2016-2017学年高中数学人教版必修5课件：2.5 第一课时 等比数列的前n项和
－ －
课时跟踪检测见课时达标检测(十二)
两式相除得 1＋q2＝5，解得 q2＝4， 故 q＝2 或 q＝－2. 若 q＝2，代入解得 a1＝1，此时 a11－q6 1×1－26 S6＝ ＝ ＝63. 1－q 1－2 若 q＝－2，代入解得 a1＝－3，此时 a11－q6 －3×[1－－26] S6＝ ＝ ＝63.故选 C. 1－q 1－－2
[随堂即时演练]
1．数列{2n－1}的前 99 项和为 A．2100－1 C．299－1 B．1－2100 D．1－299 ( )
解析：数列{2n－1}为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其 1－299 前 99 项和为 S99＝ ＝299－1. 1－2 答案：C
2． 等比数列{an}中， a3＝3S2＋2， a4＝3S3＋2， 则公比 q 等于( A．2 C．4 1 B. 2 1 D. 4
1 (2)∵q＝－ ，又 a1－a3＝3， 2
1 － 2＝3，解得 ∴a1－a1· 2 1 41－－2n Sn＝ 1 1－－2
a1＝4.
于是
8 1n ＝ 1－－2 . 3
[类题通法] 解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意， 而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和 公式是解决问题的关键．
)
解析：a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得 a4－a3＝3a3，即 a4＝4a3，∴q＝4. 答案：C
3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则 a1＝________.
解析：∵q＝2，n＝5，Sn＝62， a11－qn a11－25 ∴ ＝62，即 ＝62， 1－q 1－2 ∴a1＝2. 答案：2
2．等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶 数项的和大 80，则公比 q＝________.
S奇＋S偶＝－240， 解析：由题意知 S奇－S偶＝80， S奇＝－80， ∴ S偶＝－160.
S偶 －160 ∴公比 q＝ ＝ ＝2. S奇 －80
答案：2
4．等比数列{an}的前 5 项和 S5＝10，前 10 项和 S10＝50，则它 的前 15 项和 S15＝________.
解析：由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10－S5，S15－S10 成等比数列， 故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， 即(50－10)2＝10(S15－50)， 解得 S15＝210. 答案：210
等比数列的综合应用
[例 3] 差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2 成等
[解] (1)∵S1，S3，S2 成等差数列， ∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比 q≠1， 2a11－q3 a11－q2 于是 ＝a1＋ ， 1－ q 1－q 即 2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得 2q2＋q＝0， 1 ∴q＝－ (q＝0 舍去)． 2
问题 2：若 q≠1，你能用 a1，q 直接表示 Sn 吗？如何表示？
提示：能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn 1，①
－
两边同乘以 q，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， a11－qn ∴当 q≠1 时，Sn＝ . 1－q
5．在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)若 Sn＝189，a1＝3，an＝96，求 q 和 n.
a11＋q＝30， 解：(1)由题意知 2 a 1 ＋ q ＋ q ＝155， 1 a1＝5， 解得 q＝5
a1＝180， 或 5 q＝－ ， 6
2.5
第一课时
等比数列的前 n 项和
等比数列的前 n 项和
等比数列的前 n 项和公式
[提出问题] 已知等比数列{an}，公比为 q，Sn 是其前 n 项的和，则 Sn＝a1 ＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 问题 1：若 q＝1，则 Sn 与 a1 有何关系？
提示：Sn＝na1.
5.等比数列求和中的误区
[典例] 设数列{an}是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S3 ＝3a3，求此数列的公比 q.
Байду номын сангаас [解 ]
当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；
a11－q3 当 q≠1 时， ＝3a1q2， 1－q 因为 a1≠0， 所以 1＋q＋q2＝3q2， 2q2－q－1＝0， 1 解得 q＝－ . 2 1 综上所述，公比 q 的值是 1 或－ . 2
1 8×1－25
1 1－ 2
31 ＝ . 2
等比数列前 n 项和的性质
[例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 S4＝2， S8＝6，
求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
[解 ]
由等比数列前 n 项和的性质，可知 S4，S8－S4，S12
[活学活用] 1．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝3，S4＝15，则 S6 等于 A．31 C．63 B．32 D．64 ( )
解析：法一：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q. 若 q＝1，则有 Sn＝na1，显然不符合题意，故 q≠1.
