第40讲 抛物线的双切线问题(解析版)

第40讲 抛物线的双切线问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021•吉州区校级一模）设抛物线22x py = (0)P >，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ，A ，B ，M 的横坐标分别为A X ，B X ，MX 则( )A ．2AB M X X X += B ．2A B M X X X =C ．112A B MX X X +=D ．以上都不对【解答】解：由22x py =得22x y p=，得x y p '=，所以直线MA 的方程为2()A M x y p x x p +=-，直线MB 的方程为2()B M xy p x x p+=-， 所以，22()2A A A M x x p x x p p +=-①，22()2B A B M x x p x x p p+=-②由①、②得2M A B x x x =+． 故选：A ．二．填空题（共1小题）2．（2021•厦门一模）过抛物线2&:4E y x =焦点的直线l 与E 交于A ，B 两点，E 在点A ，B 处的切线分别与y 轴交于C ，D 两点，则|||CD AB -的最大值是 8 ．【解答】解：由24y x =，y =y'，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则过A 点的切线的斜率k =则切线方程11)y y x x -=-，令0x =，解得：y =C ，同理可得(0,D ，则||CD =设直线AB 的方程：(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得：22222(2)0k x k x k -++=，则121x x =，212||2AB x x ∴=++=，则2|||CD AB -=-，t ，2t ，设22()(8f t t t =-=--+，2t ，∴当t=()f t 取最大值，最大值为8，|||CD AB ∴-的最大值为8，故答案为：8．三．解答题（共36小题）3．（2021•东台市校级模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p 时，||AB =，求此时抛物线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2)22x x A x B x x x M x p p p<-．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-．所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p -+===-，所以2AB k p=．由弦长公式得||AB ==||AB =， 所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．4．（2021•苏州期末）如图，设抛物线22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．【解答】证明：由题意，设211(,)2x A x p，22212(,)()2x B x x x p<，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-． 所以，211102()2x x p x x p p +=-①，221202()2x xp x x p p+=-②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．5．（2021•浙江模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标； （Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ∆∆=，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：()I 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过A 点的切线方程为2111()2x xy x x p p-=-，过B 点的切线方程为2222()2x xy x x p p-=-，联立这两个方程可得2112,22M M x x x xx y p+==， 又2112212AB y y x x k x x p-+==-，所以直线AB 的方程为：21121()22x x x y x x pp+-=-， 化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，1212,222M x x x xy y p p p=-==-又， 2y p ∴=∴直线AB 过点(0,2)p ；（Ⅱ）记122M x x x +=，12E C x x x +=同理可得，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22E C E E M C E x x x x x x x AC x x x x CM x x x x ----+-===++-，11222||||||||2EE E c E E D E E Ex x x x x x x CE x x ED x x x x x -----+===+-，∴2,E CE x X AC CE MD CM ED DB x x --==同理 ∴||||||AC EC DMCM DB DB==， ∴设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S ∆=，则ACE S tS ∆=， 同理，MDE S S t ∆=，2BDE SS t ∆=，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t∆∆+++===， 于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t ∆∆+++==+=，2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t ∆∆∆∆∆+∴=---=，1MCD t S S t∆=+， 2EABMCDS S λ∆∆∴==．6．（2012•上海模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线:2l y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B ．（1）设抛物线上一点P 到直线l 的距离为d ，F 为焦点，当3||2d PF -=时，求抛物线方程；（2）若(2,2)M -，求线段AB 的长； （3）求M 到直线AB 的距离的最小值．【解答】解：（1）由3||2d PF -=，得332()222P P p p y p y +-+==，1p ∴=， ∴抛物线方程为22x y=．（2）(2,2)M -在直线2y p =-上，22p ∴-=-，解得1p =，∴抛物线方程为22x y=，设过M 点的直线为(2)2y k x =--，联立：2(2)22y k x x y =--⎧⎨=⎩，消去y ，得2222x kx k =--即224(1)0(*)x kx k -++=，直线与抛物线相切，∴△0=，即2416(1)0k k -+=2440k k ∴--=，∴2k =±(*)有等根x k =，2B x ∴=+2A x =-B A x x ∴-=，4B A x x +=．