12-04-28高二数学(理)《数学归纳法证明不等式》(课件)

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数学归纳法证明不等式课件

例1、用数学归纳法证明：当n∈N+时，－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n （*）
证明: (1)当n=1时,左边=－1,右边=－1, ∴左边=右边, ∴ 当n=1时，式（*）成立 (2)假设当n=k时，式（*）成立，即－1+3－5＋ …＋（－1）k（2k－1）＝（－1）k k 在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边
练习巩固
1.用数学归纳法证明：
n 1n 2n n 2 1 3 2n 1, n N
n
在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是
2
2.如下用数学归纳法证明对吗？
1 证明：①当n=1时，左边＝ 2 等式成立。
1 1 1 1 1 n ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n 1 - ( ) 2 2 2 2 21
3
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
1 k (k 1)( k 2) 3
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
1 k ( k 1)( k 2) ( k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
定理（贝努利不等式）对任何实数x 1和任何正整数n，有(1 x) 1 nx
n
I
1当n=1时，不等式 I 显然成立 k 2 假设当n=k时，不等式 I 成立,即有(1 x) 1 kx
因为x -1，所以1+x 0.上式两边同乘(1+x)，得 (1 x)k 1 1 kx (1 x) 1 k 1 x kx2 1 k 1 x

高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课件新人教A版选修4_5

(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明．
(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后再用数学归纳法证明．
根据(1)和(2)可知对任何 n∈N＋， n2＋n＜n＋1 都成立．
则对上述证法的说法中： (1)过程全部正确．( ) (2)n＝1 验证不正确．( ) (3)归纳假设不正确．( ) (4)从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确．( )
解析：在证明n＝k＋1时没有用到归纳假设故(4)正确，(1)、(2)、(3)不正确．
时，应推证的目标不等式是_______________________．
解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1即可．
答案：
1 22
＋
1 32
＋…＋
1 （k＋1）2
＋
1 （k＋2）2
＞
1 2
－
1 k＋3
5．证明n＋2 2<1＋12＋13＋…＋21n<n＋1(n>1)，当n＝ 2时，要证明的式子为____________________．
[变式训练]
若不等式
1 n＋1
＋
1 n＋2
＋
1 n＋3
＋…＋
1 3n＋1
＞
a 24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大
值，并证明你的结论．
解：当n＝1时，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＞2a4，
则2264＞2a4，所以a＜26.
又a∈N＋，所以取a＝25.
下面用数学归纳法证明
1 n＋1
＋
答案：B
3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整

第四讲数学归纳法证明不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立．故 xn＜ c对任意 n≥1 成立．因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4
b1 b2 2 bk
bk 1
a
… a k a k 1 ≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
故当 n＝k＋1 时，③成立．由(1)(2)可知，对一切正整数 n，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对 n≥2 成立，则后续证明中不需讨论 n＝1 的情况．
不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论
2 解： (1)先证充分性， c＜0，若由于 xn＋1＝－xn＋xn＋c≤xn
＋c＜xn，故{xn}是递减数列；再证必要性，若{xn}是递减数列，则由 x2＜x1，可得 c ＜0.
(2)(i)假设{xn}是递增数列．由 x1＝0，得 x2＝c，x3＝－ c2＋2c. 由 x1＜x2＜x3，得 0＜c＜1. 由 xn＜xn＋1＝－x2 ＋xn＋c 知， n 对任意 n≥1 都有 xn＜ c，注意到 c－xn＋1＝x2 －xn－c＋ c＝(1－ c－xn)( c－xn)，② n 由①式和②式可得 1－ c－xn＞0，即 xn＜1－ c. 由②式和 xn≥0 还可得，对任意 n≥1 都有 c－xn＋1≤(1－ c)( c－xn)． ③ ①

用数学归纳法证明不等式举例-课件PPT

当n＝k＋1时， S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋2k 2k＝1＋2k＋12＝1＋k＋2 1. 故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)、(2)知，对n∈N*，n≥2，S2n>1＋n2都成立．
所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．
服/务/教/师免/费·选修4-5]
1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1) 太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．
数学归纳法证明不等式
已知Sn＝1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 n
(n>1，n∈N*)，求证：
S2n>1＋n2(n≥2，n∈N*)．【思路探究】先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳
法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．
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数学[新课标·选修4-5]
【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列 12，1，32，2，…，通项公式为an＝n2，
∴猜想：f(2n－1)>n2. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>12，不等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
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高中数学第四讲数学归纳法证明不等式2用数学归纳法证明不等式举例课件新人教A版选修4-5

