《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）
一、填空题（每小题4分）
1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中，
M
dxdy D
=⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩
M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力
的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
0,=+i j ij X σ ，)(2
1,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）
1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图
（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=
)(),(),(3
3223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x
3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试
求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图
设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。由q E
)1(1με
-=得， )1(2
22
2
με-+=+=∆E
b a q b a l
设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：
l P S q ∆⋅=∆⋅
将l ∆代入得：
221b a P E
S +-=
∆μ
显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。 ★★★4．图示曲杆，在b r =边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。试写出其边界条件（除固
定端外）。
题二（4）图
（1）0 ,====b
r r b
r r q θτσ； （2）0 ,0====a
r r a r r
θ
τσ
★★★（3） sin cos θτθσθθP dr P dr b
a
r b a
=-=⎰⎰
2
cos b a P rdr b
a
+-=⎰θ
σθ
5．试简述拉甫（Love ）位移函数法、伽辽金（Galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自
的适用性
Love 、Galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：
（1）变求多个位移函数),(),,(),,(y x w y x v y x u 或),(),,(θθθr u r u r 为求一些特殊函数，如调和函数、重调
和函数。
（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。
适用性：Love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。
三、计算题
1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。
试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 θ
θϕB A +=2sin ）
（13分）
题三（1）图
解：d 很小，Pd
M
=∴，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。
将应力函数),(θϕr 代入，可求得应力分量：
θθϕϕσ2sin 4112222A r r r r r -=∂∂+∂∂=
； 022=∂∂=r
ϕσθ；
)2cos 2(112B A r
r r r +=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∂∂-=θθϕτθ
边界条件：
（1）0 ,00
==≠=≠=r r r θθ
θθτσ； 0 ,00
==≠=≠=r r r π
θθ
π
θθ
τσ
代入应力分量式，有
0)2(12
=+B A r 或 02=+B A （1） （2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：θτσr r ,，和M = Pd
由该脱离体的平衡，得
022
2=+⎰
-M d r r π
π
θθτ
将θτr 代入并积分，有
0)2cos 2(122
22
=++⎰-
M d r B A r π
π
θθ 02sin 2
2
=++-M B
A ππθ 得 0=+M
B π （2）
联立式（1）、（2）求得：
ππPd M B -=-=，π
2Pd A =
代入应力分量式，得
2
2sin 2r
Pd r θπσ-==；
0=
θσ；
22
sin 2r
Pd r θ
πτθ-=。
结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。 ★★★2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出
y xy στ,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。
（12分）
题三（2）图
解：（1）求横截面上正应力x σ
任意截面的弯矩为306x l q M -=，截面惯性矩为12
3h I =，由材料力学计算公式有
y x lh
q I My
x 3302-==
σ （1） （2）由平衡微分方程求xy τ、y σ
平衡微分方程：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂(3)
0(2) 0Y y x X y
x y yx xy
x σττσ 其中，
0,0==Y X 。将式（1）代入式（2），有
y x lh
q y xy 2
306=∂∂τ 积分上式，得
)(312
230x f y x lh
q xy +=
τ 利用边界条件：02
=±=h
y xy
τ，有
0)(4312230=+x f h x lh q 即 2
23
01
43)(h x lh q x f -=
)41(32
223
0h y x lh q xy -=
τ （4）
将式（4）代入式（3），有
0)41(62230=∂∂+-
y h y x lh q y σ 或 )41(6223
0h y x lh q y y --=∂∂σ
积分得
)()4133(622
3
0x f y h y x lh q y +--
=σ
利用边界条件：
x l
q h
y y
2
-
=-=σ，02
=+=h
y y σ
得：
⎪⎩⎪⎨⎧=+---=++--
0)()8124(6)()8124(6233
3002333
0x f h h x lh
q x l q x f h h x lh q
由第二式，得
x l
q x f 2)(0
2-
= 将其代入第一式，得
x l
q
x l q x l q 00022-=--
自然成立。 将
)(2x f 代入y σ的表达式，有
x l q
y h y x lh
q y 2)413(602330---=σ （5）
所求应力分量的结果：
y x lh
q I My
x 3302-==
σ )41(32
223
0h y x lh
q xy -=
τ （6） x l q
y h y x lh
q y 2)413(602330---=σ
校核梁端部的边界条件： （1）梁左端的边界（x = 0）：
022
=⎰-=h h x x
dy σ，022
=⎰-=h h x xy
dy τ 代入后可见：自然满足。
（2）梁右端的边界（x = l ）：
02223
3022=-=⎰
⎰
-=-=h
h l
x h h l
x x
dy y lh x q dy σ
2)4(3022
223
2022
l
q dy h y lh x q dy h h l
x h h l
x xy
=-=⎰
⎰
-=-=τ M
l q y lh l q dy y lh
x q ydy h
h h h l
x h
h l
x x
=-=-=-=--=-=⎰
⎰
6
3222022
3
33
0222
33
022
σ
可见，所有边界条件均满足。
检验应力分量y xy x στσ,,是否满足应力相容方程： 常体力下的应力相容方程为
0))(()(22222
=+∂∂+∂∂=+∇y x y x y x σσσσ 将应力分量y xy x στσ,,式（6）代入应力相容方程，有
xy lh q x y x 302212)(-=+∂∂σσ，xy lh q y y
x 3
02212)(-=+∂∂σσ 024))(()(3022222
≠-=+∂∂+∂∂=+∇xy lh q y x y x y x σσσσ
显然，应力分量y xy x στσ,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。
