【精编】2016-2017年内蒙古呼和浩特市实验教育集团九年级(上)数学期中试卷和参考答案

2016-2017学年内蒙古呼和浩特市实验教育集团九年级（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程有（）①x2=0；②ax2+bx+c=0；③x2﹣3=x；④a2+a﹣x=0；⑤（m﹣1）x2+4x+=0；⑥+=；⑦=2；⑧（x+1）2=x2﹣9．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，则a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．03．（3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=04．（3分）已知二次函数y=x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）5．（3分）已知抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点为P，与x轴的两个交点为A，B，那么△ABP的面积等于（）A．16 B．8 C．6 D．46．（3分）如果抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，那么此抛物线经过（）A．第一、二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限7．（3分）2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=1488．（3分）已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y29．（3分）抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2+x﹣3关于x轴对称，则此抛物线的解析式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣310．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0，②b ＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正确的是（）A．②④⑤B．①②④C．①③④D．①③④⑤二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+1=0有实数解，则m需满足．12．（3分）若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，则+的值为．13．（3分）根据下列表中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为．14．（3分）将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为．15．（3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过两点（﹣1，0）和（0，﹣1），则化简代数式+=．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正确结论有．（填序号）三、解答题（共72分）17．（15分）解下列方程（1）x2﹣4x﹣3=0；（2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）；（3）y4﹣3y2﹣4=0．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．19．（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？20．（7分）已知抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）请说明此抛物线与x轴的交点情况；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．21．（9分）阅读理解题：我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通过因式分解将方程化为x（x﹣1）=0，从而得到x=0或x﹣2两个一元一次方程，通过解这两个一元一次方程，求得原方程的解．（1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0；（2）利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+5＞0．22．（9分）某公司投资建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？23．（8分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？24．（12分）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年内蒙古呼和浩特市实验教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程有（）①x2=0；②ax2+bx+c=0；③x2﹣3=x；④a2+a﹣x=0；⑤（m﹣1）x2+4x+=0；⑥+=；⑦=2；⑧（x+1）2=x2﹣9．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①x2=0；③x2﹣3=x是关于x的一元二次方程，共2个，故选：A．2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，则a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．0【解答】解：把x=0代入方程得：a2﹣1=0，解得：a=±1，∵（a﹣1）x2+ax+a2﹣1=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1，故选：B．3．（3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=0【解答】解：A、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，则方程没有实数根，故本选项错误；B、△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，则方程有两个不相等的实数根，故本选项正确；C、△=（﹣6）2﹣4×1×9=0，则方程有两个相等的实数根，故本选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，则方程没有实数根，故本选项错误．故选：B．4．（3分）已知二次函数y=x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）【解答】解：y=x2﹣4x+5，=x2﹣4x+4+1，=（x﹣2）2+1，所以，顶点坐标为（2，1）．故选：B．5．（3分）已知抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点为P，与x轴的两个交点为A，B，那么△ABP的面积等于（）A．16 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）0=﹣（x﹣1）2+4，∴x1=﹣1，x2=3，与x轴的两个交点为A，B（3，0），（﹣1，0），∴AB=4，P到AB的距离为：4，=×4×4=8，∴S△ABP故选：B．6．（3分）如果抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，那么此抛物线经过（）A．第一、二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，∴，解得，；∴该抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣4x﹣2=﹣（x+2）2﹣2，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，2），与y轴的交点是（0，﹣2），∴该抛物线经过第二、三、四象限．故选：D．7．（3分）2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148【解答】解：当商品第一次降价a%时，其售价为200﹣200a%=200（1﹣a%）．当商品第二次降价a%后，其售价为200（1﹣a%）﹣200（1﹣a%）a%=200（1﹣a%）2．∴200（1﹣a%）2=148．故选：B．8．（3分）已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【解答】解：∵抛物线y=x2+2x，∴x=﹣1，而A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y2＜y1＜y3．9．（3分）抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2+x﹣3关于x轴对称，则此抛物线的解析式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣3【解答】解：∵抛物线y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣的顶点坐标为（﹣，），∴它关于x轴对称的顶点坐标是（，），∴此抛物线的解析式为y=2（x﹣）2﹣=﹣2x2﹣x+3．故选：A．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0，②b ＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正确的是（）A．②④⑤B．①②④C．①③④D．①③④⑤【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣b，代入得9（﹣b）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．