初二数学上册教案12：最短路径(学生版)

个性化教学辅导教案
——进门测评分_____
1．如图，△ABC中，AB=AC=20，∠A=60°，则池塘的宽BC=．
2．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么∠CAB的值是．
3．如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是．
1．（2014秋•沙河市月考）如图，直线1表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河1上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（）
A．B．C．D．
2．如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短．．
3．如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上）
（1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
（2）以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的△EPF（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处）．
（3）在MN上画出点Q，使得QA+QC最小．
精准突破一
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例题讲解：
1．如图，点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长为acm，那么直线l有点P，PA+PB 最短为cm．
2．如图，点M，N为△ABC的边AC，BC上的两个定点，用尺规在AB上求作一点P，使
△PMN的周长最小．
练习：
1．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）四边形BCC1B1的面积为．
2．一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯．（如图）
请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由．
3．如图，直线l1∥l2，A、B为两定点，M、N分别在直线l1、l2上，且MN⊥l2，请确定M、N的位置，使AM+MN+BN最小．
极限挑战:
1．如图：已知∠AOB=30°，D是OA上一点，且OD=6cm，射线OC平分∠AOB，P、Q分别是射线OC、线段OA上的动点，则PQ+PD的最小值=．
2．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值．
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．如图，在∠ABC内有一点P，问：
（1）能否在BA、BC边上各找到一点M、N，使△PMN的周长最短？若能，请画图说明；若不能，说明理由．
（2）若∠ABC=40°，在（1）问的条件下，能否求出∠MPN的度数？若能，请求出它的数值；若不能，请说明原因．
5．在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，使PA与PB之差的绝对值最大．
最短路径问题
1、求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连
接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，
使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
2、求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找
到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该
直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，
使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线
l与AB′的交点．
3、利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，
地到B地的路程最短？
或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之
和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一
条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似
于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知
点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
图a 图b
运用轴对称解决距离之差最大问题
利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．
称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．
运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离
——出门测评分_____
1．如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．
2．如图，等腰直角△ABC中，AB=BC，点E为AB上一定点，将△ABC沿AC翻折至△ADC，在AC上求作点P，使△PBE的周长最小．
3．如图，正方形ABCD，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN+MN最小．
——课后作业
1．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB 的值最小，则下列作法正确的是（）
A．B．C．D．
2．（2014春•乐清市校级月考）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）
A．①B．②
C．③D．④
3．如图，正方形ABCD，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN+MN最小．
4．如图，∠AOB内有两点P、Q，在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形PQMN的周长最小．
①（0，0）；②（0，1）；
③（0，2）；④（0，3）．
5．直线MN表示一条河流的河岸，在河流同旁有A、B两个村庄，现要在河边修建一个供水站给A、B供水．问：这个供水站建在什么地方，可以使铺设管道最短？请在图中找出表示供水站的点P．
6．（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；
（2）如图（2）在道路L上键一个水坝站P，使向A′B两村送水所用水管PA+PB最短，水坝站P应建何处？
7．牧童在点A处放牛，其家在点B处，A，B到河岸l的距离分别为AC，BD，且AC=BD=300cm，测得CD=800cm．
（1）牧童从A处牵牛到河边饮水后再回家，是否有最近的路线可走？若有，请通过作图说明在何处饮水，所走的路线最短，并标出路线；
8．（2016秋•青田县月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数。