2 a 1 － q S2＝ 1 ＝3， 1－q 由已知可得 4 a 1 － q 1 S4＝ ＝15， 1 － q
法二：在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4 也成等比数列， 故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得 S6＝63. 法三：设等比数列的公比为 q. 则 S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋ q2)×3＝15， 解得 q2＝4. 故 S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋ 42)×3＝63.故选 C. 答案：C
1 n＋ 1 5 从而 Sn＝ ×5 － ， 4 4 1 或 Sn＝
5 080×1－－6n
11
.
(2)∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189， 3－96q ∴ ＝189.∴q＝2. 1－q ∴an＝a1qn 1.∴96＝3×2n 1.∴n＝5＋1＝6.
解：(1)设首项为 a1， ∵q＝2，S4＝1， a11－24 1 ∴ ＝1，即 a1＝ ， 15 1－2 1 8 1 － 2 8 a11－q 15 ∴S8＝ ＝ ＝17. 1－q 1－2
a1＋a1q2＝10， (2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 3 5 5 a q ＋a1q ＝ ， 4 1
[易错防范] 1．易忽视 q＝1 这一情况，从而得出错解． 2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比 q，若其中含 有字母，就应按 q＝0，q＝1，q≠0 且 q≠1 讨论．
[成功破障] 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3 和 q.
解：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式， a11－q3 21－q3 得 S3＝ ＝ ＝6， 1－q 1－ q 解得 q＝1(舍去)或 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.
－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列． S8－S4 由题意可知上面数列的首项为 S4＝2，公比为 ＝2， S4 故 S4n－S4n－4＝2n(n≥2)， 所以 a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
[类题通法] 等比数列前 n 项和的重要性质 (1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， S4n－S3n，…成等比数列(其中 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为 0)，这一性质可直接应用． S偶 (2)等比数列的项数是偶数时， ＝q； S奇 S奇－a1 等比数列的项数是奇数时， ＝q. S偶
[类题通法] 在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，a1 与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以 用 a1 与 q 表示 an 与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经 常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体 思想在数列中的具体应用．
[活学活用] 在等比数列{an}中： (1)若 q＝2，S4＝1，求 S8； 5 (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求 a4 和 S5. 4
a11－q3 9 (2)①当 q≠1 时，S3＝ ＝ ， 2 1－q 3 9 2 又 a3＝a1· q ＝ ，∴a1(1＋q＋q )＝ ， 2 2
2
3 2 9 2 即 2(1＋q＋q )＝ ， q 2 1 解得 q＝－ (q＝1 舍去)，∴a1＝6. 2 3 ②当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝ . 2 3 a 1 ＝ 6， a1＝ ， 2 综上得 或 1 q＝－ ， 2 q＝1.
bn＋1 5－2n＋1 1 －2 ∴ b ＝ －2n＋3＝5 ＝ . 25 5 n 1 因此{bn}是公比为 的等比数列，且 b1＝5－2＋3＝5， 25
1 51－25n
于是{bn}的前 n 项和 Tn＝
1 1－ 25
125 1 n 1－ . ＝ 24 25
等比数列的前 n 项和公式的基本运算
[例 1] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝1，a5＝16，且 q＞0，求 S7； 3 9 (2)若 a3＝ ，S3＝ ，求 a1 和公比 q. 2 2 [解] (1)∵{an}为等比数列且 a1＝1，a5＝16，
∴a5＝a1q4.∴16＝q4. ∴q＝2(负舍)． a11－q7 1－27 ∴S7＝ ＝ ＝127. 1－q 1－2
课时跟踪检测见课时达标检测(十二)
两式相除得 1＋q2＝5，解得 q2＝4， 故 q＝2 或 q＝－2. 若 q＝2，代入解得 a1＝1，此时 a11－q6 1×1－26 S6＝ ＝ ＝63. 1－q 1－2 若 q＝－2，代入解得 a1＝－3，此时 a11－q6 －3×[1－－26] S6＝ ＝ ＝63.故选 C. 1－q 1－－2
[随堂即时演练]
1．数列{2n－1}的前 99 项和为 A．2100－1 C．299－1 B．1－2100 D．1－299 ( )
解析：数列{2n－1}为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其 1－299 前 99 项和为 S99＝ ＝299－1. 1－2 答案：C
2． 等比数列{an}中， a3＝3S2＋2， a4＝3S3＋2， 则公比 q 等于( A．2 C．4 1 B. 2 1 D. 4
1 (2)∵q＝－ ，又 a1－a3＝3， 2
1 － 2＝3，解得 ∴a1－a1· 2 1 41－－2n Sn＝ 1 1－－2
a1＝4.
