湖南省高中数学竞赛试题及答案
湖南省高中数学竞赛参考答案.doc
参考答案：一、1、解：选（A ） 提示：由)(1x fy -=-，得f （y ）=-x ，故y=-f （x ）是)(1x fy -=-的反函数，即-f （x ）=f （-x ），由此可见y=f （x ）是奇函数， 2、解：选（C ），提示：如图，从而b ＜0，2a+b ＜0，2a-b ＞0。
又f （0）=c ＜0，故a-c ＞0，进而M-N=|a-b+c|+|2a+b|-|a+b+c|-|2a-b|=（a-b+c ）+（a+b+c ）-（2a+b ）-（2a+b ）-（2a-b ）=-2（a-c ）＜0 ∴M ＜N 3、解：选（B ），提示：由如下四图可推得4、解：选（A ），提示：左边= SinAcosA+sinAcosB+cosAsinB+sinBcosB=21（Sin2A+sin2B ）+sin （A+B ）=sin （A+B ）cos （A-B ）+sin （A+B ） 右边=2sin[180o-（A+B ）]=2sin （A+B ）故有sin （A+B ）cos （A-B ）+sin （A+B ）=2sin （A+B ） 即sin （A+B ）[cos （A+B ）-A]=0而sin （A+B ）＞0，故cos （A-B ）=1，故A=B 又取A=B=30O ，C=120O 代入条件式，知满足条件。
故△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形。
5、6、解：选（D ），提示：设椭圆另一个焦点为F （x ，y ），由于A 、B 为椭圆上的点，由椭圆定义知|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，则|BF|-|AF|=|AC|-|BC|，由|AC|=15，|BC|=13，得|BF|-|AF|=2，故点F 的轨迹为双曲线的一部分。
二、7、解：8个，提示：X 一定包含1，2，3这三个元素，而4，5，6三个数可属于X ，也可不属于X ，每一个数有2种可能，故所求的不同的X 共有23=8个。
8、解：a ＞0，提示：必要性，若a a x x a x f -+-=||)(22为奇函数，则a0（若不然，则f （x ）的定义域为空集），且由aa x x a a a x x a -+--=-+--||||2222 可得 .0,2||||φa a a x a x ∴=-++充分性，若a ＞0，则f （x ）的定义域为],0()0,[a a ⋃-，这时xx a x f 22)(-=，显然f （-x ）=-f （x ），f （x ）为奇函数。
2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word
2014年湖南高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，则 ( )A ．9,10M M ∈∈B ．9,10M M ∉∈C ．9,10M M ∈∉D ． 9,10M M ∉∉2. 设条件p ：实数,m n 满足24,03;m n mn <+<⎧⎨<<⎩条件q ：实数,m n 满足01,2 3.m n <<⎧⎨<<⎩则 ( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件又不是q 的必要条件3. 若{}n a 是等差数列，若120132014201320140,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．4025B ．4026C ．4027D ．40284. 给定平面向量(1,1)a =，平面向量131(22b -=是向量a 经过 ( ) A ．顺时针旋转60所得 B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得5. 在如图所示的三棱柱中，点A 、1BB 的中点M 及11B C 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )A ．2336B ．1336C ．1323D ．12236. 已知圆222:C x y r +=，两点*P P 、在以O 为起点的射线上，并且满足*2||||OP OP r ⋅=，则称*P P 、关于圆对称，那么双曲线221x y -=上的点(,)P x y 关于圆22:1C x y +=的对称点*P 所满足的方程是 ( )A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7.已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(20)(14)f f +=________________.8.已知0,sin cos ,24x x x ππ<<-=若1tan tan x x +可以表示成ca b π-的形式(,,a b c 为正整数)，则a b c ++=_______________.9.不等式32||24||30x x x --+<的解集是__________________.10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.11.随机摸选一个三位数I ，则I 含有因子5的概率为_______________.12.已知实数,x y 满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共4小题，共72分）*13.（本小题满分16分）已知O 为ABC ∆的内部一点，BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，试研究ABC ∆的三边满足的关系，并证明你的结论.14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()100[cos()]f n A n k ωα=++来刻画，其中正整数n 表示月份且*n N ∈.例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0,(0,)2πωα>∈.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.15.（本小题满分20分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为函数()f x 的一个不动点.已知32()3f x x ax bx =+++（其中,a b 为常数）有互异的两个极值点1x 和2x .试判断是否存在实数组(,)a b ，使得1x 和2x 皆为不动点，并证明你的结论.16.（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足21122,2,6n n n x x x x x ++=+==，数列{}n y 满足21122,3,9n n n y y y y y ++=+==，求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >.。
2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 Word版含答案
2017年湖南省高中数学联合竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,,2017X =L ，集合(){,,,,S x y z x y z X =∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈，且(),,z w x S ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∉2．已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥，与棱1AA 交于D ，若122AA AB ==，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A ．48 B ．24 C ．16 D ．123．已知椭圆C ：22184x y +=.对于任意实数k ，椭圆C 被下列直线中所截得弦长，与被直线l ：1y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=4．对任意正整数n 与k （k n ≤），用(),f n k 表示不超过n k⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数的个数（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则()100,3f =（ ） A ．11 B ．13 C ．14 D ．195．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆则是钝角三角形 D ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆则是锐角三角形6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{}n a ：5，9，14，20，…，为“梯形数列”。
2011年湖南省高中数学竞赛试卷B卷及答案.doc
