信号系统习题解答3版-第三章
信号系统(第3版)习题解答
信号系统(第3版)习题解答《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育出版社目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t )表示将f ( t )波形展宽。
] (a) 2 f ( t - 2 )(b) f ( 2t )(c) f ( 2t ) (d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i L t u L L d )(d )(= ⎰∞-=t C C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S R S L S C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有 )()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T ==)()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答
3-1 解题过程：（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅立叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn =其中复数频谱F n= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e − jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n − jb n ) F − n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 04 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE−2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 − cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三角形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5T指数形式的 FS 的系数为1n = 0, ±2, ±4,F n = − jb n jE=2 n = 0,−± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = − jE π ej ω1t+ πjE e − j ω1t − 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e − j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅立叶变换有如下两种方法。
信号与系统王明泉第三章习题解答
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统第三版张小虹
当题（2）中初始条件为零，输入 即 系统的输出为
1-20解：因为线性系统的输出可以看成是零输入响应和零状态响应之和，且当初始状态和输入信号 发生变化时，零输入响应和零状态响应分别发生相应变化，由题意有：
解方程组得
所以，当题（1）中初始条件不变，输入 为零时，系统的出为
例3．7-1解1：电路进行拉普拉斯变换，在S域求解系统响应Y（S），然后求拉普拉斯反变换得到y（t）；在求解过程中还可求出系统函数H（S）,令S=jw得到H（jw），并求出该复数的模和相位函数
对电路列回路方程有 ①
)
又，由①可得 = ,令S=jw代入得：
所以有 ;
解法2，见书本上128页
第4章p222
当题（2）中初始条件为零，输入 为原来的两倍时时，系统的出为
思考：当初始条件为 时，输出
(提示：
1-21（1）D（2）B（3）D（理由参见上两题的计算）
第2章
2-15
（1）
2-16（1）
注：卷积的求解有两种常用的方法，一种是公式法，将积分式中 转换成积分的上限和下限，即可将积分值算出（因积分下线为0，最后得到的函数中要加 以表示）；对于两个阶跃函数时移后相乘的情况由于转换积分上线下线涉及到 的时移，比较容易错，因此可采用2-15（1）的方法，即利用冲激函数积分特性和卷积的交换结合律等性质来计算。常用的性质为：
4-18 解：微分方程两边同时进行拉普拉斯变换得：
1)代入题中给出的初始条件并整理得：
）u(t)
2)代入题中给出的初始条件并整理得：
）u(t)
信号与系统部分习题解答
第1章p40
1-15（1）线性时不变（2）非线性时变（3）线性时变（4）非线性时不变（5）线性时不变（6）非线性时不变
信号与系统王明泉科学出版社第三章习题解答
左右对t求导，得:
显然， 的指数傅里叶级数为 （式中 ）
3.9求题图3.9所示各信号的傅里叶变换。
题图3.9
解：根据定义
3.10计算下列每个信号的傅里叶变换。
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
（5） ；（6）
解: (1)
(2)
(3)由于
根据卷积乘积性质，得
(4)由于
所以
（5） ,设
第3章傅里叶变换与连续系统的频域分析
3.6本章习题全解
3.1证明函数集 在区间 内是正交函数集。
证明:对任意的自然数n,m (n m),有
=0
证毕
3.2一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：
（1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。
图3-19-3
3.21用傅里叶变换法求题图3.21所示周期信号 的傅里叶级数。
题图3.21
解:对x(t)一个周期信号x0(t)的傅里叶变换为
X0(j )=
=
傅里叶级数
3.22求题图3.22所示周期性冲激信号的频谱函数。
题图321-1
3.23已知 的幅频与相频特性如题图3.23所示，求其傅里叶逆变换 。
（a）（b）
题图3.12
解：令傅里叶变换对 ，
（1）根据已知图形可知：
，
已知有
所以
根据傅里叶变换的微积分性质
所以
即
（2） ，
根据（1）的结论得
根据傅里叶变换的微积分性质
所以
即
3.13利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。
(1) ；(2) ；
数字信号处理第三版西安电子2356课后答案