3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k 。梁受有均匀分
布载荷q 作用，如图所示。试：
（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数)(x w ；
（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。
（13分）
题二（3）图
解：两种形式的梁挠度试函数可取为
)()(23212 +++=x A x A A x x w —— 多项式函数形式
)2cos
1()(1∑=-=n
m m l
x
m A x w π —— 三角函数形式 此时有：
0)
()(0
23212=+++==x x A x A A x x w
0)
()(2)(0
3222321=++++++='=x x A A x x A x A A x x w
0)2cos
1()(0
1=-===∑x n
m m l x
m A x w π 02sin 2)(0
1
=='==∑x n
m m
l
x m m l A x w ππ
即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为
[]2
02
022)(21)(21l w k dx x qw dx dx w d EI Πl l +-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎰⎰ 取：21)
(x A x w =，有
12
22A dx
w d =，21)(l A l w = 代入总势能计算式，有
2
21012021)(2
1)2(21l A k dx A qx dx A EI Πl l +-=
⎰⎰ 4
21312
12
132l kA l qA EIlA +-
= 由0=Πδ，有
03
43
411=-
+l q l kA EIlA )
4(34
3
01kl EIl l q A += 代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为
2
4
30)
4(3)(x kl EIl l q x w += 4．已知受力物体内某一点的应力分量为：0=x
σ，MPa 2=y σ，MPa 1=z σ，MPa 1=xy τ，0=yz τ，
MPa
2=zx τ，试求经过该点的平面
1
3=++z y x 上的正应力。
（12分）
解：由平面方程13=++z y x ，得其法线方向单位矢量的方向余弦为
11
11
3112
2
2
=
++=
l ，11
31
3132
2
2
=
++=
m
，11
11
3112
2
2
=
++=
n
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=102021210ij σ， {}⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=131111n m l L
[][][][]111131102021210131111
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==L L T N
σσ
[]MPa 64.21129
111131375==⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧=
《弹性力学》课程考试试卷
学号： 姓名： 工程领域： 建筑与土木工程
题号 一 二 三 四 五 总分 得分
考试时间：120分钟 考试方式：开卷 任课教师：杨静 日期：20XX 年4月28日
一、简述题（40分） 1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。 2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 4. 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。 5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？
6. 试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性?
7.
试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）
)(22y x C x +=ε，2Cy y =ε，Cxy xy 2=γ。
8.
试写出应力边界条件： （1）（a ）图用极坐标形式写出；
O
P
α
2
h
x
（2）（b ）图用直角坐标形式写出。
（a ）图 （b ）图 二、计算题（15分）
已知受力物体中某点的应力分量为：0=x σ，a y 2=σ，a z =σ，a xy =τ ，0=yz τ，a zx 2=τ。试
求作用在过此点的平面13=++z y x 上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。
三、计算题（15分）
图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为h ，在左端面受力
P
作用。不计体力，试求梁的应力分量。（试取应力函数
Bxy Axy +=3ϕ）
四、计算题（15分）
图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（试取应力函数θ
θϕ
B A +=2sin ）
五、计算题（15分）
如图所示的悬臂梁，其跨度为l 。抗弯刚度为EI ，在自由端受集中力P 作用。试用最小势能原理求最大挠度。（设梁的挠度曲线)2cos
1(l
x
A w π-=）
x
P
O
l
h
y
x
P
r
θ
O
α
y
q
p
x
《弹性力学》试题（答题时间：120分钟）
班级 姓名 学号
题号 一 二
三 总 分 （1）
（2） （3） （4） 得分
一、填空题（每小题4分）
1．用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足： 。 2．弹性多连体问题的应力分量应满足 ， ， ， 。
3．拉甫（Love ）位移函数法适用 空间问题；伽辽金（Galerkin ）位移函数法适用于 空间问题。 4．圣维南原理的基本要点有 ， ， 。 5．有限差分法的基本思想为： ， 。 二、简述题（每小题5分）
1．试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。 2．试就下列公式说明下列问题：
（1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；
（2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。
[]
[]⎪⎩⎪⎨
⎧'+''=+-'='+'=+
)()(22)(Re 4)()(211111
z z z i z z z xy x y y x ψϕτσσϕϕϕσσ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+----=+-+--=∑∑=*=*m
k k k k m k k k k z z z Y X z z z z Y X z 1111
11)()ln()i (83)()()ln()i (81)(ψπμψϕπμϕ 式中：)(),(11z z ψϕ均为解析函数；)(),(11z z **ψϕ均为单值解析函数。 3．试列写图示半无限平面问题的边界条件。
θ
α
τ
τ
题二（3）图
4．图示弹性薄板，作用一对拉力P 。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量S ∆与板的形状无关，仅与材料的弹性模量E 、泊松比 μ 、两力P 作用点间的距离l 有关。
题二（4）图 5．下面给出平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。
),(22y x C x +=ε,2Cy y =εCxy xy 2=γ。
6．等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数),(y x ϕ应满足：
GK 22-=∇ϕ
式中：G 为剪切弹性模量；K 为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。
三、计算题
1． 图示无限大薄板，在夹角为90°的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q 。已知其应力函数为：
)2cos (2B A r +=θϕ
不计体力，试求其应力分量。 （13分）
题三（1）图
2．图示矩形截面杆，长为l ，截面高为h ，宽为单位1，受偏心拉力N ，偏心距为 e ，不计杆的体力。试用应力函数
2
3By Ay +=ϕ求杆的应力分量，并与材料力学结果比较。
（12分） θ
题三（2）图 3．图示简支梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，受有线性分布载荷q 作用。试求：