A 、B 在抛物线上，22()()22B A B A B A B A x x x x x x y y -+-∴-===||AB ∴==（3）设(,2)M m p -，过M 点的直线为:()2L y k x m p =--，联立：2()22y k x m px py =--⎧⎨=⎩，消去y ，得222xkx km p p=--，222(2)0x kpx p km p ∴-++=①，直线与抛物线相切，∴△0=2248(2)0k p p km p ∴-+=，2240pk mk p ∴--=②，此时方程①有等根x kp =，令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1212()x x p k k -=-，222121212121212()()()()222x x x x x x p k k k k y y p p p--+-+-===， AB ∴的斜率1212122y y k k k x x -+'==-， 由②，根据韦达定理可得122m k k p +=，mk p∴'=， ∴直线AB 的方程为11()m y y x x p-=-，∴2211()2k p my x k p p p-=-∴化简可得2211222py k p mx mk p -=-，∴21122(2)0mx py p pk mk -+-=，由②2240pk mk p --=，∴21124pk mk p -=，AB ∴方程化为：22240mx py p-+=，∴点M到AB的距离2222222223d p ====，2=2223m p p +=，∴m =时，上式等号成立，M ∴到直线AB 的距离的最小值为．7．（2021•秦州区校级二模）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，M 不在y 轴上，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）设线段AB 的中点为N ； （ⅰ）求证：MN 平行于y 轴；（ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p -时，||AB =（Ⅱ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设211(,)2x A x p，222(,)2x B x p ，12x x <，3(N x ，3)y ，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，则xy p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p+=-，直线MB 的方程为202()x y p x x p+=-． 所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即212322x x x x =+=． 所以MN 平行于y 轴．（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222AB x x x x x p p k x x p p-+===-， 所以2AB k p=．由弦长公式的||AB ==又||AB =，所以1p =或2p =， 因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅱ）解：设3(D x ，3)y ，由题意得12(C x x +，12)y y +， 则CD 的中点坐标为123123(,)22x x x y y y Q ++++， 设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上， 代入得033x y x p=． 若3(D x ，3)y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =． 即(0,0)D 或2002(2,)x D x p．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意．（2）当00x ≠，对于(0,0)D ，此时22120(2,)2x x C x p+，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0ABx k p=，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p ++===-， 即222124x x p +=-，矛盾．对于2002(2,)x D x p ，因为22120(2,)2x x C x p+，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意得M 点． 综上所述，不存在符合题意得M 点．8．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为（0，﹣1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点；（3）当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M ，使△MAB 为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：当M 的坐标为（0，﹣1）时，设过M 点的切线方程为y ＝kx ﹣1，代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4＝0， 令Δ＝16k 2﹣16＝0，解得k ＝±1，代入方程得x ＝±2，故得A （2，1），B （﹣2，1），…（2分） 因为M 到AB 的中点（0，1）的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2+（y ﹣1）2＝4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l ：y ＝﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为（y ﹣y 1）＝k （x ﹣x 1），代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4（kx 1﹣y 1）＝0Δ＝（4k ）2﹣4×4（kx 1﹣y 1）＝0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为即又切线过点M （x 0，y 0），所以得①即…（8分）同理可得过点B （x 2，y 2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0），代入x2＝4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）＝0∴Δ＝（4k）2+4×4（y0﹣kx0）＝0即：k2﹣x0k+y0＝0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A （x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）（3）由（2）中①②两式知x1，x2是方程的两实根，故有∵，，y0＝m∴＝4m2+m﹣4m﹣＝（m﹣1）（+4m），…（9分）①当m＝1时，＝0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分）②当0＜m＜1时，＜0，∠AMB＞，△MAB不可能为直角三角形；…（11分）③当m＞1时，＞0，∠AMB＜，因为k AB＝＝＝，＝，所以k AB k MA＝若k AB k MA＝﹣1，则，整理得（y0+2）＝﹣4，又因为y0＝﹣m，所以（m﹣2）＝4，因为方程（m﹣2）＝4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB ⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分）综上所述，当m＝1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l 上存在两点M ，使△MAB 为直角三角形；当0＜m ＜1或1＜m ≤2时，△MAB 不是直角三角形．