2011年湖南省高中数学竞赛试卷B 卷及答案注意事项：1、首先填写所在县（市）学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写10小题，每小题6分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、2()(1)()(0)(),()21x F x f x x f x f x =+≠-是偶函数,且不恒等于零则 （ C ） A 、是偶函数 B 、不是奇函数也不是偶函数C 、是奇函数D 、可能是奇函数也可能是偶函数2、假设x 、y 都是正数并且成反比，若x 增加了a% ，则y 减少了 ( D )00000000100100()()()()1100100a a a A B C D a a a a+++3、若方程x =k 的取值范围是 ( C )()0A k ≤≤≥111 (B)k< (C)0k< (D)k 4444、函数()||2f x x x x =-+的图象与轴的交点个数为 （ B ） A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 16、若集合M={1，3，a},N={a 2,1}且M ∪N={1，3，a}，那么满足条件的a 的值为 ( D )()A ±± 0 (B) 1 (C) 07、若3log 1,5aa <则的取值范围是 ( D ) 3333()115555A a a k k a <<><<<<> (B) (C)0 (D)0或8、当13,()26x f x x x c ≤≤=-+时函数的值域为 （ A ）[][]32()(),(3)(1),()(1),(3),(3)23A f f f f f f c f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (B) (C) (D)9、设f （x ）是(,),(2)(),(),f x f x x f x x -∞+∞+=-≤≤=上的奇函数且当01时,(7.5)f =则 ( C ) ()A 1.5 (B) 0.5 (C) -0.5 (D) -1.510、如果3,||3||0,x y x y x y x x y +=+=+和是非零实数使得和那么等于（ B ）()A二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分，请将正确答案填在横线上）11、已知()(1,0),3,0M N l -两点到直线的距离分别为1和3,则满足条件的直线的条数是 6 12、若p 是质数，且方程24440x px p +-=的两个实根均为整数，则p 的值为 3713、()f x =函数 [-1,5]14、已知2221,x y +=2则z=3x+2y 的最大值和最小值分别为 三、 解答题（本大题共5小题，每小题66分，解答要求有必要的过程）15、（本小题满分12分）对于正整数a,b,c(a ≤b ≤c)和实数x,y,z,w,若① 30xy z w a b c === ② 1111xyzw++=试求a b c ++的值。
2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]
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2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]2021年湖南省高中数学竞赛b卷试题与答案一、多项选择题（本主题共有8个子题，每个子题得7分，共56分。
在每个子题给出的四个选项中，只有有一项是符合题目要求的。
）1、已知集M？？xx？3n，n？ZQxx？3n？1，n？ZPxx？3n？1，n？Z还有一个？m、 b？q、c？p、 d？A.Bc、然后呢？？ad?m，bd?p，cd?q，d以上都不对。
2、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的总表面积是（）a776、b784、c798、d800.3、一个三角形的三边恰为m2?m?1,2m?1,m2?1,则这个三角形的最大角为?a?2.3.5.b、公元33462224年。
如果实数x，y满足？十、2?+? Y5?= 那么9岁？十、1?+? Y1.的最大值是？a2、b4、c8、d64.5、你会喜欢我吗？F十、在cosx的图像向右移动一个单位后，围绕x轴进行对称变换，4得到函数y？cos2x的图像，然后是f？十、会吗？？asinx、bcosx、c2sinx、d2cosx。
6.程序框图如图所示。
程序运行后的k输出值为（）A3、B4、C5、D6。
7.开始k＝0?已知f?x?=a-23是r上奇函数，则方程fx=的根为2x?15315a2，b,c，d。
523?s＝0否s＜100？是已知向量ob＝?2,0?，向量oc＝?2,2?，向量ca＝2cos?,2sin?，则向量oa与向量ob的夹角的范围是??8、S=S+SS输出KK=K+1 5.A.0B？4.412?? 5.5.CD122?? 1212?1结束二。
填空（这个大问题有6个小问题，每个小问题7分，总共42分。
请在横线上填写正确答案。
）9.设定顺序？一的通称是an=2n-7？NN然后呢？a2a15？___;。
10、已知方程x?ax?1有一个负根而没有正根，则实数a的取值范围是＿＿＿。
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3、解题书写不要超出装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。
）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。
二00八年湖南省高中数学竞赛试题 参考答案及评分标准
二00八年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，0804=⨯=z ，故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则81241253===a a q ，进而21=q . 所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221. 显然，33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P .选D . ４． 解：设a OA =，b OB =，则b x 表示与-示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC，而表示点A 到B 的距离. 当()b a b -⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈，不等式-≥-恒成立．反之，如果AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A 到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()-⊥. 选C .5．解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7. 解：因为00002818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ． 又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.8. 解：由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3+=，则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f , 所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9． 解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解；当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为16122---=-x x y ②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++．填()125+．10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且.填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且． 11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150=++r t s ①的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s .将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C因此，150x 的系数为7651251132152=-C C C .填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833=S . 又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为()23122=+，球的体积ππ34343==R V .填π34. 13.解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.解：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+ 故)(k f 是周期为5的函数.计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以， )2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=. 以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ；同理可得4022008=y .所以，第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设b a ≤，令t ba =，则因βα≤≤≤b a ，可得 .αββα≤=≤b a t …………………………（3分） 设t t t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='.…………（6分） 易知，当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分）故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+，即βααβ+≤+=t t t f 1)(.………………（12分） 由t b a =，得βααβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立. …………………………………………………………………………（14分）１6． 解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分） 乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫ ⎝⎛；………………………………………………（6分） 乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；………………………………（9分） 乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………（14分）17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分） 又x x x x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（5分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈N n n ,0上是减函数，故 ().