（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w ）近似函数的表达式；
（2）在上述梁挠度（w ）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz 法求梁挠度（w ）的近似解（取2项
待定系数）。 （13分）
题三（3）图
4．图示微小四面体OABC ，OA = OB = OC ，D 为AB 的中点。设O 点的应变张量为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=03.001.0001.002.0005.00005.001.0ij ε 试求D 点处单位矢量v 、t 方向的线应变。 （12分）
题三（4）图
弹性力学试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量及体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量及位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量及应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是： x 、 y 、z 、 xy 、 yz 、 、 zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的 应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。
弹性力学试题及答案
弹性力学试题及答案
处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相 同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。 二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在 错误命题后的括号内打“×”） 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物 体的介质所填满，不留下任何空隙。（√） 5、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。（√） 6、如果某一问题中，0===zy zx z γγε ，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。（√） 9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全 确定。（√）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√ ） 三、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的 必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件： （1）在区域内的平衡微分方程 ???????=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程 ()02222=+???? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件 ()()()()?????=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平
《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。
弹性力学试题及答案
弹性力学试题及答案 题目一：弹性力学基础知识 试题： 1. 弹性力学是研究什么样的物体的变形与应力关系？ 答案：弹性力学是研究具有弹性的物体（即能够恢复原状的物体）的变形与应力关系的学科。 2. 弹性力学中的“应力”是指什么？ 答案：应力是物体内部相邻两部分之间的相互作用力与其接触面积之比。 3. 弹性力学中的“应变”是指什么？ 答案：应变是物体在受力作用下发生形变的程度。正应变表示物体在拉伸力作用下的伸长程度与原始长度之比，负应变表示物体在压缩力作用下的压缩程度与原始长度之比。 4. 弹性力学中的“胡克定律”是什么？ 答案：胡克定律描述了弹簧的弹性特性。根据胡克定律，当弹簧的变形量（即伸长或缩短的长度）与施加在弹簧上的力成正比时，弹簧的弹性变形是符合弹性恢复原状的规律的。 题目二：弹性系数计算 试题：
1. 弹性模量是用来衡量什么的物理量？ 答案：弹性模量是衡量物体在受力作用下发生弹性形变的硬度和刚 度的物理量。 2. 如何计算刚体材料的弹性模量？ 答案：刚体材料的弹性模量可以通过应力与应变之间的关系来计算。弹性模量E等于应力σ与应变ε之比。 3. 如何计算各向同性材料的体积弹性模量（Poisson比）？ 答案：各向同性材料的体积弹性模量（Poisson比）可以通过材料的横向应变与纵向应变之比来计算。Poisson比v等于横向应变ε横与纵 向应变ε纵之比。 4. 如何计算材料的剪切弹性模量？ 答案：材料的剪切弹性模量G（也称剪切模量或切变模量）可以通 过材料的剪应力与剪应变之比来计算。 题目三：弹性体的应力分析 试题： 1. 弹性体的应力状态可以用什么来表示？ 答案：弹性体的应力状态可以用应力张量来表示。 2. 什么是平面应力状态和轴对称应力状态？
弹性力学最新试题带答案
【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。 【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。 【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），
《弹性力学》试题参考答案(2021年整理精品文档)
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《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分) 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程(变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中, M dxdy D =⎰⎰ 2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩 等于杆截面内的扭矩M . 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一 点（基准点）到任一点外力的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为: 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用. 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同）,则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用:(1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替. （2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(3 3 223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x
弹性力学试题及答案讲解
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 _ 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的， 是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量, 也就是正应力和切应力。应力及其分量的量 纲是L-1MT-2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性_________ 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量匚x =100 MPa，二y =50 MPa，X^1O 50 MPa，则主应力G = 150MPa， 35 16 。 ~2 = 0MPa，-冷= &已知一点处的应力分量，二x=200 MPa,二y=0MPa ,“*400 MPa，则主应力G = 512 MPa，二2 =-312 MPa，： 1 = -37° 57'。 9、已知一点处的应力分量，；「x=：-2000MPa，匚y =1000 MPa, xy*400 MPa，则主应力匚尸1052 MPa，匚2二-2052 MPa ,：计-82° 32'。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界________________ 条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法讲行求解。