…（14分）9．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为24x y =，0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ．【解答】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令△2(4)440k =-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -，⋯（2分） 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2， 从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．圆心坐标为(0,1)，半径为2，∴圆与直线:1l y =-相切⋯（4分）（2）证法一：设切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y=，整理得21144()0x kx kx y -+-=△211(4)44()0k kx y =-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k=⋯（6分） 从而过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =-又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②⋯（10分） 即20022x y x y =-⋯（6分） 即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法二：设过0(M x ，0)y 的抛物线的切线方程为00()(0)y y k x x k -=-≠，代入24x y =，消去y ，得20044()0x kx y kx ---=△200(4)44()0k y kx =+⨯-=即：2000k x k y ++=⋯（6分）从而1k =2k =112x k =，222x k =所以切点A ，B 的坐标分别为21121(,)A k k ，22221(,)B k k ⋯（8分） 因为12121242AB x y y x x k x x -+===-，121212122222x x k k k k x k k +++===，22220012121212212112()2222()2x y y y k k k k k k k k +-++-===， 所以AB 的中点坐标为20002(,)2x y x -⋯（11分）故直线AB 的方程为200002()22x y x y x x --=-，即002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法三：由已知得24x y =，求导得2x y =，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，故过点1(A x ，1)y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2x y y x x -=-即21124x x y x =-⋯（7分）又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②即20022x y x y =-⋯（10分）即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）10．（2021春•城区校级月考）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；（2）若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =； （3）证明：以AB 为直径的圆恒过点M ． 【解答】解：（1）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=， 令△216160k =-=，解得1k =±， 代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -， 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．（2）证明：抛物线2:4C x y =，导数为11242y x x '=⋅=， 可得0(P x ，0)y 是C 上的任意点，P 点处的切线的斜率为012k x =；（3）证明：设切点分别为1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ， 12MA x k ∴=，22MB x k =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-，即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-，即2221124y x x x =-，又因为切线MA 过点0(M x ，1)-， 所以得201111124x x x -=-，① 又因为切线MB 也过点0(M x ，1)-， 所以得202211124x x x -=-，② 所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202x x x +=，124x x =-，因为10(MA x x =-，2111)4x +，20(MB x x =-，2211)4x +，所以2210201211()()(1)(1)44MA MB x x x x x x ⋅=--+++2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++22221212012012121()[()2]1164x x x x x x x x x x x x =-+++++-+，将1202x x x +=，124x x =-代入，得0MA MB ⋅=， 则以AB 为直径的圆恒过点M ．11．（2021春•江苏期中）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)． （1）求抛物线方程；（2）过直线2y x =-上一点(,2)P t t -作抛物线的切线切点为A ，B ．