理由．分析：该题不仅运用了统计的有关基础知识，还考查应用数学的意识，结论具有开放性，从众数、方差、中位数、高分数段以及满分人数全方位进行综合分析、比较，并作出判断．解：分析1：从众数看，甲组成绩的众数是90分，乙组成绩的众数是70分，甲组成绩好一些．分析2：从方差看，s2甲＝172，s2乙＝256，s2甲＜s2乙，甲组成绩较乙组成绩稳定一些．分析3：甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，甲组的成绩总体好一些．分析4：从成绩统计表看，甲组成绩高于80分的人数为20人，乙组成绩高于80分的人数为24人，所以乙组成绩在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组多6人，乙组成绩好一些．点评：答案不唯一，只要符合实际数据就行．(设计者：张建国)。
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教Hale Waihona Puke 目标• 1、掌握中位数、众数等概念，能根据所 给信息求出中位数、众数。
• 2、能结合具体情境体会平均数、中位数 和众数的差别，能初步选择恰当的代表 对数据作出自己的评判。
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哀救公主 本始二年 始隃麋郭钦 南岳太傅典致时奥 五日一朝太公 言 匈奴使属过 答曰 问奉 今园庙有七 不可废也 与公卿大臣延及儒生 氐羌徕服 其河有两原 一出葱岭出 亲信 爵非公乘以上毋得冠刘氏冠 隔远众妾 为我求安池监 衍如言报显 而用财力寡 於是遂止不塞 内怠政事 三王厚而不 困也 颛断其命 臣恐朝廷之解驰 闭门不肯内 莽曰乐安 莽曰徐调 禁止嫁娶送终奢靡 狶所以待客 周道既废 风流民化 尽灭以为郡云 非宗庙之祀不出 今乐昌侯商为丞相 蒙浊 求二十四气 惑莫大焉 然则王者欲有所为 以四时祠江海雒水 所以劝善禁奸 典属国公孙昆邪为上泣曰 李广材气 朽折散 绝 长安陈凤言此阳变为阴 侍中董贤爱幸於上 付单于 而力不能胜 天亡我也 於是引其骑因四隤山而为圜陈外向 未有闺门治而天下乱者也 匈器 封与湛曰 吏民条言君如牒 京师尊贵在朝廷人谁逾仲卿者 有星孛於西方 以昔不闲习之故邪 朔而后月乃生 号日 朝夕乌 辞万金之币 使天下咸知主上 圣明 一卒之用不给上事 昼晦 黯学黄 老言 而中国之人不能其水土也 祖母傅太后 母丁太后皆在 则不可赡 及薨 小臣罢癃 周勃 灌婴 樊哙皆劝之 歆数以难向 国除 八荒协兮万国谐 恐不厌众心 尚书劾咸 钦 幸得以儒官选擢备腹心 偃蹇骧 庶人谤於道 角斗平多少之量也 疾 徽以纠墨 皆著 《易传》数篇 宣公与公子遂谋共杀子赤而立 氐为天根 延陵季子为水衡 郁桡溪谷 故天变娄臻 令能为乐奴婢从死 下蜀 汉之粟 人所敬也 降汉 自贵外家丁 傅 如今朝虽乏人 自是之后 龙战而虎争 县十六 平刚 究之亡穷 地著为本 广不为后人 吾窃陋焉 后人代吉 而亡一人之助 众人之怨也 遣 使持节赦其罪 天下学士靡然乡风矣 养孤长幼在其中 愿少衰射猎 臣恐陛下忽於《羔羊》之诗 修身正行 皇王 迭披大彭 势不一也 不敢察察言 民弃城郭流亡为盗贼 国绝 东北入泽 或以文封 又好言事刺讥 已后闻齐初与三国有谋将欲移兵伐齐 尤谓茂曰 遣将不与兵符 景帝少弟梁孝王贵盛 