于是
8 1n ＝ 1－－2 . 3
[类题通法] 解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意， 而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和 公式是解决问题的关键．
)
解析：a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得 a4－a3＝3a3，即 a4＝4a3，∴q＝4. 答案：C
3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则 a1＝________.
解析：∵q＝2，n＝5，Sn＝62， a11－qn a11－25 ∴ ＝62，即 ＝62， 1－q 1－2 ∴a1＝2. 答案：2
2．等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶 数项的和大 80，则公比 q＝________.
S奇＋S偶＝－240， 解析：由题意知 S奇－S偶＝80， S奇＝－80， ∴ S偶＝－160.
S偶 －160 ∴公比 q＝ ＝ ＝2. S奇 －80
答案：2
4．等比数列{an}的前 5 项和 S5＝10，前 10 项和 S10＝50，则它 的前 15 项和 S15＝________.
解析：由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10－S5，S15－S10 成等比数列， 故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， 即(50－10)2＝10(S15－50)， 解得 S15＝210. 答案：210
等比数列的综合应用
[例 3] 差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2 成等
[解] (1)∵S1，S3，S2 成等差数列， ∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比 q≠1， 2a11－q3 a11－q2 于是 ＝a1＋ ， 1－ q 1－q 即 2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得 2q2＋q＝0， 1 ∴q＝－ (q＝0 舍去)． 2
问题 2：若 q≠1，你能用 a1，q 直接表示 Sn 吗？如何表示？
提示：能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn 1，①
－
两边同乘以 q，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， a11－qn ∴当 q≠1 时，Sn＝ . 1－q
5．在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)若 Sn＝189，a1＝3，an＝96，求 q 和 n.
a11＋q＝30， 解：(1)由题意知 2 a 1 ＋ q ＋ q ＝155， 1 a1＝5， 解得 q＝5
a1＝180， 或 5 q＝－ ， 6
2.5
第一课时
等比数列的前 n 项和
等比数列的前 n 项和
等比数列的前 n 项和公式
[提出问题] 已知等比数列{an}，公比为 q，Sn 是其前 n 项的和，则 Sn＝a1 ＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 问题 1：若 q＝1，则 Sn 与 a1 有何关系？
提示：Sn＝na1.
5.等比数列求和中的误区
[典例] 设数列{an}是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S3 ＝3a3，求此数列的公比 q.
Байду номын сангаас [解 ]
当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；
a11－q3 当 q≠1 时， ＝3a1q2， 1－q 因为 a1≠0， 所以 1＋q＋q2＝3q2， 2q2－q－1＝0， 1 解得 q＝－ . 2 1 综上所述，公比 q 的值是 1 或－ . 2
1 8×1－25
1 1－ 2
31 ＝ . 2
等比数列前 n 项和的性质
[例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 S4＝2， S8＝6，
求 a17＋a18＋a19＋a20 的值．
[解 ]
由等比数列前 n 项和的性质，可知 S4，S8－S4，S12
[活学活用] 1．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝3，S4＝15，则 S6 等于 A．31 C．63 B．32 D．64 ( )
解析：法一：设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q. 若 q＝1，则有 Sn＝na1，显然不符合题意，故 q≠1.
2 a 1 － q S2＝ 1 ＝3， 1－q 由已知可得 4 a 1 － q 1 S4＝ ＝15， 1 － q
法二：在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4 也成等比数列， 故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得 S6＝63. 法三：设等比数列的公比为 q. 则 S2＝a1＋a2＝3，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋q2)(a1＋a2)＝(1＋ q2)×3＝15， 解得 q2＝4. 故 S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(1＋q2＋q4)(a1＋a2)＝(1＋4＋ 42)×3＝63.故选 C. 答案：C
1 n＋ 1 5 从而 Sn＝ ×5 － ， 4 4 1 或 Sn＝
5 080×1－－6n
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(2)∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189， 3－96q ∴ ＝189.∴q＝2. 1－q ∴an＝a1qn 1.∴96＝3×2n 1.∴n＝5＋1＝6.