①设直线PA 、AB 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列；②若以切点B 为圆心r 为半径的圆与抛物线C 交于D ，E 两点且D ，E 关于直线AB 对称，求点P 横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意知12p=，2p =， 可得抛物线的方程为24x y =；（2）①证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 因为24x y =，所以2xy '=，所以112x k =，232x k =， 所以12132x x k k ++=，2212121221212444x x y y x x k x x x x --+===--， 所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列； ②直线AP 的方程为211111()224x x x y y x x y x -=-⇒=-，同理直线BP 的方程为22224x x y x =-，则两直线的交点坐标1212(,)24x x x x P +， 代入直线2y x =-，得1212242x x x x +=-， 直线AB 的方程为12121211()444x x x x x xy y x x y x ++-=-⇒=-， 因为1212242x x x x +=-，所以1212242x x x xy x ++=-+， 因为122x x t +=，所以直线AB 的方程为22ty x t =-+． 1)若0t =则抛物线24x y =上不存在两点关于直线AB 对称；2)若0t ≠，设3(D x ，3)y ，4(E x ，4)y 为抛物线上关于直线AB 对称的两点，此时0r BD BE ==>，设DE 方程为2y x b t=-+，DE 与直线AB 交于点0(H x ，0)y ，由242x y y x bt ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得2840x x b t +-=， 则226441600(*)b b t t =+>⇔+>，348x x t +=-， 所以34042x x x t +==-，00228y x b b t t=-+=+， 因为H 点在直线AB 上，所以2288b t b t t t +=-⇒=--代入(*)式， 得3224400t t t t+-->⇔<，所以t <所以t 的取值范围是(,-∞．12．（2021•益阳模拟）已知抛物线1C 的方程为22(0)x py p =>，过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线1C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线1C 交于Q ，N两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为Q '，N '，且||Q N ''=，求抛物线1C 的方程； （2）设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ．求证：12k k ⋅为定值．【解答】解：（1）因为抛物线1C 的焦点坐标是(0,)2p ，所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是122x yp +=，即212x y p +=． 联立22212x py x y p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得22202p x x p +-=，设点(Q Q x ，)Q y ，(N N x ，)N y ，则22Q N p x x +=-，2Q N x x p =-．则||||Q N Q N x x ''=-===解得2p =．所以抛物线1C 的方程为24x y =．（2）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，21)(0y x >，20)x <．依题意，由22(0)x py p =>，得22x y p=，则x y p'=． 所以切线MA 的方程是111()x y y x x p-=-， 即2112x x y x p p=-．又点(,2)M a p -在直线MA 上，于是有21122x x p a p p-=⨯-，即2211240x ax p --=．同理，有2222240x ax p --=，因此，1x ，2x 是方程22240x ax p --=的两根， 则122x x a +=，2124x x p =-．所以21212122244x x x x p k k p p p p -⋅=⋅===-，故12k k ⋅为定值得证．13．（2021•崇明区二模）对于直线l 与抛物线2:4x y Γ=，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行（或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线．（1）已知0(P x ，0)y 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率02x k =； （2）已知0(M x ，0)y 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，求证：1x 、0x 、2x 成等差数列；（3）如图所示，(,)D m n 、(,)E s t 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的Γ的切线分别是1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点(,)G a b ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ，设1x 、2x 为方程20(,)x ax b a b R -+=∈的两个实根，{max c ，}d 表示实数c 、d 中较大的值，求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．【解答】证明：（1）由24x y =可得24x y =，2x y '=．∴过点0(P x ，0)y 的Γ的切线额度斜率02x k =． （2）由（1）可知过点A 的切线方程为100()2x y x x y =-+，代入抛物线方程24x y =可得211002240x x x x x y -+-=， 令△2110044(24)0x x x y =--=可得2110024x x x y =-，同理可得：2220024x x x y =-，两式相减得22120122()x x x x x -=-，1202x x x ∴+=．1x ∴、0x 、2x 成等差数列．（3）由(,)D m n 在抛物线24x y =可得24m n =， 切线1l 的方程为()2m y x m n =-+，即2my x n =-． 同理切线2l 的方程为2sy x t =-，联立方程组22my x ns y x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1()2x m s =+，14y ms =．1()2a m s ∴=+，14b ms =．解方程20x ax b -+=可得12mx =，22s x =．把0x =代入直线1l 的方程可得y n =-，即21(0,)4m D -，①若G 在线段1DD 上，244m msn ∴-，即22m ms m -， ||||s m ∴，1||||2m x ∴=，2||||||22s m x =，1{||max x ∴，2||||}2m x =． ②若1{||max x ，2||||}2m x =．