故①③④正确．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+1=0有实数解，则m需满足m≤1．【解答】解：∵方程mx2﹣2x+1=0有实数解，∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m≥0，解得：m≤1．故答案为：m≤1．12．（3分）若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，则+的值为6．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，∴x1+x2=4，x1•x2=2，∴+====6．故答案为：6．13．（3分）根据下列表中的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为 2.3＜x ＜2.4．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.11与y=0.56之间，对应的x的值在2.3与2.4之间，即2.3＜x＜2.4．故答案为2.3＜x＜2.4．14．（3分）将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为y=x2+4x+3．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=x2﹣2的图象向左平移2个单位得到y=（x+2）2﹣2，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=（x+2）2﹣2的图象向上平移1个单位可得到函数y=（x+2）2﹣2+1，即y=x2+4x+3．故答案为：y=x2+4x+3．15．（3分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过两点（﹣1，0）和（0，﹣1），则化简代数式+=．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象经过两点（﹣1，0）和（0，﹣1），∴，整理可得a=b+1，∵对称轴在y轴的右侧，抛物线开口向上，∴﹣＞0，且a＞0，∴b＜0，∴0＜a＜1，∴a＜，∴+=+=﹣a+a+=，故答案为：．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正确结论有①②③．（填序号）【解答】解：①由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），4a﹣2b+c=0，故①正确；②因为图象与x轴两交点为（﹣2，0），（x 1，0），且1＜x1＜2，对称轴x==﹣，则对称轴﹣＜﹣＜0，且a＜0，∴a＜b＜0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故②正确；③设x2=﹣2，则x1x2=，而1＜x1＜2，∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜＜﹣2，∴2a+c＞0，4a+c＜0，故③正确；④c＜2，4a﹣2b+c=0，4a﹣2b+2＞0，2a﹣b+1＞0，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题（共72分）17．（15分）解下列方程（1）x2﹣4x﹣3=0；（2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）；（3）y4﹣3y2﹣4=0．【解答】解：（1）x2﹣4x=3，x2﹣4x+4=7，（x﹣2）2=7，x﹣2=±，x=±+2，x1=+2，x2=﹣+2；（2）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0；x﹣1=0或3x﹣2=0，x1=1，x2=；（3）（y2﹣4）（y2+1）=0，y2﹣4=0，y2+1=0，y2=4或y2=﹣1（舍去），∴y1=2，y2=﹣2．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．【解答】解：（1）证明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1）=16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0，∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵，即=﹣，∴由根与系数的关系可得=﹣，解得m=﹣，经检验得出m=﹣是原方程的根，即m的值为﹣．19．（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．20．（7分）已知抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）请说明此抛物线与x轴的交点情况；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．【解答】解：（1）△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4×（m2﹣m）=4m2﹣4m+1﹣4m2+4m=1＞0，所以抛物线与x轴有两个不相同的交点；（2）当x=0时，可得m2﹣m=﹣3m+4，整理得，m2+2m﹣4=0，解得，m1=﹣1，m2=﹣1﹣．21．（9分）阅读理解题：我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通过因式分解将方程化为x（x﹣1）=0，从而得到x=0或x﹣2两个一元一次方程，通过解这两个一元一次方程，求得原方程的解．（1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0；（2）利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+5＞0．【解答】解：（1）2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0可化为（x﹣1）（2x﹣3）＜0，∴①或②，解①得1＜x＜，解②得＜1且x＞（此不等式组无解），∴原不等式的解集为1＜x＜；（2）设y=x2+6x+5，当y=0即x2+6x+5=0时，可求得x=﹣5或x=﹣1，即y=x2+6x+5与x轴的交点坐标为（﹣5，0）和（﹣1，0），且开口向上，∴原不等式的解集为x＜﹣5或x＞﹣1．22．（9分）某公司投资建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？【解答】解：（1）∵（130000﹣100000）÷5000=6，∴能租出30﹣6=24（间）．（2）设每间商铺年租金增加x万元所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5=275，解得x1=5，x2=0.5，∴每间商铺的年租金为10.5万元或15万元∴若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为10.5万元时，该公司的年收益为275万元．23．（8分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【解答】解：（1）∵点C到ED的距离是11米，∴OC=11，设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B（8，8），∴64a+11=8，解得a=﹣，∴y=﹣x2+11；（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为11﹣5=6（米），∴6=﹣（t﹣19）2+8，∴（t﹣19）2=256，∴t﹣19=±16，解得t1=35，t2=3，∴35﹣3=32（小时）．答：需32小时禁止船只通行．24．（12分）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB=1．∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，∴C（0，﹣3）．∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：，解得：a=，C=﹣3，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．（2）如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵x=﹣==﹣，B（1，0），∴A（﹣4，0）．∴AB=5．∴S=AB•OC=×5×3=7.5．△ABC设AC的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得：k=﹣，b=﹣3，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设D（a，a2+a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．∵DE=﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）=﹣（a+2）2+3，∴当a=﹣2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积=DE•AO=×3×4=6．∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．（3）存在．①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3=﹣3，∴x1=0，x2=﹣3．∴P1（﹣3，﹣3）．②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C（0，﹣3），∴P2，P3的纵坐标均为3．令y=3得：x2+x﹣3=3，解得；x1=，x2=．∴P2（，3），P3（，3）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。