解：(1)设首项为 a1， ∵q＝2，S4＝1， a11－24 1 ∴ ＝1，即 a1＝ ， 15 1－2 1 8 1 － 2 8 a11－q 15 ∴S8＝ ＝ ＝17. 1－q 1－2
a1＋a1q2＝10， (2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 3 5 5 a q ＋a1q ＝ ， 4 1
[易错防范] 1．易忽视 q＝1 这一情况，从而得出错解． 2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比 q，若其中含 有字母，就应按 q＝0，q＝1，q≠0 且 q≠1 讨论．
[成功破障] 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3 和 q.
解：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式， a11－q3 21－q3 得 S3＝ ＝ ＝6， 1－q 1－ q 解得 q＝1(舍去)或 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.
－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列． S8－S4 由题意可知上面数列的首项为 S4＝2，公比为 ＝2， S4 故 S4n－S4n－4＝2n(n≥2)， 所以 a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
[类题通法] 等比数列前 n 项和的重要性质 (1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， S4n－S3n，…成等比数列(其中 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为 0)，这一性质可直接应用． S偶 (2)等比数列的项数是偶数时， ＝q； S奇 S奇－a1 等比数列的项数是奇数时， ＝q. S偶
[类题通法] 在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，a1 与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以 用 a1 与 q 表示 an 与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经 常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体 思想在数列中的具体应用．
[活学活用] 在等比数列{an}中： (1)若 q＝2，S4＝1，求 S8； 5 (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求 a4 和 S5. 4
a11－q3 9 (2)①当 q≠1 时，S3＝ ＝ ， 2 1－q 3 9 2 又 a3＝a1· q ＝ ，∴a1(1＋q＋q )＝ ， 2 2
2
3 2 9 2 即 2(1＋q＋q )＝ ， q 2 1 解得 q＝－ (q＝1 舍去)，∴a1＝6. 2 3 ②当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝ . 2 3 a 1 ＝ 6， a1＝ ， 2 综上得 或 1 q＝－ ， 2 q＝1.
bn＋1 5－2n＋1 1 －2 ∴ b ＝ －2n＋3＝5 ＝ . 25 5 n 1 因此{bn}是公比为 的等比数列，且 b1＝5－2＋3＝5， 25
1 51－25n
于是{bn}的前 n 项和 Tn＝
1 1－ 25
125 1 n 1－ . ＝ 24 25
等比数列的前 n 项和公式的基本运算
[例 1] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝1，a5＝16，且 q＞0，求 S7； 3 9 (2)若 a3＝ ，S3＝ ，求 a1 和公比 q. 2 2 [解] (1)∵{an}为等比数列且 a1＝1，a5＝16，
∴a5＝a1q4.∴16＝q4. ∴q＝2(负舍)． a11－q7 1－27 ∴S7＝ ＝ ＝127. 1－q 1－2
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2017春人教版高中数学必修五课件：2.4 第1课时 等比数列1
分析： 时间： 最初 经过1年 经过2年 经过3年 „ 经过n年
剩留量: 1 a1=0.84 a2=0.842 a3=0.843 „ an=0.84n
an a1 q
n1
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是 an .由条件可得，数列{an }是一个等比数列，其中 a1 = 0.84,q = 0.84.
10 000×1.054 ，10 000×1.055
1.理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列
的通项公式、性质； (重点）
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关 系，提高数学建模能力；（难点） 3.体会等比数列与指数函数的关系.
探究点1
等比数列定义
看下列数列： 2 3 4 1. 1，2，2 ，2 ，2 , ;
n=1
输出A n=n+1 A=2A A= A n＞5? 是 结束 否
1 2
【解析】若将打印出来的数依次记为a1(即A),a2 ,a3 , .