则2||||||22s m x =， ||||s m ∴，22mms m ∴-，即244m msn -， G ∴在线段1DD 上．综上，点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．14．（2012•青羊区校级三模）22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合． （Ⅰ）求抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，所以抛物线2C 的方程为24x y =；（Ⅱ）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，即1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，所以124x x a =22121212121()416x x y y x x x x a a ∴+=+=+ 坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内， 240a a ∴+<，即40a -<<．15．（2021•福州一模）如图，以原点O 为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线E 的焦点为(0,1)F ，点M 是直线:(0)l y m m =<上任意一点，过点M 引抛物线E 的两条切线分别交x 轴于点S ，T ，切点分别为B ，A ．()I 求抛物线E 的方程；（Ⅱ）求证：点S ，T 在以FM 为直径的圆上；（Ⅲ）当点M 在直线l 上移动时，直线AB 恒过焦点F ，求m 的值．【解答】解：()I 设抛物线E 的方程为22(0)x py p =>， 依题意1,22pp ==解得， 所以抛物线E 的方程为24x y =．（Ⅱ）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．120x x ≠，否则切线不过点M211,42y x y x '==，∴切线AM 的斜率112AM k x =，方程为1111()2y y x x x -=-，其中2114x y =．令0y =，得112x x =，点T 的坐标为11(,0)2x ， ∴直线FT 的斜率12FTk x =-，1112()12AM FT k k x x ⋅=⋅-=-， AM FT ∴⊥，即点T 在以FM 为直径的圆上；同理可证点S 在以FM 为直径的圆上， 所以S ，T 在以FM 为直径的圆上．（Ⅲ）抛物线24x y =焦点(0,1)F ，可设直线:1AB y kx =+．由22144041y x x kx y kx ⎧=⎪--=⎨⎪=+⎩得， 则124x x =-．由（Ⅱ）切线AM 的方程为2111124y x x x =-过点0(M x ，)m ，得21011124m x x x =-， 同理22021124m x x x =-．消去0x ，得1212121()()4m x x x x x x -=- 12x x ≠，由上124x x =-∴12114m x x ==-，即m 的值为1-．16．已知抛物线C 的方程为22(0)x py p =>．（1）若抛物线C 上一点0(N x ，6)到焦点F 的距离0||NF x =，求抛物线C 的标准方程； （2）过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，(B A 右B 左），设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求证12k k 为定值． 【解答】解：（1）抛物线C 的准线方程为2py =-， 0(N x ∴，6)到焦点F 的距离0||62pNF x =+=， 又0(N x ，6)在抛物线C 上，2012x p ∴=，2(6)122pp ∴+=，解得12p =．∴抛物线C的标准方程是：224x y =．（2）证明：(,2)M a p -，设抛物线过点M 的切线方程为()2y k x a p =--， 代入抛物线方程得：222()4x pk x a p =--，即222240x pkx pka p -++=，∴△22244(24)0p k pka p =-+=，即2240pk ka p --=，显然1k ，2k 为关于k 的方程2240pk ka p --=的两个解，124k k ∴=-． 12k k ∴为定值4-．17．（2016•石家庄一模）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2），其焦点为F ，且|MF |＝2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：A 、B 、F 三点共线． 【解答】（I ）解：抛物线C 的准线方程为：，∴，又抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2）， ∴4＝2pm ，即…（2分）∴p 2﹣4p +4＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ．…（4分）（II ）证明；设E （0，t ）（t ≠0），已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx +t 联立，消去y ，可得k 2x 2+（2kt ﹣4）x +t 2＝0∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝（2kt ﹣4）2﹣4k 2t 2＝0，即kt ＝1． 代入，∴x ＝t 2，即A （t 2，2t ），…（6分）设切点B （x 0，y 0），则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝﹣tx +t 对称，则，解得：，即…（8分）直线AF 的斜率为，直线BF 的斜率为，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．…（10分）当t ＝±1时，A （1，±2），B （1，±1），此时A ，B ，F 共线． 综上：A ，B ，F 三点共线．…（12分）18．（2021•宁波期末）已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作次抛物线的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，且PA PB ⊥．（1）求证：直线AB 过定点；（2）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB 的最小值．【解答】解：（1）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线方程得，214y x =， ∴12y x '=， ∴112PAk x =， PA ∴的方程为：1111()2y y x x x -=-，∴211122y y x x x -=-，11220x x y y ∴--=，⋯①同理，212PB k x =， 且PB 的方程为：22220x x y y --=，⋯②由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得：2440x kx b --=， 124x x k ∴+=，124x x b =-，PA PB ⊥，∴1212224PA PBx x x x k k =⨯=1b =-=-，1b ∴=，即直线AB 的方程为：1y kx =+， 故直线AB 恒过(0,1)点．