阶
阶
段
段
一
三
二用数学归纳法证明不等式举例
学
阶段二
业分层测
评
1．会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点) 2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)
[基础·初探] 教材整理用数学归纳法证明不等式阅读教材P50～P53，完成下列问题． 1．贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx . 2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．
[小组合作型] 数学归纳法证明不等式
已知Sn＝1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 n
(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋
n 2Βιβλιοθήκη (n≥2，n∈N＋).
【导学号：32750068】【精彩点拨】先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注
意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．
1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是( ) A．已知⇒结论 B．结论⇒已知 C．直接证明比较困难 D．与正整数有关【解析】数学归纳法证明的是与正整数有关的命题．故应选D.
【答案】 D
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

不等式归纳法推理证明基本不等式课件文ppt

不等式的判别
对于一个具体的不等式，需要根据其特征进行判别，以确定其类型和证明方法。
不等式的证明方法
不等式的证明方法
不等式的证明方法包括比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等。
基本不等式的证明
基本不等式是证明其他不等式的基础，其证明方法包括利用导数或积分进行放缩、利用琴生不等式进行放缩等。
03
利用数学归纳法证明基本不等式
数学归纳法是证明不等式的常用方法之一，证明基本不等式也可以使用该方法。具体步骤包括奠基步骤和归纳步骤。
04
不等式归纳法推理证明基本不等式
不等式归纳法证明基本不等式的思路
通过对已知数据的观察、分析，寻找规律，提出猜想，并用数学归纳法证明猜想的正确性
将n个不等式转化为(n+1)个不等式
课程内容
1
介绍不等式归纳法的定义、性质和证明方法。
2
通过实例详解，使学生掌握不等式归纳法的证明步骤和技巧。
3
针对常见题型，进行归纳总结，帮助学生掌握常见问题的解决方法。
课程目标
理解不等式归纳法的概念、性质和证明方法。
理解常见题型及其解决方法，提高解题能力和数学素养。
掌握不等式归纳法的证明步骤和技巧，并能灵活运用到实际问题中。
不等式归纳法推理证明基本不等式课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 不等式归纳法 • 基本不等式 • 不等式归纳法推理证明基本不等式 • 结论与展望
01
引言
课程背景
学生在学习不等式性质时，已经了解了不等式的概念、性质、判定方法等相关基础知识。
学生在学习归纳法证明时，已经掌握了归纳法的基本思想、步骤和证明方法。

高中数学第四讲数学归纳法证明不等式 2 用数学归纳

只须证
Байду номын сангаас
k＋
1 k＋1k＋2<
k＋1即可
由于
k＋1－
k>
1 k＋1k＋2
⇔
1 k＋1＋
> k
1 k＋1k＋2
⇔ k＋1k＋2> k＋1＋ k
⇔ k＋1( k＋2－1)> k，
∴对 k≥2 成立，即当 n＝k＋1 时，不等式成立．
由(1)(2)知，不等式对 n∈N*都成立．
课堂学案
数学归纳法证明不等式
设 n>1(n∈N)，证明：1n＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12>1. [思路点拨] 用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧，变换出要证明的目标不等式．
[解题过程] (1)当 n＝2 时，左边＝21＋31＋41＝1132>1. ∴n＝2 时不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，且 k∈N)时，不等式成立．即 1k＋k＋1 1＋k＋1 2＋…＋k12>1，那么当 n＝k＋1 时，
解析：由贝努利不等式
∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)， ∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，
故A正确．
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥0－0.1n，B正确，C不正确．
答案： C
3．用数学归纳法证明不等式n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n＋1 n>1234的
过程，由 n＝k 推导 n＝k＋1 时，不等式的左边增加的式子是
∵k≥2.∴k－212≥64.
∴k2－k－1＝k－212－45≥41>0. ∴k＋1 1＋k＋11＋1＋…＋k＋112>1. ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对一切的 n≥2，且 n∈N，此不等式都成立．