由图可知， a1 =1 1 1 a2 =a1 = ， 2 2 1 1 a3 =a2 = ， 2 4 1 1 a4 =a3 = ， 2 8 1 1 a5 =a4 = . 2 16
【解析】设公差为 d，由题意得 a2 a5， 2＝a1· ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， 10×9 ∴S10＝10×1＋ ×2＝100，故选 B. 2
例1
某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物 质的半衰期为多长（精确到1年）？
1 1 2 1 3 1 4 10， 10 ,10 ( ) ,10 ( ) ,10 ( ) , 2 2 2 2
人教版高中数学必修五《数列》2.5等比数列的前n项和(1)
教学难点是公式的推导与公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学的数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴涵了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
教学过程
实例引入
“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比前一天多1万元；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。”你能帮助这个穷人出个主意么？
上面等式成立的条件为 。若 时，
3、在 时，根据等比数列的通项公式 ，代入公式可以得到什么样的结论？
……公式2
4、在 时，在公式1与公式2中一共牵涉几个元素，我们只要知道其中的几个就可以求出其它的？分别用在什么情况下？
公式中共有 ， ， ， ， 五个元素，类比等差数列，我们可以知道其中任意三个，就可以建立方程组求出另外两个。
若已知 与 ，则用公式1较好；若已知 与 ，则用公式2比较好。
结论：
等比数列的前 项和公式：
等比数列 的首项为 ，公比为 ，则其前 项和 ：
§2.5 等比数列的前 项和
（第一课时）
教学内容分析
本节课是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
教学目标
1、理解并掌握等比数列前 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的简单问题；
教学过程
实例引入
“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比前一天多1万元；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。”你能帮助这个穷人出个主意么？
上面等式成立的条件为 。若 时，
3、在 时，根据等比数列的通项公式 ，代入公式可以得到什么样的结论？
……公式2
4、在 时，在公式1与公式2中一共牵涉几个元素，我们只要知道其中的几个就可以求出其它的？分别用在什么情况下？
公式中共有 ， ， ， ， 五个元素，类比等差数列，我们可以知道其中任意三个，就可以建立方程组求出另外两个。
若已知 与 ，则用公式1较好；若已知 与 ，则用公式2比较好。
结论：
等比数列的前 项和公式：
等比数列 的首项为 ，公比为 ，则其前 项和 ：
§2.5 等比数列的前 项和
（第一课时）
教学内容分析
本节课是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
教学目标
1、理解并掌握等比数列前 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的简单问题；
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.5等比数列(一)
2
a1 q ,, a n a1 q
3
n 1
等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1，公比为 q 的 的通项公式： a n= a 1 q n － 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)
练习：
（ 1 ）求45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27, 求b
b3
三、例题讲解
例1（P50）某种放射性物质不断变化为其他物质,每经 过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰 期为多长(精确到1年)? 例2（P50）根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的 前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?
a1 >0，d<0，前n项和有最大值。可由
2．等差数列前n项和的性质
性质1.等差数列的依次每k项之和Sk,S2k－Sk， S3k－S2k…组成一个公差为k2d的等差数列； 性质2.
A
若{an}共有2n项，则S2n=k(an+an+1) ( an,an+1为中间项)， 并且S偶 -S奇=nd，S奇/S偶=an/an+1
B 若{an}共有2n-1时，则S2n-1=(2n-1)an (an为中间项) S奇-S偶=an+1, S奇/S偶=n/n-1
性质3.
（1）若{an}为等差数列，则
S 2n1 (2n 1)an
（2）若{an}{bn}为等差数列，它们的前n项和为Sn，Tn则
S 2 n1 a n T2 n1 b n
a1 q ,, a n a1 q
3
n 1
等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1，公比为 q 的 的通项公式： a n= a 1 q n － 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)
练习：
（ 1 ）求45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27, 求b
b3
三、例题讲解
例1（P50）某种放射性物质不断变化为其他物质,每经 过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰 期为多长(精确到1年)? 例2（P50）根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的 前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?
a1 >0，d<0，前n项和有最大值。可由
2．等差数列前n项和的性质
性质1.等差数列的依次每k项之和Sk,S2k－Sk， S3k－S2k…组成一个公差为k2d的等差数列； 性质2.
A
若{an}共有2n项，则S2n=k(an+an+1) ( an,an+1为中间项)， 并且S偶 -S奇=nd，S奇/S偶=an/an+1
B 若{an}共有2n-1时，则S2n-1=(2n-1)an (an为中间项) S奇-S偶=an+1, S奇/S偶=n/n-1
性质3.