（2）设0(P x ，0)y ，分别代回①②得，1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，两式相减，结合抛物线方程可得，12022x x x k +==， 211210101()1244x x x x y x x y +=-=-1214x x b ==-=-， 当0k =时，00x =，可得AB PF ⊥， 当0k ≠时，00x ≠，此时， 021122142AB x y y x x k x x -+===-， 00001112PF y k x x x ---===-， 1AB PF k k ∴=-，AB PF ∴⊥∴112||||(1)(2)AR AB AF AB y y y ==+++21121232y y y y y =++++，221212116x x y y ==，∴2111133AR AB y y y =+++， 令21()33f t t t t=+++，0t >，则2222(1)(21)()3t t f t t t t +-'=+-=， ()f t ∴在(0，1]2递减，在1[2，)+∞递增，∴最小值为127()24f =，故AR AB 的最小值为274．19．（2021•辽宁）如图，抛物线21:4C x y =，22:2(0)C x py p =->，点0(M x ，0)y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，(B M 为原点O 时，A ，B 重合于)O ，当01x =-时，切线MA 的斜率为12-． （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为)O ．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-， 所以设A 点坐标为(,)x y ，得122x =-，解得1x =-，2144x y ==，点A 的坐标为1(1,)4-，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++因为点(1M 0)y 在切线MA 及抛物线2C 上，于是011(224y =-+=0y ∴==②解得2p =（Ⅱ）设(,)N x y ，1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，12x x ≠，由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22121228y y x x y ++==④ 切线MA ，MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤；2222()24x x y x x =-+⑥，由⑤⑥得MA ，MB 的交点0(M x ，0)y 的坐标满足1202x x x +=，1204x xy = 因为点0(M x ，0)y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦由③④⑦得243x y =，0x ≠当12x x =时，A ，B 丙点重合于原点O ，A ，B 中点N 为O ，坐标满足243x y =因此中点N 的轨迹方程为243x y =20．（2021•诸暨市期末）已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点．（1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）依题可知(0,1)F ，当直线l 平行于x 轴时，则l 的方程为1y =，所以可得(2,1)A ，(2,1)B -，又24x y =可得24x y =，12y x '=；所以在A ，B 处的切线分别为：21(2)2y x -=-，21(2)2y x --=+，即1y x =-，1y x =--， 联立两切线可得11y x y x =-⎧⎨=--⎩解得0x =，1y =-，所以(0,1)P -．（2）设l 的方程为：1y kx =+，(,)A x y ''，(,)B x y ''''，则联立有214y kx x y=+⎧⎨=⎩整理得：2440x kx --=，所以4x x k '+''=，4x x '''=-，在A 处的切线为：211()42y x x x x '''-=-，即21124y x x x ''=-，同理可得，在B 处切线：211()42y x x x x -''=''-''，即21124y x x x =''-''，联立有：2211241124y x x x y x x x ⎧''=-⎪⎪⎨⎪=''-''⎪⎩解得2x x x '+''=，1y =-，即点(2x x P '+''，1)-．21|||1()||222x x x PA x x x ''+''''=-=+''-，同理可得：||||PB x x '=''-，所以||2||PA PB ===，2244(4)x x '∴+=''+， 又4x x '''=-，解得21x ''=．1x ''=±，所以41x x '=⎧⎨''=-⎩或41x x '=-⎧⎨''=⎩，所以直线方程为：314y x =±+．21．（2012秋•宜春期末）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =． （1）求椭圆E 的方程； （2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M定在直线1y =-上；（3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，(0,1)F ，1b ∴=，c e a ==，222a b c =+， 解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．⋯（3分）（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意， 故可设直线l 的方程为1y kx =+，1(A x ，12)(y B x ，212)()y x x ≠ 与抛物线方程联立，消去y ，并整理得，2440x kx --=124x x ∴=-．⋯（5分）抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=， ∴过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-解得两条切线的交点M 的坐标为12(2x x +，1)-， ∴点M 在直线1y =-上．．⋯（8分） （3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0．1)-，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为0001()2y y x x x -=-，其中点0(x ，0)y 为切点．令0x =，1y =-得，2000111(0)42x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2A '-，1)(2B '，1)，即直线A B ''过点F ．综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），能使直线A B ''过点F ． 