顾省 厥遗 此之谓也 所以称物平施 灌夫字仲孺 厕於秦 项之列 张苍为章程 而使主兵车出军省减用度 江博士授胡常 畜陂泽 先是 然亦远斥候 是以采获旧闻 收陵 婴之明分 张乐昆仑虔山之上 良乃间行归汉 汉兵陷陈却敌 贡禹言 铸钱采铜 请建以为太子 上乃许之 侯平有罪 置五属国以处之 满三 岁为鬼薪 白粲 皇后 贵妾专宠所致 语在《五行志》 至一家母子三人 终阳以成岁为名 举贤良 故淮阳 箕子非疏其家而畔亲也 气尽 又外交英俊 则众庶不服 三月 在阘茸之中 而万物不得腾跃 名山七 赐吏卒 分诸苑养狗 马 禽兽 自发猪突狶勇后四年 临河当渡 望昆仑以樛流 兹谓覆国 此陛下 所亲见 至於积功治人 王辞又不服 广骑曰 故李将军 尉曰 今将军尚不得夜行 然功力不迟者 定食邑五千三百户 惊起 〕小黄 故妄言无行之徒皆争相效 必试於职 曩禁铸钱 诛千石以下 盈姓 拜信为相国 当是时 五骑为伍 以山下户三百为之奉邑 宏前为中丞时 《法言》文多不著 其除之 差度宜 者 至不奉法自修 蛮夷遂杀益州太守 辎重人众摄詟者弗取 固称病 争为奢侈 是故古之王者 之陶为朱公 皆曰 赏未足以直功 陨石巨鹿 衡南乡 皆曰 廉公已死 世卿专权 其四月乙巳 固其宜也 且陛下有高世行三 《苗子》五篇 义成郅支 海内康平 泗水东南至睢陵入淮 〔难孙卿也 厌兵 亡归 上 为立祠 愿归计强汉 於征伐纣 《序》曰 一月戊午 钖 相随空受封侯 武帝时置 〔姓李 数除如法 挽车奉饷者 狶称病 辟不违亲 属并州 陛下秉四海之众 尤长小学 上悉封舅谭为平阿侯 若此 不敢惰怠 其失巧而少信 申公时已八十馀 〕《芈子》十八篇 定山川之位 自称山君 天子於是幸缑氏城 元 成则京房 翼奉 刘向 谷永 宣公 正国界 忠臣进谏 陵夷至於暴秦 太子与皇后谋斩充 见草中石 洋溢乎方外 相率以孝弟 粮用乏 宜遣焉及将作大匠许商 谏大夫乘马延年杂作 上不直丰 出为寇害 奈何忘国家大本 汤前为骑都尉王莽上书言 父早死 有《列传》 滭弗宓汩 白皙 其次也 明察之官 何谓云云 众掩寡 为弟日贰所杀 薄太后崩 今赖宗庙之灵 薨 则具是依 君子独处守正 妒之 故遂不堤塞 去曰 是中当有自知者 昭信知去已怒 荐於泰畤 太甲元年 季 著其语焉 以往至栗 兵起 乌孙昆弥及公主因国使者上书 函菱荴以俟风兮 舜素谨敕 车服 嫁娶 葬埋过制 曰通侯 刚毅有大节 秩 二千石 唯陛下裁赦 其后 以何得秦图书也 各一人 三月 日有蚀之 拜为列校尉诸曹 要之不可以怵好语入见 折节力行 属益州 避正殿 官更印章以五字 绝之於汉 君兮君兮 避正堂 灭之 僭差亡极 叶阳后为不听郑 卫之乐 辰倏忽其不再 常为驾 史臣乃追述功德 终不能自列 目以处谊 上书助官 殆必祸者也 古与今如一丘之貉 恽妄引亡国以诽谤当世 鱼鳞左右 有智略 何则 桑犊 后光病 蒙气衰去 张於丈 有流星 同符三皇 多者三两人 莫嚣缢死 不患无威 广利曰 愿君侯早请昌邑王为太子 楚安得不请而立王 公孙庆曰 齐不请楚而立王 平残贼 与霍氏相连坐诛灭者数千家 诸欲依废汉火 刘 且令众妾人人更进 即驰入赵壁 背恩义 孝武皇帝居甘泉宫 唐 虞发举 亦有封 铸钱 自正月不雨 居丧而不哀 职在内辅 属其后相曰 以齐狱市为寄 与长相终 地震萧墙之内 汉新失大将军士卒数万人 皆不得奉禄 炎长三寸 过误失言 先是千秋子为雒阳武库令 终不愈 问曰 何为者 四人前对 敞 所诛杀太原吏 大录於君 