高二精选题库数学 课堂训练_1-2北师大版

第1章第2节
时间：45分钟满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1. [2011·天津]设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：x≥2，y≥2⇒x2≥4，y2≥4⇒x2＋y2≥8>4，
又当x2＋y2≥4时，推不出x≥2，y≥2，
例如x＝0，y＝－2.
故x≥2，y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件，故选A.
2. [2012·浙江省台州市调研]有关下列命题，其中说法错误的是()
A. 命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B. “x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件
C. 若p∧q是假命题，则p，q都是假命题
D. 命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0
答案：C
解析：选项A根据逆否命题的写法，是正确的；选项B“x2－3x－4＝0”不能推出“x ＝4”，但是“x＝4”能推出“x2－3x－4＝0”所以B正确；选项C中若p∧q是假命题，只需要其中一个是假命题即可，故选项C错误．根据特称命题与全称命题的否定，选项D正确．
3. [2012·郑州四中第一次调考]命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()
A. 若q不正确，则p不正确
B. 若q不正确，则p正确
C. 若p正确，则q不正确
D. 若p正确，则q正确
答案：D
解析：互为逆否的命题相互等价．
4. [2012·东莞一模]已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈(0，π
2)，cos x <1，
则下列命题为真命题的是( )
A. p ∧q
B. p ∨(綈q )
C. (綈p )∧q
D. p ∧(綈q )
答案：C
解析：在x ∈(－∞，0)上，y ＝2x 的图象恒在y ＝3x 的上方，所以不存在这样的x 使得2x <3x 成立，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选C.
5. 已知p ：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则p 的一个充分不必要条件是( )
A. a <0
B. a >0
C. a <－1
D. a <1
答案：C
解析：“一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根”⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
22
－4a >01a <0⇔
a <0，因为{a |a <0} {a |a <－1}，所以p 的一个充分不必要条件是a <－1，故选C.
6. [原创题]已知条件p ：4
x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条
件是綈p ，则a 的取值范围是( )
A. [－2，－1
2]
B. [1
2
，2] C. [－1,2] D. (－2，1
2
]∪[2，＋∞)
答案：C
解析：由4x －1≤－1，即4
x －1＋1≤0，
化简，得x ＋3
x －1≤0，解得－3≤x <1；
由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0，
由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，
即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集． 设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－3)＝－a 2
＋a ＋6>0f (1)＝－a 2
＋a ＋2≥0， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－2<a <3－1≤a ≤2， ∴－1≤a ≤2，故选C.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. [变式题]对于集合A ，B 及元素x ，若A ⊆B ，则x ∈B 是x ∈A ∪B 的________．(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)
答案：充要条件
解析：根据并集的概念，由x ∈B 显然可得x ∈A ∪B ；反之，由于A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，所以由x ∈A ∪B 也可以得到x ∈B .故x ∈B 是x ∈A ∪B 的充要条件．
8．已知命题p ：|2x －3|>1，命题q ：log 1
2(x 2＋x －5)<0，则綈p 是綈q 的________(填充
分不必要条件、必要不充分条件、充要条件)．
答案：充分不必要条件
解析：p ：{x |x >2或x <1}，由x 2＋x －5>1得x >2或x <－3，∴q ：{x |x >2或x <－3}． 易知q ⇒p ，但p
q ，即綈p ⇒綈q ，綈q
綈p .故填充分不必要条件．
9. [2012·山东济宁模拟]给出下列结论：
①命题p ：a >2
3时，函数y ＝(3a －1)x 在(－∞，＋∞)上是增函数；命题q ：n ∈N *时，函
数y ＝x n 在(－∞，＋∞)上是增函数，则命题p ∧q 是真命题；
②命题：“若lg x >lg y ，则x >y ”的逆命题是真命题；
③已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，“若l 1⊥l 2，则a
b ＝－3”是假命题；
④设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线．“若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β”是假命题．其中正确结论的序号是__________．(把你认为正确结论的序号都填上)．
答案：③④
解析：对于①，由a >2
3，得3a －1>1，即命题p 正确；当n 取偶数时，函数y ＝x n 在(－
∞，＋∞)上不是增函数，即命题q 不正确，命题p ∧q 是假命题．
对于②，该命题的逆命题是“若x >y ，则lg x >lg y ”，显然是假命题．
对于③，当a ＝b ＝0时，l 1⊥l 2，这与a
b ＝－3相矛盾．
④显然是假命题，故③④的判断是正确的． 三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解：解法一：写出逆否命题进行判断． 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：
∵x 2＋x －a ＝0无实根， ∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－1
4
<0，
∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．
解法二：利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断． ∵a ≥0，∴4a ≥0，∴4a ＋1>0，
∴方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1>0， ∴方程x 2＋x －a ＝0有实根．
故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真． 又因原命题与其逆否命题等价，
所以“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真． 11．已知命题p ：A ＝{x |a －1<x <a ＋1}， 命题q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3≥0}， 若綈q 是p 的必要条件，求实数a . 解：由题意B ＝{x |x ≥3或x ≤1}， ∴綈q ：{x |1<x <3}，
∵綈q 是p 的必要条件即p ⇒綈q ， ∴A ⊆∁R B ＝(1,3)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋1≤3a －1≥1，∴a ＝2. 12. [2012·济宁市第一中学第一次质量检测]已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |
x －2x －(3a ＋1)<0}，B ＝{x |x －a 2－2
x －a
<0}．
(1)当a ＝1
2
时，求(∁U B )∩A ；
(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <9
4}，
∴∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥9
4}，
∴(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <5
2
}．
(2)由若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . ∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．
当3a ＋1>2，即a >1
3
时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，
解得13<a ≤3－52；
当3a ＋1＝2，即a ＝1
3时，A ＝Ø，不符合题意，舍去；
当3a ＋1<2，即a <1
3
时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，
⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13.
综上所述，a 的取值范围是[－12，13)∪(13，3－5
2
]．。