（1）若{an}为等差数列，则
S 2n1 (2n 1)an
（2）若{an}{bn}为等差数列，它们的前n项和为Sn，Tn则
S 2 n1 a n T2 n1 b n
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
数学 必修5
第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
数学 必修5
第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学 必修5
第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学 必修5
第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
高中数学人教A版必修5《等比数列的性质》PPT课件
设项的方法：（等差数列） （1）若所给等差数列的项数为奇数时，
则这个数列可设为 , a d, a, a d, , 此数列的公差为d ; （2）若所给等差数列的项数为偶数时， 则这个数列可设为 , a 3d, a d, a d, a 3d , 此数列的公差2d ;
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
知识回顾： 1.等比数列的概念及定义式； 2.等比数列的通项公式；
教学目标： 1.了解等比数列部分性质的推导过程； 2.掌握等比数列的性质； 3.能利用等比数列的性质解题； 4.感受利用性质解题的优势。
1.公式的推广（次通项公式）
复习：等差数列：an a1 (n 1)d am a1 (m 1)d (m, n N )
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
课堂总结：
1.四个性质； 2.一个方法：类比法 3.一个感悟：知识是灵活的
布置作业：
电子版练习题已发到钉钉班级 群里，请认真完成，及时上传。
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
例4.将公比为 q的等比数列a1, a2 , a3, 依次取相邻两项的乘积组成新的
B 数列 a1a2 , a2a3, a3a4 , ,则此数列是（ ）
A.公比为 q的等比数列
B.公比为 q2的等比数列
C.公比为 q3的等比数列
D.不一定是等比数列
例5.设an 是等比数列，给出下列说法：
（1）an2 是等比数列； √ q 2
A.12
B.6
C. 12
D. 6
解： a7 a10 a2 a15 36 3a15 36 a15 12
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
则这个数列可设为 , a d, a, a d, , 此数列的公差为d ; （2）若所给等差数列的项数为偶数时， 则这个数列可设为 , a 3d, a d, a d, a 3d , 此数列的公差2d ;
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知识回顾： 1.等比数列的概念及定义式； 2.等比数列的通项公式；
教学目标： 1.了解等比数列部分性质的推导过程； 2.掌握等比数列的性质； 3.能利用等比数列的性质解题； 4.感受利用性质解题的优势。
1.公式的推广（次通项公式）
复习：等差数列：an a1 (n 1)d am a1 (m 1)d (m, n N )
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课堂总结：
1.四个性质； 2.一个方法：类比法 3.一个感悟：知识是灵活的
布置作业：
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例4.将公比为 q的等比数列a1, a2 , a3, 依次取相邻两项的乘积组成新的
B 数列 a1a2 , a2a3, a3a4 , ,则此数列是（ ）
A.公比为 q的等比数列
B.公比为 q2的等比数列
C.公比为 q3的等比数列
D.不一定是等比数列
例5.设an 是等比数列，给出下列说法：
（1）an2 是等比数列； √ q 2
A.12
B.6
C. 12
D. 6
解： a7 a10 a2 a15 36 3a15 36 a15 12
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
人教版高中数学必修五-等比数列课件
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= 9，an= 1，q= 2，
则n为( )
8 33
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以
an=a1qn-1=
所以
即n-981，=3，13n，=4.
2， 3
9 (2)n1 1， ( 2)n1 ( 2)3，
83 3
公比分别为p，q，因为 an b1 n1 an=1pbqn≠1 0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
anbn an bn
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为aan11+33，公比为q=2的等比数列. an 3
A. 27
B. 45
C. 25
D. 47
2
4
2
4
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三 项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32， 那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再 由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方 程组求解.
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需 要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
((23))比数值列中a的n为1 每同aan一n一1 项个都常不数能. 为0. an
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
高中数学必修5《等比数列》PPT
在等差数列中有
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有
+
=
=
=⋯=
= q
则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +
的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导
过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？
4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±
通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？
人教版高中数学必修5(A版) 2.5等比数列的前n项和 PPT课件
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第2年产量为 第3年产量为
分析：第1年产量为
……
第n年产量为
n1
5000 1.12台
50001.1 台
则 n 年内的总产量为：
5 5 1.1 5 1.12 5 1.1n1 30000
例3
某商场今年销售计算机5000台，如果平均每 年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么 从今起，大约几年可使总销售量达到30000台 (结果保留到个位)？
答：约5年可以使总销售量量达到30000台
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q
( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
已知 a1 , an , q 则
Sn
{
na 1,
a1 an q , 1 q
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
, q 1 10% 1.1, Sn 30000 , 其中 a1 5000
n 5000 1 1 . 1 ∴ 30000 . 1 1.1
解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 an ,
即
1.1 1.6.
n
两边取常用 n lg1.1 lg1.6 对数，得 lg1.6 0.20 5 ( 年) ∴ n lg1.1 0.041