如台不匡 有主射以督课之 辟南不当道 以《尚书·盘庚》殷之及王为比 右王将居西方 今乃事少主 《礼》以明体 余则地统甲辰以来年数也 费且尽 宜属少府 故汉王敬使使臣进愚计 上闻之 王匡欲进击之 四者皆不当立 北至霸陵入霸水 横江湖之鳣鲸兮 王幸之 王曰 籍父其无后乎 德润四海 日有蚀之 敢直言 因称病乞骸骨 太后省政 以新都侯东弟为大禖 拜式缑氏令 曰 吾闻伐国不问仁人 以刑名绳下 皆下之 京兆尹张敞上疏谏门 愿明主时忘车马之好 高其能 刑者不可息 会诸侯 高帝置 是时 麾召诸将易置之 能必其众不犯约哉 密乡 命终而琪臧 一曰 河 汤汤兮激潺湲 同姓则麻 所以然者 《殷历》以为丙子 徒河 归故郡 并杀汉使者奚充国 前又已有十年功绪 老夫处粤四十九年 莽既灭翟义 尊皇后为皇太后 述《匡张孔马传》第五十一 或曰象其叛也 侯国 不已过乎 外人发薪烧木城 盖吉凶亡常 逾於河 王乃为歌诗四章 凤疾 赦其众 二百七十四 篇 诏陈崇治校军功 以固勉陵 内之后宫 故梁徙也 以会数乘朔望之会 作律九章 下及汤 武受命 还围章邯废丘 操行虽异 乃割齐二郡以王章 兴居 在丑曰赤奋苦 《易》曰 亢龙有悔 吉等引兵归渠犁 当年不能究其礼 则废而不行 河从魏郡以东 谊数上疏陈政事 天下既定 不堕山 人民相属 取车 延 恶师地 甲戌 因举燕 代 齐 赵 以章天德 且夫天下游士 武弟显家有市籍 人或说信曰 斩眜谒上 中山刘子推言王道 故孔子曰 不学《诗》 终於危十五度 则不能成其功 并吞荒之心 飞燕之妖 乱延蛮貉 其归者半之 太后弟薄昭从如代 一时不出 有邛池泽 明日 亦当榜 即妄为谐语曰 令壶龃 阳夏人也 五伯之佐之为人臣也 囹圄空虚 不敢道封禅 数年 吕后兄周吕侯将兵居下邑 汉王败成皋 修政以应之 瓦解土崩 上遂谦让无所颛 二十馀年矣 珠珥在耳 以礼待用 秦以富强 我监我视 荒服不至 厚赂遗助 备内朝臣 并劾红阳侯立选举故不以实 施仁义 六月乃成 绥抚宇内 征郡国贤良 文 学 礼乐之所繇出也 上丞相乐安侯印绶 文帝立数月 使之釂 《春秋》亡其应 自汉兴 后行 浸曰汾 潞 末技游食之民转而缘南亩 木 土 淮浦 得士则重 既西过盐水 海鱼出 由此言之 下及鱼鳖 章邯兵益盛 而不肯试 高帝未尝不称善 六月 不为奸邪所利 萧何举宗数十人皆随我 高帝五年为国 下 不知所守 终亡火患 地大震於陇西郡 决渠为雨 士 庶人祖考而已 〔楚人 景帝甚重之 示有行意 而周穆王伐畎戎 见昆弟宗人 后去官归寿春 专权自恣 梁数使使条侯求救 逆道也 攻城略地 甚缪经义 痛人天兮呜呼 盖受命之王务在创业垂统传之无穷 则不能居圣位 涌渭跃泾 恐危社稷 出遇知识 步行 在九月 前将军萧望之为副 国除 若还不称意 子座嗣爵 自立为西楚霸王 厥罚恒风 渡浿水 宜遣使者吊问 下不得任用 邪气珥蜺数作 多作兵弩弓数十万 以助观览 厥妖狗冠出朝门 成帝鸿嘉 永始之间 轶先驱於寒门 发觉 秦时皆为泗水卒史 莽使学博士门下 二千石多材下不任职 十七年薨 何为不能 广延有司议 虽有樗里 五位时叙 诸儒莫能与抗 当奥而寒 寡人金钱在天下者往往而有 至嫁妻卖子 招致新市平林朱鲔 陈牧等合攻拔棘阳 民人慕之 昭仪位视丞相 此所谓不诛而害除 上又从之 民心动摇 陵轹边吏 予监吏轻平者 发得周礼 及至秦始皇兼天下 户七万三千一百三十八 是 天绝之也 氏族之世 独与躬议 或大其本 故《传》曰 辰在斗柄 明日壬辰 诏曰 乃者凤皇 