高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法课件新人教A版选修4

用数学归纳法证明几何命题平面上有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成了 f(n) ＝n2－n＋2 部分．
【证明】 ①当 n＝1 时，一个圆把平面分成两部分，且 f(1) ＝1－1＋2＝2，因此，n＝1 时命题成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝k2－k＋2 部分．如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前 k 个圆交于 2k 个点．这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了 2k 部分，即有 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即当 n＝k＋1 时，f(n)＝n2－n＋2 也成立．根据①②可知 n 个圆把平面分成了 f(n)＝n2－n＋212＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2，即当 n＝k＋1 时等式也成立．由(1)和(2)知，等式对一切 n≥1，n∈N＋均成立．
(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋ 2)2(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.
用数学归纳法证明整除问题的关键点 (1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证． (2)与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从 n＝k＋1 时的表达式中分解出 n＝k 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．

高中数学第四章用数学归纳法证明不等式课件新人教A版选修4 5

+��3.
知识网络构建专题归纳整合
专题一
专题二
(2)猜想
an=��1��(xn-1+xn-2y+xn-3y2+…+xyn-2+yn-1)=��1��
×
��-1 1-�� 1-��
(2)假设 n=k(k∈N+)时,原不等式成立,即有
1 1·2
+
21·3+…+
1 ��·(��+1)
<
��.
知识网络构建专题归纳整合
专题一
专题二
当 n=k+1 时,
1 1·2
+
21·3+…+
1 ��·(��+1)
+
1 (��+2)(��+1)
知识网络构建专题归纳整合
数学归纳法原理整除问题
数学归纳法数学归纳法的应用恒等式问题几何问题证明不等式
知识网络构建专题归纳整合
专题一
专题二
专题一归纳—猜想—证明
不完全归纳的作用在于发现规律、探求结论,但结论是否为真,有待证明,因此数学中我们常用“归纳—猜想—证明”的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题.
②假设 n=k 时,ak=��(��-x��-��y��)成立.
当
n=k+1
时,ak+1=1+��

2020版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课件新人教A版选修4_5

知识梳理
重难聚焦
典例透析
(2)证明：用数学归纳法证明
当n=3时,a3=a1+2,等式成立. 假设当n=k(k≥3)时,等式成立,即ak=ak-2+2. 因为ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2),ak=ak-2+2≠0, 所以ak+1=ak-1+2. 这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
综上可知,对所有n≥3,n∈N+,有an=an-2+2, 即an=an-2+2,n=3,4,5,….
典例透析
题型三利用数学归纳法解决几何中的有关问题
【例3】平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+).
分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后, 平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明就很容易解决了.
变式训练1】求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除. 分析：本题是与正整数有关的命题,直接分解出因式(x+y)有困难,故可考虑用数学归纳法证明. 证明：(1)当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,x2k-y2k能被x+y整除, 那么当n=k+1时,x2k+2-y2k+2
答案：D
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2012年上学期
例4.证明如果n(n为正整数)个正数
a1, a2, ……, an的乘积a1a2……an=1, 那
么它们的和a1+a2+……+an≥n
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2012年上学期
运用1.(2001.全国改编)已知m、n
是正整数, 且1<m<n.
求证:(1+m)n>(1+n)m
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2012年上学期
运用2. (2007.湖北)已知m、n为正整数。 (1)用数学归纳法证明：当x>-1时,
(1+x)m≥1+mx
(2)对于n≥6, 已知
(1 m
n
(1
1 n 3
)
n
1ห้องสมุดไป่ตู้
) ( ) , ( m 1,2, , n) n 3 2
m
1
2
数学归纳法证明不等式
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数学归纳法的步骤及常用思路
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例1. 猜想n2与2n的大小关系(n∈N*), 并证明你的结论。
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例2.证明不等式|sinnθ|≤n|sinθ| (n∈N*)
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2012年上学期
例3.证明贝努利不等式：
如果x是实数, 且x>-1, n为大于1的自然数, 那么有(1+x)n≥1+nx
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2012年上学期
贝努利不等式的一般形式
①当α是实数, 且α>1或α<0, 有(1+x)α
≥1+αx(x>-1) ②当α是实数, 且0<α<1, 有(1+x)α ≤1+αx(x>-1)
, 求证:
(3)求出满足等式3n+4n+……+(n+2)n
=(n+3)n的所有正整数n.
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《考一本》P45-P47
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2012年上学期