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231， ………………………………………………………………（14分） n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n 112-+=n112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（16分）18. 证明：（1）设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为192511=+y y x x ，192522=+y y x x .…………………………………………（3分） 因为两切线都过点P ，则有19250101=+y y x x ，19250202=+y y x x . 这表明M 、N 均在直线192500=+y y x x ① 上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程. …………………………………………………………………（6分）（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为.107500-=x y代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）变形可得 01910635250=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y y x 由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q .……………………………（12分） （2）当MN ∥l 时，由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②，得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得 .012251280687533255332=--x x …………………………………………（15分） 由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即.14252553327533221=⨯--=+=x x x 代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标，即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……………………………（18分）。
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）A ．6B ．3C ．1D ．23.设函数()2cos ,f x x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦（）A ．0B ．116πC ．18πD ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m +--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（）答案：B ．提示：z ni z mi n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过变换得到的，答案是（）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=0<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n C r -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠； ②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是．答案：28.x ≤≤提示：所求不等式为关于[]x 的一元二次不等式．由[][]2436450x x -+≤，得[]31522x ≤≤，故[]27x ≤≤，即28.x ≤< 8.在三棱锥S -ABC 中，4,7,9,5,6,8,SA SB SC AB BC AC =≥≥=≤≤则三棱锥的体积的最大值为．答案：提示：设SAB α∠=，根据余弦定理有222cos 2SA AB SB SA AB α+-=≤⋅22245712455+-=-⨯⨯，故1sin sin 2SAB S SA AB αα∆=≤=⋅⋅≤由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以13CSAB SAB F S BC ∆≤⋅≤事实上，取7,6SB BC ==，且CB ⊥面SAB时，可以满足已知条件，此时CSAB V =9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2。
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2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案：B ．
提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设k
x x A ⊕
=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，
故1x A =或3.x A =
答案：A ．
2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）
A ．6
B ．3
C ．1
D ．2 3.设函数
()2c o s ,f
x x x =-{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，()()12f a f a ++
+()n f a 5,π=则()2
315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）
A ．0
B ．1
16
π C ．18π D ．21316π
答案：D ．
提示：因为{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a
()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-+
+-=
即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π++
+-++
+=，所以
33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
即33102cos
2cos
1cos 5.48a a π
π
π⎛
⎫
-++= ⎪⎝
⎭
记()102cos
2cos
1cos 54
8g x x x π
π
π⎛⎫
=-++- ⎪⎝
⎭
，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛
⎫'=+++> ⎪⎝
⎭，
即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2
x π
=
，所以3.2
a π
=
所以()2
2
2
3151320.2242416
f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m
+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）
答案：B ． 提示：z n i z m i n ++
-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且
0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由
n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近
点2F ．
5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭
是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）
A ．顺时针旋转60所得
B ．顺时针旋转120所得
C ．逆时针旋转60所得
D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．
提示：设两向量所成的角为θ
，则(
)1,11cos ,2θ⋅==又
0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=
．又
110,022
<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：B ．
提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有
2
3
650n C
r -+-=，即()()3444.2
n n r --=+
因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：
①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故
0r ≠；
②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；
③当2r =时，有()()3492n n --=，即2
7800,n n --
=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --
=，但它没有正整数解，故 3.r ≠
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）
7.规定：对于x R ∈，当且仅当()
*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式
[][]2
436450x x -+≤的解集是 ．
答案：28.x ≤≤。