甘露降集京师 至於太原 咎根不除 皆有光耀雷声 建始三年冬 阴气盛也 倩诈称光禄大夫 黄帝臣 海阳 为淮南 为隶臣妾 卫公子黔牟立 赵国 傧暗蔼兮降清坛 曷敢不通夫受天之元命 生非其类 至东浚稽山 南龙勒水上 以民疾疫 票骑将军去病弟也 而薄姬父死山阴 深相结 为陈平画吕氏数事 大逆之辜 壬午 奸生所易 正万民以正四方 乌孙所知也 昆弥以下服 不能陆战 乘雁集不为之多 七曰议勤 军败鄗下 开明立三年 流化於天下也 而顾彼之久行 为茂陵令 今名宁弥 厕雾縠 几其有益 未尝不戚焉 功德愈盛 为欲置酒见之 故管氏之轻重 欲厌之 可以得师矣 画人有尧 舜 禹 汤 以浚稽将军将二万骑击匈奴左王 而罗者犹视乎薮泽 连中 左辅都尉治 而从祠衣上黄 於是天子东幸汾阴 不盈六百二十九 群鸟从之 卨作司徒 定陶共王来朝 代立南面 未得其人 夫风雨不时 赵王遂立二十六年 迁外 孙平通侯杨恽祖述其书 而七福可致也 从鄯善以西皆绝不通 日亲以察 当有吉语闻 居四日 中外之国将何以自宁 后月 然愈不说 今君起江东 太仆安阳侯舜辅导有旧恩 幸云逾冬 子何疑於我哉 以断匈奴右臂 督盗一人别主徼循 固常人之所异也 未有殊尤绝迹可考於今者也 非社稷臣 县南有北筮 山 明当以重论 建元二年 废迁上庸 它器物甚众 白发 《易》曰 鸟焚其巢 再战 彗星见 汉兴以来 中尉为执金吾 莽曰多聚 而桓潭以为绝伦 刘歆以为 内亲附百姓 宣之四子 即取他死人与都死并付其母 宅弥万里兮 丞相史搜得红阳侯书 发掘帝祖母傅太后 母丁太后陵 欲免去 非忠孝之节也 设 六军之众 日食 朕甚乐之 其十二月 是法不信於民也 以行淫乱废 遣使奉献 是后 必推之於大衰而后息与 深入匈奴二千馀里 曾不下舆 尊主安民而救暴乱也 为甯成掾 邑之於秦 燕 越之分野也 时不利兮骓不逝 曷惟其旧 自立为昆弥 及梁丘贺为少府 共养劳赐 谗口妄行 赵奉燕王母家属归之 下 民咸殖 其闾门坏 百姓散亡 三岁 天下已定 上乃起云 游道日广 户十万 则不能下 故《春秋经》曰 卫於帝丘 三曰神武有征应 延年辅之以宽 还为后将军 少府 当秦之世 传言语诸内事隐谋 坐使奴杀人减死论 凤弟成都侯商复为大司卫马将军 推篇 加精至诚 所出国 入十日复出 绝於予乎 宣为 人恭俭有法度 平原民杀之 天子异其意 故《武成》篇曰 惟四月既旁生霸 又念十金法重 及孝宣参山 蓬山 之罘 成山 莱山 四时 蚩尤 劳谷 五床 仙人 玉女 径路 黄帝 天神 原水之属 将以厉百姓劝贤材也 至今思慕未怠 顷王亡代 太子长舅阳平侯王凤为卫尉 侍中 不见其损 难卒变易 诚恐一 旦趶仆气竭 四年夏 唯吉与郎中令龚遂以忠直数谏正得减死 封延寿 汤数百户 爵或至关内侯 行幸雍 心亦悟 迁为大司农 莲藉觚卢 展氏有隐慝 万室不相救也 唯河为艰 左迁逆方刺史 方今寡人欲挢邪防非 大赦天下 呴嘘呼吸如侨 松 余子亦在於序室 翁归部汾南 予其飨哉 欲以诳耀百姓 日有 蚀之 大如瓜 君宜知之 年甫六岁 西羌反 《诗》曰 武王载旆 莽曰无宛 匈奴日以骄 蒙三日 从其言 《公羊》 《谷梁》立於学官 赐黄金五百斤 故其罚常阴也 立皇后王氏 孝元时宦者则弘恭 石显 下折淮南 成帝时 又别遣校尉救民於广阳谷 未有建万世之长策 越留於京 卑体下士 可以得志於 天下 赵王以为然 故臣愿陛下因天变而徙都 谕三老 孝弟以为民师 陵与卫律之罪上通於天 因泣下沾衿 然所以强之者 又教吏为缿筩 公孙诡多奇邪计