其具体步 骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其— 他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点 不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 _____________ 17、为了能从有限单元法得岀正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应 当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻 单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时, 也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i在i结点N i=1 ；在其他结点N i=Q及刀N i=1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好 地反映位移和应力变化情况：二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
(完整版)弹性力学试卷及答案
一、概念题（32分） 1、 如图所示三角形截面水坝，其右侧受重度为γ的水压力作用，左侧为自 由面。试列出下述问题的边界条件 解：1）右边界（x=0） 1 1 2）左边界（x=ytg β） 1 1 由： 2 2 2、何谓逆解法和半逆解法。 答：1. 所谓逆解法，就是先设定各种形式、满足相容方程的应力函 数，利用公式求出应力分量，然后根据应力边界条件考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知设定的应力函数可以解决什么问题。 4 2. 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状与受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后考察该应力函数是否满足相容方程，以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，就可得到正确解答；如果某一方面不能满足，就需要另作假设，重新考察。 4 3、已知一点的应力状态，试求主应力的大小及其作用的方向。 200,0,400x y xy MPa MPa σστ===- 解：根据公式122x y σσσσ+= 2 和公式11tan x xy σσατ-=，求出主应力和主应力方向： 2 2000512.31312.322MPa σσ+==- 2 512200tan 0.7808,3757'11400 αα-==-=-o 2 4、最小势能原理等价于 以位移表示的平衡微分 （3） 方程和 应力 （3） 边界条件，选择位移函数仅需满足 位移 （2） 边界条件。 二、图示悬臂梁，长度为l , 高度为h ，l >>h ，在梁上边界受均布荷载。 试检验应力函数 523322 ΦAy Bx y Cy Dx Ex y =++++ 能否成为此问题的解？，如果可以，试求出应力分量。（20分） 00 0y x x xy x σγτ=-===() () cos ,cos cos ,cos()2sin l n x m n y βπ ββ====+=-() () () () x y l m x xy s s l m xy y s s f f σττσ+=+=⎫⎪⎬⎪⎭( ) ()() () cos sin 0 cos sin 0 x xy s s xy y s s σβτβτβσβ-=+=⎫⎪⎬⎪⎭
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题
《弹性力学》试题参考答案与弹性力学复习题
弹性力学复习资料 一、简答题 √1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？ 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 √平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
√平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 √2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。
平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题 的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 √7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类？试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在yx xy y x ττσσ=、、三个应力 分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力也平行于横截面且不沿长度变化。这一类问题可以简化为平面应变问题。例如挡土墙和重力坝的受力分析。该种问题 并不等于零。而一般z zy yz zx xz σττττ0;0====
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案 弹性力学课后习题及答案 弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重 要环节。本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大 家的学习有所帮助。 一、弹性体的应力与应变 1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。 求该弹性体的应变。 答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。 2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。 答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。 二、弹性体的应力分布 1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布 是否均匀？ 答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。由 此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力 越大。因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。 2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形 状有关？ 答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。由
此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力 越大。因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。 三、弹性体的弹性模量 1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。 答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。 由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。 2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受 力F作用下的形变。 答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。 四、弹性体的弹性势能 1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。 求该弹性体的弹性势能。 答案：根据弹性势能的定义，弹性势能U等于应力σ与应变ε的乘积再乘以截 面积A和形变ΔL的乘积，即U = (σ * ε * A * ΔL) / 2。 2. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，截面积为A，形变为ΔL，求该弹性体的 弹性势能。 答案：根据弹性势能的定义，弹性势能U等于应力σ与应变ε的乘积再乘以截 面积A和形变ΔL的乘积，即U = (σ * ε * A * ΔL) / 2。 总结： 弹性力学是一门重要的力学学科，主要研究物体在受力作用下的形变和应力分 布规律。通过课后习题的练习，可以帮助巩固所学知识，提高解题能力。本文