数字信号处理第三版西安电子2356课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它〔1〕画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； 〔2〕试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； 〔3〕令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； 〔4〕令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； 〔5〕令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：〔1〕x(n)的波形如题2解图〔一〕所示。
〔2〕()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-〔3〕1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图〔二〕所示。
〔4〕2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图〔三〕所示。
〔5〕画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图〔四〕所示。
3. 判定下面的序列是否是周期的，假设是周期的，确定其周期。
〔1〕3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；〔2〕1()8()j n x n eπ-=。
解：〔1〕3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 〔2〕12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判定系统是否是线性非时变的。
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信号与系统徐天成第3版第3章习题答案3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率5 kHz f =，脉宽20 s τ=μ，幅度10V E =，如图题3-1所示。
用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz 频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。
图 题3-1解：5kHz f =，20μs τ=，10V E =，11200T s fμ==，41210f ππΩ== 频谱图为从频谱图看出，可选出5、20、80kHz 的频率分量。
3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。
图 题3-3解： ()f t 在一个周期（0，T 1）内的表达式为： 11()()Ef t t T T =-- 111110011111()()(1,2,3)2T T jn tjn t n E jE F f t e dt t T e dt n T T T n π-Ω-Ω==--=-=±±±⎰⎰11010011111()()2T T E E F f t dt t T dt T T T ==--=⎰⎰傅氏级数为：111122()22244j t j t j t j tE jE jE jE jE f t e e e e ππππΩ-ΩΩ-Ω=-+-+-(1,2,3)2n E F n n π==±±± (0)2(0)2n n n πϕπ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若10 V E =, 10 kHz f =，大致画出幅度谱。
图 题3-4解：由于()f t 是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中0n b =，另由图可知()f t 有直流分量，()f t 在一个周期（2T -，2T）内的表达式为： 111cos 4()04T E t t f t T t ⎧Ω<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 其中：112T πΩ=11112401112411()cos TTT T E a f t dt E tdt T T π--==Ω=⎰⎰111111241112422()cos T Tjn tjn t T T n n a c f t e dt E t e dtT T -Ω-Ω--===Ω⋅⎰⎰211sin sin 2122cos 3,5,71112n n E E n n n n n πππππ+-⎡⎤⎢⎥=+=-=⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦111211122()2Tj t T E a c f t e dt T -Ω-===⎰所以，()f t 的三角形式的傅里叶级数为：11122()cos cos 2cos 42315EE E E f t t t t πππ=+Ω+Ω-Ω+3-6 利用信号()f t 的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。
Ω215E π-图 题3-6解： (a) ()f t 为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。
(b) ()f t 为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。
(c) ()f t 为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。
(d) ()f t 为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。
(e) ()f t 为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。
(f) ()f t 为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。
3-7 已知周期函数()f t 前四分之一周期的波形如图题3-7所示。
根据下列各种情况的要求画出()f t在一个周期(0t T <<)的波形。
（1）()f t 是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）()f t 是偶函数，只含有奇次谐波分量；（3）()f t 是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。
解：（1）由()()f t f t -=画出()f t 在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形，由()f t 在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形及()f t 是偶谐函数，它在,42T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形与它在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形相同，它在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形与它在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形相同。