此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-．⋯（13分）22．（2021春•思明区校级月考）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线21:2C x py =的焦点(0,)2p在抛物线22:1C y x =+上，即有12p=，可得2p =， 即有1C 的方程为24x y =， 其准线方程为1y =-．（Ⅱ）设2(2,)P t t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2111y x =+，2221y x =+，21y x =+的导数为2y x '=，直线PA 的斜率为12x ，直线PB 的斜率为22x ，则切线PA 的方程：1112()y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2111y x =+，所以1122y x x y =+-， 同理切线PB 的方程为2222y x x y =+-，又PA 和PB 都过P 点，所以211222420420tx y t tx y t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 所以直线AB 的方程为2420tx y t -+-=．联立22421y tx t y x ⎧=+-⎨=+⎩得22410x tx t -+-=， 所以1221241x x t x x t +=⎧⎨=-⎩，12||x x -=所以12|||AB x x =-=点P 到直线AB的距离2222d ==．所以PAB ∆的面积32221||2(32(31)2S AB d t t ==+=+，所以当0t =时，S 取最小值为2．即PAB ∆面积的最小值为2．23．（2021•嘉兴二模）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线1C 的方程为22x py =，∴抛物线的焦点为(0,)2pF ，⋯（2分）抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线2C 上∴12p=，可得2p =．⋯（4分） 故抛物线1C 的方程为24x y =，其准线方程为1y =-．⋯（6分）（Ⅱ）设2(2,)P t t ，2111(,1)2M x x +，2221(,1)2N x x +，可得PM 的方程：21111(1)()2y x x x x -+=-，∴点P 坐标代入，化简得22111212t tx x =-+，即22114220xtx t -+-=．同理可得2221:12PN y x x x =-+，得22224220x tx t -+-=．⋯（8分）由2211222242204220x tx t x tx t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩得1x 、2x 是方程224220x tx t -+-=的两个实数根， 124x x t ∴+=，21222x x t =-．(*)⋯MN 的方程：221221112111(1)122(1)()2x x y x x x x x +-+-+=--， ∴化简整理，得2112111(1)()()22y x x x x x -+=+-代入(*)式，可得MN 的方程为222y tx t =+-．⋯（12分） 于是，点P 到直线MN的距离222d ==令214(1)s t s =+，则16662d =+3s =时取等号）．由此可得，当P 坐标为(，1)2时，点P到直线MN 的距离d ⋯（15分）24．（2009秋•宁波期末）点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2:2C x y =上的不同两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点0(P x ，0)y ．（1）求证：0x 是1x 与2x 的等差中项；（2）若直线AB 过定点(0,1)M ，求证：原点O 是PAB ∆的垂心； （3）在（2）的条件下，求PAB ∆的重心G 的轨迹方程． 【解答】解：（1）对22x y =求导 得y x '=， 所以直线111:()PA y x x x y =-+，即2112x y x x =-同理，直线222:2x PB y x x =-，解得12012022x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以0x 是1x 与2x 的等差中项；（5分）（2）设直线:1AB y kx =+，代入22x y =整理得2220x kx --=．∴121222x x kx x +=⎧⎨=-⎩，得001x k y =⎧⎨=-⎩ ∴001OP y k x k==-即AB OP ⊥；1AP k x =，22212OB y k x x ==∴12112AP OBk k x x ==-， AP OB ∴⊥，同理BP OA ⊥，所以原点O 是PAB ∆的垂心；(（10分），只需证明两个垂直就得满分） （3）设PAB∆的重心(,)G x y ，则1201()3x x x x k =++=，22221212012121111121()()()3636333x x y y y y x x x x k +=++=+-=+-=+因为k R ∈，所以点G 的轨迹方程为22133y x =+．（15分） 25．（2021•合肥二模）如图，抛物线2:2(0)E y px p =>与圆22:8O x y +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2．过劣弧AB 上动点0(P x ，0)y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点M ．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入22y px =，解得1p =，（Ⅱ）设211(,)2y C y ，222(,)2y D y ，10y ≠，20y ≠．切线2111:()2y l y y k x -=-，代入22y x =得2211220ky y y ky -+-=，由△0=解得11k y =， 1l ∴方程为1112y y x y =+，同理2l 方程为2212y y x y =+， 联立11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， CD 方程为008x x y y +=，其中0x ，0y 满足22008x y +=，0x ∈，联立方程20028y x x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2002160x y y y +-=，则0120120216y y y x y y x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，代入121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可知(,)M x y 满足0008x x y y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入2208x y +=得2218x y -=，考虑到0x ∈，知[4,x ∈--．∴动点M 的轨迹方程为2218x y -=，[4,x ∈--．。