根据上述分析可画出()f t 在[]0,T 内的波形。
按上述类似的方法可画出（2）和（3）。
（2）（3）图 题3-73-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
图 题3-8解法一：按定义求22()()cosj tj t F j f t edt E t e dt ττπτ∞-Ω-Ω-∞-Ω==⋅⎰⎰ 由于()f t 是偶函数，所以220220()cos cos 2cos cos cos()cos()Sa()Sa()22222Sa +Sa 2222F j E t tdt E t tdtE E t t dt E E ττττππττππττπτπτττπττπτττ-Ω=Ω=ΩΩΩ⎡⎤⎡⎤=+Ω+-Ω=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 化简得：2cos 22()1E F j ττπτπΩ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ω=⋅⎡⎤Ω⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解法二：利用卷积定理求 设：12()cos,()()()22f t t f t E u t u t πτττ⎡⎤==+--⎢⎥⎣⎦则 12()()()f t f t f t =⋅，于是121()()()2F j F j F j πΩ=Ω*Ω 而1()()()F j πππδδττ⎡⎤Ω=Ω++Ω-⎢⎥⎣⎦，2()Sa 2F j E ττΩ⎛⎫Ω=⎪⎝⎭故1()()()Sa 22F j E ππτπδδτπττ⎧Ω⎫⎡⎤⎛⎫Ω=Ω++Ω-*⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭Sa +Sa 2222E E τπττπτττ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()F j Ω的频谱是将矩形脉冲的频谱Sa 2E ττΩ⎛⎫⎪⎝⎭分别向左、右移动πτ（幅度乘以12）后叠加的结果。
3-10 求图题3-10所示(j )F Ω的傅里叶逆变换()f t 。
图 题3-10解：（a ）00()()j t F j Ae ΩΩ=-Ω<Ω<Ω0000()()011()22()j t j t t j t t j tA f t Aeed e e j t t ππΩΩ+Ω-+ΩΩ-Ω⎡⎤=Ω=-⎣⎦+⎰[]000Sa ()A t t πΩ=Ω+（b ）2020(0)()(0)j jAe F j Ae ππ-⎧-Ω<Ω<⎪Ω=⎨⎪<Ω<Ω⎩0000002201()sin Sa 222j j j t j tA t t f t Ae e d Ae e d ππππΩ-ΩΩ-Ω⎡⎤ΩΩΩ=Ω+Ω=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(cos 1)At tπ=Ω-3-13 求函数c Sa()t Ω的傅里叶变换。
解：利用对偶性求因为()Sa()2EG t E τττΩ↔，所以 S a ()2()2()2t E E G E G ττττππ↔-Ω=Ω 2Sa()()2t G ττπτ↔Ω令2c τΩ=，则 2S a ()()c c ct G πΩΩ↔ΩΩ 即：F[][]Sa()()()c c c ct u u πΩ=Ω+Ω-Ω-ΩΩ3-15 对图题3-15所示波形，若已知[]11()(j )f t F Ω=F ，利用傅里叶变换的性质求图中2()f t ,3()f t 和4()f t 的傅里叶变换。
图 题3-15解：已知F []11()()f t F j =Ω21()()f t f t T =+ ，∴ 21()()j T F j F j e ΩΩ=Ω⋅ 31()()f t f t =- ， ∴ 31()()F j F j Ω=-Ω413()[()]()f t f t T f t T =--=- ∴ 41()()j T F j F j e -ΩΩ=-Ω3-21 已知三角脉冲信号1()f t 如图题3-21(a)所示。
试利用有关性质求图题3-21(b)中的2()f t =10cos 2f t t τΩ⎛⎫- ⎪⎝⎭的傅里叶变换2(j )F Ω。
图 题3-21解：设F []211()()Sa 24E f tF j ττΩ⎛⎫=Ω=⎪⎝⎭则F 21112()()()2j f t F j eF j ττΩ-⎡⎤-=Ω=Ω⎢⎥⎣⎦而F []2()f t =F [][]{}101201201()cos ()()22f t t F j F j τ⎡⎤-Ω=Ω+Ω+Ω-Ω⎢⎥⎣⎦=[][]0000()()22101022002221()()2Sa Sa 444j jj j jF j e F j eE e ee ττττττττΩ+ΩΩ-Ω--ΩΩΩ--⎧⎫=Ω+Ω+Ω-Ω⎨⎬⎩⎭⎡⎤Ω+ΩΩ-Ω⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦3-23 利用傅里叶变换的微分与积分特性，求图题3-23所示信号的傅里叶变换。
图 题3-23解：（3）[]33()()4(1)(2)df t t u t u t dtϕ==--- 323()4Sa 2j j e -ΩΩ⎛⎫ΦΩ= ⎪⎝⎭33()3,()1f f ∞=-∞=-[]3323334Sa ()2()()()()2()j j F j f f e j j πδπδ-ΩΩ⎛⎫ ⎪ΦΩ⎝⎭Ω=+∞+-∞Ω=+ΩΩΩ3-25 若已知[]()(j )f t F Ω=F ，利用傅里叶变换的性质求下列信号的傅里叶变换。
（2）(2)()t f t - （4）d ()d f t t t（5）(1)f t - 解：（2）F [](2)()t f t -=F []()()2()2()dF j tf t f t j F j d Ω-=-ΩΩ（4）F []()()()()d j F j df t dF j tj F j dt d d ΩΩΩ⎡⎤⎡⎤==-Ω+Ω⎢⎥⎢⎥ΩΩ⎣⎦⎣⎦（5）F [](1)f t -=F []{}(1)()j f t F j e -Ω--=-Ω3-29 根据附录B 中给出的频谱公式，粗略地估计图题3-29所示各脉冲的频带宽度f B (图中时间单位为s μ)。
图 题3 -29解：（a ）若时间单位为s μ，则频带为14MHz ，即250KHz （b ）若时间单位为s μ，则频带为14MHz ，即250KHz（d ）若时间单位为s μ，则频带为1 MHz （f ）频若时间单位为s μ，则带为12MHz ，即500KHz3-32 周期矩形脉冲信号()f t 如图题3-32所示。